HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 3

Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a.. Tính h theo a để hai mặt phẳng SAB và SAC vuông góc nhau... Viết phương trình mặt cầu S có đường kính là đoạn vuô

Câu 2:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'

GIẢI Câu 1:

Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0

° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

2 2d(I; P) R r 3

2 2 2

m 2n m n 2m 6n

3(m 2n) m n

2 24m 7n 3 2m 5n 4m.n

H

F

D

° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒ ∆ABC, ∆A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

° Phương trình mp (A/BC) qua A/ với pháp vectơ nr :

30(x 0) 1(y 0) (z a) 0

a z

y

Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng (∆) : x 1 y 2 z 3

− = + = −

−

1 Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

Câu 2: (1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA

= SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau

° [AB; AC] ( 3; 6; 6)uuur uuur = − − = −3(1; 2; 2)− = −3.nr, với n (1; 2; 2)r = −

° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ nr

: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0

⇒ là góc phẳng nhị diện (B, SA, C)

° ∆SOA vuông có:

° ∆SAB= ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB IC= ⇒ ∆IBC cân tại I

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔ ∆IBC vuông cân tại I IM 1BC

° Gọi H là tâm của ∆ABC

và M là trung điểm của BC

A

z

H B

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

GIẢI Câu 1:

Mặt cầu (S): (x 2)− 2+ −(y 3)2+z2 =13 m− có tâm

I(-2; 3; 0), bán kính R IN= = 13 m− , với m < 13

° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)uur= − uur r = −

° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):

° Ta có: IH = h

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ m= −12 (thỏa điều kiện)

° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12

Câu 2:

Cách 1:

° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O

° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)

OH AK; OH BN⊥ ⊥ ⇒OH (ABN)⊥ ⇒d(O; (ABN) OH=

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

° Vậy, d(OM; AB) OH a 15.

5

Cách 2:

° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

° MN là đường trung bình của ∆ABC

z A

a 3

C N

O

M a

x B

Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0

° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi (α) và (xOy) có dạng:

(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)

° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

AG AE 2 AE AF

3

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

° [SA; SB] 0; ax; a2 a 0; x; a a.n1

x

y C

B

A

E

F G M

GIẢI Câu 1:

° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆)

F M B E K

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

° Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆SEM có:

° Vì AF // ME⇒d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.= =

° ∆SAK vuông có: 2 2 2 2 2 2

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

z

a S

A

x E

B M

C

° Vì AF // EM⇒ AF //(SEM)⇒d(SE; AF) d(A; SEM)=

° Vậy, d(SE; AF) a 3.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh ∆MAB cân và tính diện tích ∆MAB theo a

LỜI GIẢI Câu 1:

2 2

° Ta có: SA (ABC)⊥ ⇒ SA AC.⊥

Do đó ∆SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA 1SC.

2

=

° Ta lại có: SA (ABC)

AB BC ( ABC vuông tại B)

⊥





⇒ SB BC⊥ (định lý 3 đường vuông góc)

Do đó ∆SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên

1

MB SC

2

=

° Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân tại M

° Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB)∈ ∈

B K A

° ∆ABC vuông tại B có:

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ(0o < ϕ <90 )o Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

ty

t2x ; (d2) :

=

−

+

012z3y4x4

03yx

z S 2a

M

a 5 H

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

GIẢI Câu 1:

Cách 1:

° Gọi H là trung điểm của BC

° Do S.ABC đều và ∆ABC đều nên

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

của ∆ABC và có ∆SBC cân tại S

suy ra: BC SH, BC AH,⊥ ⊥ nên !SHA= ϕ

° Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

° Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một

C ϕ

C

ϕ M

B x

A

z

S

° Thể tích hình chóp:

3 ABC

° AB.[u ; u ] 36 0uuur r r1 2 = ≠ ⇒ AB, u , uuuur r r1 2 không đồng phẳng

° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

° (d2) có phương trình tham số:

/ /

° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính

Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,

(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:

(d1):

4

2

z3

1

y2

3x:)d(

;3

1

z4

3

y2

5x

−

−+

=

−

−

=+

Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt

nr =(3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n ,− = − = r với /

P

nr =(1; 4; 1)−

° (Q) có pháp vectơ nrQ =(3; 4; 9)−

° (d1) có vectơ chỉ phương ur1=(2; 4; 3)−

° (d2) có vectơ chỉ phương ur2 = −( 2; 3; 4)

Q /

P /

∆

u r 1

u r

2

u r B

d 2

d 1 A

∆ / q

n r p

n r

với /

u =(8; 3; 4).− −r

° mp (P/) có cặp vectơ chỉ phương ur1 và /

ur nên có pháp vectơ:

° Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và / /

A MCN A NC

S =2.S nên: / / / /

° Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có:

/

3 2 / B A MCN

° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz

đôi một vuông góc,

Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:

=

+

=

=t26z

t4y

tx

6't3y

'tx

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua

K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

B M

N

D / z

a

x

với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α

GI ẢI Câu 1:

(d1) có vectơ chỉ phương ur1=(1; 1; 2)

(d2) có vectơ chỉ phương ur2 =(1; 3; 1)

117

C

A

B

N ϕ

° Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB)⊥ ∩ = ⊂ ⇒SH (ABC)⊥

° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và

∆ABC đều, nên suy ra H là trung điểm AB

° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),

2 2 2

Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:

a 3 2 y

1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1)

+ 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (∆2) theo phương (∆1) lên mặt phẳng (α)

3 Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) để MM MMuuuur1+uuuur2 đạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) và M2(7; 3; 9)

Câu 2:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc !BAC 120= o, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh ∆AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và

(AB'I)

GI ẢI Câu 1:

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆1)

° Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7)

° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K Tương tự như trên ta tìm được:

u r H

° Vậy, phương trình chính tắc (∆3): x 1 y 1 z 7

11 74 13

+ = + = +

2 Mặt phẳng (β) chứa (∆2) và (β) // (∆1)

⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương ur1= −( 7; 2; 3), ur2 =(1, 2, 1)−

° Vậy, phương trình hình chiếu /

2

x y z 3 0( ) :

2x y 4z 53 0

+ + + =



∆  + + − =

3 Gọi I là trung điểm M M1 2⇒ I(5; 2; 5)

° Ta có: MM MMuuuur1+uuuur2 = 2MIuuur

MM MM

⇒ uuuur +uuuur nhỏ nhất ⇔ 2MIuuur nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu của I trên (α)

° Phương trình đường thẳng (∆) qua I

và vuông góc với (α) là:

° Gọi H là trung điểm BC⇒ AH BC.⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒ AH a

( ∆ )

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

° Vậy, ∆AB/I vuông tại A

° Ta có: /

2 /

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

⇒ = và BH a 3 BC a 3

2

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

⇒ uuur ⊥uur Vậy, ∆AB/I vuông tại A

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ nr1=(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương /

AB , AIuuur uur, nên có pháp vectơ:

a

B

C A

H

I

y z