Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất.PDF

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN: Chứng minh một định lý tương tự Định lý thứ hai của Ritt cho hàm phân hình và một định lý tương tự Định lý thứ nhất của Ritt cho hàm phân hình trên trường số phức. Thiết lập một số định lý về vấn đề xác định duy nhất hàm phân hình trên một trường không-Acsimet và đa thức vi phân dạng , ở đó P là đa thức kiểu Fermat-Waring. Thiết lập một số kết quả đối với vấn đề duy nhất của tích q­-sai phân dạng , của đa thức vi phân và q-sai phân dạng với f là hàm phân hình trên một trường không-Acsimet. CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Các ứng dụng, khả năng ứng dụng trong thực tiễn Sử dụng các kết quả trong luận án để nghiên cứu bài toán về vấn đề xác định và vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường không-Acsimet. Những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu Tìm các tương tự của hai định lý Ritt về Vấn đề xác định và Vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức $q$-sai phân trong trường hợp phức và p-adic. Mở rộng các ứng dụng của hai định lý Ritt vào bài toán xác định hàm và tập xác định duy nhất.

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT

VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018

Möc löc

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Möc löc iii

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 9

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 9

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c h m ph¥n h¼nh 14

1.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 20

Ch÷ìng 2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 38

2.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 39

2.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 44

2.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 54

Ch÷ìng 3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 67

3.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 67

3.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 79

3.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n v  a thùc sai ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 85

K¸t luªn v  ki¸n nghà 93

Danh möc cæng tr¼nh 94

T i li»u tham kh£o 95

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

·u biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng

n = pm1

1 pmk

k , vîi k ≥ 1,

ùng m1 ≥ 1, , mk ≥ 1 ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t theo n Ritt l ng÷íi ¦u ti¶n t÷ìng tü ành lþ n y èi vîi c¡c a thùc

¢ chùng minh ành lþ sau

F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs,

th¼ r = s, v  bªc cõa c¡c a thùc ψ l  b¬ng vîi bªc cõa c¡c a thùc ϕ n¸ukhæng t½nh ¸n thù tü xu§t hi»n cõa chóng

Công trong [46], Ritt ¢ chùng minh ành lþ sau

l3, l1 ◦ c ◦ l2, l4−1◦ d ◦ l3) câ mët trong c¡c d¤ng

(Fn, Fm, Fm, Fn) ho°c

(xn, xsh(xn), xsh(x)n, xn),

ð âm, n > 0 l  nguy¶n tè còng nhau, s > 0nguy¶n tè còng nhau vîi n, v 

h ∈ C[x]\xC[x], l−1j l  h m ng÷ñc cõa lj, Fn, Fm l  c¡c a thùc Chebychev

v  bªc cõa c¡c a thùc l  nguy¶n tè còng nhau Rã r ng ph÷ìng tr¼nh

a thùc ÷ñc Ritt nghi¶n cùu l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh h m

nh÷ T¤ Thà Ho i An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [3], H.Fujimoto [19], H  HuyKho¡i-C.C.Yang [35], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51],

º þ r¬ng, ph÷ìng tr¼nh h m li¶n quan mªt thi¸t ¸n v§n · x¡c ànhduy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh-mët ùng döng cõa lþ thuy¸t ph¥n bègi¡ trà V§n · x¡c ành duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu l¦n ¦u ti¶n bðiR.Nevanlinna N«m 1926, R.Nevanlinna ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng: Vîi

lþ 5 iºm) v  n¸u chóng câ chung nhau £nh ng÷ñc (câ t½nh bëi) cõa 4

cf + d (a, b, c, d l  c¡c sè phùc n o â sao cho

ad − bc 6= 0)(ành lþ 4 iºm) Khði nguçn tø ành lþ 5 iºm v  ành lþ 4

iºm, v§n · duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu li¶n töc vîi hai h÷îng nghi¶ncùu chõ y¸u v  ¢ câ r§t nhi·u k¸t qu£ s¥u s­c cõa G.Dethloff, é ùcTh¡i, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H  Huy Kho¡i, H  HuyKho¡i-Vô Ho i An, H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An-L¶ Quang Ninh, T¤ Thà

Ho i An, T¤ Thà Ho i An-H  Tr¦n Ph÷ìng, L.Lahiri, Tr¦n V«n T§n, S¾

ùc Quang, A.Escassut, H.Fujimoto,

Ti¸p theo, sü nghi¶n cùu ÷ñc mð rëng sang mët nh¡nh cõa lþ thuy¸tx¡c ành duy nh§t â l  xem x²t tªp x¡c ành duy nh§t cõa c¡c a thùc viph¥n V  ng÷íi ¦u ti¶n khði x÷îng cho h÷îng nghi¶n cùu n y l  Hayman.N«m 1967, Hayman ¢ chùng minh mët k¸t qu£ nêi ti¸ng r¬ng mët h m

Hayman công ÷a ra gi£ thuy¸t sau

ki»n fn(z)f0(z) 6= 1 vîi n l  sè nguy¶n d÷ìng v  vîi måi z ∈ C th¼ f l 

h m h¬ng.

mët h÷îng nghi¶n cùu ÷ñc gåi l  sü lüa chån cõa Hayman Cæng tr¼nhquan trång thóc ©y h÷îng nghi¶n cùu n y thuëc v· Yang-Hua [51], haiæng ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh v  ìn thùc

cõa h m mô vîi c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â Tø â, c¡ck¸t qu£ ti¸p theo ¢ nhªn ÷ñc düa tr¶n xem x²t c¡c a thùc vi ph¥nd¤ng (fn)(k), [fn(f − 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) v 

d¤ng (f )(0)P0(f ),( xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda[11]) N«m 1997,

tr÷íng hñp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi ph¥n khæng tuy¸n t½nh cõac¡c h m ph¥n h¼nh nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi Theo h÷îng nghi¶n cùu n y,

g(n)(g − 1)2g0 nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi, th¼ f = g V o cuèi nhúng n«mcõa thªp k n y, v§n · nhªn gi¡ trà công ÷ñc xem x²t èi vîi a thùcsai ph¥n cõa c¡c h m nguy¶n v  c¡c h m ph¥n h¼nh Laine v  Yang [37]

¢ nghi¶n cùu v§n · ph¥n bè gi¡ trà cõa t½ch sai ph¥n èi vîi c¡c h mnguy¶n X C.-Qi, L.-Z Yang v  K Liu [45] xem x²t c¡c t½ch sai ph¥n v 

N«m 2007, xu§t ph¡t tø ành lþ thù hai cõa Ritt, F.Packovich [43] câ þt÷ðng x²t £nh ng÷ñc cõa hai tªp compact èi vîi hai a thùc Æng ¢ t¼m

f1−1(K1) = f2−1(K2) K¸t qu£ cõa F.Packovich ÷ñc inh Ti¸n C÷íng mðrëng trong [13], [14] Tø ành lþ Ritt thù hai v  k¸t qu£ cõa F.Pakovichnâi tr¶n chóng tæi câ nhªn x²t

Nhªn x²t ành lþ Ritt thù hai câ thº ÷ñc xem l  k¸t qu£ ¦u ti¶n

[44]) n¶u tr¶n, v§n · nghi¶n cùu ÷ñc °t ra tü nhi¶n nh÷ sau.

V§n · 1 Xem x²t sü t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh

V§n · 2 Xem x²t V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m

gâc ë cõa c¡c ành lþ Ritt

Tø â, chóng tæi chån · t i: "Mët sè d¤ng cõa ành lþ Ritt v  ùng döng

v o v§n · duy nh§t" º gi£i quy¸t c¡c v§n · nghi¶n cùu tr¶n ¥y, çngthíi gâp ph¦n l m phong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v  ùng döng cõa Lþ thuy¸tNevanlinna

2 Möc ti¶u cõa luªn ¡n

2.1 Thi¸t lªp mët sè ành lþ t÷ìng tü hai ành lþ cõa Ritt èi vîi h m

2.2 Ti¸p cªn V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

V§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n,

ành lþ Ritt

V§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai

hai ành lþ Ritt

4 Ph÷ìng ph¡p v  cæng cö nghi¶n cùu

Sû döng hai ành lþ ch½nh v  c¡c t÷ìng tü cõa chóng còng vîi c¡c kiºu

Bê · Borel cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh h m.C¡c ph÷ìng tr¼nh h m n y t÷ìng tü nh÷ ph÷ìng tr¼nh h m trong ành lþRitt thù hai

Sû döng hai ành lþ ch½nh º chuyºn b i to¡n x¡c ành h m, b i to¡nduy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m Nhí â v  c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h mnâi tr¶n º ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· V§n · x¡c ành h m v  V§n · duy nh§t

5 Þ ngh¾a khoa håc cõa luªn ¡n

Luªn ¡n ¢ ÷a ra mët c¡ch ti¸p cªn mîi èi vîi V§n · x¡c ành, V§n

· duy nh§t cõa h m, a thùc vi ph¥n v  a thùc sai ph¥n â l , xemx²t c¡c v§n · n y d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt Nhí â thi¸t lªp

÷ñc c¡c k¸t qu£ mîi gâp ph¦n mð rëng th¶m c¡c ùng döng cõa Lþ thuy¸tNevanlinna

6 C§u tróc v  k¸t qu£ cõa luªn ¡n

Luªn ¡n gçm câ ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn v  t ili»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 vîi tüa ·: "Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi

a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh" Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶ncùu v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Nëi dungcõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [7], [29] Vi»c nghi¶n cùu

b i to¡n n y gçm c¡c b÷îc sau

B÷îc 1 Thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥nh¼nh

B÷îc 2 Chuyºn b i to¡n duy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m v  dòng k¸t qu£

ð B÷îc 1

Nh÷ ta ¢ th§y ð tr¶n, ành lþ thù nh§t cõa Ritt ¢ chùng tä r¬ng: b§t

ký hai sü ph¥n t½ch cõa mët a thùc cho tr÷îc th nh c¡c a thùc khængph¥n t½ch ÷ñc s³ chùa còng mët sè a thùc nh÷ nhau v  bªc cõa c¡c athùc trong méi c¡ch ph¥n t½ch l  nh÷ nhau n¸u khæng t½nh ¸n thù tü cõachóng trong c¡ch ph¥n t½ch Tø â, möc ti¶u thù nh§t cõa Ch÷ìng 1 l :Thi¸t lªp k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh.Tuy nhi¶n, ta th§y r¬ng, chùng minh cõa hai ành lþ cõa Ritt trong [46]d÷íng nh÷ khæng t÷ìng tü ÷ñc cho h m ph¥n h¼nh Lþ do l  ð ché, Ritt

¢ dòng ¸n i·u ki»n "húu h¤n" khæng iºm cõa a thùc trong chùngminh cõa æng Kh­c phöc khâ kh«n n y, tr÷îc ti¶n chóng tæi thi¸t lªp

ành lþ 1.2.2 ành lþ 1.2.2 ch½nh l  mët kiºu ành lþ Ritt thù hai èi

¢ ÷ñc ph¡t biºu v  chùng minh trong [2] v  [32], tuy nhi¶n ð ¥y chóngtæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë cõa ành lþ Ritt thù hai v  ÷a ra mëtc¡ch chùng minh kh¡c Nhí ¡p döng ành lþ 1.2.2 v  c¡c h» qu£ chóngtæi chùng minh ÷ñc ành lþ 1.2.5, ch½nh l  mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþRitt thù nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Trong Ch÷ìng 1 cán tr¼nh b y c¡cùng döng cõa ành lþ 1.2.2 â l  ành lþ 1.3.1 v  ành lþ 1.3.2, c¡c ành

l  trong tr÷íng hñp têng qu¡t hi»n ch÷a câ mët mèi li¶n h» tèt giúa h m

¸m, h m °c tr÷ng cõa f vîi h m ¸m v  h m °c tr÷ng cõa (P (f ))(k).V¼ vªy, c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ¢ x²t mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n

tü cõa ành lþ ch½nh thù hai (Bê · 1.1.5) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ1.3.10, â l  mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n.Ch÷ìng 2 vîi tüa ·: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§tcõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet" TrongCh÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 2: V§n · x¡c ành, V§n · duynh§t cõa h m ph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc

Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [4], [5], [7].Nh÷ ¢ · cªp ¸n ð tr¶n, v§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v  v§n · duynh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  câ c¡c k¸t qu£

n ≥ 3k + 8 th¼ f v  g sai kh¡c nhau mët c«n bªc n cõa ìn và Tø â, b i

tæi thi¸t lªp ÷ñc ành lþ 2.2.7, ành lþ n y l  mët k¸t qu£ v· v§n · x¡c

ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet v  a thùc

(xem [31])

vîi S = {−1, 1} èi vîi c¡c a thùc còng bªc f, g s³ k²o theo f = g hay

Ef(S) = Eg(T )? ành lþ 2.2.8 còng c¡c h» qu£ 2.2.9 v  2.2.10 ¢ gi£i

¡p cho c¥u häi °t ra v  gâp ph¦n tr£ líi C¥u häi cõa C.C.Yang trong

Ch÷ìng 2 chóng tæi công thi¸t lªp ÷ñc c¡c k¸t qu£ l  ành lþ 2.3.2, mët

Ch÷ìng 3 câ t¶n gåi: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èivîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íngkhæng-Acsimet" Trong Ch÷ìng 3 chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 3 d÷îi gâc

ë ành lþ thù hai cõa Ritt Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc vi¸t düa tr¶nc¡c b i b¡o [6], [22]

Trong tr÷íng hñp phùc, chõ · n y ÷ñc nghi¶n cùu g¦n ¥y v  ang

÷ñc ti¸p töc bði C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang([37]), Liu-Cao ([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]),H.X.Yi ([52]), Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ mîi ch¿ · cªp ¸n lîp h m ph¥n

ph¥n

R§t nhi·u k¸t qu£ thó và công ¢ nhªn ÷ñc èi vîi c¡c h m ph¥nh¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]).K.Boussaf, A Escassut, J Ojeda ([11]) ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t

nhä Trong [9], J.-P Bezivin, K Boussaf v  A Escassut, ¢ nghi¶n cùu

Möc ½ch cõa Ch÷ìng 3 l  thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ èi vîi V§n · duy

Ho i An-Ph¤m Ngåc Hoa-H  Huy Kho¡i [6], Vô Ho i An-H  Huy Kho¡i

ph¥n v  a thùc vi ph¥n n¶u tr¶n ch÷a ÷ñc · cªp trong tr÷íng hñp phùc

kh¡c chóng tæi thu ÷ñc ành lþ 3.2.7, ành lþ 3.3.4 cho V§n · 3 ành

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i Hëi th£o quèc t¸ v· gi£it½ch phùc v  ùng döng l¦n thù 20 t¤i H  Nëi ng y 29/07-3/08/2012; Hëinghà To¡n håc phèi hñp Vi»t-Ph¡p, Hu¸ 20-24/08/2012; ¤i hëi To¡n håcVi»t Nam l¦n thù 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Hëi nghà ¤i sè- H¼nh håc-Topo, Buæn Ma Thuët ng y 26-30/10/2016; C¡c Seminar cõa Bë mæn Gi£it½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n; C¡c

Seminar cõa nhâm nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v  tr÷íngCao ¯ng H£i D÷ìng.

n y Muèn vªy, tr÷îc h¸t chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.2.2 nh÷ l  mët kiºu

ành lþ thù hai cõa Ritt Tø â, chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.2.5 v 

ành lþ 1.3.2 ành lþ 1.2.5 l  mët kiºu ành lþ thù nh§t cõa Ritt ành

Ti¸p theo, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.3.3 ¥y l  mët k¸t qu£ v· tªpx¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Tø â, dòng Bê · 1.1.5 (mëtt÷ìng tü cõa ành lþ ch½nh thù hai) v  dòng c¡c ph÷ìng tr¼nh h m (t÷ìng

tü ph÷ìng tr¼nh m  Ritt xem x²t) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ mët k¸t qu£ v· V§n · duy nh§t cho a thùc vi ph¥n

1.3.10-1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ

Tr÷îc h¸t, chóng tæi nh­c l¤i c¡c kþ hi»u v  kh¡i ni»m cì b£n còng vîi c¡ck¸t qu£ bê trñ dòng trong Ch÷ìng 1 (xem [1])

minnνfa(z), 1o, v  °t ν∞f = ν01

f °t

Ta câ c¡c Bê · sau (xem trong [20]).

ho°c f − ai câ khæng iºm bëi ½t nh§t mi, i = 1, , q Khi â

Ta nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m sau

ùng, U RSE − IM), n¸u Ef(S) = Eg(S) k²o theo f = g.

Ef,m)(S) = Eg,m)(S) k²o theo f = g

Ta câ c¡c k¸t qu£ sau

Bê · 1.1.4 [24] Cho f v  g l  c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C.N¸u Ef(1) = Eg(1) th¼ mët trong ba h» thùc sau l  óng:



+ N2(r, g) + N2



r,1g



+ N1(r, g) + N2



r,1g

m¢n

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu

Fermat-Waring cõa c¡c h m ph¥n h¼nh

X²t c¡c a thùc thu¦n nh§t hai bi¸n kiºu Fermat-Waring ÷ñc x¡c ànhbði

P (z1, z2) = cz1n+ dz1n−mz2m + ez2n, Q(z1, z2) = uz1n + vz1n−mz2m + tz2n

Tr÷îc h¸t chóng tæi c¦n câ bê · sau

C1ef2n + C2tg2n+ C3f1n−m(cf1m+ df2m) = 0 (1.6)

n ≥ 2m + 9 v  Bê · 1.1.6 n¶n tçn t¤i c¡c h¬ng sè α, β, (α, β) 6= (0, 0),

sao cho

αf1n−m(cf1m+ df2m) + βef2n = 0

C3 = 0

C1ef2n+ C3f1n−m(cf1m + df2m) = 0

Tø ¥y suy ra f kh¡c h¬ng v  ϕ công kh¡c h¬ng.

v  H» qu£ 1.1.2 ta suy ra r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.8) khæng câ nghi»m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

Kþ hi»u ζ l  mët c«n nguy¶n thõy bªc n cõa ìn và, ta câ

0, zn−m− β = 0 câ nhi·u nh§t n − mnghi»m ìn chung V¼ th¸, câ ½t nh§t

câ m(1 − m1) ≤ 2 Suy ra m ≤ 3, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

F = P ◦ f,

cho

fn = D ◦ g, fn = gn + dgn−m+ e

Khi â, lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh Bê · 1.2.3 ta nhªn ÷ñc

Cho ai, bi, i = 1, 2, · · · , r v  pj, qj, j = 1, 2, · · · , s l  c¡c h¬ng sè kh¡ckhæng °t

P = {Ri = zn + aizn−m+ bi, i = 1, 2, , r};

Q = {Dj = zn + pjzn−m+ qj, j = 1, 2, , s}

Sau ¥y l  k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh

ành lþ 1.2.5 Cho n, m l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng, thäa m¢n n ≥ 2m + 4

N¸u r < s th¼ f l  h m ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n Q, i·u n y l  m¥u thu¨n vîi

1.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi

vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh

Tr÷îc ti¶n ta ÷a ra hai ùng döng cõa Bê · 1.2.3

m, ai, bi, (i = 1, 2), l  c¡c sè phùc kh¡c khæng.

thùc Y(ai,bi,m,n)(x + 1), (i = 1, 2)

ho°c m ≥ 4, Ef(S1) = Eg(S2) Khi â tçn t¤i sè phùc h sao cho g = hf

f1n+ a1f1n−mf2m+ b1f2n = c(gn1 + a2gn−m1 g2m+ b2gn2) (1.21)

c = eϕ = (eϕ/n)n V¼ th¸, khæng gi£m têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû c ≡ 1

Ef(S1) = Eg(S1), Ef(T2) = Eg(T2) Khi â f = g

Chùng minh Vi¸t f = f1

α = (α1, α2) , ð â α1, α2 l  2 sè ph¥n bi»t thuëc tªp {1, , q + 2} èi

iii/ Tçn t¤i c¡c sè i0, i00 ∈ {1, , q + 2}, i0 6= i00 sao cho

Li( ˜f ) = cii0Li0(˜g) = cii00Li00(˜g), cii0, cii00 6= 0,

v  do â

Li0(˜g) = ci0 i00Li00(˜g), ci0 i00 6= 0 (1.28)

ngh¾a l 

Li(f1, f2) = cii0Li0(g1, g2),vîi cnii0 = 1 (1.29)

Ti¸p theo, chóng tæi c¦n câ c¡c bê · sau.

Vªy Bê · 1.3.6 ÷ñc chùng minh.

Chùng minh 1 °t A = ((P (f ))n)(k), C = P (f ) Khi â T (r, C) =

≤ T (r, A) + S(r, f ) ≤ T (r, Cn) + S(r, f ),

tùc l 

((P (f ))n)(k)(P (f ))n−k

Chùng minh Ta câ P (f ) = (f − e1) (f − ed), ei ∈ C,ei 6= 0, (P (f ))d =(f − e1)n (f − en)d.

K¸t hñp c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ

T (r, A) ≤ (2 + 2n + kn)T (r, f ) + (2 + 2n)T (r, g) + kN1(r, C) + N (r, 1

Q)+S(r, f ) + S(r, g)

T (r, B) ≤ (2 + 2n + kn)T (r, g) + (2 + 2n)T (r, f ) + kN1(r, D) + N (r, 1

F)+S(r, f ) + S(r, g)

Bði vªy

(d−2k)n(T (r, f )+T (r, g)) ≤ (4+4d+kd)(T (r, f )+T (r, g))+S(r, f )+S(r, g),((d − 2k)n − 4 − 4d − kn)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g)

Do d ≥ 3k + 5 > 2k + 4 + 4d + kn

P (f ) = (f − e1) (f − en), (Cd)(k) = Cd−kF

Bði vªy

((f − e1) (f − en))d−n.F.(Dd)(k) = (Cd)(k)(Dd)(k) = 1

+S(r, f ) + S(r, g),(nd − 2n − 2k + 1))(T (r, g) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g).

c (crj + e) = b −

rj24

c e 6= 0.

lþ Ritt cho h m ph¥n h¼nh, â l  ành lþ 1.2.2, ành lþ 1.2.5 Chóng tæi

nh§t cho a thùc vi ph¥n (ành lþ 1.3.10)

Ch֓ng 2

ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet

Trong ch÷ìng n y chóng tæi kþ hi»u K l  mët tr÷íng âng ¤i sè °c

Tªp x¡c ành câ sè ph¦n tû nhä nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh tr¶n K l  tªp

(Boussaf- Escassut- Ojeda [11]) Trong [30] Khoai, An, v  Lai ¢ chùngminh k¸t qu£ sau

tn = 1

vîi S = {−1, 1} èi vîi c¡c a thùc còng bªc f, g s³ k²o theo f = g hay

l  f = −g ? C¥u häi n y công ¢ ÷ñc gi£i ¡p trong [42], [43]

Tø â, trong ch÷ìng n y, þ t÷ðng ¡p döng ành lþ thù hai cõa Ritt

C¡c k¸t qu£ n y gâp ph¦n tr£ líi C¥u häi cõa C.C.Yang [49], cõa