Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)

Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)

Người hướng dẫn khoa học: 1 TS Vũ Hoài An

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia;

- Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên;

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm.

1 Pham Ngoc Hoa (2008), " An analogue of Ma son's theorem for p-adic entire functions in several variables", Journal of Science, NXB Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 53(1), pp 12-21

2 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials", Interractions between real and complex analysis, Sci Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161

3 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017),

"Value sharing problems for differential and difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 1-14

4 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2017), "On the uniqueness problem of nonArchimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302

5 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539-549

6 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (Submit),

"Uniqueness theorems for meromorphic functions and their differential polynomial"

Möc löc

Möc löc i

Mð ¦u 1Ch÷ìng 1 Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc viph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 71.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 71.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c h mph¥n h¼nh 71.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa

h m ph¥n h¼nh 9Ch÷ìng 2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc viph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 112.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 112.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mëttr÷íng khæng-Acsimet 122.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸ntr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 14Ch÷ìng 3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch

khæng-Acsimet 18

3.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 183.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n cõa h mph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 203.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n v  a thùcsai ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 21K¸t luªn v  ki¸n nghà 23Danh möc cæng tr¼nh 24

Mð ¦u

di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng

ð â c¡c thøa sè nguy¶n tè p1, , pk æi mët ph¥n bi»t v  c¡c sè mô t÷ìng ùng

t÷ìng tü ành lþ n y èi vîi c¡c a thùc

º mæ t£ k¸t qu£ cõa Ritt, ta k½ hi»u M(C) (t÷ìng ùng, A(C)) l  tªp c¡c h mph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, nguy¶n) tr¶n C v  k½ hi»u L(C) l  tªp c¡c a thùc bªc 1

l  tuy¸n t½nh N«m 1922, Ritt [46] ¢ chùng minh ành lþ sau

thùc khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n F × F:

¸n thù tü xu§t hi»n cõa chóng

Công trong [46], Ritt ¢ chùng minh ành lþ sau

c¡c h m tuy¸n t½nh lj ∈ C[x] sao cho (l1 ◦ a ◦ l2, l2−1◦ b ◦ l3, l1 ◦ c ◦ l2, l4−1◦ d ◦ l3) câmët trong c¡c d¤ng

Ð ¥y, ph²p ph¥n t½ch F (z) = f ◦ g(z) ch½nh l  ph²p hñp th nh F (z) = f (g(z)).

Do â, ta th§y r¬ng ành lþ thù hai cõa Ritt mæ t£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

nhau Rã r ng ph÷ìng tr¼nh a thùc ÷ñc Ritt nghi¶n cùu l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa

Thà Ho i An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [3], H.Fujimoto [19], H  Huy Kho¡i-C.C.Yang[35], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51],

º þ r¬ng, ph÷ìng tr¼nh h m li¶n quan mªt thi¸t ¸n v§n · x¡c ành duy nh§t èivîi h m ph¥n h¼nh-mët ùng döng cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà V§n · x¡c ành duynh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu l¦n ¦u ti¶n bði R.Nevanlinna N«m 1926, R.Nevanlinna

¢ chùng minh ành lþ 5 iºm v  ành lþ 4 iºm Khði nguçn tø ành lþ 5 iºm v 

ành lþ 4 iºm, v§n · duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu li¶n töc vîi hai h÷îng nghi¶ncùu chõ y¸u v  ¢ câ r§t nhi·u k¸t qu£ s¥u s­c cõa G.Dethloff, é ùc Th¡i, M.Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H  Huy Kho¡i, H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An,

H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An-L¶ Quang Ninh, T¤ Thà Ho i An, T¤ Thà Ho i An-H Tr¦n Ph÷ìng, L.Lahiri, Tr¦n V«n T§n, S¾ ùc Quang, A.Escassut, H.Fujimoto, Ti¸p theo, sü nghi¶n cùu ÷ñc mð rëng sang mët nh¡nh cõa lþ thuy¸t x¡c ànhduy nh§t â l  xem x²t tªp x¡c ành duy nh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n V  ng÷íi

¦u ti¶n khði x÷îng cho h÷îng nghi¶n cùu n y l  Hayman N«m 1967, Hayman ¢

nguy¶n f thäa m¢n i·u ki»n fn(z)f0(z) 6= 1 vîi måi z ∈ C th¼ f l  h m h¬ng.Gi£ thuy¸t n y ¢ ÷ñc ch½nh Hayman kiºm tra vîi n > 1 v  ÷ñc Clunie kiºm tra

cùu ÷ñc gåi l  sü lüa chån cõa Hayman Cæng tr¼nh quan trång thóc ©y h÷îngnghi¶n cùu n y thuëc v· Yang-Hua [51], hai æng ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èivîi h m ph¥n h¼nh v  ìn thùc vi ph¥n cõa nâ câ d¤ng fnf0 Hai æng ¢ chùng minh

fnf0 v  gng0 còng nhªn gi¡ trà phùc a t½nh c£ bëi th¼ ho°c f, g sai kh¡c nhau mët

c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â Tø â, c¡c k¸t qu£ ti¸p theo ¢ nhªn ÷ñcdüa tr¶n xem x²t c¡c a thùc vi ph¥n d¤ng (fn)(k), [fn(f − 1)](k) (Bhoosnurmath -Dyavanal [10], Fang [18]) v  câ d¤ng [fn(afm + b)](k), [fn(f − 1)m](k) (xem Zhang

v  Lin, [51]), v  câ d¤ng (f )(0)P0(f ),( xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda [11]).N«m 1997, thay v¼ nghi¶n cùu c¡c ¤o h m bªc n, I Lahiri [36] ¢ nghi¶n cùu c¡ctr÷íng hñp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi ph¥n khæng tuy¸n t½nh cõa c¡c h m

ph¥n h¼nh nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi Theo h÷îng nghi¶n cùu n y, n«m 2002 C Y.

h¼nh kh¡c h¬ng f v  g, m  f(n)(f − 1)2f0 v  g(n)(g − 1)2g0 nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£bëi, th¼ f = g V o cuèi nhúng n«m cõa thªp k n y, v§n · nhªn gi¡ trà công ÷ñcxem x²t èi vîi a thùc sai ph¥n cõa c¡c h m nguy¶n v  c¡c h m ph¥n h¼nh Laine

v  Yang [37] ¢ nghi¶n cùu v§n · ph¥n bè gi¡ trà cõa t½ch sai ph¥n èi vîi c¡c h mnguy¶n X C.-Qi, L.-Z Yang v  K Liu [45] xem x²t c¡c t½ch sai ph¥n v  vi ph¥n câ

si¶u vi»t câ bªc húu h¤n

N«m 2007, xu§t ph¡t tø ành lþ thù hai cõa Ritt, F.Packovich [43] câ þ t÷ðngx²t £nh ng÷ñc cõa hai tªp compact èi vîi hai a thùc Æng ¢ t¼m ÷ñc i·u ki»ncho hai a thùc f1, f2 v  hai tªp compact K1, K2 thäa m¢n f1−1(K1) = f2−1(K2)

K¸t qu£ cõa F.Packovich ÷ñc inh Ti¸n C÷íng mð rëng trong [13], [14] Tø ành

lþ Ritt thù hai v  k¸t qu£ cõa F.Pakovich nâi tr¶n chóng tæi câ nhªn x²t

Nhªn x²t ành lþ Ritt thù hai câ thº ÷ñc xem l  k¸t qu£ ¦u ti¶n v· v§n ·x¡c ành h m tø ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g), tø â sinh ra c¡c k¸t qu£ cho V§n

· x¡c ành a thùc thæng qua i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa tªp hñp iºm

Tø nhªn x²t n y v  c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h m (xem [3], [35], [44]) n¶utr¶n, v§n · nghi¶n cùu ÷ñc °t ra tü nhi¶n nh÷ sau

V§n · 1 Xem x²t sü t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh v  a thùc

vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n

V§n · 2 Xem x²t V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh

v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n d÷îi gâc ë cõa c¡c ành

lþ Ritt

Tø â, chóng tæi chån · t i: "Mët sè d¤ng cõa ành lþ Ritt v  ùng döng v o v§n

· duy nh§t" º gi£i quy¸t c¡c v§n · nghi¶n cùu tr¶n ¥y, çng thíi gâp ph¦n l mphong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v  ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna

Luªn ¡n gçm câ ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn v  t i li»u thamkh£o

Ch÷ìng 1 vîi tüa ·: "Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc

vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh" Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu v§n · duynh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Nëi dung cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸tdüa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [7], [29] Vi»c nghi¶n cùu b i to¡n n y gçm c¡c b÷îc sau.B÷îc 1 Thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh.B÷îc 2 Chuyºn b i to¡n duy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m v  dòng k¸t qu£ ð B÷îc 1.Nh÷ ta ¢ th§y ð tr¶n, ành lþ thù nh§t cõa Ritt ¢ chùng tä r¬ng: b§t ký hai

sü ph¥n t½ch cõa mët a thùc cho tr÷îc th nh c¡c a thùc khæng ph¥n t½ch ÷ñc s³chùa còng mët sè a thùc nh÷ nhau v  bªc cõa c¡c a thùc trong méi c¡ch ph¥n

t½ch l  nh÷ nhau n¸u khæng t½nh ¸n thù tü cõa chóng trong c¡ch ph¥n t½ch Tø

â, möc ti¶u thù nh§t cõa Ch÷ìng 1 l : Thi¸t lªp k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thùnh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh Tuy nhi¶n, ta th§y r¬ng, chùng minh cõa hai

ành lþ cõa Ritt trong [46] d÷íng nh÷ khæng t÷ìng tü ÷ñc cho h m ph¥n h¼nh Lþ

do l  ð ché, Ritt ¢ dòng ¸n i·u ki»n "húu h¤n" khæng iºm cõa a thùc trongchùng minh cõa æng Kh­c phöc khâ kh«n n y, tr÷îc ti¶n chóng tæi thi¸t lªp ành

lþ 1.2.2 ành lþ 1.2.2 ch½nh l  mët kiºu ành lþ Ritt thù hai èi vîi ph÷ìng tr¼nh

l  c¡c h m nguy¶n Chó þ r¬ng, k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc ph¡t biºu v  chùng minh trong[2] v  [32], tuy nhi¶n ð ¥y chóng tæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë cõa ành lþ Rittthù hai v  ÷a ra mët c¡ch chùng minh kh¡c Nhí ¡p döng ành lþ 1.2.2 v  c¡c h»qu£ chóng tæi chùng minh ÷ñc ành lþ 1.2.5, ch½nh l  mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþRitt thù nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Trong Ch÷ìng 1 cán tr¼nh b y c¡c ùng döngcõa ành lþ 1.2.2 â l  ành lþ 1.3.1 v  ành lþ 1.3.2, c¡c ành lþ n y cho ta c¡c k¸t

º þ r¬ng, v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (P (f ))(k), ð â P l  a

hñp têng qu¡t hi»n ch÷a câ mët mèi li¶n h» tèt giúa h m ¸m, h m °c tr÷ng cõa

f vîi h m ¸m v  h m °c tr÷ng cõa (P (f ))(k) V¼ vªy, c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ¢x²t mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n n y â l  c¡c d¤ng: [fn(f − 1)m](k) vîi f

l  h m nguy¶n (xem [54]), (fn)(k) vîi f l  h m ph¥n h¼nh (xem [10]) Chóng tæi ¢gi£m bît khâ kh«n n y èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (Pd(f ))(k) Tø â v  dòng c¡ckiºu t÷ìng tü cõa ành lþ ch½nh thù hai (Bê · 1.1.5) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ1.3.10, â l  mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n

Ch÷ìng 2 vîi tüa ·: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc

vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet" Trong Ch÷ìng 2, chóng tæinghi¶n cùu V§n · 2: V§n · x¡c ành, V§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh v  athùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic d÷îi gâc

ë cõa ành lþ Ritt thù hai Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c

b i b¡o [4], [5], [7] Nh÷ ¢ · cªp ¸n ð tr¶n, v§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v  v§n

· duy nh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  câ c¡c k¸t qu£ thó

và trong tr÷íng hñp p-adic Trong [31], Kho¡i, An v  Lai ¢ nghi¶n cùu a thùc viph¥n d¤ng (fn)(k) v  nhªn ÷ñc k¸t qu£: n¸u (fn)(k) v  (gn)(k) nhªn chung gi¡ trà 1

câ t½nh bëi vîi f, g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet

c«n bªc ncõa ìn và Tø â, b i to¡n thù nh§t °t ra trong Ch÷ìng 2 l : thay v¼ x²tc¡c h m f, g, chóng tæi xem x²t c¡c to¡n tû vi ph¥n d¤ng (Pn(f ))(k) v  (Qn(g))(k)

tæi thi¸t lªp ÷ñc ành lþ 2.2.7, ành lþ n y l  mët k¸t qu£ v· v§n · x¡c ành duynh§t h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet v  a thùc vi ph¥n cõa nâ.Chó þ r¬ng i·u ki»n n ≥ 3k + 5 trong ành lþ 2.2.7 l  tèt hìn i·u ki»n t÷ìng ùng

n ≥ 3k + 8 trong k¸t qu£ cõa Kho¡i-An-Lai (xem [31]).

häi n y công ¢ ÷ñc gi£i ¡p trong [42], [43] Tø â, c¥u häi thù hai °t ra trongCh÷ìng 2 l : cho S, T l  c¡c tªp khæng iºm cõa c¡c a thùc P (z), Q(z) t÷ìng ùngth¼ ta câ thº k¸t luªn g¼ v· f, g n¸u Ef(S) = Eg(T )? ành lþ 2.2.8 còng c¡c h»qu£ 2.2.9 v  2.2.10 ¢ gi£i ¡p cho c¥u häi °t ra v  gâp ph¦n tr£ líi C¥u häi cõa

Trong Ch÷ìng 2 chóng tæi công thi¸t lªp ÷ñc c¡c k¸t qu£ l  ành lþ 2.3.2, mët kiºu

ành lþ Ritt thù hai cho mët vec-tì c¡c h m nguy¶n p-adic ành lþ 2.3.7 l  k¸t qu£cho V§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n p-adic

Ch÷ìng 3 câ t¶n gåi: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½chq-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet".Trong Ch÷ìng 3 chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 3 d÷îi gâc ë ành lþ thù hai cõaRitt Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [6] v  [22]

Trong tr÷íng hñp phùc, chõ · n y ÷ñc nghi¶n cùu g¦n ¥y v  ang ÷ñc ti¸ptöc bði C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang ([37]), Liu-Cao ([39]),X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]), H.X.Yi ([52]), Tuy nhi¶n, c¡c k¸tqu£ mîi ch¿ · cªp ¸n lîp h m ph¥n h¼nh câ bªc húu h¤n èi vîi t½ch sai ph¥n ho°cbªc khæng èi vîi t½ch q-sai ph¥n

R§t nhi·u k¸t qu£ thó và công ¢ nhªn ÷ñc èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mëttr÷íng khæng-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]) K.Boussaf, A Escassut, J

Möc ½ch cõa Ch÷ìng 3 l  thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ èi vîi V§n · duy nh§t cõa t½ch qsai ph¥n d¤ngfnfm(qz +c), cõa a thùc vi ph¥n v q-sai ph¥n d¤ng(fnm(z)fnd(qz +

[6], Vô Ho i An-H  Huy Kho¡i [28] ¢ câ c¡c k¸t qu£ theo h÷îng nghi¶n cùu n y

tr÷íng hñp phùc Lþ do l  ð ché, mèi li¶n h» giúa h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n

trong tr÷íng hñp phùc Nâ ch¿ thi¸t lªp ÷ñc trong tr÷íng hñp p-adic do t½nh ch§t

°c bi»t cõa chu©n p-adic Dòng Bê · 3.1.2, 3.1.6 (c¡c kiºu cõa ành lþ ch½nh thù

ành lþ 3.2.7, 3.3.4 cho V§n · 3 ành lþ 3.2.7 l  k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõat½ch q-sai ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh p-adic ành lþ 3.3.4 l  mët k¸t qu£ cho V§n ·duy nh§t cõa t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i Hëi th£o quèc t¸ v· gi£i t½ch phùc

v  ùng döng l¦n thù 20 t¤i H  Nëi ng y 29/07-3/08/2012; Hëi nghà To¡n håc phèi

hñp Vi»t-Ph¡p, Hu¸ 20-24/08/2012; ¤i hëi To¡n håc Vi»t Nam l¦n thù 8, NhaTrang 10-14/08/2013; Hëi nghà ¤i sè- H¼nh håc- Topo, Buæn Ma Thuët ng y 26-30/10/2016; C¡c Seminar cõa Bë mæn Gi£i t½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n; C¡c Seminar cõa nhâm nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håcTh«ng Long v  tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng.

Ch֓ng 1

Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t

èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh

Trong ch÷ìng 1 chóng tæi nghi¶n cùu v§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh b¬ngc¡ch c£i ti¸n hai ành lþ cõa Ritt cho phò hñp vîi ho n c£nh n y Muèn vªy, tr÷îch¸t chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.2.2 nh÷ l  mët kiºu ành lþ thù hai cõa Ritt Tø

â, chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.2.5 v  ành lþ 1.3.2 ành lþ 1.2.5 l  mët kiºu

ành lþ thù nh§t cõa Ritt ành lþ 1.3.2 l  mët k¸t qu£ èi vîi v§n · Bi − U RSM.Ti¸p theo, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.3.3 ¥y l  mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ànhduy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Tø â, dòng Bê · 1.1.5 (mët t÷ìng tü cõa ành

lþ ch½nh thù hai) v  dòng c¡c ph÷ìng tr¼nh h m (t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh m  Rittxem x²t) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.3.10- mët k¸t qu£ v· V§n · duy nh§t cho

a thùc vi ph¥n

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ

Trong möc n y, chóng tæi nh­c l¤i c¡c kþ hi»u v  ành ngh¾a v· c¡c h m ¸m, h m

°c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n C Chóng tæi công nh­c l¤i ành lþ cì b£n thùhai v  h» qu£ cõa nâ còng vîi mët sè Bê · kh¡c

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõac¡c h m ph¥n h¼nh

X²t c¡c a thùc thu¦n nh§t hai bi¸n kiºu Fermat-Waring ÷ñc x¡c ành bði

Cho f1, f2, g1, g2 l  c¡c h m nguy¶n Trong möc n y, chóng tæi x²t ph÷ìng tr¼nh h m

Tr÷îc h¸t chóng tæi c¦n câ bê · sau.

Bê · 1.2.1 [2] Cho n, n1, n2, , nq ∈ N∗, a1, a2, , aq l  c¡c iºm ph¥n bi»t cõa

c¡c a thùc n¸u khæng tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch câ d¤ng

F = P ◦ f,

H» qu£ 1.2.4 Vîi måi h m ph¥n h¼nh f, ta ·u câ fn l  h m khæng ph¥n t½ch ÷ñc

èi vîi P = {zn+ dzn−m+ e}, ð â d, e l  c¡c h¬ng sè phùc kh¡c khæng v  n, m l 

Sau ¥y l  k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh

cho f (t÷ìng ùng, g) l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n Q (t÷ìng ùng, tr¶n P) Khi â,n¸u ta câ

Gi£ sû c¡c a thùc Y(ai,bi,m,n)(x), (i = 1, 2), khæng câ nghi»m bëi vîi tªp c¡c khæng

iºm t÷ìng ùng l  Si Gåi Ti l  tªp c¡c khæng iºm cõa c¡c a thùc Y(ai,bi,m,n)(x +1), (i = 1, 2)

Cho d, q, n, k ∈ N∗ v  a, b, ai, bi ∈ C; a, b, ai, bi 6= 0, i = 1, 2, , q X²t a thùc:

Ta gåi P (x) x¡c ành nh÷ tr¶n l  a thùc ch§p nhªn ÷ñc v  vi¸t P (x) = R(x) + bn

(α1, α2) , ð â α1, α2 l  2 sè ph¥n bi»t thuëc tªp {1, , q + 2} èi vîi méi ph¦n tû

, v  ma trªn li¶n k¸t

nhªn ÷ñc Gi£ sû r¬ng c¡c i·u ki»n(B1), (B2), (B3)÷ñc thäa m¢n v n ≥ (2q+3)2,

K¸t luªn cõa Ch÷ìng 1Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi ¢ chùng minh hai k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ Ritt cho

h m ph¥n h¼nh, â l  ành lþ 1.2.2, ành lþ 1.2.5 Chóng tæi công ¢ chùng minh

1.3.3), mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t cho a thùc vi ph¥n (ành lþ 1.3.10)