Đa thức hilbert và các hệ số của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ MINH HUỀ

ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ MINH HUỀ

ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM HÙNG QUÝ

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùnglặp với các luận văn trước đây Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõnguồn gốc

Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016

Tác giả luận văn

TRẦN THỊ MINH HUỀ

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên.Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâusắc tới TS Phạm Hùng Quý, thầy là người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiêncứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, côngsức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học vàĐại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượtqua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, KhoaSau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi đểtôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016

Tác giả luận văn

TRẦN THỊ MINH HUỀ

2.1 Vành và môđun Cohen-Macaulay 212.2 Số bội Hilbert-Samuel và tính Cohen-Macaulay 252.3 Hệ số Chern của iđêan tham số 29

có ℓ(M/I n+1 M) là một đa thức theo n khi n đủ lớn, và được gọi là đa thức Hilbert của

M theo I Bậc của đa thức Hilbert và các hệ số của nó cho ta biết về độ lớn và sự phức

tạp của môđun hay của đa tạp đại số Chính vì vậy, chúng tôi đặt mục tiêu tìm hiểu một

số kết quả ban đầu của đa thức Hilbert Phần lớn nội dung của luận văn được trình bàytheo cuốn sách Commutative Ring Theory của Hideyuki Matsumura Chúng tôi cũng

trình bày một vài kết quả gần đây về hệ số Chern, e1(q, M), của đa thức Hilbert Luận

văn được chia thành hai chương

Chương 1: Phần đầu chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về vành và môđunphân bậc, định lý Artin-Rees Đây là những kiến thức cơ sở cho các phần tiếp theo.Các phần tiếp theo trình bày khái niệm và một số tính chất của đa thức Hilbert, số bộiHilbert-Samuel, và một vài tính chất của nó

Chương 2: Trình bày một số kiến thức cơ bản về vành và môđun Cohen-Macaulay,đặc trưng tính Cohen-Macaulay qua số bội của hệ tham số, và chứng minh tính khôngdương của hệ số Chern của iđêan tham số

Chương 1

ĐA THỨC HILBERT

1.1 Vành và môđun phân bậc

Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét R là một vành giao hoán có đơn vị Ta bắt đầu với

các khái niệm vành và môđun (N)-phân bậc

(R n , +) là các nhóm con abel của (R, +) và thỏa mãn tính chất R i R j ⊆ R i+ j, với mọi

i, j ≥ 0 Một phần tử x ∈ R i được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, và R i được gọi là thành

M n , trong đó (M n , +) là các nhóm con abel của (M, +) và

R i M j ⊆ M i+ j , với mọi i, j ≥ 0 Một phần tử x ∈ M i được gọi là phần tử thuần nhất bậc

i, và M i được gọi là thành phần thuần nhất bậc i của M.

(iii) Cho M là một R-môđun phân bậc, N là môđun con của M Ta nói N là môđun

con phân bậc của M nếu N = ∞

⊕

n=0

(N ∩ M n)

Nếu R là một vành phân bậc thì cũng là một R-môđun phân bậc Khi đó I là một iđêan

phân bậc (thuần nhất) của R nếu I là một iđêan của R thỏa mãn I = ∞

⊕

n=0

(I ∩ R n)

Mệnh đề 1.1.2 Cho N là một môđun con của môđun phân bậc M trên vành phân bậc

R Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) N là môđun con phân bậc của M.

(ii) Với mọi x ∈ N, x = ∑x i là một biểu diễn thuần nhất của x với x i ∈ M i , khi đó ta

có x i ∈ N với mọi i.

(iii) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất.

Ví dụ 1.1.3. (1) Xét vành đa thức R = k[x1, , x n ], k là một trường Khi đó R có phân bậc R = ∞

⊕

n=0

R n , với R0 = k và R n là tập các đa thức thuần nhất bậc n của R.

(2) Một vành R tùy ý là một vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ∞

M n với M0= M và M n = 0 với mọi n > 0.

Định nghĩa 1.1.4. Cho I là một iđêan của R và M là một R-môđun Khi đó

Ta dễ dàng kiểm tra được phép nhân này không phụ thuộc vào cách chọn đại diện và

phép nhân đó làm G I (R) trở thành một vành phân bậc Ta nói G I (R) là vành phân bậc

liên kết của R đối với I.

là một G I (R)-môđun phân bậc và được gọi là môđun phân bậc liên kết của M đối với I.

Định lý dưới đây cho ta đặc trưng tính Noether của một vành (N)-phân bậc

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Ký hiệu R+= ⊕

n>0

R n là iđêan thuần nhất của R Vì R là Noether nên R+ là hữu hạn sinh, suy ra tồn tại a1, , a n ∈ R sao cho R+ = (a1, , a n) Mặt

khác R+ là iđêan thuần nhất của R nên ta có thể giả thiết được là a i thuần nhất có bậc

là n i > 0 Đặt R ′ là vành con của R sinh bởi a

a i b i , trong đó b i ∈ R m+1 −n i với mọi i = 1, , n Vì n i > 0 nên m + 1 −n i ≤ m

với mọi i = 1, , n Theo giả thiết quy nạp ta có b i ∈ R ′ , với mọi i = 1, , n do đó

R m+1 ⊆ R ′ Vậy R = ⊕

m ≥0 R m ⊆ R ′ nên R = R ′ Hơn nữa ta có R

0∼ = R/R+là vành Noether.(ii) ⇒ (i) Từ giả thiết (ii) suy ra R có dạng R = R0 [a1, , a n ], a i ∈ R, với mọi

i = 1, , n Khi đó tồn tại một toàn cấu vành

φ : R0[x1, , x n]−→ R0 [a1, , a n]

f [x1, , x n]7−→ f [a1 , , a n ].

Theo định lý cơ sở Hilbert ta có R0[x1, , x n] là Noether Nên

R0[a1, , a n ] ∼ = R0[x1, , x n ]/ Kerφ

là vành Noether Vậy R là Noether.

Hệ quả sau cho ta tính chất Noether của vành Rees và vành phân bậc liên kết

Hệ quả 1.1.6 Cho R là một vành Noether và I là một iđêan của R Khi đó

(i) ℜI (R) và G I (R) là các vành phân bậc Noether.

(ii) Với M là một R-môđun Noether thì ℜI (M) là mộtℜI (R)-môđun Noether, G I (M)

là một G I (R)-môđun Noether.

Định nghĩa 1.1.7. (i) Một dãy giảm các iđêan trong vành R

R = I0⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ I n ⊇ · · · (∗)

được gọi là lọc các iđêan nếu I n I m ⊆ I n+m , với mọi n, m ≥ 0.

(ii) Cho M là một R-môđun Một dãy giảm các môđun con của M

M = M0⊇ M1 ⊇ · · · ⊇ M n ⊇ · · · (∗∗)

gọi là một lọc tương thích với lọc các iđêan ( ∗) nếu I n M m ⊆ M n+m , với mọi n, m ≥ 0.

(iii) Xét I là một iđêan của R Khi đó {I n } n ≥0 là một lọc ta gọi nó là lọc I-adic.

(iv) Xét Một lọc các môđun con (∗∗) tương thích với lọc I-adic và tồn tại số nguyên

dương n0sao cho M n+1 = IM n với mọi n ≥ n0 Khi đó ta nói lọc các môđun con này là

một I-lọc tốt.

Chú ý 1.1.8. (i) Cho một lọc các iđêan (∗) của R Khi đó ta xây dựng được các vành

phân bậc ⊕

n ≥0 I n và ⊕

n ≥0 I n /I n+1với phép nhân tương tự như vành Rees và vành phân bậc

liên kết của R đối với I Trong trường hợp lọc I-adic ta sẽ thu được vành Rees và vành phân bậc liên kết của R đối với I.

(ii) Với lọc các môđun con (∗∗) tương thích với lọc các iđêan (∗) thì ta có ⊕

Định lý 1.1.9 Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R Xét M là một R-môđun

hữu hạn sinh, và {M n } n ≥0 là một lọc các môđun con của M tương thích với lọc I-adic Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

Hệ quả 1.1.10. (Định lý Artin-Rees) Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun

hữu hạn sinh, N là một môđun con của M, và I là một iđêan của R Khi đó tồn tại r > 0 sao cho

là một I-lọc tốt Nên tồn tại r > 0 sao cho I n M ∩N = I n −r (I r M ∩N) với mọi n ≥ r.

Hệ quả 1.1.11 Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R và M là một R-môđun

hữu hạn sinh Đặt N = ∩

n ≥0 I

n M Khi đó IN = N.

Hệ quả 1.1.12. (Định lý giao Krull) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của

R và M là một R-môđun hữu hạn sinh Giả sử I ⊆ J(R) (J(R) là căn Jacobson của R) Khi đó ∩

Ta cần tính chất dưới đây của môđun có độ dài hữu hạn trong bài sau

Mệnh đề 1.1.13 Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

các khẳng định sau là tương đương:

R-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì M n là R0-môđun hữu hạn sinh với mọi n ≥ 0 Hơn

nữa nếu R0 là vành Artin, theo Mệnh đề 1.1.13 ta có ℓ(M n ) < ∞, trong đó ℓ kí hiệu độ

dài của một R0-môđun Trong trường hợp ℓ(M n ) < ∞ với mọi n ≥ 0, ta định nghĩa chuỗi

Hilbert P(M,t) của M bởi công thức sau:

M n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Giả sử R = R0[x1, , x r ] với x i là phần

tử thuần nhất bậc d i , và P(M,t) là chuỗi Hilbert của M Khi đó P(M,t) là một hàm hữu

tỷ của t, và có thể viết được dưới dạng

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo r Nếu r = 0 thì R = R0, nên M n= 0

với n ≫ 0 Do đó chuỗi lũy thừa P(M,t) là một đa thức Giả sử r > 0, với mỗi n ≥ 0 ta

xét đồng cấu R0-môđun f : M n −→ M x r n+d r Đặt K n = Ker f và L n+d r = Coker f Ta có

dãy khớp ngắn sau

0→ K n → M n

x r

−→ M n+d r → L n+d r → 0.

Đặt K = ⊕K n và L = ⊕L n Khi đó K là môđun con của M và L = M/x r M, vì vậy K và

L là các R-môđun hữu hạn sinh Hơn nữa x r K = x r L = 0 nên K và L được xem là các R/x r R-môđun Theo quy nạp ta có P(K,t) và P(L,t) là các hàm hữu tỷ có dạng như

phát biểu định lý Từ dãy khớp ngắn trên suy ra

với g(t) ∈ Z[t] Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Nhiều thông tin quan trọng về ℓ(M n) có thể được suy ra từ định lý trên Trường hợp

đặc biệt d1=· · · = d r = 1 thì P(M,t) = f (t)(1 −t) −r Sau khi giản ước nhân tử (1−t)

của f (t) (nếu có) ta có thể viết P(M,t) dưới dạng

P(M,t) = f (t)(1 −t) −d với f ∈ Z[t],d ≥ 0,

= 0 nếu m < d − 1.Vế phải của (∗) có thể được sắp sếp lại như một

đa thức của n với hệ số hữu tỷ Ta kí hiệu đa thức đó là P M (n) thì

trùng với đa thức m(m − 1) (m − d + 2)/(d − 1)! với m ≥ 0 Áp dụng điều

này ta có hệ quả sau

M n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Giả sử R = R0[x1, , x r ] với x i là phần

tử thuần nhất bậc 1, và d = d(M) kí hiệu như trên Khi đó tồn tại đa thức với hệ số hữu

tỷ bậc d − 1, P M (n), sao cho với n ≥ s − d + 1 ta có ℓ(M n ) = P M (n) với s là bậc của đa

thức (1 −t) d P(M,t).

Đa thức P M (n) được gọi là đa thức Hilbert của môđun phân bậc M.

Mệnh đề 1.2.3 Cho A là một vành Artin, R = A[x1, , x m ] là vành đa thức trên A của

x1, , x m Khi đó R n={ f ∈ A[x1 , , x m]| f là đa thức thuần nhất bậc n } Ta có

các đơn thức này là f1, , f t Xét các môđun A i = ( f i) với mọi 1≤ i ≤ t Khi đó ta

Vì A j+1 f i /A j f i ∼ = A j+1 /A j nên A j+1 f i /A j f i là các môđun đơn với mọi i = 1, 2, ,t và

j = 1, 2, , ℓ Suy ra (*) là dãy hợp thành của A i Vì vậy ℓ(A i ) = ℓ(A) Do đó

(điều này tương đương với I + Ann M là một iđêan m-nguyên sơ).

Cho (R, m) là một vành địa phương Noether M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan định nghĩa của M Thay R bởi R/ Ann M ta có thể coi I là m-nguyên sơ Xét môđun phân bậc liên kết của M đối với I

0[ ¯x1, , ¯ x k], ¯x i = x i + I2 ∈ I/I2 Tương tự, nếu M = Rω1+ + Rωs thì M ′ =

R ′ω¯1+ + R ′ω¯s (với ωi là ảnh của ω trong M ′

0 = M/IM) Vì vậy ta có thể áp dụng Định lý 1.2.1 cho M ′ Chú ý rằng ℓ(M ′

n ) = ℓ(I n M/I n+1 M) (ở đây hàm ℓ ở vế trái như là

(

m − 1 n

)

+ a1

(

d + n − 1 d

)

+ + a s

(

d + n − s d

)

,

với a i ∈ Z Khi n ≥ s−d thì ℓ(M/I n+1 M) là một đa thức bậc d của n, ta kí hiệu đa thức

đó là P M,I (n) Đa thức P M,I (n) được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M đối với I.

Chú ý 1.2.5. Nếu f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈ Z, với mọi n ∈ Z và deg f (n) = d.

Khi đó, tồn tại các số nguyên a0̸= 0,a1 , , a d sao cho

f (n) = a0

(

n + d d

là hệ số Chern của M đối với I.

Chú ý 1.2.6. Vì (I + Ann M)M = IM nên (I + Ann M) n+1 M = I n+1 M Do đó với iđêan

định nghĩa J bất kì của M thỏa mãn tính chất I ⊆ J ⊆ I + AnnM ta có

P M,I (n) = P M,I+Ann M (n) = P M,J (n).

Mệnh đề 1.2.7 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M là một R-môđun hữu

hạn sinh Khi đó bậc của đa thức Hilbert-Samuel P M,I (n) không phụ thuộc vào cách

chọn iđêan định nghĩa I.

Chứng minh Giả sử I, J là hai iđêan định nghĩa của M, ta chứng minh

deg P M,I (n) = deg P M,J (n)

Thật vậy, vì I và J là các iđêan định nghĩa của M nên I + Ann M và J + Ann M là những iđêan m-nguyên sơ Do đó tồn tại t sao cho m t ⊆ (I + AnnM) Nên J t ⊆ m t ⊆

(I + Ann M) Vì vậy theo Chú ý 1.2.6 suy ra

ℓ(M/I n+1 M) = ℓ(M/(I + Ann M) n+1 M) ≤ ℓ(M/J t(n+1) M)

hay P M,I (n) ≤ P M,J (tn + t − 1) với mọi n ≫ 0 Vậy degP M,I (n) ≤ degP M,J (n) Vì I,

J có vai trò như nhau nên ta cũng có deg P M,J (n) ≤ degP M,I (n) Vậy deg P M,I (n) = deg P M,J (n).

Vậy bậc của đa thức Hilbert-Samuel P M,I (n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I Do đó ta có thể kí hiệu d = d(M).

Mệnh đề 1.2.8 Cho (R, m) là một vành Noether địa phương và

0→ M ′ −→ M −→ M ′′ → 0

là một dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh Xét I là một iđêan định nghĩa của M Khi đó

(i) d(M) = Max (d(M ′ ), d(M ′′ )).

(ii) Hệ số cao nhất của P M,I (n) − P M”,I (n) và của P M ′ ,I (n) bằng nhau.

(iii) deg(P M,I (n) − P M ′ ,I (n) − P M ′′ ,I (n)) < deg P M ′ ,I (n).

Chứng minh Ta có thể xem M ′′ = M/M ′ Khi đó M ′′ /I n+1 M ′′ = M/(M ′ + I n+1 M) nên

ℓ(M/I n+1 M) = ℓ(M/M ′ + I n+1 M) + ℓ(M ′ + I n+1 M/I n+1 M)

= ℓ(M ′′ /I n+1 M ′′ ) + ℓ(M ′ /M ′ ∩ I n+1 M).

Đặtφ(n) = ℓ(M ′ /M ′ ∩ I n+1 M) Với n ≫ 0 ta có P M,I (n) = P M ′′ ,I (n) + φ(n) (1) Theo định lý Artin-Rees, tồn tại một số c > 0 sao cho

M ′ ∩ I n+1 M = I n+1 −c (I c M ∩ M ′)

với mọi n + 1 > c Do M ′ ⊆ M nên ta có

I n+1 M ′ ⊆ I n+1 M ∩ M ′ = I n+1 −c (I c M ∩ M ′)⊆ I n+1 −c M ′ .

Vậy với n ≫ 0 ta có P M ′ ,I (n) ≥ φ(n) ≥ P M ′ ,I (n − c) (2)

Chú ý rằng φ(n) = ℓ(M ′ /I c M ∩ M ′ ) + ℓ(I c M ∩ M ′ /I n+1 −c (I c M ∩ M ′)) nên hiển nhiên

φ(n) là một đa thức theo n khi n ≫ 0.

(i) Từ (1) ta có deg P M,I (n) = Max {degP M ′′ ,I (n), deg φ(n)}, suy ra

d(M) = Max {d(M ′′ ), deg φ(n)} (3)

Từ (2) ta có degφ(n) = d(M ′′) Kết hợp với (3) ta được

d(M) = Max {d(M ′ ), d(M ′′)}.

(ii) Từ (1) ta có P M,I (n) − P M ′′ ,I (n) = φ(n) Do vậy hệ số cao nhất của φ(n) và

P M,I (n) − P M ′′ ,I (n) là bằng nhau và bằng hệ số cao nhất của P M ′ ,I (n) (do (2)).

(iii) Từ (1) và (2) ta có

deg(P M,I (n) − P M ′ ,I (n) − P M”,I (n)) = deg( φ(n) − P M ′ ,I (n)) ≤ degP M ′ ,I (n).

Kết hợp với (ii) ta được

deg(P M,I (n) − P M ′ ,I (n) − P M”,I (n)) < deg P M ′ ,I (n).

Tiếp theo ta liên hệ bậc của đa thức Hilbert-Samuel với các khái niệm về chiều củamôđun

Định nghĩa 1.2.9. (i) Cho R là một vành giao hoán Một dãy giảm các iđêan nguyên tố

p0⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ p n của R được gọi là một xích nguyên tố có độ dài là n.

(ii) Cho p là một iđêan nguyên tố của R Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht p,

Với M là một R-môđun hữu hạn sinh thì chiều của M được xác định bởi

dim M = dim(R/ Ann M).

Mệnh đề 1.2.10 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu

hạn sinh và dim M = d Khi đó tồn tại x1, , x r ∈ m, r ≤ d sao cho

Theo định lý tránh nguyên tố tồn tại x ∈ m \ ∪k

Xét p∈ Ass R (M) sao cho dim M = dim R/p thì x ∈ p và√Ann(M) ⊆ p Do đó, tồn tại

i ∈ {1,2, ,k} sao cho p i ⊂ p, nên dim(R/p i ) > dim(R/p), ta được dim M > dim M Do

đó ta có dim M ≤ d − 1 Áp dụng giả thiết quy nạp cho M = M/xM, tồn tại x1 , , x s ∈

m, s ≤ d − 1 sao cho ℓ(M/(x1 , , x s )M) < ∞ Do đó ℓ(M/(x,x1, , x s )M) <∞.Vậy mệnh đề được chứng minh

Định nghĩa 1.2.11. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh Ta định nghĩa chiều Chevalley của M là

δ(M) = Min{r|∃x1, , x r ∈ m,ℓ(M/(x1 , , x r )M) < ∞}.

Dưới đây, ta chứng minh định lý quan trọng của Krull về số chiều

Định lý 1.2.12 Cho (R, m) là một vành Noether địa phương và M là một R-môđun hữu

hạn sinh Khi đó dim M = d(M) = δ(M).

Chứng minh Ta sẽ chứng minh dim M ≥ δ(M) ≥ d(M) ≥ dimM.

Bước 1 Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có dim M ≥ δ(M).

Bước 2 Ta chứng minhδ(M) ≥ d(M) Giả sử δ(M) = r, suy ra tồn tại x1, , x r ∈ m

x1m + x1M ∩ I n+1 M 7−→ m + (I n+1 M : x1).

Dễ dàng kiểm tra đây là đẳng cấu môđun, do đó

P (M/x1M),I (n) = ℓ(M/I n+1 M) − ℓ(M/(I n+1 M : x1)).

Mà I n M ⊆ (I n+1 M : x1), nên

P (M/x1M),I (n) ≥ ℓ(M/I n+1 M) − ℓ(M/I n M) = P M,I (n) − P M,I (n − 1).

Vậy deg P (M/x1M),I (n) ≥ degP M,I (n) − 1.

Bằng quy nạp theo r ta được 0 = deg(P M ′ ,I (n)) ≥ degP M,I (n) − r hay

δ(M) = r ≥ degP M,I (n) = d(M).

Bước 3 Cuối cùng ta chứng minh d(M) ≥ dimM Trước hết ta chứng minh cho

M = R bằng quy nạp theo d(R) Nếu d(R) = 0 thì ℓ(R/m n ) là hằng số khi n ≫ 0 Nên

mn= mn+1=· · · Theo Hệ quả 1.1.12 ta có ∩

n ≥0m

n = 0 nên mn = 0 với n ≫ 0 Vì vậy,

theo Mệnh đề 1.1.13 ta có dim R = 0 Giả sử d(R) > 0 Nếu dim R = 0 thì ta có bất đẳng thức d(R) ≥ dimR Nếu dimR = k > 0, tồn tại xích nguyên tố của R là

= Max{d(R/p n ), , d(R/p1)} ≥ dimM.

Vậy d(M) = δ(M) = dimM.

Hệ quả 1.2.13 Nếu (R, m) là một vành địa phương Noether thì dim R < ∞.

Hệ quả 1.2.14. [Định lý Krull về iđêan chính] Cho R là một vành Noether, và I = (a1, , a r ) là một iđêan của R Khi đó ta có ht I ≤ r.

Chứng minh Với p ∈ MinAss(R/I) ta có pRp ∈ MinAss(Rp /IRp) Do đó Ass(Rp/IRp) =

{pRp} Nên IRp là iđêan pRp-nguyên sơ Vì vậy ht I ≤ htp = dimRp=δ(Rp)≤ r theo

Định lý 1.2.12

Hệ quả 1.2.15 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu

hạn sinh chiều d Xét dãy phần tử x1, , x r ∈ m với r ≤ d Khi đó ta có

dim(M/(x1, , x r )M) ≥ d − r.