HINH HOC GIAI TICH TRONG KG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A.. ABC là một tam giác⇔uuurAB∧uuurAC≠0r khi đó S=12 uuur uuurAB∧AC 6.. 3S BCD h h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A I

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị

, ,

i j kr ur ur (ir= = =rj kur 1)

B a a a auur( 1 ; ; 2 3)⇔aur=a i1ur+a j2uur+a k3uur; M(x;y;z)⇔ OMuuuuur=xiur+y juur+zkuur

C Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ') u x y z v x y zr r

2 u vr r± = ±(x x y y z z'; ± '; ± ')

3 kur=( ; ; )kx ky kz

4 u v xxur r = '+yy zz'+ '

5 u vr⊥ ⇔r xx'+yy'+zz' 0=

6 ur = x2 +y2 +z2

' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y

y z z x x y

u v

y z z x x y

∧ =

r r

8 u vur r, cùng phương⇔[ , ] 0u vr r =r

9 cos ,( )

=

ur r

r r

r r

u v u v

u v

D Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)

1.uuurAB= (x B −x y A; B −y z A; B −z A) 2.AB= (x B −x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B −z A) 2

3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

x G=

3

A B C

x +x +x

;y G=

3

A B C

y +y +y

; z G=

3

A B C

z +z +z

5 ABC là một tam giác⇔uuurAB∧uuurAC≠0r khi đó S=12 uuur uuurAB∧AC

6 ABCD là một tứ diện⇔uuurAB∧uuurAC.uuurAD≠0, VABCD=1 ,

6 uuur uuur uuurAB∧AC AD , V ABCD=1 .

3S BCD h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT

Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), nr= ( ; ; )A B C } Phương trình tổng quát của mặt phẳng α:Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0

hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0

 một số mặt phẳng thường gặp:

a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.

b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: co ù nr(ABC) = [uuur uuurAB AC, ]

1

i r

j

r

k r

O

z

x

y

Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x0;y0;z0),uuur∆ =(a;b;c)}

i.Phương trình tham số:

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct



 = +



 = +



;

ii.Phương trình chính tắc: x x0 y y0 z z0

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1

0 0

A x B y C z D

A x B y C z D



1 ( ; ; 1 1 1 )

n = A B C

uur

,nuur2 = ( ;A B C2 2 ; 2 )là hai VTPT và VTCP uuur uuruur∆ = [n n1 2 ]

†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: =z y=00 ; Oy: 0

0

x z

=

=





0 0

x y

=



 =

b/ (AB): urAB =uuurAB ; c/ ∆1//∆2⇒uuur∆1 =uuur∆2; d/ ∆1⊥∆2⇒uuur∆1 =nuur∆2

Góc giữa hai đường thẳng

*cos(∆,∆’)=cosϕ= '

'

u u

u u

ur uur

r uur ;

Góc giữa hai mp

*cos(α,α’)=cosϕ= '

'

n n

n n

ur uur

r uur ;

Góc giữa đường thẳng và mp

*sin(∆,α)=sinψ= .

.

n u

n u

ur r

r r

KHOẢNG CÁCH

Cho M (xM;yM;zM), α:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M0(x0;y0;z0), u∆

r },

uur }

* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,α)= Ax M By2 M 2CZ M2 D

* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=[MM u1, ]

u

uuuuur r r

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=[ , ']. 0 '0

[ , ']

u u M M

u u

r uur uuuuuuuur uur uur

III PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Mặt cầu (S){ I(a;b;c),bán kính R}

Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)

Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= a2 +b2 + −c2 d

1 d(I, α)>R: α∩ (S)=∅

2 d(I, α)=R: α∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm)

*Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện của mặt cầu

(S) tại M khi đó nuurα =IMuuur)

3 Nếu d(I, α)<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S) Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:

a Tìm r = R d I2 - 2 ( , )α

b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α

+H=∆∩α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α)

2