Một tương tự của định lý mason Nguyễn Thành Quang a Cao Trường b, Phan Viết Bắcc Tóm tắt.. Trong bài báo này bằng cách sử dụng đạo hàm của đa thức và kỹ thuật Wronskian, chúng tôi đưa
Trang 1Một tương tự của định lý mason
Nguyễn Thành Quang (a)
Cao Trường (b), Phan Viết Bắc(c)
Tóm tắt Trong bài báo này bằng cách sử dụng đạo hàm của đa thức và kỹ thuật Wronskian, chúng tôi đưa ra một tương tự của định lý Mason trên phương trình Borel của các đa thức phức
1 Giới thiệu
Các đa thức f0, f 1, , f n+1, (n ≥ 2) được gọi là thoả mãn phương trình Borel nếu
f 0 + f 1 + + f n+1 = 0
Đây là dạng tổng quát của các phương trình Diophant Gần đây, người ta thường nghiên cứu sự tương tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant Sự tương tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant không chỉ thể hiện ở kết quả mà còn ở phương pháp chứng minh Chỉ cần một từ điển thích hợp, người ta
có thể phiên dịch các kết quả của lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học Chính nhờ một từ điển như vậy mà Vojta đã chứng minh được nhiều kết quả đặc sắc trong số học (xem [6])
Một trường hợp đặc biệt của phương trình Borel, đó là phương trình “abc”: a + b = c, cùng với giả thuyết “abc” Sự tương tự của giả thuyết “abc” trên trường hàm đã
được xây dựng trong công trình của Mason (xem [4]), sau đó được mở rộng trên phương trình Borel trong các công trình của Volch, Brownawell, Masser, Wang [1], [2] Gần đây, giả thuyết “abc” trên trường cơ sở không Acsimet đã được xây dựng và chứng minh bởi Hu - Yang [2]
Giả sử F là một trường đóng đại số, có đặc số 0 và giả sử f(z) là đa thức với hệ
tử trong trường F Kí hiệu
f
n 1 là số nghiệm phân biệt của đa thức f(z) Năm
1983, R.C Mason đã chứng minh định lý rất đẹp sau đây về các đa thức
Định lý Mason (xem [4]) Giả sử a(t), b(t), c(t) là các đa thức với hệ số trong
F, không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho a + b = c Khi đó
max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ (1 )ư1
abc
trong đó a, b, c là viết gọn của a(t), b(t), c(t)
Chú ý rằng, từ định lý Mason ta suy ra được Định lý Fermat trên đa thức Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục tìm một kết quả tương tự của định lý Mason
Nhận bài ngày 01/8/2005 Sửa chữa xong 28/11/2005
Trang 2N T Quang – C Trường – P V Bắc, Một tương tự của định lý Mason, tr 57-63
2 Định nghĩa Cho u1, u2, , um là các phần tử của không gian vectơ trên trường F và I là một tập con thực sự khác rỗng của M = {1, 2, , m} Ta gọi I là tập con cực tiểu của M nếu các phần tử ui, i∈ I phụ thuộc tuyến tính và với mọi tập con thực sự I’ của I, các phần tử ui, i∈ I’ đều độc lập tuyến tính trên F
3 Bổ đề (xem [1]) Giả sử ∑m=
1 = 0 và không có tổng con thực sự khác rỗng nào triệt tiêu Hơn nữa, tồn tại tập con thực sự khác rỗng các phần tử nào đó phụ thuộc tuyến tính Khi đó, chúng ta có thể tìm được một số nguyên l ≥ 2, và một phân hoạch
M = I1 ∪ I2 ∪ ∪ Il thành các tập con khác rỗng rời nhau I1, I2, , Il và các tập khác rỗng J1, , Jl - 1 sao cho
J1 ⊆ I1, J2 ⊆ I1 ∪ I2, , Jl - 1 ⊆ I1 ∪ I2 ∪ ∪ Il - 1
và I1, I2 ∪ J1, , Il ∪ Jl - 1 là các tập cực tiểu của M
) (
) ( )
x g
x f x
ϕ là một hàm hữu tỉ, trong đó f(c), g(x) là các đa thức khác không và nguyên tố cùng nhau Bậc của ϕ(x), kí hiệu là degϕ(x) được định nghĩa bởi deg f(x) – deg g(x) Từ tính chất của đa thức, ta có
4 Mệnh đề Nếu ϕ1 và ϕ2 là các hàm hữu tỉ trên trường F, khi đó
i) deg(ϕ1ϕ2) = degϕ1 + degϕ2
ii) deg (1/ϕ1) = - degϕ1
iii) deg(ϕ1 + ϕ2) ≤ max {degϕ1, degϕ2}
5 Định nghĩa Cho ϕ(x) ≠ 0 là một hàm hữu tỉ trên trường F Với mọi α ∈ F,
ta viết
ϕ(x) = (x - a)m
) (
) (
1
1
x g
x f
, (m ∈ Z),
ở đây f1(x), g1(x) là các đa thức nguyên tố cùng nhau, không chứa nhân tử dạng (x-α)k và f1(x)g1(x) ≠ 0 Ta gọi m là cấp của ϕ tại α và kí hiệu ordα(ϕ) Từ định nghĩa này ta nhận được
i) ordα(ϕ1ϕ2) = ordα(ϕ1) + ordα(ϕ2),
ii) ordα
1
1
ϕ = - ordα(ϕ1), iii) ordα
2
1
ϕ
ϕ = ordα(ϕ1) - ordα(ϕ2)
6 Mệnh đề Cho ϕ(x) ≠ 0 là một hàm hữu tỉ trên F và giả sử ϕ(k) là đạo hàm cấp k của ϕ(x) sao cho ϕ(k) ≠ 0 Khi đó, ta có bất đẳng thức: ord k
k
ư
≥
ϕ
ϕ
α
) (
Trang 3
Chứng minh Đặt
) (
) ( ) ( ) (
x g
x f x
ϕ = ư , ở đây f(x), g(x) là các đa thức trên F, nguyên tố cùng nhau với f(x)g(x) ≠ 0 Khi đó, ta có
)
(
) ( ' ) ( ) ( ) ( )) ( ' ) ( ) ( ( ) ( ) (
x g
x g x f x x g x f x x f m x
α
Vì ordα (g(x)) = 0, nên ta có ordα(ϕ ’) ≥ m - 1 Do đó
ordα
ϕ
ϕ' = ordα(ϕ ’) – ordα(ϕ) ≥ - 1
Vì vậy, ta nhận được
ϕ
ϕ(k)
ư ) 1 (
) (
'' '
k k
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
= ordα
ϕ
ϕ' + ordα
ϕ
ϕ '' + + ordα
ư ) 1 (
) (
k k
ϕ
ϕ ≥ - k
7 Mệnh đề Gọi ϕ1, ϕ2 là hai hàm hữu tỉ trong F và a ∈ F Khi đó ta có bất
đẳng thức
ordα(ϕ1 + ϕ2) ≥ min { ordα(ϕ1), ordα(ϕ2)}
Chứng minh Đặt ordα(ϕ1) = m1 và ordα(ϕ2) = m2 Ta có
) (
) ( ) ( ) (
1
1 1
1
x g
x f x
) (
) ( ) ( ) (
2
2 2
2
x g
x f x
ở đây f1, f2, g1, g2 là các đa thức trên trường F và f1(x)f2(x)g1(x)g2 (x) ≠ 0
Đặt m = min{m1, m2} Ta được
=
)
) ( ) (
) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
2 2
1 2 2
1
2 1
x g x f
x g x f x
x g x f x
x
m m m
m m
ư
ư
Vì f2(α)g2 (α) ≠ 0 nên ta có ordα(ϕ1 + ϕ2) ≥ m = min { ordα(ϕ1), ordα(ϕ2)}
8 Định lý Giả sử f0, f1, , fn+1, (n≥2) là các đa thức với hệ số trong F, không
đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau, sao cho
f0 + f1 + + fn+1 = 0
Giả sử thêm rằng các đa thức f0, f1, , fn phụ thuộc tuyến tính Khi đó, nếu
0
≠
∑
∈I
i
i
f với mọi tập con thực sự I của {0, , n+1} thì
= +
≤
≤
1 0 1
n
i n
f n n f
Trang 4N T Quang – C Trường – P V Bắc, Một tương tự của định lý Mason, tr 57-63
Chứng minh Theo bổ đề trên, ta có thể tìm được một số nguyên dương l ≥ 2 sao cho có một phân hoạch
{0, 1, , n+1} = I1∪ ∪ Il
và các tập con
J1 ⊆ I1, J2 ⊆ I1 ∪ I2, , Jl-1 ⊆ I1 ∪ I2 ∪ ∪ Il -1 sao cho I1, I2∪ J1, , Il ∪ Jl -1 là các tập cực tiểu Đặt ni = #Ii ta có
2
1
+
=
∑
=
n n
l
i
Không làm mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng
0, 1, , n1 – 1 ∈ I1;
n1, n1+ 1, , n1 + n2 – 1, ∈ I2;
n + 2 – nl, , n + 1 ∈ Il Vì I1 là tập cực tiểu nên có một hệ thức tuyến tính tương ứng
β0f0 + β1f1 + + 1
1 ư
n
1 ư
n
Đạo hàm đến cấp n1 - 2 ta có
β0f0 + β1f1 + + 1
1 ư
n
1 ư
n
f = 0.
0
'
1
1 1 1
1
1 1 0 0
0
1
1
+ +
′ +
′
ư
ư
ư
n
n
f
f f
f
f f
f
f
β β
β
0
1
) 2 ( 1 1 1
1
) 2 ( 1 1 0 0
) 2 ( 0
1
1 1 1
1 1
= +
+
ư
ư
ư
ư
ư
ư
n n
n n n
n n
f f
f f
f
f f
f
f
β β
β
Tương tự như vậy do Ij ∪ Ij – 1 là các tập cực tiểu nên tồn tại các hệ thức tuyến tính tương ứng của các hàm thuộc tập Ij ∪ Ij – 1
Đạo hàm mỗi phương trình này đến cấp nj - 1 Do đó, ta sẽ thu được
∑l=
1 – 1 = n + 1 phương trình Ta có thể viết các phương trình đó dưới dạng
0
1 0
) (
1
=
∑
ư
≤
≤
∪
j j j j
j
n m J I i
i i
m i
f
f
Gọi ∆ là ma trận cấp (n+1)ì(n+2) lập bởi các hệ số
i
m i i
f
f( j)
β của fi Giả sử ∆i là
định thức của ma trận nhận được từ ∆ bằng cách xoá cột tương ứng với fi của ∆ Khi đó ta có
Trang 5fi ∆j = δij fj ∆i, 0 ≤ i, j ≤ n+1 và δij = ± 1 (1)
Giả sử I = {i1, , ik} là một tập con của {0, , n+1} Kí hiệu ( ) k k k k k k i i i i i i i i i i f f f f f f f f I ) ( ) 1 ( 1 1 1 1 1
1
1 ư ư ′ ′ = γ Vì 0 ∈ I1 nên ∆0 = a0γ(I’)γ(I2) γ(I l), ở đây a0 là hằng số khác không và I’ nhận được từ I1 bằng cách xoá cột tương ứng với f0 Vì các phần tử của I’ và Ij, (2 ≤ j ≤ l) độc lập tuyến tính nên γ(I’) ≠ 0 và γ(I j) ≠ 0 Vì vậy ∆0 ≠ 0, kết hợp với (1), ta suy ra ∆i ≠ 0 Từ (1), ta đặt k f f f n n n = ∆ = = ∆ = ∆ + + + 1 1 1 0 1 1 01 0 0 δ δ Vì vậy f0 = k∆0, do đó suy ra deg( )f0 =deg( )k +deg( )∆0 (2)
Bây giờ ta chứng minh ( ) ∑ + = ≤ 1 0 1 deg n i i f n n t k Thật vậy, giả sử a là một nghiệm của k(t) thì a là một nghiệm của đa thức fi nào đó (vì k(t) là một phân thức có tử thức là tích của các fi) Do f0, f1, , fn+1 nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại i0 sao cho ( ) 0 0 a ≠ f i Ta có ( ) ( ) 0 0 0 i i i t f t k ∆ =δ Nếu gọi {β0, β2, , βn} = {0, 1, , n+1}\{i0} thì ∆ bằng tổng các số hạng có i0 dạng n n n f f f f j j β β β β γ
0
1
0
) ( )
(
, ở đây 0 ≤ β0, β2, , βn ≤ n+1; 1 ≤ j1, , jn ≤ n, γ là hằng số khác
0 Vì vậy, từ định nghĩa 5 và mệnh đề 6 suy ra
( )
ư
≥
+ +
=
∑
= +
≤
≤ 0 1 0
) ( )
( (
) (
1 ord
ord
ord
0
1 0
0
) 1 0
a f n k
j a j
a
j j a
k n
n n n
n n
n f
f f
f f
f
f f
β
β
β
β
β β
β β
Do đó, từ mệnh đề 7, ta có
Trang 6N T Quang – C Trường – P V Bắc, Một tương tự của định lý Mason, tr 57-63
( )
∑
=+
≤
≤
ư
≥
∆
0 1 0
1 ord
0
a f n k i
a
k
Vì vậy, từ nhận xét trong định nghĩa 5, ta suy ra
( )
( )
∑
= +
≤
≤
≤
0 1 0
1 ord
a f n k a
k
n t
Bất đẳng thức trên đúng với mọi a là nghiệm của k(t) Theo định nghĩa bậc của hàm hữu tỉ, suy ra
( ) ∑+
=
≤
1 0
1 deg
n
n t
k (3) Bây giờ ta chứng minh deg ∆0≤ - n Thật vậy, ∆0 bằng tổng các số hạng có dạng
1
1 1
) ( ) (
n
n n
j j
i j i j
f f
f f
γ
Đối với mỗi số hạng này thì
( )1 ( )1
deg
deg
deg
) ( )
( )
( ) (
1
1 1
1
1 1
n f
f f
f f
f
f f
n
n n n
n n
j
i j j
i j j
j
i j i j
ư
=
ư + +
ư
≤
≤
+ +
=
Do đó
deg ∆0 ≤ - n (4)
Từ (2), (3) và (4) ta có
deg
1 0
f n n f
n
ư
≤ ∑+
=
Tương tự đối với f1, , fn+1 ta có
( )
max
1 0 1
f n n f
n
i n
≤ ∑+
= +
≤
≤
Định lý 8 đã được chứng minh
Trang 7Tµi liÖu tham kh¶o
[1] W D Brownawell and D W Masser, Vanishing sums in function fieds, Math Proc Comb Phil Soc., 100 (1986), 427- 434
[2] P C Hu and C C Yang, The “abc” conjecture over function fields, Proc Japan Acad., 76, Ser A (2000), 99-128
[3] S Lang, Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull Amer Math Soc., 23, (1990), 37-75
[4] R C Mason, Diophantine equation over function fields, London Math Soc Lecture Note Ser., Vol 96, Cambridge Univ Press Cambridge (1984)
[5] Nguyen Thanh Quang, Phan Duc Tuan, Siu-Yeung’s lemma in the p-adic case, Vietnam Journal of Math., 32: 2, (2004), 227-234
[6] P Vojta, Mordel’s Conjecture over functions, Invent Math 98, (1998),
115-138
SUMMARY
An analog of mason’s theorem
In this paper, by using the derivative of polynomials and the Wronskian technique, we give an analog of Mason’s theorem on the Borel equation for the complex polynomials
(a) Khoa to¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh
(b) Cao häc 11, Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh
(c) Cao häc 12, khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh.
Trang 8§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006
Trang 10Ngô Đình Quốc, Tính ω - xác định của các mầm hàm , tr 64-70
Trang 12Ngô Đình Quốc, Tính ω - xác định của các mầm hàm , tr 64-70
Trang 14Ngô Đình Quốc, Tính ω - xác định của các mầm hàm , tr 64-70