De thi HSG Toan va huong dan cham 20112012 PGDCT

[r]

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thị chính thức (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1: (4 điểm)

a) Chứng minh x4 + 6x3 + 11x2 + 6x chia hết cho 24 với mọi x nguyên

b) Tìm các hệ số a,b để đa thức x4ax2b chia hết cho đa thức x2 3x2

Bài 2: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng:

2 2



b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

x y x







Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình : √x − 2 + √y +1995 + √z − 1996 = 12(x+y+z)

Bài 4: (4 điểm)

a) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức:

2

2

BC

b) Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng:

 tan 2

AB BC





Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm M trong tam giác kẻ MIBC; MJ CA; MKAB Tìm vị trí của điểm M sao cho tổng (MI2+MJ2+MK2) nhỏ nhất

-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn thi : TOÁN 9

1a 1/ x4 + 6x3 + 11x2 + 6x = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) là tích của 4 số nguyên liên

1b Chia đa thức x4ax2 b cho x2 3x2 được thương là x23x a 7 dư là

3a15x b  2a14

Ta có phép chia hết khi và chỉ khi:

2đ

2a

+ Nếu a+b <0 thì

2 2



( hiển nhiên đúng) + Nếu a b 0 thì ta có:

2 2



 

2

2

2

0

a b

Vậy:

2 2



với mọi a,b

2đ

y

2

2 1

1

x

 



Để y đạt giá trị nhỏ nhất thì 2

2 1

x  đạt giá trị lớn nhất Muốn vậy x2 + 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Vì x2 + 1 1 nên x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất khi x2 + 1 = 1

Tức là x2 = 0  x = 0

Khi đó y = -1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là y = -1

2đ

3

√x − 2 + √y +1995 + √z − 1996 = 12(x+y+z)

ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996

Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ x+y+z = 2√x − 2 + 2√y +1995 + 2 √z − 1996

⇔¿ + ¿ + ¿ = 0

4đ



¿{ {

¿

¿



x=3 y=− 1994

z =1997

¿{{

¿

¿

( TMĐK)

4

a)Vẽ đường cao AH, ta có

2

BC

(AM là trung tuyến)

2

2

2

2

BC

(đpcm) b)Vẽ phân giác BD

ta có

2

ABC ABD 

xét ABD có A 900

nên tan

ABD

AB

 (1)

Mà BD là phân giác



Từ (1) và (2) suy ra

 tan 2

AB BC



 (đpcm)

2đ

2đ

5

Kẻ AHBC,MNAH

MJ2MK2 MJ2AJ2 MA2

MJ2MK2 NA2(Vì MANA)

Vì MI=NH nên :MI2MJ2MK2 NH2 MJ2MK2 NH2 NA2

Áp dụng bất đẳng thức:  

2

2 2 1

2

2

Dấu bằng xảy ra khi M là trung điểm của AH

4đ

A

M H

J K

I N