Đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

Đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

VŨ VIỆT HƯNG

ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER

CHO MÔĐUN ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

VŨ VIỆT HƯNG

ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER

CHO MÔĐUN ARTIN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn

Mục lục 1

Lời nói đầu 3

1 Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc 5 1.1 Môđun phân bậc 5

1.2 Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc 13

2 Đa thức Hilbert và chiều Noether cho môđun Artin 25 2.1 Đa thức Hilbert cho môđun Artin 25

2.2 Chiều Noether cho môđun Artin 33

2.3 Một ứng dụng vào môđun các đa thức ngược 41

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉbảo nghiêm khắc của PGS.TS Lê Thanh Nhàn Nhân dịp này tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, GS.TSKH.Phùng Hồ Hải, GS.TS Nguyễn Quốc Thắng, TS Vũ Thế Khôi và các thầycô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảngdạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường

Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ giáo viên trường PTDT NộiTrú Quản Bạ - Tỉnh Hà Giang nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện đểtôi hoàn thành kế hoạch học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôicả về vật chất và tinh thần để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

Lời nói đầu

Một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh trênvành địa phương là sử dụng các kết quả tương ứng của môđun phân bậchữu hạn sinh trên vành phân bậc Noether Chẳng hạn, với một môđun phânbậc hữu hạn sinh L

n∈Z

n∈Z

rằng nếu (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương và M là R-môđun

iđêan m-nguyên sơ q Hơn nữa, chiều Krull dim M của M chính là bậc

Đối ngẫu với khái niệm chiều Krull dim M là khái niệm chiều Noether

R N Roberts [Ro] với tên gọi ''chiều Krull" và sau đó D Kirby [K2] đổithành chiều Noether để tránh nhầm lẫn Trong bài báo [K1], D Kirby đã

đưa ra một tiêu chuẩn Artin cho các môđun phân bậc và chứng minh tínhchất hàm đa thức của các độ dài của các môđun thành phần thuần nhất vớibậc đủ nhỏ Sử dụng kết quả này, Ông đã chỉ ra rằng với mỗi R-môđunArtin A trên vành địa phương (R, m) và với mỗi iđêan q ⊆ m sao cho

là đa thức Hilbert của A ứng với q Tiếp theo, trong bài báo [Ro], R N.Roberts đã chỉ ra rằng bậc của đa thức này chính là chiều Noether của A

Mục đích của luận văn là trình bày lại tiêu chuẩn Artin cho môđunphân bậc, đồng thời chứng minh lại chi tiết các kết quả về đa thức Hilbert

và chiều Noether cho môđun Artin trong hai bài báo

1 D Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart J.Math Oxford 24 (1973), 47-57

2 R N Roberts, Krull dimension for artinian modules over quasi localcommutative rings, Quart J Math Oxford 26 (1975), 269-273

Luận văn cũng trình bày một số ứng dụng trong việc nghiên cứu tính Artin

và chiều Noether của môđun các đa thức ngược

Luận văn này chia làm 2 chương Phần đầu của Chương I nhắc lại một

số khái niệm và tính chất của môđun phân bậc Phần tiếp theo chứng minhmột tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc Chương II trình bày các kếtquả về đa thức Hilbert và chiều Noether cho môđun Artin trên vành địaphương, đồng thời đưa ra một số ứng dụng trong việc nghiên cứu tính Artin

và chiều Noether của môđun các đa thức ngược

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Tác giả

Vũ Việt Hưng

Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc

1.1 Môđun phân bậc

Mục đích của tiết này là nhắc lại các khái niệm và tính chất cơ sở củavành và môđun phân bậc

1.1.1 Định nghĩa Cho A là nhóm giao hoán với phép toán kí hiệu theo

phần tử a ∈ A đều biểu diễn một cách duy nhất thành một tổng hữu hạn

1.1.2 Định nghĩa Cho S là một vành Ta nói rằng S là vành phân bậcnếu S có sự biểu diễn thành tổng trực tiếp S = L

n∈Z

Chứng minh Để chứng minh S0 là một vành, ta chỉ cần chứng minh phép

phần tử c ∈ L được đồng nhất với phần tử c1 ∈ S Trong trường hợp này ta

Từ nay đến hết chương này, luôn giả thiết S = L

n∈Z

số phân bậc chuẩn

1.1.5 Bổ đề Giả sử S là đại số phân bậc chuẩn Khi đó S là thương của

là vành Noether

1.1.6 Ví dụ Cho K là một trường Kí hiệu S = K[x1, xn] là vành đa

là thuần nhất bậc n nếu f là tổng của hữu hạn từ, mỗi từ đều có bậc n

với mọi n < 0 Chú ý rằng mỗi đa thức trong S đều viết được một cáchduy nhất thành tổng của các từ không đồng dạng Do đó, bằng việc nhómcác từ cùng bậc lại với nhau, mỗi đa thức f ∈ S đều viết được một cáchduy nhất thành tổng của hữu hạn đa thức thuần nhất Suy ra S = L

n∈Z

gọi cách phân bậc như trên của S là phân bậc tự nhiên

(i) I là iđêan thuần nhất

(iii) I có một hệ sinh gồm những phần tử thuần nhất

n∈Z

diễn thành tổng của hữu hạn phần tử thuần nhất nên ta phải có fi = gi với

phải rồi nhóm các hạng tử đồng dạng, ta biểu diễn được f là tổng của cácphần tử thuần nhất, mỗi hạng tử đều thuộc I vì nó là một tổng của hữu

n∈Z

1.1.9 Chú ý Từ chứng minh bổ đề trên ta có các tính chất sau:

(i) Nếu S là vành phân bậc Noether thì một iđêan I của S là thuần nhấtnếu và chỉ nếu I có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thuần nhất

(ii) Tổng của hai iđêan thuần nhất là iđêan thuần nhất

(iii) Giao của hai iđêan thuần nhất là iđêan thuần nhất

Phần tiếp theo, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất củamôđun phân bậc

cộng X thoả mãn X = L

n∈Z

(i) Y là thuần nhất

(iii) Y có một hệ sinh gồm những phần tử thuần nhất

Từ bổ đề xét trên ta cũng thấy rằng tổng của hai môđun con thuần nhất

là một môđun con thuần nhất; giao của hai môđun con thuần nhất là mộtmôđun con thuần nhất

Với mỗi môđun con thuần nhất Y của X, ta có thể xây dựng cấu trúcphân bậc trên môđun thương X/Y như sau

af =

n+kX

j=−m−t

 Xi+j=k

một đẳng cấu Vì thế X/Y có cấu trúc là S-môđun phân bậc

Bây giờ ta định nghĩa khái niệm đồng cấu phân bậc

Cho K là một trường và S = K[x, y] là vành đa thức hai biến trên K.Xét cấu trúc phân bậc tự nhiên trên S, khi đó S là vành phân bậc chuẩn

Phần cuối của tiết này dành để giới thiệu một số loại vành và môđunphân bậc quan trọng được xây dựng xuất phát từ một iđêan I trong vànhgiao hoán R (vành R bất kì, không nhất thiết phân bậc) Nếu R = L

1.1.15 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Đặt R(I) = L∞

Ress của M ứng với I

Trước khi định nghĩa khái niệm vành và môđun phân bậc liên kết, chúng

ta cần xây đựng loại vành và môđun phân bậc lọc

1.1.16 Định nghĩa Cho R là một vành Một dãy giảm

n ≥ 0,và S = L∞

n=0

này, S là một vành phân bậc, được gọi là vành lọc của R ứng với lọc trên

thành một lọc Vành lọc phân bậc của R ứng với lọc này được kí hiệu là

n>0

lọc này được gọi là môđun phân bậc liên kết của M ứng với I và được kí

n>0

1.1.18 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và

là R(I)-môđun phân bậc hữu hạn sinh

Chứng minh Vì R là vành Noether theo giả thiết nên I là iđêan hữu hạn

vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh Do đó nó là vành Noether Vì thế

R(I) là vành Noether Dễ thấy ánh xạ ϕ : R(I) → GI(R) cho bởi

Noether Chứng minh tính hữu hạn sinh cho môđun Ress và môđun phânbậc liên kết là tương tự

1.2 Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc

Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán có đơn vị,

n∈Z

là một S-môđun phân bậc Mục đích của tiết này là trình bày một tiêuchuẩn để S-môđun phân bậc M là Artin Nhắc lại rằng M được gọi làmôđun Artin nếu nó thỏa mãn điều kiện mọi dãy giảm các môđun con đều

Định lí sau đây được viết trong bài báo của D Kirby [K1], là một trong

ba kết quả chính của luận văn

n∈Z

và chỉ nếu tồn tại các số nguyên k, p sao cho

Chứng minh Mệnh đề (ii) là tương tự Mệnh đề (iii) là hiển nhiên.

Cho à là một lớp các R-môđun Ta gọi à là một phạm trù con Serrecủa phạm trù các R-môđun nếu nó thỏa mãn điều kiện: với mỗi dãy khớp

1.2.3 Bổ đề Giả sử à là một phạm trù con Serre của phạm trù các

à ta suy ra N = Im f ∈ à Cho s > 1 Đặt N0 =

s−1Pi=1

Khi đó ta Ker f = 0 Suy ra f : M → N là đơn cấu Ta có dãy khớp

nghĩa của à ta suy ra M ∈ à Cho s > 1 và giả thiết kết quả đã đúng cho

s−1Tj=1

cấu trúc tự nhiên là R/I-môđun với tích vô hướng (r + I)m = rm nếu

ứng ϕ : R/I ì M → M cho bởi ϕ(r + I, m) = rm là ánh xạ, và ta dễkiểm tra được M là R/I-môđun với phép cộng đã có và tích vô hướng là

ánh xạ này

1.2.4 Bổ đề Cho S = R[x1, , xs] là vành đa thức s biến trên R và

n∈Z

với t ≥ 0 Khi đó các phát biểu sau là đúng

là đơn cấu phân bậc bậc 1 với mọi t ≥ 1

là đơn cấu phân bậc bậc t với mọi t ≥ 1

xsy + (0 :M xt−1s R) ∈ Nt−1 Vì vậy, αt là ánh xạ Dễ thấy αt là đồng

n∈Z

môđun con A của M và mỗi t ≥ 0, đặt

Các phát biểu sau là đúng

Chứng minh (i) Với mỗi t ≥ 0, vì A ⊆ B nên

tö b ∈ B \ A, tån t¹i mét sè nguyªn t ≥ 0 (phô thuéc vµo b) sao cho

Lấy xsy + (0 :M xt−1s R) ∈ αt(At), trong đó y = a + a0 với a ∈ A,

ta có dãy giảm như (iii)

r

∞Lr+1

∞L

Suy ra mr+k 0− mr+k0 +1− mr+k0 +2− − mp = 0 Do 0 chỉ viết được mộtcách duy nhất thành tổng các phần tử thuần nhất (các phần tử này đều là

−rM

−∞

−r−1M

−∞

sPi=1

chứng minh phát biểu (c) còn lại, với mỗi số nguyên k 6 n 6 p ta xét

các môđun con của M phải dừng, nghĩa là tồn tại số nguyên u sao cho

trong đó f = P

i≥0

Tiếp theo ta chứng minh điều kiện đủ của Định lý 1.2.1 bằng phương

i=1

sPi=1

điều kiện (a), (b), (c) trong Định lý 1.2.1 đều là Artin Với các R-đồng

Theo Bổ đề 1.2.3 áp dụng cho à là phạm trù các R-môđun Artin, ta suy

n 6 p Đặt

s−1Pi=1

sPi=1

sPi=1

k

pLk

p−iLk−i

s−1Pi=1

Như vậy, Ni thỏa mãn các điều kiện (a), (b), (c) trong Định lý 1.2.1 Do đó

của M Với mỗi t ≥ 0, đặt

Theo Bổ đề 1.2.5 (ii) ta có dãy giảm

mọi t ≥ I và T ≥ i ≥ 0

lại có

V× i ≥ T nªn theo chøng minh trªn ta cã βi(Qi) = βi+1(Qi+1) Suy ra

Đa thức Hilbert và chiều Noether cho

môđun Artin

2.1 Đa thức Hilbert cho môđun Artin

Giả sử f(n) là một hàm theo biến nguyên n ∈ N và nhận giá trị trong N

2.1.1 Định nghĩa Ta nói f(n) là hàm đa thức nếu tồn tại các số nguyên

dX

i=0

n + ii



thì ta nói f có bậc −1

Bằng quy nạp theo d, ta dễ dàng kiểm tra được tính chất sau

f (n) =

dX

i=0

n + ii



d0X

i=0

n + ii



bi

định duy nhất

2.1.3 Bổ đề Giả sử f(n) là một hàm theo biến nguyên n ∈ N Đặt

chỉ nếu ∆f(n) là hàm đa thức bậc d − 1

Chứng minh Giả sử f(n) =

dX

i=0

n + ii

i=0

n + ii



dX

i=1

(n + i − 1)!

d−1X

j=0

n + jj

j=0

n + jj

j=0

n + jj

j=0

n + jj



=

d−1X

j=0

n + jj



d−1X

2.1.4 Hệ quả Giả sử f1(n) và f2(n) là hai hàm thỏa mãn điều kiện

Chứng minh Ta chứng minh hệ quả này bằng quy nạp theo d Giả sử d =

phải chứng minh

Trong kết quả tiếp theo ta giả thiết à gồm các R-môđun có độ dài hữuhạn Rõ ràng à là phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun và nếu

n∈Z

hiệu às như trên, nếu M ∈ às thì hàm f(n) = `R(M−n), trong đó n ∈ N,

là một hàm đa thức bậc không quá s − 1

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo s Với s = 0 thì theo định

nó là −1 6 0 − 1 = s − 1 Kết quả đúng trong trường hợp này

theo giả thiết quy nạp, g(n) và h(n) là các hàm đa thức bậc không quá

đa thức bậc không quá s − 2 Dễ thấy rằng tổng (hiệu) của hai hàm đathức bậc không quá s − 2 là hàm đa thức bậc không quá s − 2 Do đó

nếu và chỉ nếu có các số nguyên k 6 p sao cho

(x1, , xs)R) = 0 với mọi n < k Vì M ∈ às nên theo Định nghĩa của

Ngược lại, giả sử các điều kiện (a), (b), (c) thỏa mãn Ta chứng minh

(a') (0 :M n xsR) = 0 và Mn/xsMn−1 = 0 với mọi n > p;

2.1.7 Bổ đề Giả sử A là R-môđun Artin Khi đó với mỗi iđêan I của R,

với mọi n ≥ 0

Inm = 0 Do đó m ∈ (0 :A In) Vậy, (0 :A Jn) = (0 :A In) với mọi

Định lí sau đây, là kết quả chính thứ hai của luận văn này, chỉ ra rằng nếu

2.1.8 Định lý Cho A là R-môđun Artin và I là một iđêan của R Nếu

phần tử m = m + 0 :A I−n ∈ Mn sao cho xim = 0 thì theo định nghĩa

sPi=1

sPi=1

ta có f(n) − f(n − 1) = g(n) với mọi n ≥ 1 Theo chứng minh trên, g(n)

là hàm đa thức bậc không quá s

của môđun Artin A ứng với iđêan I

2.2 Chiều Noether cho môđun Artin

2.2.1 Chú ý Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là một vành giao hoánvới iđêan cực đại duy nhất m (vành R không nhất thiết là vành Noether), A

là R-môđun Artin Trước hết, ta định nghĩa chiều Noether cho R-môđuntùy ý M (không nhất thiết Artin).

Từ định nghĩa chiều Noether ta dễ kiểm tra được

với mọi n ≥ n1 Do đó áp dụng giả thiết quy nạp cho dãy khớp trên ta có

trúc tự nhiên là R/m-môđun Artin, và vì thế nó là R/m-không gian véc tơ

n−1Pi=0

và vì thế N-dim A = 0

Phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng chiều Noether của A là bậccủa đa thức Hilbert của A, và cũng là số t bé nhất sao cho có t phần tử

2.2.4 Định nghĩa Chiều Krull cổ điển của một R-môđun Artin A 6= 0, kí

2.2.5 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng.

tự nhiên là R/m-môđun Artin và do đó nó là R/m-không gian véc tơ hữu

hệ sinh hữu hạn của I

Vì A là Artin nên dãy giảm A ⊆ IA ⊆ IA ⊆ phải dừng, tức là tồn

i=1

Rõ ràng ϕ là đồng cấu các R-môđun và

m

⊕i=1

Vì thế lại theo Bổ đề 2.2.5(ii) ta có

2.1.8, f(n) là hàm đa thức Kí hiệu d = d(A) là bậc của f(n) Khi đó tồn

dPi=0

n + ii



ai

k ≥ d

Chøng minh Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt A0 lµ m«®un

§Þnh lÝ sau ®©y, lµ mét trong 3 kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n, chØ ra r»ng

2.2.8 §Þnh lý Víi mçi R-m«®un Artin A ta cã

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh deg fA(n) 6 cl-dimRA Giả sử

n

cho

d = 0 Khi đó fA(n) = `R(0 :A mn) là một hằng số khi n đủ lớn Suy ra

có bậc không quá d Vì xA = A nên ta có dãy khớp 0 → (0 :A x) →

2.3 Một ứng dụng vào môđun các đa thức ngược

Khái niệm môđun các đa thức ngược đã được đưa ra bởi Macaulay và đã

được đề cập đến trong bài báo của Kirby [K1] Trong phần ứng dụng này,chúng ta sẽ sử dụng các Định lí 1.2.1 và 2.2.8 để nghiên cứu tính Artin vàchiều Noether của môđun các đa thức ngược

2.3.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Một biểu thức có dạng m =

dương với mọi k = 1, 2, , s và bằng 0 trong trường hợp ngược lại Khi

Định lí cơ sở Hilbert phát biểu rằng nếu R là vành Noether thì vành đa

ta trình bày các kết quả đối ngẫu với những kết quả đó cho môđun Artin.2.3.2 Định lý Cho A 6= 0 là R-môđun Artin Khi đó

là tập các đa thức ngược thuần nhất bậc n Rõ ràng B = L

các từ ngược bậc n Với mỗi k ∈ {1, , t} cố định, vì n < 0 nên trong

Với n = 0, ta có B0 = A là R-môđun Artin Do đó, theo Định lí 1.2.1

áp dụng cho các số p = 0 = k, ta suy ra B là S-môđun (phân bậc) Artin.(ii) Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp s = 1 Đặt

thừa hình thức một biến x với hệ số trên R Với mỗi m ∈ B, gọi −n 6 0

n

m =

nX

i=0

nX

nX

Kết luận

Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách hệ thống với các chứngminh đầy đủ, chi tiết các kết quả về đa thức Hilbert và chiều Noether chomôđun Artin trong hai bài báo:

[K1] D Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart J.Math Oxford, (2) 24 (1973), 47-57

[Ro] R N Roberts, Krull dimension for Artinian modules over local commutative rings, Quart J Math Oxford, 26 (1975), 269-273

quasi-Cụ thể, luận văn bao gồm các nội dung chính sau đây

minh một tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc (Định lí 1.2.1)

2.1.8)

biến với hệ số trên một môđun Artin A (Định lí 2.3.2)

[C] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số hiện đại tập I, Nhà xuất bản

[K1] D Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart J.Math Oxford, (2) 24... dimension for Artinian modules over local commutative rings, Quart J Math Oxford, 26 (1975), 269-273

quasi-Cụ thể, luận văn bao gồm nội dung sau

minh tiêu chuẩn Artin cho môđun phân...

minh tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc (Định lí 1.2.1)

2.1.8)

biến với hệ số mơđun Artin A (Định lí 2.3.2)