[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ I: SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP Tính các tích phân sau:
Bài 1:
2
Bài 2:
π
6
π
4
4 sin22 x dx
Bài 3:
0
1
x3dx
x2+1
Bài 4:
2
5
xdx
√x −1
Bài 5:
0
π
2
2sin x (sin2x − 1)dx 1+cos x
Bài 6:
x+1¿3
¿
¿
x2dx
¿
0
1
¿
Bài 7:
0
1
e 3 xdx
e x+1
Bài 8:
2
3
dx
x2(x −1)
Bài 9:
1
2
x(2√x4− 1+1)dx
√x2+1
Bài 10:
0
1
(3 x2−3)dx
(x2
+1)(x2+3 x+1)
Bài 11:
1
e
x3+2+ln x
Bài 12:
√ 2
2
x3+x2− x+1
x4− 2 x2+1 dx
Bài 13:
e 2 x −1¿2
¿
¿
(e3 x+ex)dx
¿
1 2
ln e
¿
Bài 14:
π
4
π
3
( tan x +cot x )2dx
Bài 15:
1
3
2 x√x −2√x+ln(1+√x)
2√x(1+√x ) dx
Bài 16:
1
4
√x +4 x√x+ln√x
Bài 17:
π
4
π
2
cot x[1+ln(sin x)]dx
Bài 18:
0
1
x+ ln(x+√x2+1)
√x2+1 dx
Bài 19:
1
2
x2−1
2 x (x2+1)dx
Bài 20:
0
1
e 2 x+e x ln(e x+1)−1
Bài 21:
e
e2
ln3x +1
x ln3x dx
Bài 22:
π
4
π
3
dx sin4x
Bài 23:
2 sin x +cos x¿2
¿
¿
dx
¿
0
π
4
¿
Bài 24:
0
π
3
sin 2 xdx 2sin2x +3 cos2x
Bài 25:
− 1
1
1
4 − x2ln2+x
2− xdx
Bài 26:
0
π
3
sin 3 x cos xdx
Bài 27:
π
6
π
4
4 +sin32 x
sin22 x dx
Bài 28:
0
π
4
sin 2 x√1+sin2x dx
Bài 29:
0
π
4
sin x +√1+tan x
Bài 30:
0
π
4
sin 2 x(cos 4 x +sin x )dx
Trang 2Bài 31:
0
π
6
dx
1− sin 2 x
Bài 32:
0
π
2
dx
1+sin x
Bài 33:
π
6
π
4
1+cos 2 x sin 2 x dx
Bài 34:
1− x¿11dx
2 x¿
0
1
¿
Bài 35:
0
π
2
2sin3xdx
1+cos x
Bài 36:
0
1
(4 x2− x +1)dx
x3+1
Bài 37:
0
1
(x4
+1)dx
x6+1
Bài 38:
1 ln(1 ) 2
x
x dx x
Bài 39:
0
1
(e x − e − x)ln (ex+e− x)
e x+e− x dx
Bài 40:
π
6
π
4
ln(tan x) sin 2 x dx
Bài 41: 2sin6 cos6
Bài 42:
0
π
6
cos4xdx
Bài 43:
0
π
6
cos3xdx
Bài 44:
0
π
4 (sin4x −cos4x)dx
Bài 45:
0
π cos3 x cos x sin x
2dx
Bài 46:
π
4
π
3
( tan x −2 cot x )2dx
Bài 47: 4 2 4
0 tg x tg x dx
Bài 48:
0
π
4
1 cos2x√tan x+3 dx
Bài 49:
0
1
x6(1 − x7)dx
Bài 50:
0
π
2
sin 2 x(3 − cos2x)5dx
Bài 51:
0
π
6
(2 cos2x − 1)dx
1 −sin 2 x
Bài 52:
1+sin 3 x¿2
¿
¿
(4 cos2x −3)cos xdx
¿
0
π
6
¿
Bài 53:
0
π
2
sin x(e cos x
+sin x)dx
Bài 54:
− 1
1
8 x − 4
(x +2)(x2+1)dx
Bài 55:
0
π
2
sin xdx
1+sin x
Bài 56:
π
4
π
3
1 sin2x cos2x dx
Bài 57:
0
π
2
sin xdx
cos x +sin x
Bài 58:
π
6
π
4
dx
sin 2 x
Bài 59:
0
π
2
sin3x (1+cos x) dx
Bài 60:
0
π
2
cos4x(1+sin x)dx
Trang 3CHUYÊN ĐỀ II: ĐỔI BIẾN SỐ Tính các tích phân sau:
Bài 1:
√ 2
√ 3
dx
x√x2−1
Bài 2:
1
2
x3+x2+1
x4+1 dx
Bài 3:
0
1
e 3 xdx
e 2 x+1
Bài 4:
1
√ 3
dx
x√x2+1
Bài 5:
1
√ 2
x3+x2−2
x4+4 dx
Bài 6:
0
13
x − 2
3
√2 x +1dx
Bài 7:
0
π
3
sin xdx cos2x −cos x −6
Bài 8:
0
2
(2 x +1) dx
√x2+4
Bài 9:
1
√ 3
(x −1)dx
√4 − x2
Bài 10:
√ 2
2
x +1
√x2−1dx
Bài 11:
0
2
( x+1 )dx
x2+4
Bài 12:
0
π
2
cos x e sin xdx
Bài 13:
0
π
3 (e cos x
+√4+3 cos x)sin xdx
Bài 14:
1
e
ln x√1+ln2x
Bài 15:
1
e
ln x√1+ln x
Bài 16:
0
π
4
(sin3x − tan x)cos2xdx
Bài 17:
π
6
π
4
(cot x+ 2 sin x
1+3 cos x)dx
Bài 34:
π
3
π
2
dx
sin x
Bài 18:
π
4
π
3
(sin14x+
1 cos4x)
Bài 19:
0
1
(3 x5+x4+1)dx
x6+1
Bài 20:
1
√ 3
4 x3+x2+2 x +1
x4+x2+1 dx
Bài 21:
1
1+ √ 5 2
4 x3
+x2−2 x +1
x4− x2+1 dx
Bài 22:
3
2√5
dx
x√x2+16
Bài 23:
− 1
1
(x4+x)dx
x2+1
Bài 24:
− 1
1
(x4
+tan x )dx
x2
+1
Bài 25:
− π
2
π
2
sin3xdx 1+cos2x
Bài 26:
− 1
1
xdx
x10+1
Bài 27:
− π
4
π
4
sin3xdx
1+cos x
Bài 28:
0
√ 7
x3 3√1+x2dx
Bài 29:
0
1
(2 x+2)dx
x2+3 x +2
Bài 30:
1
√ 3
dx
x4
(x2
+1)
Bài 31:
x − 3¿10dx
x2¿
3
4
¿
Bài 32:
x+1¿4
¿
¿
x3dx
¿
0
1
¿
Bài 33:
0
ln 3
dx
√e x+1
Trang 4Bài 35:
0
π
4
dx cos6x
Bài 36:
0
π
2
sin 2 x[ (1+sin2x)2+(1+cos x )2]dx
Bài 37:
1
e
ln x(1+√4+ ln2x)dx
x
Bài 38:
0
π
x cos2x sin xdx
Bài 39:
0
π
x sin x
1+sin2xdx
Bài 40:
0
π
x sin x
1+cos2xdx
Bài 41:
0
π
6
tan2xdx
cos 2 x
Bài 42:
0
π
2
cos22 x sin xdx
Bài 43:
1− sin x¿n cos xdx(n ∈ N )
¿
0
π
2
¿
Bài 44:
0
π
2
sin 4 x
sin4x +cos4x dx
Bài 45:
0
π x 1+sin xdx
Bài 46:
0
π
2
cos x e sin xdx
Bài 47:
π
3
2 π
3
x sin xdx
Bài 48:
0
π
x cos2xdx
Bài 49:
0
π
2
(sin 2 x+cos x)√2+sin x dx
Bài 50:
0
π
2
sin 2 x+ cos x
√4 − 3sin x dx
Bài 51:
0
π
2
3 cos x (1− sin x)
2+√1+3 sin x dx
Bài 52:
− 1
2
2 x3
+5 x2+8 x+4
+4) (x2+2 x +4)dx
Bài 53:
− π
2
0 (e cos x
+sin2x − 2 sin x)sin xdx
Bài 54:
1
e
e3
√1+ln x ln x
x dx
Bài 55:
1
e
e
√1+ln x ln2x
Bài 56:
3
√ 3
2
x√x3+1
Bài 57:
1
√ 2
x3
1+√x2−1dx
Bài 58:
0
√2 x dx
Bài 59:
0
2
x+1
x2+4dx
Bài 60:
0
1
x7(1 − x4)dx
Tổng quát :
Bài 61:
1
2
dx
x (x m+1)
Bài 62:
0
π
2
cos xdx
√2+cos 2 x
Bài 63:
0
π
2
sin xdx
sin x +cos x
CHUYÊN ĐỀ III : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Tính các tích phân sau:
Bài 1:
π
4
π
2
x cos x
sin2x dx
Bài 18:
1
e
ln x
x2 dx Bài 19:
1
e
ln2xdx
Bài 20:
0 1
x 4 xdx
Trang 5Bài 2:
2
cos 0
x dx
Bài 3:
0
π2
sin√x dx
Bài 4:
1
4
√x ln xdx
Bài 5:
0
1
x e 2 xdx
Bài 6:
− π
2
π
2
x2sin xdx Bài 7:
0
π
x2cos xdx
Bài 8:
0
1
x 2 xdx
Bài 9:
0
π
4
(2 x +1) sin2xdx
Bài 10:
1
e
x ln2xdx
Bài 11:
1
3
x log3xdx
Bài 12:
0
π
4
x
cos2x dx
Bài 13:
π
6
π
4
x sin x
cos2x dx
Bài 14:
0
1
e x ln(e x+1)dx
Bài 15:
π
6
π
4
ln(cos x)
sin2x dx
Bài 16:
0
1
1
Bài 17:
1
e π
sin(ln x)dx
Bài 36:
π
6
π
4
cos x ln(tan x )dx
Bài 37:
0
π
3
ln(cos x)
cos2x dx
Bài 21:
π
6
π
3
x
sin2x dx
Bài 22:
0
π
2
x cos2xdx
Bài 23:
e
e2
ln x
x3 dx
Bài 24:
0
1
x ln(x2
+1)dx
Bài 25:
0
π
4
x tan2xdx
Bài 26:
1
2
(2 x +1)ln(x2
+x +2)dx
Bài 27:
0
π
2
cos x ln (1+sin x )dx
Bài 28:
0
π
2
sin x ln(1+cos x )dx
Bài 29:
0
√ 3
ln(x+√1+x2
)dx
Bài 30:
0
1
x2 e xdx
Bài 31:
0
π
2
e xsin xdx
Bài 32:
0
1 2
x ln 1+ x
2
1− x2dx
Bài 33:
0
1
x3 e x2
dx
Bài 34:
0
1
√x e√xdx
Bài 35:
e
e2
( 1
ln2x −
1
ln x)dx
Bài 43:
0
π
2
e sin xsin 2 xdx
Bài 44:
0
π
4
etgx sin x
cos3x dx
Trang 6Bài 38:
0
1
x e x
(x+1 )2dx
Bài 39:
0
1
x2
√x2+1dx
Bài 40:
0
1
e 4 x
√e 2 x+1dx
Bài 41:
1
4
(2 x+1 ) ln xdx
Bài 42:
0
π
4
x +sin 2 x 1+cos 2 xdx
Bài 45:
0
π
x cos2xdx
Bài 46:
π
3
2 π
3
x sin xdx
Bài 47:
0
π
x2(e❑−x
+cos 2 x)dx
Bài 48:
0
√e− 1
x ln(1+x2)dx
Bài 49:
0
ln 4
CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ
PHƯƠNG PHÁP: + Giả sử ta phải tính tích phân I.
+ Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J thực hiện dễ dàng + Tính I+J và I-J
+ Nếu I+J = a và I-J = b thì I= ½(a+b)
Tính các tích phân sau:
Trang 7Bài 1: I =
0
π
2
sinnxdx cosn x +sin n x và J =
0
π
2
cosnxdx cosn x +sin n x
Bài 2:
0
π
6
cos2xdx
cos2 x
Bài 3:
π
2
3 π
4
cos2xdx
sin x+cos x
Bài 4:
0
π
2
sin xdx
sin x +cos x
Bài 5:
0
π
x2sin2xdx
Bài 6:
0
π
4
dx
1+tan x
Bài 7:
0
1
e xdx
e x+e − x
Bài 8:
0
π
2
e xsin2xdx
Bài 9:
0
π
6
sin2x cos 2 x dx
Bài 10:
0
π
2
sin4x cos xdx
cos3x +sin3x
tổng quát
0
π
2
sinn+1 x cos xdx
cosn x +sin n x ;(n∈ Z ) .
CHUYÊN ĐỀ V: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ PHƯƠNG PHÁP : Giả sử phải tính tích phân I =
α
β
f (x)dx ,trong đó :
f(x) =
m m-1
m n
n n-1
a x +a x + +a x+a
Q(x) b x +b x + +b x+b
Khi m n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự (phân thức đúng)
Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng
Trang 8Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những thừa số trùng nhau Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức cơ bản sau :
Dạng I:
A x-a
Dạng II :
A k (x-a)
Dạng III : 2
Ax+B
x +px+q
Dạng IV: 2
Ax+B
k (x +px+q) Trong đó k N ; k 2và A,B,a,p,q R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm)
Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu
trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức)
Tổng quát cho cách phân tích :
Q x x a x b x pxq x lx s 1 ( 2)2 ( )
Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :
Dạng
1
1
x a
A x B dx b du b dt
u
với b1,b2,a là hằng số
Để tính Ik = ( 2 2)
dt k
t a
ta có : Ik = ( 2 2)
dt k
tdt
t
k
2 2 2( 1) ( 2 2) 1
t
(1) Dựa vào (1) ta tính được Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong đó I1= 2 2
dt
t a
Chú ý :
tdt t
k
1
1
k k
tính nhờ phương pháp tích phân từng phần
Tính các tích phân sau:
Bài 1:
1
2
(2 x − 1)dx
x2− 2 x +2
Trang 9Bài 2:
x2+4¿2
¿
¿
dx
¿
0
2
¿
Bài 3:
x+1¿4
¿
x¿
dx
¿
1
2
¿
Bài 4:
0
1
(x +2)dx
x2+1
Bài 5:
0
1
(4 x −2)dx (x +2)(x2+1)
Bài 6:
3
2√3 +1
(2 x2−3 x − 3)dx
(x − 1)(x2−2 x+5)
Bài 7:
x2+1¿2
¿
¿
dx
¿
0
1
¿
Bài 8:
x2+1¿2
¿
¿
(3 x+4)dx
¿
0
1
¿
Bài 9:
2
3
3 x2+3 x+3
x3− 3 x+2 dx
Bài 10:
x −1¿3
¿
¿
x2+x+1
¿
2
3
¿
Bài 11:
0
1
x3dx
x8−2
Bài 12:
1
√ 6+ √ 2 2
(x2+1)dx
x4+1
Bài 13:
1
√ 3
(x2+1)dx
x4+x2+1
Trang 10Bài 14:
0
1
(x2− 2)dx
x4+3 x2+4
Bài 15:
1
2
(x2− 1)dx
x4+1 Dạng tổng quát :
α
β
x2± a
x4± bx2+a2dx
CHUYÊN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP
A)Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx
1) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là
F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
2) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là:
F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx
3) Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là:
F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx
4) Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : 2
2t sinx=
1+t và
2 2
1-t cosx=
1+t
B)Tích phân dạng : sin x.cos xdxm n với m ,n ∈ Z
1) Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :
+ Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx
+ Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx
2) Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến
đổi hàm số dưới dấu tích phân:
sin x cos x=1
2sin 2 x ; sin
2x= 1 −cos 2 x
2 ; cos
2x= 1+cos 2 x
2
3) Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo
sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C)Tích phân dạng : cos ax cos bxdx ; sin ax cos bxdx ; sin ax sin bxdx Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:
cos ax cos bx=1
2[cos (a+b) x − cos(a −b) x] sin ax sin bx=−1
2[cos(a+b) x − cos(a − b)x] sin ax sin bx=1
2[sin (a+b)+sin (a −b) x]
D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:
1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì
− a
a
f (x)dx = 0 Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t
Trang 112)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì
a
b xf(x)dx= a+b
2
a
b
f (x)dx
( thường gặp :
0
π xf(sin x)dx= π
2 0
π
(sin x )dx ) Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = π − x )
3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì :
− b
b
f (x )dx
a x+1 =
1
2
−b
b
f (x )dx(
0
b
f (x )dx) Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên
− b
b
f (x)dx=2
0
b
f (x )dx Cách chứng minh điều này
như sau:
f (x)dx+¿
0
b
f (x)dx
− b
b
f (x)dx=
− b
0
¿
rồi tính
− b
0
f (x)dx bằng cách đặt x= -t
Tính các tích phân sau:
Bài 1:
0
π
4
dx cos6x
Bài 2:
π
6
π
2
dx sin4x
Bài 3:
0
π
4
tg4xdx
Bài 4:
π
3
π
2
cos3dx sin4x
Bài 5:
0
π
2
(sin4x +sin5x)dx
Bài 6:
0
π
4
(tan4x +tan3x )dx
Bài 7:
0
π
2
(sin3x +sin2x)cos2xdx
Bài 8:
0
π
4
(cos2 x 1+sin x cos x+
sin3x cos x )dx
Bài 9:
0
π sin 3 x (cos x +sin 5 x )dx
Bài 10:
0
π
3
1+sin x 1− sin xdx
Bài 14:
π
4
π
3
dx sin3x cos3x
Bài 15:
0
2 π
(sin2x +√1+sin x)dx
Bài 16:
0
π
2
dx
1+ sin x+cos x
Bài 17:
0
π
2
4 sin3xdx
1+cos x
Bài 18:
0
π
x sin3x
1+cos2xdx
Bài 19:
0
π
x sin x
1+sin2xdx
Bài 20:
− π2
π
2
x2
+cos x
2x
+1 dx
Bài 21:
− π
4
π
4
sin4x+cos4x
3x+1 dx
Bài 22:
0
π
4
dx
1+tan x
Bài 23:
0
π
3
tan x cos 2 x dx
Bài 24:
0
π
4
tan6xdx
Trang 12Bài 11:
π
6
π
2
(1+cos x )dx
sin x
Bài 12:
0
π
4
sin2x
cos4x dx
Bài 13:
π
6
π
3
dx sin4x cos4x
Bài 27:
π
4
π
3
dx
sin x cos3x
Bài 28:
0
π
4
sin x cos x√1+sin2x dx
Bài 29:
π
6
π
3
dx
tg4x
Bài 30:
0
π
2
cos3x cos3 xdx
Bài 31:
0
π
2
sin2x cos 4 xdx
Bài 32:
0
π
2
dx
3+2 cos x
Bài 25:
0
π
2
dx
2+cos x
Bài 26:
0
π
4
sin 2 x
cos4x+sin4x dx
Bài 33:
0
π
2
4 cos3xdx
1+sin x
Bài 34:
0
π
2
cos x cos2 x sin 4 xdx
Bài 35:
0
π
x sin x 7+cos 2 xdx
Bài 36:
0
π2
4
x sin√x
Bài 37:
0
π
2
(sin x −cos x +1)dx
sin x +2 cos x+3
Bài 38:
− 1
1
x6+sin3x
x2+1 dx
Trang 13CHUYÊN ĐỀ VII: TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP
Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x.
1)VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F(x ,√n x p , m√x q , ,√r x s)dx
Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r Gọi k = BCNN(n,m,…,r)
Đổi biến số x = tk
2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F(x ,√n ax +b cx +d )dx
Cách giải : Đổi biến số t = √n ax+b
cx+d .
3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F(x ,√ax2+bx+ c)dx
Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t = √ax2+bx+c
Cách giải thứ hai : Biến đổi √ax2+bx+c theo một trong ba kết quả sau :
√ax2+bx+c = √A2− u2 (1)
√ax2
+bx+c = √A2
+u2 (2)
√ax2
+bx+c = √u2− A2 (3) (Trong đó A là hằng số dương ; u là một hàm số của x )
Với (1) thì đổi biến u = Acost Với 0 t ≤ π (hoặc u = Asint , với − π2 ≤t ≤ π
2 )
Với (2) thì đổi biến u = Atant Với − π
2 <t <
π
2
Với (3) thì đổi biến u = A/cost Với 0 t ≤ π và t π2
4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = (αx+β )
(mx+ n)√ax2
+bx +cdx .
Cách giải : Đổi biến số t = mx+n1
Tính các tích phân sau:
Bài 1:
1
81 4
√x −√8 x
x (√4 x +1)dx
Bài 2:
0
15
dx
√x +1+√3 x+1
Bài 3:
1
√ 3
dx
x√x2+1
Bài 4:
1
3
dx
x√2 x2+2 x+1
Bài 5:
√ 10
√ 17
dx (x+2)√x2+4 x+5
Bài 6:
6
11
√x −2 dx
√x −2 −1
Bài 7:
0
1
dx
x+√1 − x2
Bài 8:
1
3
dx
√x +1+√x − 1
Bài 9:
1 2
1
1
x√1 − x 1+x dx