Đa thức hilbert và bội

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM—————————— ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC ĐA THỨC HILBERT VÀ BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————

ĐỒNG THỊ HỒNG NGỌC

ĐA THỨC HILBERT VÀ BỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên / /2012

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Ngày tháng năm 2012

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên

Trang 3

2.1 Định lý đa thức Hilbert 172.2 Đa thức Hilbert trên vành địa phương 212.3 Số bội của iđêan m-nguyên sơ và các tính chất 262.4 Một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và môđun

Trang 4

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 18 đào tạo Thạc sĩ củatrường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn củaGS.TSKH Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương phápnghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dànhnhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đãtận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăntrong học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm đã tạomọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộtôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học củamình

-2

Trang 5

Mn là một B-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì

Mn là một A-môđun và `A(Mn) < ∞ Hơn nữa, với n đủ lớn thì `A(Mn)

là một đa thức với hệ số hữu tỷ Kết quả này là nội dung của Định lý đathức Hilbert Đa thức Hilbert đóng một vai trò quan trọng trong Đại sốgiao hoán và Hình học đại số, nó cho phép chúng ta nghiên cứu cấu trúccủa một môđun M thông qua những đại lượng số cụ thể như bậc và hệ sốcủa đa thức này

Một iđêan q ∈ Spec(R) của vành Noether địa phương (R,m) đượcgọi là iđêan tham số của M nếu q là m-nguyên sơ và sinh bởi d phần

tử, trong đó d = dim M, M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó M làmôđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi tồn tại iđêan tham số q sao cho

`R(M/qM ) = e(q, M ), với e(q, M ) là số bội của môđun M đối với q Nếu

Sup{`R(M/qM ) − e(q, M )} < ∞, trong đó q chạy khắp trên tập các iđêantham số của R thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Nhưvậy, các lớp môđun quan trọng quen thuộc trong Đại số giao hoán đềuđược đặc trưng qua lý thuyết bội và hàm độ dài

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại và chứng minh chi tiếtĐịnh lý đa thức Hilbert trên vành Noether cùng với một số tính chất của

nó về bậc đa thức, hệ số cao nhất (số bội) Thông qua số bội trình bày một

3

Trang 6

số đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulaysuy rộng Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Đại số phân bậc Trình bày một số khái niệm ban đầu

về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees và các hệ quả với mụcđích phục vụ chương 2 là chương chính của luận văn

Chương 2: Đa thức Hilbert và số bội Trình bày lại định lý Đathức Hilbert trên vành Noether (không đòi hỏi là địa phương)

Tiếp theo là trình bày về bậc của Đa thức Hilbert trên vành Noetherđịa phương Đây là nội dung quan trọng trong toàn bộ luận văn để thôngqua đó nghiên cứu các tính chất có liên quan về hệ tham số và số bội.Trình bày một số đặc trưng của môđun Cohen-Maccaulay, môđun Cohen-Maccaulay suy rộng thông qua lý thuyết bội và hàm độ dài

Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng củaGS.TSKH Nguyễn Tự Cường và hai cuốn tài liệu tham khảo chính là:

"Commutative Ring Theory" của H.Matsumura và "Lessons on rings, ules and multiplicities" của D Northcott

mod-Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thứcHilbert và ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu các lớp môđun quantrọng trong Đại số giao hoán, tuy nhiên, vì điều kiện thời gian, năng lực,kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các quý thầy cô vàcác bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Trang 7

và số bội ở những mục sau.

Ta luôn kí hiệu R là vành giao hoán Noether và M là môđun của R

Định nghĩa 1.1.1 (i) ChoM làR-môđun,M 6= 0 M được gọi là môđunđơn nếu nó không có môđun con nào ngoài 0 và M

(ii)Cho M là R-môđun, dãy các môđun con của M

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mr = 0

được gọi là chuỗi hợp thành của M nếu mọi môđun Mi/Mi+1 là đơn.Khi đó r được gọi là độ dài của chuỗi hợp thành củaM hay độ dài của

M và kí hiệu là `R(M )

Nếu M không có chuỗi hợp thành thì `R(M ) = ∞

Chú ý 1.1.2 (a) [1, Định lý 7.41] Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

5

Trang 8

Chú ý 1.1.4 (a) [3] Nếu R =Z thì dimZ = 1.

(b) [3] Cho k là một trường và R = k[x] Khi đó dim(k[x]) = 1

(c) [4, Định lý 15.4] Cho R là vành bất kì, khi đó dim R[x1, , xn] =dim R + n

6

Trang 9

Định nghĩa 1.2.2 Cho R là một vành phân bậc, một R-môđun phân bậc

là một R-môđun M cùng với một họ các môđun con (Mn)n≥0 của M saocho

M = ⊕

n≥0Mn và RnMm ⊆ Mn+m, ∀n, m ≥ 0

Do R0Mn ⊆ Mn nên mỗi Mn là một R0-môđun

Định nghĩa 1.2.3 Cho M là một R-môđun phân bậc Phần tử x ∈ M

được gọi là thuần nhất nếu x thuộc một Mn nào đó và n được gọi là bậccủa x Mỗi phần tử x ∈ M có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạngtổng hữu hạn của các thành phần thuần nhất

Trang 10

(⇐) Giả sử ∀ x ∈ N đều có tính chất là nếu x = xi + · · · + xi+k với

xj ∈ Mj, ∀ j = i, i + k thì xj ∈ N, ∀ j = i, i + k Ta chứng minh N phânbậc, tức là chứng minh N = ⊕

j≥0

(N ∩ Mj) Thật vậy, ta có ⊕

j≥0

(N ∩ Mj) ⊆

N Ngược lại, lấy x ∈ N thì x ∈ M, khi đó x = xi + · · · + xi+k với

xj ∈ Mj, ∀ j = i, i + k Theo trên ta có xj ∈ N, do đó xj ∈ N ∩ Mj Vậy

Hệ quả 1.2.6 [3].N là môđun con phân bậc của M khi và chỉ khi N cómột hệ sinh gồm toàn các phần tử thuần nhất

Tương tự ta cũng có tiêu chuẩn để một iđêan trong vành phân bậc làphân bậc

n≥0

Rn, trong đó R0 = k và Rn = {f ∈ R|f là đathức thuần nhất bậc n}

8

Trang 11

Định nghĩa 1.2.11 ChoI là iđêan của vànhR ĐặtGI(R) = ⊕

n≥0In/In+1.Khi đó GI(R) là một vành phân bậc với phép nhân xác định như sau:

-(i) R(I) và GI(R) là các vành phân bậc Noether

(ii)RM(I) là R(I)-môđun Noether và GI(M ) là GI(R)-môđun Noether

Chứng minh (i) Ta cóR(I) = ⊕

n≥0In là vành phân bậc Noether Thật vậy,

vì InIm ⊆ In+m; ∀ n, m ≥ 0 nên R(I) là vành phân bậc Mặt khác ta có

(R(I))0 = I0 = R là vành Noether (theo giả thiết) Vì I là iđêan của vành

R nên I hữu hạn sinh, giả sử I = (a1, , an), trong đó ai ∈ I,∀ i = 1, n.Khi đóa1, , an là các phần tử thuần nhất bậc 1 và R(I) = R[a1, , an],trong đó

R[a1, , an] = {f (a1, , an)|f (x1, , xn) ∈ R[x1, , xn]}

9

Trang 12

Vậy R(I) là một vành phân bậc Noether.

Ta cũng chứng minh được GI(R) = ⊕

n≥0In/In+1 là vành phân bậcNoether.Thật vậy, ta có GI(R) = ⊕

n≥0In/In+1 và In/In+1 Im/Im+1 ⊆

In+m/In+m+1 nên GI(R) là vành phân bậc Hơn nữa, ta có (GI(R))0 =

I0/I = R/I là vành Noether, do giả thiết R là Noether Vì I là iđêan của

R nên I hữu hạn sinh, giả sử I = (a1, , an), ai ∈ I Khi đó, ai = ai+ I2

là các phần tử thuần nhất bậc 1 của GI(R), ∀ i = 1, n Mặt khác, ta lại

có GI(R) ∼= (R/I)a1 + I2, , an+ I2 Xét toàn cấu vành

Vậy GI(R) là vành phân bậc Noether

(ii) RM(I) là R(I)-môđun Noether Thật vậy, vì In(ImM ) ⊆ In+mM ;

∀ n, m ≥ 0 nên RM(I) là môđun phân bậc

VìM là môđun Noether nênM là hữu hạn sinh, vì thế tồn tạix1, , xn ∈

M sao cho M = Rx1 + · · · + Rxn Khi đó, RM(I) = (x1, , xn), do vậy

RM(I) làR(I)-môđun hữu hạn sinh MàR(I)là vành Noether nên RM(I)

là R(I)-môđun Noether

10

Trang 13

Tương tự ta có GI(M ) = (x1, , xn) với xi = xi+ IM, ∀ i = 1, n Khi

đó GI(M ) là GI(R)-môđun hữu hạn sinh Theo (i) ta có GI(R) là vànhNoether nên GI(R) là GI(R)-môđun Noether

R+ là một iđêan của R và ta có tính chất quan trọng sau đây

Định lý 1.2.13 Cho R là vành phân bậc Khi đó, các điều kiện sau làtương đương:

(i) ⇒ (ii) Ta có R0 = R/R+ Do R là vành Noether và R+ là iđêancủa R nên vành thương R0 là vành Noether

Do ta luôn có đơn cấu vành f : R0 → R nên R được coi là một R0-đại

số Ta sẽ chứng minh R là hữu hạn sinh trên R0 Thật vậy, vì R+ là iđêancủaR nênR+ là hữu hạn sinh Giả sử R+ = (x1, x2, , xs), trong đó mỗi

xi là một thành phần thuần nhất bậc ki, i = 1, s và các ki đều dương vì

n>0Rn Đặt R0 = R0[x1, x2, , xs] Ta sẽ chứng minh R0 = R.Hiển nhiên R0 ⊆ R Ta chứng minh R ⊆ R0 bằng cách chỉ ra rằng

Rn ⊆ R0 với mọi n, bằng quy nạp theo n

Với n = 0, ta có R0 ⊆ R0[x1, x2, , xs] = R0 Vậy khẳng định đúng.Giả sử Ri ⊆ R0, ∀ i < n Ta sẽ chứng minh Rn ⊆ R0 Thật vậy, lấy

(degy = n) vàxi ∈ Rki(deg xi = ki), suy ra ai ∈ Rn−ki, mà các ki > 0 nên

n − ki < n Theo giả thiết quy nạp thì các ai ∈ R0 = R0[x1, x2, , xs] do

11

Trang 14

(ii) ⇒ (i) Giả sử R0 là vành Noether và R = R0[a1, , an] là đại sốhữu hạn sinh Theo Định lý cơ sở Hilbert, ta có vành đa thứcR0[x1, , xn]

là Noether Xét toàn cấu vành

ϕ : R0[x1, x2, xn] → R0[a1, a2, , an] = R

f (x1, x2, , xn) 7→ f (a1, a2, , an)

Khi đó R ∼= R0[x1, , xn] /Kerϕ Vậy R là vành Noether

Mệnh đề 1.2.14 ChoRlà vành Artin, xét vành đa thứcm biếnR[x1, , xm]

với hệ số trong R Khi đó với Rn = { f ∈ R |f là đa thức thuần nhấtbậc n } thì `R(Rn) = `(R) m+n−1m−1 Đặc biệt, khi R là một trường thì

`R(Rn) = m+n−1m−1

Chứng minh Ta biết rằng số các đơn thức bậc n của R[x1, , xm] là

t = m+n−1m−1 Gọi các đơn thức này là f1, , ft Xét các môđun Ai = (fi),

∀ i = 1, , t Khi đó ta có Rn = ⊕t

i=1

Ai Theo chú ý 1.1.2(c), bằng chứngminh quy nạp ta được `R(Rn) =

t

P

i=1

`R(Ai).Mặt khác ta có dãy hợp thành của R là 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ A` = R,với ` = `(R) Khi đó dãy các môđun con của Ai là

0 = A0 ⊂ A1fi ⊂ ⊂ A`fi = Ai, ` = `(R) (∗)

Vì Aj+1fi/Ajfi ∼= A

j+1Aj nên Aj+1fi/Ajfi là các môđun đơn với mọi

i = 1, 2, , t và j = 1, 2, , ` Khi đó (∗) là dãy hợp thành của Ai Do

Trang 15

1.3 Định lý Artin - Rees và các hệ quả

Định nghĩa 1.3.1 Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là một

Trang 16

Định lý sau đây đặc trưng cho tính chất I-lọc tốt của (Mn).Định lý 1.3.3 Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữuhạn sinh và (Mn) là một I-lọc của M Khi đó, các điều kiện sau là tươngđương:

Do đóQn hữu hạn sinh, giả sửQn = y1R+· · ·+ykRnênMn∗ là môđun conhữu hạn sinh củaM∗ trên vànhR(I) = ⊕

n≥0In,Mn∗ = y1R(I)+· · ·+ykR(I)

n0, ∀ m ≥ 1

Đây chính là điều kiện I-lọc tốt của (Mn).Định lý 1.3.4 (Định lý Artin-Rees) Cho R là một vành Noether, I làmột iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, (Mn) là I-lọc tốt và M0

là một môđun con của M Khi đó, tồn tại một số nguyên k sao cho

InM ∩ M0 = In−k IkM ∩ M0, ∀ n ≥ k (∗)

14

Trang 17

Chứng minh Đẳng thức (*) chứng tỏ lọc (InM ∩ M0)n≥0 các môđun concủa M là I-lọc tốt.

Theo Định lý 1.3.3, (InM ∩ M0)n≥0 làI-lọc tốt nếu và chỉ nếu ⊕

Chứng minh Do N = InM ∩ N nên theo Định lý Artin-Rees thì tồn tại

r > 0 sao cho N = InM ∩ N = In−rM (IrM ∩ N ), ∀ n > r Khi đó

Hệ quả 1.3.6 Nếu R là một miền nguyên Noether, I 6= (1) là một iđêancủa R thì ∩

n≥0In = 0.Chứng minh Coi R như là một R-môđun, đặt N = ∩

n≥0In = ∩

n≥0InR.Theo Định lý Giao, IN = N (1) Do N là iđêan của vành Noether R nên

N hữu hạn sinh, giả sử N = (x1, x2, , xn) Khi đó, từ (1) ta có

Trang 18

Xét định thức của hệ (2):D = 1−a vớia ∈ I VìI 6= (1)nên 1−a 6= 0,

do đó D 6= 0 Vì R là miền nguyên nên từ xiD = 0, ∀ i = 1, n, vì thế

xi = 0, ∀ i = 1, n Vậy N = (x1, , xn) = 0

Hệ quả 1.3.7 (Định lý Giao Krull) NếuRlà một vành Noether, I là iđêan

n≥0InM = 0

16

Trang 19

Chương 2

Đa thức Hilbert và bội

2.1 Định lý đa thức Hilbert

Cho A là vành Artin (do đó A là Noether) Ta có `A(A) < ∞ Đặt

B = A[x1, , xm], tức B là A-đại số hữu hạn sinh Bn là tập tất cả các

đa thức thuần nhất bậc n Khi đó B = ⊕

n≥0

Bn Cho M = ⊕

n≥0

Mn là một

B-môđun phân bậc hữu hạn sinh, thì Mn là A-môđun

Khi đó ta có mệnh đề về độ dài của Mn như sau

Mệnh đề 2.1.1 Cho A, B và M như trên, ta có `A(Mn) < ∞

Chứng minh Do M là B-môđun phân bậc hữu hạn sinh nên giả sử M =

y1B + · · · + ykB Khi đó ta có thể giả thiết thêm y1, , yk là các phần tửthuần nhất có bậc lần lượt là d1, , dk, tức là y1 ∈ Bd1, , yk ∈ Bdk.Đặt ϕ : ⊕k

Trang 20

Theo mệnh đề trên độ dài của Mn luôn là hữu hạn, hơn nữa nó còn làmột hàm đa thức với hệ số hữu tỷ được chỉ ra trong định lý sau đây.

Định lý 2.1.2 (Định lý đa thức Hilbert) Cho A là vành Artin Đặt B =A[x1, , xm], khi đó B = ⊕

n≥0Bn là vành phân bậc với B0 = A, Bn là tậptất cả các đa thức thuần nhất bậc n Cho M = ⊕

n≥0Mn là một B-môđunphân bậc hữu hạn sinh Khi đó tồn tại một đa thức hệ số hữu tỷ PM(n)

sao cho `A(Mn) = PM(n) với n đủ lớn

Chứng minh Ta chứng minh định lý đúng cho tất cả các môđun thương

Với N = M: Định lý hiển nhiên đúng

trong đó N0 là môđun con của M và N0 % N Ta chỉ ra định lý đúng cho

M/N Để đơn giản ta viết FM(n) = `A(Mn) Xét các trường hợp:

(i) N là môđun con khả quy tức là tồn tại N1, N2 là môđun con của M

để N = N1 ∩ N2 với N1, N2 % N

Chú ý rằng N1 + N2/N1 ∼= N

2/N1 ∩ N2.Khi đó ta có

FM/N(n) = FM/N2(n) + FN2/N1∩N2(n)

= FM/N2(n) + FN1+N2/N1(n).Theo giả thiết quy nạp, FM/N2(n);FN1+N2/N1(n) là đa thức với n đủlớn Do vậy, FM/N(n) là một đa thức

18

Trang 21

(ii) N là môđun con bất khả quy Khi đó, AssB(M/N ) = {P }.

Ta kí hiệu M0 = M/N và I = (x1, , xm)B Xét các trường hợp:Trường hợp I ⊆ P: Khi đó ta sẽ chỉ ra (M0)n = 0 với n đủ lớn Thậtvậy, giả sử M0 = y1B + · · · + ykB với yi ∈ Md0

i, deg(yi) = di, ∀ i = 1, k.Đặt d = max {d1, , dk} Ta thấy Md+n0 = InMd0 , ∀ n > 0 Vì,nếu lấy y ∈ Md+n0 thì y =

k

P

i=1

giyi, trong đó gi ∈ B Vì thế deg(gi) =

n + (d − di) , ∀ i = 1, k Do đó ta có biểu diễn gi = hifi trong đó

deg(hi) = n ; deg(fi) = d − di Do deg(hi) = n nên hi ∈ In Khi đó

Định lý đúng cho trường hợp trên

Trường hợp I * P : Tồn tại a ∈ I\P, suy ra a không là ước của khôngcủa M0 Khi đó ta có dãy khớp ngắn

0 → M0 ·a→ M0→ M0/aM0 → 0,cảm sinh dãy khớp

0 → (M0)n−1 → (M0)n → (M0/aM0)n → 0.Chú ý rằng N + aM % N

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại đa thức Q(n) = `A((M/N + aM )n) với

n đủ lớn Ta có FM/N(n) − FM/N(n − 1) = Q(n)

Vậy FM/N(n) là một đa thức có bậc deg Q(n) + 1

Đa thức PM(n) chỉ ra trong định lý trên được gọi là đa thức Hilbert.Chú ý 2.1.3 [3] Với mọi đa thức f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈

19

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	422,2 KB