đề thi hsg toán 8

Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này. thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2[r]

UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS

(Đề có 1 trang) Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1 (3 điểm)

a)Phân tích đa thức a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  ) thành nhân tử

b)Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a+b +c¿2=a2

+b2 +c2

Tính giá trị của biểu thức: P= a

2

a2+2 bc+

b2

b2+2 ac+

c2

c2+2 ab c)Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Bài 2 (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n  41 là hai số chính phương

b) Cho a, b > 0 thỏa mãn a b 1  Chứng minh

   

   

Bài 3 (1 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF Tính số đo góc EAF

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm

b) Chứng minh rằng

1

c) Gọi D là trung điểm của BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB,

AC lần lượt tại M và N Chứng minh H là trung điểm của MN

Bài 5 (1 điểm)

Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này

thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng

2

3 Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường thẳng trong

2018 đường thẳng trên đồng quy

Hết

UBND HUYỆN VĨNH BẢO GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8

(Đề có 1 trang)

tiết Cộng Bài 1

( 3

điểm)

a) a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  )=a b c2(  ) b a c2(  )c a b2(  )

=a b c2(  ) b2(a b ) ( b c ) c a b2(  )

=(a2  b b c2)(  ) ( c2 b a b2)(  )=(a b a b b c )(  (  ) ( b c b c a b )(  )(  )

=(a b b c )(  ) ( a b b c   )=(a b b c a c )(  )(  )

0,25 0,25

0,25 0,25

1,0

b) (a+b+c)2= a2

+b2

a2

a2

+2 bc=

a2

a2− ab− ac+bc=

a2

(a − b)(a −c )

Tương tự:

2 2 ( )( )

b  ac  b a b c  ;

(c − a)c −b

c2

c2+2 ac=

c2

¿ ¿

1

P

a b a c a b b c a c b c

a b a c b c

a b a c b c

0,25

0,25

0,25 0,25

1,0

c) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z  (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z)

Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx

Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) –

2xyz(x2 + y2 + z2)

Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2

0,25

0,25

0,25

0,25

1,0

Bài 3 a) Để n 18 và n  41 là hai số chính phương

2 18

   vàn 41q p q2 , N

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:



0,25 0,25 0,25

1,0

Từ n18p2302900 suy ra n 882

Thay vào n  41, ta được 882 41 841 29   2 q2

Vậy với n 882 thì n 18 và n  41 là hai số chính phương

0,25

b) Có:  

(Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b)

Áp dụng (*), có:

2

2

Suy ra:

             

            

Với a, b dương, chứng minh

1 1 4

4

aba b   (Vì a+b = 1) (Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b)

Ta được:

       

    Dấu đẳng thức xảy ra:

1

a b

2

  

0,25

0,25

0,25

0,25

1,0

Bài 3

Chứng minh được ABE ECF

Chứng minh được ABEFCE c g c(   )

=>AE=EF

Tương tự AF=EF

=>AE=EE=AF

=>Tam giác AEF đều

0,25 0,25 0,25

0,25

1,0

=> EAF  60o

Bài 4

(3

điểm)

a)Chứng minh BHC'đồng dạng vớiBAB'

=>

' '

AB BB =>BH BB 'BC BA' (1)

Chứng minhBHA'đồng dạng vớiBCB'

' '

BC BB =>BH BB 'BC BA ' (2)

Từ (1) và (2) =>BC BA BA BC'  '

Tương tựCB CA CA BC'  '

=>BC BA CB CA BA BC CA BC'.  '.  '.  '. (BA CA BC' '). BC2

0,25

0,25 0,25 0,25

1,0

b) Có

' '

AB BB =>

BHC ABC

S

Tương tự

.

AHB ABC

S

AH BH

.

AHC ABC

S

AH CH

=>

1

ABC ABC

S

HB HC HA HB HC HA

AB AC AC BCBC AB S 

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

0,25

0,25 0,5

1,0

c) Chứng minh được AHM đồng dạng với CDH (g-g)

=>

HD CD (3)

Chứng minh được AHN đồng dạng với BDH (g-g)

=>

BD HD (4)

Mà CD=BD (gt) (5)

Từ (3), (4), (5) =>

HD HD=> HM=HN

=>H là trung điểm của MN

0,25 0,25

0,25 0,25

1,0

Bài 5

(1

điểm)

Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC và AD Lấy các điêrm

I, G trên EF và K, H trên PQ thỏa mãn:

2

Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai AD, BC, EFlần

lượt tại M, N, G’ Ta có

'

2

ABMN

CDNM

G G





hay d qua G

Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi

qua một trong 4 điểm G, H, I, K

Do có 2018 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G, H, I, K, theo nguyên lý

Dirichlet phải tồn tại ít nhất

 

2018 1 505

4 đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018

đường thẳng đã cho đồng quy

0,25

0,25

0,25

0,25

1,0