Bài tập hình học giải tích trong không gian lớp 12 tham khảo

Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi d và d’... Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và P... Hãy viết phương trình mặt

HHGTTKG- LTDH

BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN.

Bài 1 Trong kh«ng gian Oxyz, cho hai ®iÓm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) vµ mÆt cÇu (S) cã ph¬ng tr×nh:

KÕt luËn cã hai mÆt ph¼ng: (P1): x + y – z – 4 = 0 vµ (P2): 7x – 17y + 5z – 4 = 0

Bài 2 Trong kh«ng gian Oxyz cho hai ®iÓm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) vµ ®/th¼ng(d):

Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B

(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB

t y

t x

IM

2 1 3

2 2 : Thay vào phương trình (P) suy ra ).

3

; 1

; 2

42

4

;2

;3(

Suy ra maxP= 21 , đạt khi t= − 1 hay M( 1 ; 3 ; − 2 ).

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm , A(5;8;−11), B(3;5;−4),C(2;1;−6) và đường thẳng

1

11

22

Suy ra min MA−MB−MC = 11 khi t =−1⇒M(−1;1; 2)

Bài 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng ,

12

41

2:1

z y

81

101

Suy ra ∆1, ∆2 chéo nhau

Để độ dài MN nhỏ nhất thì MN là đường vuông góc chung của ∆1, ∆2

=+

;6

;10(

)2

;0

;0(4

20

266

0166

0

0

2

1 2

1

2 1 2

1

N

M t

t t

t

t t u

vu«ng gãc víi d’

Giải

HHGTTKG- LTDH

.Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phơng u(1;−1;1)

Đờng thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;−5) và có vectơ chỉ phơng u('2;1;−1)

Ta có MM =(2;1;−5), [ ]u;u' =(0;3;3), do đó [ ]u;u 'MM'=−12≠0 vậy d và d’ chéo nhau

Mặt phẳng (α)đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ pháp tuyến là u('2;1;−1) nên có phơng trình:

0)

.Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phơng u(1;−1;1)

Đờng thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;−5) và có vectơ chỉ phơng u('2;1;−1)

Mp(α) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và

2

160cos)'

;cos(n u = 0 = Bởi vậy nếu

2

0

2 2

2 B C

A

C B

=

+

=

02

)(6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2−AC−C2 =0⇔(A−C)(2A+C)=0 Vậy A=C hoặc 2A=−C

Nếu A=C,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B=2, tức là n=(1;2;1) và mp(α)có phơng trình

0)

Giải Mặt cầu(S) cú tõm I∈∆g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của∆(1)

Viết phương trỡnh mặt phẳng ( )α chứa

d sao cho khoảng cỏch từ A đến ( )α lớn nhất

HHGTTKG- LTDH

Gọi K là hình chiếu của A trên d ⇒K cố định;

Gọi ( )α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( )α

Trong tam giác vuông AHK ta có AH ≤AK

Vậy AH max = AK ⇔( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK

Gọi ( )β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d ⇒( )β : 2x y+ +2z− =15 0⇒K(3;1; 4)

( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ⇒( )α :x−4y z+ − =3 0

18 11421

Trong tam giác ABC, gọi K CH= ∩AB.

Khi đó, dễ thấy AB⊥(DCK) Suy ra góc giữa (DAB) và

(ABC) chính là góc DKH∠ .Ta tìm tọa độ điểm H rồi

a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)

Giải

a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5v( )

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3uur( − − )

Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I 1;0;3

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)

Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2v( )

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1uur( )

;1(),0

;2

;1(

t y

t x

CD

13

21:

CD t t

HHGTTKG- LTDH

2

(3 ; 2 ; 0)1

D t

8,3

31

2:

31

Suy ra [AC, AD]=(−4; 4t−7 ;−4t+9)

2

1)94()74(162

1,

+) ABCD là hình bình hành nên AB=DC Suy ra B(3 ; 3 ; 5).

Bài 21 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

1

32

31

) ( , 0 9 2

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0 Vì I∈d nên I(−t+1;2t−3;t+3)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

3

22))(

(

;(

2 2

−

=

−

223

41

3

)211(9

)22

t

t t

;2

−+

12

d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x=1, y+z−4=0 Viết phương

trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P).

Giải

Mặt cầu có tâm I(2t+2;−t−1;−t+1)∈d

HHGTTKG- LTDH

3

9))

,[)

⇔++

=

+

⇔

5390

00

90539126

3

t

t t

t t

t t

* Với t=0 Ta cú I(2;−1;1),R=3 Suy ra phương trỡnh mặt cầu

.9)1()1()2(x− 2+ y+ 2+ z− 2 =

37

;53

2 2

53

12953

14353

3753

1

1:

∆ x y z Xỏc định tọa độ cỏc điểm M, N lần lượt thuộc cỏc đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 sao cho

đường thẳng MN vuụng gúc với mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng ∆ 1.

Giải

Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và ∆1

* ∆1 đi qua B(1;0;1) cú vộctơ chỉ phương u1(1;1;−2); AB(0;−2;2)

Suy ra mặt phẳng (P) cú vộctơ phỏp tuyến n=[AB, u1]=(2; 2;2)

* M∈∆1⇒M(1+t;t;1−2t), N∈∆2 ⇒N(s;1+2s;−2s)

Do đú MN =(s−t−1;2s−t+1;−2s+2t−1)

2

1222

12

2

1)

PN MN

+

−+

−

−

++

−+

−

=++

−+

−

⇔

0)4)(

1()3()2)(

5

(

)4()3()2()1()3()

5

(

0 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

z z y

x x

z y

x z

y x

−+

−

−

=

−+

⇔

)3(0

)4)(

1()3()2)(

5(

)2(0

1

0 0

2 0 0

0

0 0

z z y

x x

z x

0 0

x z

x y

Thay vào (3) ta đợc x02−5x0+6=0

1,

3,2

0 0 0

0 0

0

z y x

z y

;1

;3(

)1

;3

;2(

;2

7

I NÕu N(2;3−1) th× Q(5;3;−4) NÕu N(3;1;−2) th× Q(4;5;−3)

Bài 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm , A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;3;2) và mặt phẳng

.022

2()3()

1()

1

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

++

=

−+

−+

=+

−+

=++

=++

−

−+

−+

=+

−

+

+

−+

=++

−

⇔

)3(5

)22()

1

(

)2()

2()3()

1(

)1()

1()

1

(

2 0 0 2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

y x z y x

z y

x z y

x

z y

x z y x

0 0

3 x z

x y

23

;3

23(

)2

;1

;1(

M M

Bài 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3

Giải

•Gọi n=(a;b;c)≠Olà véctơ pháp tuyến của (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0

Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0

;2

;1()

2

2 2

+

−+

+

c c a a

c a

c a

7

• Gọi H là hình chiếu của I trên ∆⇒H∈mp (Q)qua I và vuông góc ∆

HHGTTKG- LTDH

*TH2:

1

11

12

1:)

1

;1

Do mÆt ph¼ng (Q) song song víi mp(P) nªn cã pt d¹ng:2x + 2y - z + D = 0 ( D 5≠ )

Do (Q) tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) nªn d I Q( ;( )) = =R 3 1 9 10

8

D D

Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến

I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có

Bài 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: ( ): 3 4 6

+ (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương ur1 =(1;3; 2)

(d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương ru2 =(2;1; 2)−

Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là n ur ur uur= ∧ = −1 u2 ( 8;6; 5− )

Gọi d1 =(P)∩(Q)⇒d1có vécto chỉ phương

t y

x ptd

42

1:1

322

t

t t

IH

• TH1:

1

71

52

1:)

7

;5

;1(3

tuyến của 2 mặt phẳng (α) x+y−3=0; (β) 4x+4y+3z−12=0 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết

phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuômg góc chung của (d 1) và (d2).

Giải

+ (d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và cú vecsto chỉ phương ur1 =(2; 1; 0)

+ Viết phơng trình tham số của (d2: măt phẳng (α),(β)có VTPT lần lợt là

nα =(1;1;0);nβ =(4;4;3)

+ (d2) đi qua điểm B(3;0;0) và cú vecto chỉ phương uuur uur uur2 =nα ∧nβ ⇒ ur2 =(3; 3; 0)−

+ AB (3; 0; 4)uuur= −

+ AB.[u ; u ] 36 0uuur r r1 2 = ≠ ⇒AB, u , uuuur r r1 2 khụng đồng phẳng

+ Vậy, (d1) và (d2) chộo nhau

+ (d2) cú phương trỡnh tham số:

/ /

+ Toùa ủoọ trung ủieồm I cuỷa MN: I(2; 1; 2), baựn kớnh R 1MN 2.

2

+ Vaọy phửụng trỡnh maởt caàu (S): (x 2)− 2 + −(y 1)2+ −(z 2)2 =4

Bài 32.Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và

S(−2; 2; 6) Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hỡnh thoi và hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng (OABC) trựng với tõm I của OABC Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SO và AC.

Giải

Ta cú:

+ Cỏc đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1)

+ uuurAC= −( 8; 16; 8 ,− ) OBuuur=(4; 4; 4)⇒uuur uuurAC OB = − +32 64 32 0− = ⇒AC⊥OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hỡnh thoi OABC

Bài 33 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trên các tia Ox, Oy và Oz sao

cho mặt phẳng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua điểm M(1; 2; 3) Xác định tọa độ các điểm A, B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Từ giả thiết ta suy ra tọa độ các điểm A, B, C định bởi: ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) A a B b C c trong đó a, b, c là các

số thực dương ⇒ phương trình mp(ABC): x y z 1

Vậy Vmax =27 đạt được khi (3;0;0), (0;6;0), (0;0;9)A B C

Bài 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường

t y

t x

;0(),2

Bài 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0 Viết phương

trình mặt phẳng (α) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) và tạo với trục Oz góc 300

Giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u d(1;−2;−3)

gọi n(a;b;c)(với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của (α)

d//(α) ⇒n.u d =0⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c

),

c b

5

665

66

5

6235

Giải

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆, thì ( ) //( )P D hoặc ( ) ( ) P ⊃ D Gọi H là hình chiếu vuông góc

của I trên (P) Ta luôn có IH ≤IA và IH ⊥AH

.Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆, xác định vị trí của điểm M để

chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất

HHGTTKG- LTDH

Đường thẳng ∆ có phương trình tham số:

1 212

2 2

Mặt khác, với hai vectơ ,u vr r ta luôn có | | | | |ur + vr≥ +u vr r| Như vậy AM BM+ ≥2 29

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,u vr r cùng hướng 3 2 5 1

t

t t

Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11( + 29)

Bài 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 1 2

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u→= (2 ; -1 ; 1)

Bài 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 1

HHGTTKG- LTDH

d đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: 2 u→2 = −(1; 2;2)

Gọi n→ là vtpt của mp(P), vì (P) song song với d và 1 d nên 2

m m

Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI=> HI lín nhÊt khi A≡ I

VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn.

)31

;

;21

H

d

H∈ ⇒ + + v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH ⊥d ⇒ AH.u=0(u=(2;1;3)lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña d) ⇒H(3;1;4)⇒ AH(−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

 7x + y -5z -77 = 0

Bài 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1:

211

z y

t y

t x

1

21

;

;21(),

2

;

;(,

1

21:

,

2

2 2

2 2

t y

t x

d t

;

;2

210

1213

216

0.6

)//(

2 2

2 1

2

2 2

2 1

t t

t t

t t

MN

n MN MN

P MN

12

;13

11,

13

22

;13

11

;13

11,

13

1113

12

1

t

Bài 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) và mặt

phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B và có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng

3

5

Giải

1514

260

cos),

B A

B A n

+++

Giải

Pt mp(ABC):

2 2 2

111

1))

(

;(1

c b a

ABC O d c

z b

y a

x

++

−

=

⇒

=++

Theo bất đẳng thức Côsi : 3

2 2 2 2

2 2

13111

c b a c

31113

111

2 2 2 2

2

c b a c

b a

Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1

Vậy d lớn nhất bắng

3

1 khi a = b = c = 1

Bài 45.Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm , A(1;0;0), B(2;−1; 2), C(−1;1;−3), và đường thẳng

.2

22

∆ x y z Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ,∆ đi qua điểm A và cắt mặt

phẳng (ABC theo một đường tròn sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất.)

Giải

Ta có AB(1;−1;2), AC(−2;1;−3) Suy ra pt (ABC):x−y−z−1=0.

Gọi tâm mặt cầu I∈∆⇒ I(1−t;2t;2+2t) Khi đó bán kính đường tròn là

.23

6)1(23

842))(,

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t=−1

Khi đó I(2;−2;0), IA= 5 Suy ra pt mặt cầu (x−2)2+(y+2)2+z2 =5

Bài 46.Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm , M(1;−1;0), đường thẳng

1

11

12

;1

;2(]

t y

t x

d

31

21

1

;1( −

H

Ta có

7

810

162142

33)

8

;7

23

A

Bài 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

+ M N, ∈( ), ( )d1 d2 nên ta giả sử M t t( ; ; 2 ), ( 1 2 ; ;11 1 t1 N − − t t2 2 +t2)⇒uuuurNM = +(t1 2t2+1;t1−t2; 2t1− −t2 1)

+ MN song song mp(P) nên: n NMuur uuuurP = ⇔0 1.(t1+2t2+ −1) 1.(t1−t2) 1(2+ t1− − =t2 1) 0

+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M∈( ).P

KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.

Bài 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) : (x− 1)2 +y2 +(z+ 2)2 = 9

HHGTTKG- LTDH

Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a :

2 2

z

t y

t x

M

+ Khoảng cách từ A đến ∆là AH =

5

6 2

, )

, (

d

+ Tam giác AEF đều

5

2 4 3

và đường thẳng ∆, nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :

1 ( 1 2

2 2

2 y z x

z

t y

t x

2 4 2 5

2 2 1

1 5

2 4 2 5

2 2 1

z y x

z y x

Bài 51 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D( 4; 1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x+ y+z−2=0 Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng

Oxy Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S)

2 0 2 1

= +

5 3 5

D D

=++++

=++++

=++

−

1d

1c

1b2

5a

021dc4ba8

029dc4ba8

014dc4ba2

02dba2

Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x2 + y2 +z2 −5x−2y−2z+1=0

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)

+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) (d) có vectơ chỉ phương là: n( )1;1;1

;t1

;t2

5Ht

1z

t1y

t2/5x

Do H=( )d ∩(P) nên:

6

5t2

5t302t1t1t2

1

;3

5H

6

35

3136

754

29IH

R

Bài 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( )P :x+2y−z+5=0 và đường thẳng

31

32

t z

t y

t x

Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ⇒I(2t−3;t−1;t+3)

z

u

y

u1

4

;3

7M

Bài 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+ −z2 2x+6y−4z− =2 0

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)vr , vuông góc với mặt

phẳng ( ) :α x+4y z+ − =11 0và tiếp xúc với (S)

Giải

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4

HHGTTKG- LTDH

Véc tơ pháp tuyến của ( )α là nr(1; 4;1)

Vì ( ) ( )P ⊥ α và song song với giá của vr nên nhận véc tơ

Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0

Bài 54 Trong không gian tọa độ Oxyzcho hai điểm A(1;4;2), B(− 1;2;4) Viết phương trình đường thẳng

( )∆ đi qua trực tâmHcủa tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (OAB) sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.(O là gốc hệ trục toạ độ)

252

MA +MB = uuur uuuurKA KM− + uuur uuuurKB KM− =KA +KB + KM − KM KA KBuuuur uuur uuur+

Chọn K(0;3;3) là trung điểm AB nên MA2+MB2 =2KA2+2KM2

KA không đổi nên 2 2

MA +MB nhỏ nhất khi KM ngắn nhất khi đó M là hình chiếu của Ktrên mặt phẳng

+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)

A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung điểm của AC