Một số dạng của định lý stolz cesàro

Luận văn này sẽ tổng hợp và trình bày một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro; một số dạng mở rộng của G.. Tiếp theo, luận văn trìnhbày một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro tron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Văn Thắng

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Chương 1 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro 3

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Dãy số 3

1.1.2 Chuỗi số 5

1.1.3 Hàm số 6

1.2 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro 8

1.2.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro 8

1.2.2 Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro 14

1.2.3 Một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro 22

Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn của dãy số 26

2.2 Tổng các lũy thừa với số mũ nguyên 46

2.3 Bài toán 11174 của P P Dalyay 47

kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày càng được các nhà toán học quan tâm

mở rộng, phát biểu ở những dạng khác nhau và có thêm được những ứngdụng mới, điển hình là các kết quả của C Mortici ([8]), G Nagy ([9]) và

S Puspană ([10])

Luận văn này sẽ tổng hợp và trình bày một số dạng cổ điển của định

lý Stolz-Cesàro; một số dạng mở rộng của G Nagy và S Puspană; vàmột số dạng mới được đưa ra bởi C Mortici Tiếp theo, luận văn trìnhbày một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạncủa dãy số, trong đó có tính giới hạn của một tổng, đây là bài toán haythường xuất hiện trong các đề thi toán dành cho học sinh và sinh viên.Một ứng dụng khác của định lý Stolz-Cesàro là tính tổng hữu hạn củacác lũy thừa nguyên cũng được chúng tôi trình bày trong luận văn này

Cuối cùng, chúng tôi sẽ sử dụng một dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàrocủa G Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bàitoán 11147 của P P Dalyay.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro

Phần đầu của chương trình bày một số khái niệm cơ bản phục vụ chocác mục sau của luận văn Tiếp theo, chúng tôi trình bày các dạng cổđiển, một số dạng mở rộng và mới của định lý Stolz-Cesàro

Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro

Chương này tìm hiểu một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trongviệc tính giới hạn của dãy số, tính tổng lũy thừa của các số nguyên vànghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P

P Dalyay

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới thầy giáo TS Trần Văn Thắng Thầy đã dành nhiều thời gian hướngdẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làmluận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướngdẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện vàhoàn thành luận văn

-Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tại trường THPT Tiên Du số 1 vàgia đình thân yêu đã tạo điều kiện về thời gian và luôn ủng hộ tôi trongsuốt quá trình học tập

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Người viết luận văn

Nguyễn Thị Nga

Nhận xét 1.1.2 Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên

nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m với mọi n Một dãy số vừa bị chặntrên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.

Định nghĩa 1.1.5 (i) Ta nói dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a khi ndần đến vô cùng nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộcvào dãy số {xn} và ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn 

lim

n→∞xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn| > M

(iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ Dãy số không cógiới hạn hoặc dần đến vô cùng khin dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.Giả sử {xn} là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đặt

n→∞ xn.Định lý 1.1.6 Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên vàgiới hạn dưới của dãy đó bằng nhau

Định lý 1.1.7 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)

Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ Dãy số giảm và bị chặn dưới thìhội tụ

Định lý 1.1.8 Nếu {xn}, {yn} là các dãy hội tụ và có giới hạn tươngứng là a, b thì các dãy số {xn+ yn}, {xn− yn}, {xnyn},



xn

yn

cũng hội

tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, ab và a

b (trong trường hợpdãy số thương, ta giả sử yn và b khác không)

Định lý 1.1.9 Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0, N0 ∈ N và lim

n→∞an = a,lim

n→∞sn = s (hữu hạn) thì chuỗi được gọi

là hội tụ và s là tổng của chuỗi Nếu sn không dần tới một giá trị hữuhạn thì chuỗi đó gọi là phân kỳ

Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương

Cho hàm số thực f (x) xác định trên một miền trong R

Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D và (a; b)

là một khoảng con của D Hàm số gọi là hàm số đồng biến trên khoảng(a; b) nếu

∀ > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < 

Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cậncủa a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái

(phải) của hàm số f (x) khi x → a nếu:

∀ > 0, ∃δ > 0 : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| < .Định nghĩa 1.1.18 Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cậncủax0 Khi đó hàm f (x)được gọi là liên tục tạix0 nếu lim

x→x 0

f (x) = f (x0).Định nghĩa 1.1.19 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trái (phải)tại x0 nếu hàm f (x) xác định trong một lân cận trái (phải) của x0 (kể

x = a và liên tục trái tại x = b

Định nghĩa 1.1.21 Hàm f (x) được gọi là liên tục đều trên D nếu vớimỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ

ta có |f (x) − f (y)| < ε

Định lý 1.1.22 Hàm f (x) liên tục trên tập compact D thì liên tục đềutrên tập D

Một hệ quả được suy ra từ định lý trên

Hệ quả 1.1.23 Mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R là liên tục đều.Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian) Cho f (x) là một hàm sốliên tục trên [a; b], f (a) 6= f (b) Khi đó f (x) đạt mọi giá trị trung giangiữa f (a) và f (b) trên [a; b]

Định nghĩa 1.1.25 Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0trên miền D nếu x ± T ∈ D với mọi x ∈ D và

f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D

Định nghĩa 1.1.26 Cho hàm sốy = f (x) xác định trong khoảng (a; b),

x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn

lim

x→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0tồn tại hữu hạn thì giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

y = f (x) tại điểm x0, ký hiệu là f0(x0)

Định lý 1.1.27 (Định lý giá trị trung bình Cauchy) Cho các hàm số

f và g cùng liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a, b) Khi đó tồn tại mộtđiểm c ∈ (a; b) sao cho

1.2 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro

Mục này trình bày một số dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và một

số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro

1.2.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro

Phần này, chúng tôi trình bày ba dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàrođược các nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro đưa ra

Định lý 1.2.1 Cho {an} và {bn} là hai dãy số thực, dãy {bn} tăng ngặt

và không bị chặn trên Nếu tồn tại giới hạn

Chứng minh Xét trường hợp l ∈ R và giả sử rằng {bn} là dãy tăng vàlim

n→∞bn = ∞ Cho V là một lân cận của l, khi đó tồn tại α > 0 sao cho(l − α, l + α) ⊆ V Cho β ∈ R sao cho 0 < β < α Do lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = lnên tồn tại k ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ k thì

Từ kết quả của định lý trên chúng ta thu được các hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.3 Cho dãy số thực dương {un} Nếu tồn tại giới hạnlim

un = ln l.

Nhận xét 1.2.6 Bằng cách đặt vn = u1 + u2 + + un ta thu đượcphát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau.

Cho dãy số thực {vn} Nếu tồn tại giới hạn lim

- Trường hợp 1: lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = l ∈ R. Khi đó, với bất kỳ  > 0, tồntại một chỉ số N sao cho

l −  < an+1− an

bn+1− bn < l + ,với mọi n ≥ N Vì {bn} là dãy số giảm, nên bn+1 − bn < 0 với mọi n.Suy ra

.(l − )(bn+p− bn+p−1) > an+p − an+p−1 > (l + )(bn+p− bn+p−1).Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

bn.Giữn cố định và cho m → ∞, ta nhận được an

Định lý 1.2.9 Nếu {an} và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn

i {bn} là dãy số dương, tăng ngặt và không bị chặn trên

Phần đầu của mục này chúng tôi trình bày một số mở rộng của định

lý Stolz-Cesàro được đưa ra bởi Gabriel Nagy ([9])

Định lý mở rộng của Định lý 1.2.1 được phát biểu như sau

Định lý 1.2.10 Nếu {bn} là dãy số thực dương sao cho

∞

X

n=1

bn = ∞, thìvới bất kì dãy {an} ⊂ R ta có các bất đẳng thức

Bất đẳng thức (1.2) là tầm thường, nếu vế phải là +∞ Giả sử rằnggiá trị L = lim sup

n→∞yn = ∞, không mất tính tổng quát ta giả sử tất cảcácyn đều dương Xét các dãy{an}và{bn}, xác định bởia1 = x1, b1 = y1

vàan = xn− xn−1, bn = yn− yn−1, ∀n ≥ 2, khi đó ta có xn = a1+ + an

và yn = b1 + + bn Như vậy định lý được chứng minh

Từ kết quả mở rộng trên chúng ta thu được các hệ quả sau

Hệ quả 1.2.12 Bất kì dãy {an} ⊂ R ta có các bất đẳng thức sau

lim

n→∞

a1 + a2 + + an

n = limn→∞an.Chứng minh Trường hợp đặc biệt của Định lý 1.2.10 với bn = 1

Nhận xét 1.2.13 Bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến thích hợp,đặtxn = a1+ a2+ + an ta thu được phát biểu dưới dạng tương đươngvới hệ quả trên như sau:

Cho dãy bất kỳ {xn}, ta có các bất đẳng thức sau

Hệ quả sau là mở rộng cho định lý trung bình nhân

Hệ quả 1.2.14 Với bất kì dãy số dương {an} có các bất đẳng thức sau

Nhận xét 1.2.15 Đặt xn = a1a2 an ta có phát biểu tương đương với

hệ quả trên: Đối với mỗi dãy số dương {xn}, ta có các bất đẳng thức sau

S Puspană đã mở rộng Định lý 1.2.1 qua định lý sau đây

Định lý 1.2.16 Nếu {an}và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn

m ∈N sao cho ∀n ≥ m ta có

an+1 − an

bn+1 − bn − l

< ε2M,tương đương với

Do đó ta được

Chúng ta dễ dàng chứng minh được hệ quả sau

Hệ quả 1.2.21 Nếu {an}và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn:

1.2.3 Một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro

Phần này, chúng tôi trình bày một số dạng mới của định lý Cesàro được đưa ra bởi Cristinel Mortici trong [8] Cristinel Mortici quantâm tới sự tồn tại và giá trị của giới hạn

n→∞

an

bn hữu hạn thì giới hạn (1.17) bằng 0 Tuy nhiên điều ngược lại thìchưa chắc đúng, nghĩa là tồn tại giới hạn (1.17) thì chưa chắc tồn tạicác giới hạn lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn và n→∞lim

an

bn Để chỉ ra, chúng ta xét hai dãy

số {an} và {bn} với an = 2nλn, bn = 2n, trong đó dãy {λn} được địnhnghĩa bởi

Bổ đề 1.2.23 Cho {bn} ⊂ (0, +∞) là dãy số thực tăng ngặt và không

bị chặn trên Khi đó chuỗi số sau phân kỳ

an+1− an

bn+1− bn = +∞

Định lý sau xét trường hợp {bn} là dãy số tăng ngặt và bị chặn trên.Định lý 1.2.26 Cho hai dãy số thực {an} và {bn} ⊂ (0, +∞), {bn} làdãy số tăng ngặt và bị chặn trên Nếu chuỗi số

n→∞un = u ∈ (0, +∞) và {u − un} là dãy số đơn điệu giảm, hội tụ

và ứng dụng giải bài toán của P P Dalyay về hàm số tuần hoàn.

2.1 Tính giới hạn của dãy số

Trong phần này chúng tôi áp dụng định lý Stolz-Cesàro để giải một

số bài toán tính giới hạn của dãy số và xét sự hội tụ hay phân kỳ củachuỗi số

Ứng dụng đầu tiên của định lý Stolz-Cesàro mà chúng tôi trình bày ởđây là để chứng minh quy tắc L0Hopital, đây là quy tắc rất hiệu quả đểtìm giới hạn của hàm số Định lý Stolz-Cesàro được xem như phiên bảnrời rạc của quy tắc L0Hopital

Quy tắc L0Hopital: Cho f và g là các hàm khả vi trên một khoảngchứa A, lim

Chúng ta cũng giả thiết thêm rằng g0(x) 6= 0 với mọi x gần A Quy

tắc L0Hopital vẫn còn đúng khi A = ∞ hay lim

x→Af (x) = lim

x→Ag(x) = 0.Sau đây là chứng minh chi tiết của quy tắc

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp A = +∞

và lim

x→Af (x) = +∞, lim

x→Ag(x) = +∞ Các trường hợp khác ta đổi biếnthích hợp để quy về trường hợp đã chứng minh Do g0(x) 6= 0 với mọi

x thuộc khoảng (α, +∞) và lim

x→Ag(x) = +∞ nên g(x) là hàm tăngngặt trên (α, +∞) Chọn dãy {tn} tăng ngặt trong (α, +∞) thỏa mãnlim

n→∞tn = +∞ và đặt xn = f (tn), yn = g(tn) Theo định lý giá trị trungbình Cauchy 1.1.27 thì với mỗi n ≥ 2, tồn tại sn ∈ (tn−1, tn) sao cho

f (tn) − f (tn−1)g(tn) − g(tn−1) =

f0(sn)

Do {tn} tăng ngặt nên {tn} cũng tăng ngặt, và do đó lim

n→∞sn = +∞.Suy ra

n→∞

xn

yn = L Đây là điều phải chứng minh.

Tiếp theo chúng tôi sẽ cho người đọc thấy được hiệu quả của các định

lý Stolz-Cesàro trong tính giới hạn của dãy số

p(n + 1)5 −√n5

= lim

n→∞

p(n + 1)3(p(n + 1)5 +√

n5)(n + 1)5 − n5

Bài toán 2.1.2 Nếu p ∈ N∗, tính

lim

n→∞

11 + 22 + 33 + + nn

Lời giải Đặt an = 11 + 22 + 33 + + nn và bn = nn Khi đó {bn} là

dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 cho

= lim

n→∞

(1 + n1)n+1(1 + 1n)n+1− 1

n

e − 0 = 1.

Bài toán 2.1.4 Tính

n2 Lời giải Theo Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1, ta có

= √1

2n→∞lim

p2n(2n + 1) +p(2n + 1)(2n + 2) −pn(n + 1)

Cesàro trong bài toán xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số

Bài toán 2.1.5 Xét một dãy số thực dương {an} sao cho an+1− 1

Xét sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số

u1 + u2 + + un .Lời giải Để xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số trên, ta so sánhvới chuỗi số P+∞n=1vn với vn = n1 Chúng ta cần tính giới hạn của

un

vn

= √1n

Rõ ràng {an} là một dãy tăng, nếu nó có giới hạn hữu hạn l thì

+ a2n Thì ta có

yn+1 = yn + 4 Vì vậy

y2 = y1 + 4

y3 = y2 + 4

⇒ a2n+1 −p4n + y1 + 2 · an+1+ 1 = 0

Từ đó suy ra an+1 =

√4n + y1 + 2 ±√

4n + y1 − 2

an+1 =

√4n + y1 + 2 −√

4n + y1 − 22

thì

lim

n→∞an+1 =

√4n + y1 + 2 −√

4n + y1 − 22

= √ 24n + y1 + 2 +√

4n + y1 − 2 = 0.

Điều này sai, do đó

an+1 =

√4n + y1 + 2 +√

Lời giải Để xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số trên, ta so sánhvới chuỗi số P+∞

n=1vn với vn = n12 Chúng ta cần tính giới hạn của

un

vn =

1n

Trước tiên ta chứng minh dãy{u2n+1}bị chặn dưới bởi 0 theo qui nạp.Thật vậy, ta có u1 = 1 > 0 , giả sử u2n+1 > 0 Do hàm số f (x) = ex− xđồng biến trên (0; +∞) suy ra

f (u2n+1) > f (0) = 1 ⇔ eu2n+1 − u2n+1 > 1

⇔ eu2n+3 > 1 + u2n+1 > 1

⇔ u2n+3 > 0Vậy dãy {u2n+1} bị chặn dưới bởi 0

Tiếp theo ta chứng minh dãy {u2n+1} là dãy giảm Ta có

từ hệ thức truy hồi suy ra en = en − a ⇔ a = 0

Từ hai trường hợp trên ta có lim

n→∞un = 0 suy ra lim

n→∞eun = 1 Theođịnh lí trung bình cộng Stolz-Cesàro ta có

Từ (2.2) ta có

lim

n→∞

12n

lim

n→∞

e

2 − 12n

k

(k − 1)k−1

Bài toán 2.1.8 Tính

= e

Bài toán 2.1.9 Cho dãy {an} là một cấp số cộng dương với công sai

(a1+a2+ +an) n Theo Định lý trung bình nhân Cesàro, ta có

a1+a2+ +an+1n+1

Bài toán 2.1.11 Tính giới hạn sau

un+1 = un + ua1

n + ua2

n + + uak

n ,trong đó a1, a2, ak là những số thực cho trước

Bài toán 2.1.12 (Olympic Toán SV toàn quốc 2015) Cho dãy số {an}xác định bởi 2an+1− 2an+ a2n = 0 Tìm điều kiện của a0 để dãy {an} cógiới hạn hữu hạn Trong trường hợp này, tìm lim

n→+∞

1n

an2an+1

L, chuyển qua giới hạn

1 − x2012 n

Bài toán 2.1.14 Cho dãy số {un} xác định bởi u1 = −2 và un+1 =

n→∞un = a, từ đẳng thức un+1 − un = u2n+1 Chuyểnqua giới hạn ta được a2 = a − a, suy ra a = 0 Ta có

lim

n→∞

1

2.1 Tính giới hạn dãy số< /h3>

Trong phần áp dụng định lý Stolz- Cesàro để giải

số toán tính giới hạn dãy số xét hội tụ hay phân kỳ củachuỗi số

Ứng... củachuỗi số

Ứng dụng định lý Stolz- Cesàro mà chúng tơi trình bày ởđây để chứng minh quy tắc L0Hopital, quy tắc hiệu đểtìm giới hạn hàm số Định lý Stolz- Cesàro xem phiên bảnrời rạc... {bn} hai dãy số thực thỏa mãn:

1.2.3 Một số dạng định lý Stolz- Cesàro< /p>

Phần này,