SỰ CHIA HẾT VÀ CHIA CÕN DƯ
Những kiến thức cần thiết
Với hai số nguyên tùy ý a và b (b0) thì tồn tại duy nhất cặp số nguyên q; r sao cho: a = bq + r 0 r b
Định nghĩa sự chia hết:
Cho hai số nguyên a và b, b0 Nếu tìm đƣợc số nguyên q mà a = bq thì ta nói rằng a chia hết cho b Kí hiệu: a b.
Hoặc có thể nói: b chia hết a Kí hiệu: b a Khi đó, ta nói: a là bội của b; b là ƣớc của a
1.1.2 Các tính chất về sự chia hết
Tính chất 7: Nếu một trong hai số a, b chia hết cho m mà số kia không chia hết cho m thì ab không chia hết cho m
Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m và một trong hai số chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
Tính chất 8: Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
Hệ quả: Nếu a m và a n , mà m, n 1 thì a mn
Tính chất 11: Nếu ab m , mà b, m 1 thì a m
Tính chất 12: Nếu a b thì ka b với mọi số nguyên k
với mọi k, l là số nguyên
1.1.3 Các dấu hiệu chia hết
1) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 2 (hoặc 5): Một số chia hết cho 2 (hoặc 5) khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó chia hết cho 2 (hoặc 5)
2) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc 25)
3) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 8 (hoặc 125): Một số chia hết cho 8 (hoặc
125) khi và chỉ khi số tạo bởi ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 (hoặc
4) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 3 (hoặc 9): Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9)
5) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số "đứng ở vị trí lẻ" và tổng các chữ số " đứng ở vị trí chẵn", kể từ trái qua phải chia hết cho 11
1.1.4 Một số kết quả thường sử dụng
1) Trong k số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho k
2) Khi chia số nguyên n cho số nguyên m khác 0 có thể nhận m giá trị dƣ từ 0 đến m 1.
3) Một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dƣ khi chia cho 3 (hoặc 9)
4) Một số chính phương khi chia cho 3 (hoặc 4) chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1, khi chia cho 5 (hoặc 8) chỉ có thể có số dƣ là 0; hoặc 1 hoặc 4
Nếu hai số a và b chia cho c (c0) có cùng số dƣ ta nói a đồng dƣ với b theo môđun c Kí hiệu: a b mod c
Với mọi a, b,c,d và m * a) a a mod m a b mod m và b c mod m a c mod m b) a b mod m ; c d mod m a c b d mod m c) a b mod m ; c d mod m ac bd mod m
Nếu d là ước chung dương của a, b, và m thì a b mod m a b mod m d d d
d) a c mod m ; c là ƣớc chung của a và b và c, m 1 thì a b mod m c c e) ab mod m ;n * acbc mod mc
Các dạng toán thường gặp
Bài toán về chia hết rất phong phú và đa dạng, với nhiều phương pháp giải khác nhau Tuy nhiên, chúng ta có thể phân loại một số loại bài toán thường gặp như sau:
1.2.1 DẠNG I Giải các bài tập thông thường về cấu tạo số
Bài tập "Tìm số" hoặc "điền các chữ số" thường liên quan đến các điều kiện ràng buộc về tính chất và dấu hiệu chia hết, vì vậy học sinh cần nắm vững các tính chất này Để giải quyết dạng bài này, việc áp dụng các tính chất chia hết là rất quan trọng.
Ta có: m a a a 1 2 n với các a i 1, n i là đôi một nguyên tố cùng nhau
Ví dụ 1: Hãy thay các chữ số vào các chữ a, b để số là bội số của 180
2a44b 180 2a44b phải chia hết cho 9 và 10
Mà a là chữ số nên 1 a 1 10 nên a +1 = 9 a 8.
Vậy a = 8; b = 0, ta đƣợc số: 28440 Thử lại: 28440 : 180 = 158
Hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 9, có tổng là một số có ba chữ số, là bội số của 5 Tổng chữ số hàng trăm và hàng đơn vị của số này là bội số của 9, trong khi tổng chữ số hàng trăm và hàng chục chia hết cho 4.
Bạn hãy đoán xem tôi đã nghĩ ra hai số nào?
Gọi hai số đã cho là: N và N + 1
Theo bài ra ta có: N + N +1 = abc (a, b, c là các chữ số) (1) abc 5 (2) a + c chia hết cho 9 (3) a + b chia hết cho 4 (4)
Từ (1) abc lẻ Do đó c = 5, thay vào (3) ta đƣợc: a 5 9 a 4.
+ Nếu b = 0 thì N + ( N +1) = 405 N 202, N + 1 = 203 (loại vì không có số nào chia hết cho 9)
+ Nếu b = 8 thì 485 = N + (N +1) N 242 và N + 1 = 243 (Thỏa mãn 2439) Vậy hai số cần tìm là: 242; 243
Ví dụ 3: Tìm các chữ số trong đẳng thức:
Tổng các chữ số của A = 72 +x + y chia hết cho 9 x y 9 (1)
A 11 Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11, ta có: y x 8 11 (2)
Các bài toán liên quan đến dấu hiệu chia hết rất đa dạng, nhưng không phải số nào cũng có dấu hiệu này Để giải quyết các bài toán như vậy, chúng ta cần kết hợp cấu tạo số với các tính chất và lập luận một cách linh hoạt.
Dưới đây là hai ví dụ minh họa cho những bài toán không thể sử dụng dấu hiệu chia hết
Ví dụ 4: Biết rằng vừa chia hết cho 7; cho 11 và cho 13 Tìm số đó?
Số a7b8c9 chia hết cho 7, 11 và 13, ba số nguyên tố cùng nhau, do đó nó cũng phải chia hết cho tích của chúng, tức là 1001 Thương tìm được từ phép chia này là một số có ba chữ số.
Gọi số có 3 chữ số đó là: def.
Khi đó ta có: def 1001 a7b8c9 defdef a7b8c9 d a 8 e 7 c f b 9
Vậy số phải tìm là: 879879 Kiểm tra lại ta thấy kết quả là đúng
Ví dụ 5: Hãy thay các chữ số vào các chữ x, y trong số N = sao cho N chia hết cho 13
Ta xét hai trường hợp:
Do y nguyên nên x +1 chia hết cho 3
Vậy ta đƣợc các kết quả sau: 3020303; 3050203; 3080103; 3000803; 3030703; 3060603; 3090503
1.2.2 DẠNG II Bài tập về chứng minh sự chia hết trực tiếp theo định nghĩa và tính chất
Bài tập này chủ yếu xoay quanh các bài toán A chia hết cho m, với A là số cụ thể hoặc biểu thức chứa biến và m là số cụ thể Để giải quyết, ta thường phân tích m thành các thừa số nguyên tố khác nhau, sau đó chứng minh A chia hết cho từng thừa số đó.
Ví dụ 1: Cho A = Chứng minh rằng: n là số tự nhiên không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 285
Do 285 = 5.57 Trước hết ta chứng minh A chia hết cho 5:
Do n không chia hết cho 5 nên ta thấy n có dạng 5k 1 hoặc 5k2.
Vậy n 2 n 1 n 1 n 2 chia hết cho 5 với mọi n không chia hết cho 5
Vậy, ta đƣợc A chia hết cho 5 (1)
Ta cần chứng minh thêm: A57.
Nhận thấy rằng biểu thức \( n^4 - 1 \) luôn chia hết cho 8 với mọi số n lẻ, và \( 11 \cdot 2^n - 2 \cdot 6n \) cũng luôn chia hết cho 185, với 185 được phân tích thành \( 11 \cdot 2 + 2 \cdot 6 \) cho n lẻ Do (8, 185) = 1, chúng ta có thể xây dựng một bài toán mới từ những phát hiện này.
Cho A = Chứng minh rằng: A luôn chia hết cho 1480 với mọi n là số tự nhiên lẻ
Với cách làm như vậy, ta có thể tự đặt ra những bài toán tương tự như sau:
Ví dụ 2: Biết rằng a, b, c là các số cùng chẵn hoặc cùng lẻ Chứng minh rằng: chia hết cho 24
Mặt khác: vì a, b, c cùng tính chẵn lẻ a + b; b + c; c + a đều là số chẵn
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là 4 số nguyên Chứng minh rằng: chia hết cho 12
Ta chứng minh rằng: A chia hết cho 3 và 4
Ta thấy A là tích các thừa số là hiệu đôi một các số trong 4 số a, b, c, d nên:
Trong bốn số a, b, c, d, ít nhất hai số phải có cùng số dư khi chia cho 3, do đó hiệu của chúng chia hết cho 3 Có hai khả năng xảy ra: thứ nhất, có 2 số chẵn và 2 số lẻ, khi đó hiệu của hai số chẵn và hiệu của hai số lẻ đều chia hết cho 2, dẫn đến A chia hết cho 4 Thứ hai, có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ, từ đó ta có hai hiệu chia hết cho 2.
Vậy, A luôn chia hết cho 4 (2)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: A = 192021…7980 chia hết cho 1980
Ta thấy: A 1920 79.100 80 chia hết cho 20 (1)
Tổng các chữ số của A = 9.62 chia hết cho 9 (2)
Tổng các chữ số đứng ở vị trí lẻ của A là 9.31
Tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn của A là 9 31
Do đó A chia hết cho 11 (3)
Từ (1), (2) và (3) A chia hết cho 180
Ví dụ 5: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời là các số chính phương thì abc chia hết cho 30
Ta lần lƣợt chứng minh: abc chia hết cho 2, 3, và 5 a) Chứng minh chia hết cho 2
Mà b 2 4ac cũng là số chính phương lẻ nên b 2 4ac 8m 1
(1) b) Chứng minh chia hết cho 3
+ nếu ac = 3m + 1 thì b 2 4ac chia 3 dư 2 không thể là số chính phương + nếu ac = 3m + 2 thì b 2 4ac chia 3 dư 2 không thể là số chính phương
ac = 3m hay abc 3 (2) c) Chứng minh chia hết cho 5
Giả sử ac không chia hết cho 5 ac chia cho 5 sẽ dƣ 1 hoặc dƣ 2.
Khi đó: hoặc b 2 4ac hoặc b 2 4ac có dạng 5p2 không phải là số chính phương
Từ (1) (2) và (3) ta có: abc chia hết cho 30
Bài toán tương tự: Dùng tính chất về số chính phương ta có thể làm bài toán tương tự như sau:
Nếu x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: thì xyz
Để chứng minh tính chia hết cho một số cụ thể, ta có thể phân tích bài toán thành những phần nhỏ bằng cách chứng minh chia hết cho các bộ số nguyên tố cùng nhau có tích bằng số chia ban đầu Tuy nhiên, với những bài toán yêu cầu chứng minh chia hết cho một số tổng quát, phương pháp này không áp dụng được Do đó, cần sử dụng các tính chất về sự chia hết của tổng, hiệu hoặc lũy thừa để đạt được điều cần chứng minh.
Sau đây là một vài ví dụ cho những bài toán như vậy:
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Nếu chia hết cho m với mọi n > 0 (a, b, c, d ) thì chia hết cho m
Cho n lần lƣợt các giá trị 1, 2, 3 ta nhận đƣợc: ab c d m (1)
Từ (1) và (2) ab b 1 c chia hết cho m (4)
Từ (2) và (3) ab 2 b 1 c chia hết cho m (5)
Từ (4) và (5) ab b 1 2 chia hết cho m (6)
Mặt khác, từ (4) a b 2 2 b 1 2 c 2 chia hết cho m (7)
Từ (6) và (7) suy ra: c 2 chia hết cho m
Ví dụ 7: Giả sử a, b, c, d là những số nguyên tố cùng nhau với m = ad - bc
Chứng minh rằng: Nếu ax + by chia hết cho m thì cx + dy cũng chia hết cho m
Giải Đặt U = ax + by, V = cx + dy Khi đó: dU - bV = mx chia hết cho m
Mà dU chia hết cho m bV chia hết cho m, nhƣng vì m, b 1 V m (đpcm)
Ví dụ 8: Giả sử m, n, k là các số nguyên dương thỏa mãn và
Từ giả thiết m n n m m nk n mk
1.2.3 DẠNG III Dùng phương pháp qui nạp và nguyên tắc Đirichle để chứng minh sự chia hết Để nhận biết khi nào bài toán nên dùng phương pháp quy nạp và khi nào có thể dùng nguyên tắc Dirichle ta có thể dự đoán dựa vào yêu cầu của bài toán Đặc điểm nhận dạng những bài toán chứng minh chia hết dùng phương pháp quy nạp là khi cần chỉ ra bài toán đúng với mọi giá trị của n (hay m); còn những bài toán dùng nguyên tắc Dirichle thường là những bài toán về chứng minh sự tồn tại
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 1, ta có: A 1 5 2 1 8 8 (bài toán đúng)
+ Giả sử bài toán đúng với n = k Tức là: A k 5 k 2.3 k 1 1 8 k *
+ Ta cần chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 Tức là: A k 1 5 k 1 2.3 k 1 8
Mà 5 k 3 k 1 là số chẵn nên 5 k 3 k 1 2 4 5 k 3 k 1 8 Mặt khác: A 8 k
A k 1 8 Vậy theo nguyên lí quy nạp bài toán đƣợc chứng minh
Phương pháp quy nạp là một công cụ mạnh mẽ để chứng minh các bài toán thuộc một lớp cụ thể Ví dụ trên minh họa cách áp dụng phương pháp này để giải quyết những bài toán có dạng tổng quát.
Chứng minh rằng: a x n n a n 1 x n 1 a x 1 a 0 bn chia hết cho m với mọi n *
Chứng minh rằng: A chia hết cho B với m, n nguyên dương
Ta chứng minh quy nạp theo n:
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 1.2 Để chứng minh rằng tích của k số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 1.2…k, ta cần chỉ ra rằng tích của k + 1 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 1.2.3…(k + 1).
nguyên với m là số nguyên dương tùy ý
Theo giả thiết quy nạp thì Q , Q , , Q 1 2 n 1 là những số nguyên
Mà P m 1 k 1 P m 2 nguyên P m 3 nguyên … P 2 nguyên P 1 nguyên
Ví dụ 3: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên có n chữ số chia hết cho mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2
Khi n = 2, ta có 12 2 2 (bài toán đúng)
Giả sử bài toán thỏa mãn với n = k, k2 Khi đó tồn tại số A có k chữ số, các chữ số trong A là 1 và 2, và A 2 k Đặt A 2 B k
Ta xét hai trường hợp:
+ Nếu B chẵn ta xét số 2A Số này có k +1 chữ số, chỉ gồm các chữ số 1 và 2 Ngoài ra, 2A = 2.10 k A = 2 5 k 1 k 2 B k 2 k 1 5 k q
Trong đó: B = 2q với q nguyên dương Ta thấy 2A chia hết cho 2 k 1
+ Nếu B lẻ ta xét số 1A, số này có k + 1 chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2
Do 5 k và B là số lẻ nên 5 k B 2q Vậy 1A2 2q k 2 q k 1 chia hết cho 2 k 1
Nhƣ vậy bài toán vẫn đúng khi n = k +1 Vậy bài toán đúng n 2.
Trong ví dụ 3, mặc dù có cụm từ "tồn tại", bản chất bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề đúng với mọi giá trị của n, điều này có thể khiến người giải băn khoăn về việc lựa chọn giữa phương pháp quy nạp hay nguyên tắc Dirichlet Do đó, việc đọc và phân tích kỹ lưỡng đề bài là rất quan trọng để quyết định phương pháp giải phù hợp, thay vì chỉ dựa vào những dấu hiệu bề ngoài.
Ví dụ 4: Cho m, n là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Chứng minh có thể tìm đƣợc số tự nhiên sao cho chia hết cho m
Khi chia m + 1 số cho m, ta nhận được m + 1 số dư tương ứng, nhưng số dư khi chia một số cho m chỉ có m khả năng Do đó, trong m + 1 số trong dãy, ít nhất có 2 số sẽ có cùng số dư khi chia cho m.
Ta giả sử đó là n i và n j (1 < i < j m 1)
Ta có: n j n i chia hết cho m hay n n i j i 1 chia hết cho m
Nên ta có: n j i 1 chia hết cho m (k j i nguyên dương) (đpcm)
Bài toán tổng quát cho phép chúng ta thay đổi giá trị của m, n, và k để tạo ra các bài toán mới Ví dụ, khi đặt m = 2012 (năm hiện tại) và n = 13 (hoặc bất kỳ số nguyên tố nào), chúng ta có thể phát triển một bài toán cụ thể.
Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên k khác 0 sao cho:
Một số bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kì thì số 1992 n 1 không thể chia hết cho 1000 n 1.
Bài 2: Có hay không số n nguyên dương để 10 n 1993 chia hết cho 10 1993 1
Bài 3: Tìm số dƣ khi chia 5 70 7 50 cho 12
Bài 4: Số a 5 chia cho 7 dƣ 5 Hãy tìm số dƣ trong phép chia a cho 7
Bài 5: a) Tìm 5 chữ số tận cùng của 5 1989 b) Tìm hai chữ số tận cùng 2 999
Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P x x 5 3x 4 6x 3 3x 2 9x 6 không thể có nghiệm nguyên
không phải là số nguyên
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm n, trong hai số sau
2n 1 n 1 an 2 2 1 và b n 2 2n 1 2 n 1 1 luôn có đúng một số chia hết cho 5
Bài 9: Kí hiệu K(a) là số các chữ số của số tự nhiên a
Chứng minh rằng: K 5 1992 K 2 1993 chia hết cho 2
Bài 10: Cho dãy số a 1 13, a 2 15,…, a n 3 n 2 n 7 Chứng minh rằng: trong
5 số hạng liên tiếp của dãy có đúng một số chia hết cho 5
Bài 11: Cho a, b, c là các số tự nhiên đôi một có số dƣ khác nhau trong phép chia cho 5 Chứng minh rằng trong 3 số: M = 3a + b + c; N = 3b +a + c; P = 2a + 2b + c luôn có đúng một số chia hết cho 5
Bài 12: Giả sử a, b, m, n là những số nguyên dương trong đó a và b nguyên tố cùng nhau và a > 1 Chứng minh rằng: a m b m a n b n thì m chia hết cho n
Bài 13: Có 333…3 (có 100 chữ số 3)
Hãy tìm số nguyên dương k bé nhất để sao cho trong hệ thập phân số k 333…3 (có
100 chữ số 3) là một số chỉ có toàn chữ số 1
Bài 14: Với giá trị nào của n (n 2 ), thì mệnh đề sau đây là đúng:
" Nếu a 1 3 a 2 3 a n 3 chia hết cho 9; ( a 1 với i 1, n ) thì ít nhất một trong các a i chia hết cho 3"
Bài 15: Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: (100x + 10y + z)21 thì x 2y 4z 21
Bài 16: Chứng minh rằng với mọi n thì A 21 2n 1 17 2n 1 15 không chia hết cho 19
Bài 17: Chứng minh rằng nếu (n, 10) = 1 thì n 101 và n sẽ có ba chữ số tận cùng giống nhau
Bài 18: Cho m và n là những số tự nhiên với n > m 1 Trong cách viết thập phân ba chữ số cuối cùng của 1978 m theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của 1978 n Tìm các số m, n sao cho tổng m + n có giá trị nhỏ nhất
SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Một số tự nhiên lớn hơn 1, không có ƣớc nào khác ngoài 1 và chính nó đƣợc gọi là số nguyên tố
Định nghĩa 2: Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố đƣợc gọi là hợp số
Nhận xét 1 : Nếu a là hợp số thì bao giờ cũng phân tích đƣợc thành tích hai số tự nhiên lớn hơn 1 nghĩa là a = m.n với m > 1; n > 1
Nhận xét 2: Nếu a là hợp số thì bao giờ a cũng có một ƣớc số d và 1 < d < a
Nhận xét 3: Từ định nghĩa và các chú ý trên ta suy ra rằng nếu a là hợp số thì bao giờ a cũng có ít nhất là 3 ƣớc số.
Các định lý
2.2.1 Định lý 1: Ƣớc số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là một số không vƣợt quá N.
Gọi p là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của N, tức là: N = p.N 1 với p N 1
Hệ quả: Nếu số N > 1 không có một ƣớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì N là một số nguyên tố
2.2.2 Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đƣợc thành tích các thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)
+ Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp: Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích đƣợc ra thừa số nguyên tố
Giả sử điều khẳng định là đúng với mọi số m > 1 và m < n Ta chứng minh khẳng định đúng với n
Nếu n là hợp số thì theo định nghĩa, ta viết đƣợc: n = a.b, với a, b < n
Theo giả thiết quy nạp, a và b là tích của các thừa số nguyên tố, do đó n cũng là tích của các thừa số nguyên tố
+ Chứng minh cách phân tích trên là duy nhất bằng quy nạp:
Giả sử mọi số m < n đều phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất, ta chứng minh điều đó cũng đúng với n
Nếu n là số nguyên tố thì kết quả là hiển nhiên
Giả sử n là hợp số và có hai cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau: n = p.q.r…= p’.q’.r’… (1)
Trong các phân tích số nguyên tố, các số p, q, r… và p’, q’, r’… không có số nguyên tố nào chung giữa hai cách phân tích Nếu tồn tại một số nguyên tố s chung, chúng ta có thể chia cho s và tìm ra số nhỏ hơn n với hai cách phân tích khác nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết quy nạp.
Trong phân tích số nguyên tố, giả sử p là số nguyên tố nhỏ nhất trong phân tích thứ nhất và p' là số nguyên tố nhỏ nhất trong phân tích thứ hai, điều này không làm mất tính tổng quát của vấn đề.
Vì n là hợp số nên np 2 và np' 2 , mà pp ' nên p.p’ < n
Số m = n – p.p’ < n đƣợc phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (theo giả thiết quy nạp)
Vì vậy, phân tích m ra thừa số nguyên tố, ta có: m = n – p.p’ = p.p’.P.Q với P, Q…là các số nguyên tố Do đó: p.p ' n = p.q.r…p ' q.r.
Vậy p’ là một ước nguyên tố của q.r… nhỏ hơn n, và p’ không trùng với bất kỳ thừa số nào trong q.r… Điều này mâu thuẫn với giả thiết quy nạp rằng mọi số nhỏ hơn n đều có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố một cách duy nhất.
Các dạng toán thường gặp
Các bài tập thuộc chuyên đề này có thể phân ra thành các dạng chính sau đây:
2.3.1 DẠNG I: Chứng minh một biểu thức nào đó luôn nhận giá trị là số nguyên tố hay hợp số Để chứng minh một biểu thức nào đó luôn nhận giá trị là hợp số ta thường chỉ ra biểu thức đó chia hết cho một số tự nhiên lớn hơn 1 và khác chính nó (có thể là số cụ thể hoặc ở dạng biểu thức tùy vào từng bài)
Ví dụ 1: Cho n và n > 1 Chứng minh rằng: Các số sau đây là hợp số: a) b)
Do n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n 2 n 1 và n 2 n 1 đều là các số tự nhiên và có n 2 n 1 n n 1 1 1 (vì n > 1)
Vậy n 4 n 2 1 là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1 b) Ta xét hai trường hợp:
+ Nếu n = 2k (k ) thì n 4 4 n là số chẵn lớn hơn 2 nên nó là hợp số
Rõ ràng mỗi thừa số của tích đều là các số tự nhiên lớn hơn 2 nên n 4 4 n là hợp số
Vậy n 4 4 n là hợp số với mọi số tự nhiên n > 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các số có dạng và đều là hợp số với n nguyên dương
+ Ta có: 2 2 2 n 1 3 2 6k 2 3 4.2 6k 4 7 4 64 k 1 7 chia hết cho 7
+ Hơn nữa, 2 2 2 n 1 3 2 6k 2 3 7 với n nguyên dương 2 2 2 n 1 3 là hợp số
Chứng minh tương tự: 2 2 4 n 1 7 là hợp số bằng cách chứng minh đó là số tự nhiên lớn hơn 11 và chia hết cho 11
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu n là hợp số thì cũng là hợp số
Nếu n là hợp số n a.b (a, b nguyên dương, 1 < a, b < n)
Do vậy: 2 n 1 2 a b 1 2 a 1 Q (Q là số tự nhiên lớn hơn 1)
có một ƣớc số là 2 a 1 Mà 1 < a < n 1 2 a 1 2 n 1.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu 8n + 1 và 24n + 1 là các số chính phương với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì 8n + 3 là hợp số
Giải Đặt 8n +1 = x 2 và 24n + 1 = y 2 (x, y nguyên dương) 3x 2 y 2 2.
Vì x, y nguyên dương nên 2x + y nguyên dương và lớn hơn 1 (1) 2x y
Từ (1) và (2) 8n 3 là hợp số
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu p và 2p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4p +
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3p chỉ có thể có dạng: p = 3k +1 hoặc p = 3k +2 (k 1 )
Nếu p = 3k +1 2p 1 6k 3 3 2k 1 lớn hơn 3 và chia hết cho 3 (trái giả thiết) Do đó: p = 3k + 2 Khi đó 4p +1 = 12k + 9 > 3 và chia hết cho 3 nên 4p +1 là hợp số
MỞ RỘNG: Dựa trên cách làm của ví dụ 4 ta có thể đề ra bài toán tương tự:
Chứng minh rằng: Nếu p và là các số nguyên tố thì 5p + 4 là hợp số
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Nếu một trong hai số và (n > 2) là số nguyên tố thì số kia là hợp số
Với n > 2 thì mỗi số ấy đều lớn hơn 3 (1)
Trong ba số tự nhiên liên tiếp, luôn có ít nhất một số chia hết cho 3 Vì 2 không chia hết cho 3, nên trong hai số 2n - 1 và 2n + 1 sẽ có một số chia hết cho 3.
Trong hai số 2n - 1 và 2n + 1, nếu một số là số nguyên tố thì số còn lại phải là hợp số Để chứng minh một biểu thức luôn là hợp số, ta có thể chỉ ra rằng nó chia hết cho một số lớn hơn 1 và khác chính nó, hoặc áp dụng tính chất rằng giữa hai số nguyên tố liên tiếp không tồn tại số nguyên tố nào khác Tính chất này dẫn đến kết quả thú vị được trình bày trong ví dụ 7 dưới đây.
Ví dụ 7: Giả sử là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: số là hợp số
vì p , p 1 2 là hai số lẻ
Mặt khác: p 2 Q p 1 Q nằm giữa hai số nguyên tố liên tiếp
Vì vậy, Q là hợp số
Để chứng minh một biểu thức là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước lớn hơn 1 và khác chính nó Ngược lại, chứng minh một biểu thức là số nguyên tố theo định nghĩa, tức là không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó, là một nhiệm vụ khó khăn Vì vậy, để xác định một biểu thức là số nguyên tố, người ta thường tìm đáp số cụ thể từ các dữ kiện ban đầu và thay vào biểu thức cần chứng minh, hoặc sử dụng phương pháp phản chứng.
Ví dụ 8: Cho p và + 2 là các số nguyên tố Chứng minh rằng: cũng là số nguyên tố
Nếu p không chia hết cho 3 thì p 2 2 3 p 2 2 không nguyên tố (loại)
p 3 Mà p nguyên tố p 3 Khi đó: p 3 2 29 là số nguyên tố
Ví dụ 9: Cho A = n! + 1 và B = n + 1 Chứng minh rằng nếu A thì B là số nguyên tố
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử B không phải là số nguyên tố
Do đó B có ƣớc nguyên tố p với p < B p n n! p
Suy ra: 1 p (vô lý) điều giả sử là sai
Vậy B phải là số nguyên tố
2.3.2 DẠNG II: Tìm giá trị của chữ để biểu thức nhận giá trị là số nguyên tố hay hợp số Ở dạng này, ngoài vận dụng linh hoạt các định nghĩa, nhận xét và các tính chất về chia hết, ta còn đưa vào hai tính chất sau:
p là số nguyên tố p = ab, a và b là các số nguyên thì:
Trường hợp không thể sắp thứ tự a, b thì ta có các trường hợp sau: a = 1; b = p a = -1; b = - p a = p; b = 1 a = -p; b = -1
Ví dụ 1: Tìm số n nguyên dương để a) là số nguyên tố
31 b) là số nguyên tố c) là số nguyên tố
Ta thấy: n 2 2n 2 n 2 2n 2 1 với n nguyên dương
Vậy để n 4 4 là số nguyên tố thì n 2 2n 1 1 n 1.
Khi đó: n 4 4 5 là số nguyên tố b) n 3 n 2 n 1 n 1 n 2 1 Ta thấy n 2 1 n 1 0 với n nguyên dương Vậy để n 1 n 2 1 là số nguyên tố thì n - 1 = 1 n 2. c) Ta có: n 1991 n 1990 1 n 2 n 1
Vì n nguyên dương nên n 2 n 1 1 nên để n 1991 n 1990 1 là số nguyên tố thì:
Nếu n > 1 thì vế trái luôn lớn hơn vế phải Mà n nguyên dương n 1.
Với n = 1 thì n 1991 n 1990 1 = 3 là số nguyên tố
Ví dụ 2: Tìm để P = là số nguyên tố
Ta có: P a 2 5a 6 a 2 a 3 là tích của hai số nguyên liên tiếp
P 2 nên để P nguyên tố thì P = 2 Do đó: a = 1 hoặc a = 4
Ví dụ 3: a) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho cũng là số nguyên tố b) Tìm tất cả các số nguyên tố p để cũng là số nguyên tố
Giải a) Do p, q, r là các số nguyên tố liên tiếp nên p 2 q 2 r 2 3.
Vậy để p 2 q 2 r 2 3 là số nguyên tố thì nó phải không chia hết cho 3 (*)
Nếu trong 3 số p, q, r không có số nào chia hết cho 3 thì p 2 q 2 r 2 3 (trái với
(*)) Vậy để p 2 q 2 r 2 là số nguyên tố thì trong 3 số p, q, r phải có một số chia hết cho 3 và vì số đó nguyên tố nên nó phải bằng 3
Có 2 bộ 3 số nguyên tố liên tiếp mà trong đó có một số bằng 3 là:
(2; 3; 5) và (3; 5; 7) Thử lại đƣợc bộ (3; 5; 7) vì 3 2 5 2 7 2 73 nguyên tố
32 b) Xét p = 2 2 p p 2 8 là hợp số (loại)
+ Nếu p3 p 2 chia 3 dƣ 1 2 p p 2 3 Mà 2 p p 2 3 2 p p 2 là hợp số (loại)
+ Nếu p 3 Vì p nguyên tố p 3 Khi đó: 2 p p 2 8 9 17 là số nguyên tố (chọn)
Ví dụ 4: Tìm tất cả các số nguyên tố dạng: a) – 1 với n nguyên dương b) + 1 với n nguyên dương
+ Với n4 các số n - 1 và n + 2 đều lớn hơn 2, đồng thời trong đó có một số chẵn, vì vậy đó là hợp số
+ Với n = 2 thì A = 2 là số nguyên tố
+ Với n = 3 thì A = 5 là số nguyên tố
+ Với n = 1 thì A = 0 không là số nguyên tố
Vậy n 2;3 b) Tương tự: xét n 4 và n < 4 Ta tìm được: n 1;2;3
Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên sao cho tất cả các số: đều là các số nguyên tố (có thể bằng nhau)
Từ đầu bài suy ra:p 4 p 1 p 2 ; p 5 p 3 p 2 ; p 6 p 1 p 2 p 3
Ta xét các khả năng của p ,p ,p 1 2 3 : a) Nếu p ,p ,p 1 2 3 cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì p 4 và p 5 là các số chẵn lớn hơn 2
Ba số này không phải là số nguyên tố, vì trong số đó có một số chẵn và hai số lẻ Số chẵn lớn hơn 2, cụ thể là p 6, là hợp số Do đó, để đạt được điều kiện này, cần phải có hai số chẵn và một số lẻ.
+ Nếu p 1 lẻ p 2 p 3 2 p 5 4 là hợp số (loại)
+ Nếu p 3 lẻ p 1 p 2 2 p 4 4 là hợp số (loại)
Khi đó: p 4 p 5 p 2 2và p 6 p 2 4 p ,p ,p 2 4 6 là 3 số lẻ liên tiếp đồng thời là 3 số nguyên tố
Dễ thấy: p 2 3;p 4 p 5 5;p 6 7 Từ đó a 2 a 1 2; a 3 a 1 5 và a 4 a 1 7
( với a 1 là số tự nhiên tùy ý)
Ví dụ 6: Tìm các số nguyên tố p để a) 2p + 1 và 4p – 2 cũng là số nguyên tố b) ; cũng là số nguyên tố
Giải a) Xét các trường hợp:
+ Nếu p 3 p 3 Thử lại: 2p + 1 = 7 và 4p – 1 = 11 đều là số nguyên tố (thỏa mãn)
+ Nếu p chia 3 dƣ 1 thì 2p 1 3 (loại)
+ Nếu p chia 3 dƣ 2 4p chia 3 dƣ 2 4p 2 3 (loại)
Vậy p = 3 b) Tương tự câu a ta được: p = 3
Để tìm số nguyên tố p sao cho các biểu thức chứa p cũng là số nguyên tố, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách chọn một số nguyên tố cụ thể Ví dụ, nếu chọn p = 5, ta sẽ có những bài toán tương ứng để giải quyết.
1) Tìm các số nguyên tố p sao cho: + 1 và cũng là các số nguyên tố
2) Tìm các số nguyên tố p sao cho: p + 7; p + 11; p + 13; p + 19 cũng là số nguyên tố.
Một số bài tập tự luyện
Bài 1: a) Chứng minh rằng: Mọi số nguyên tố khác 2 và 3 có dạng 6m +1 hoặc 6m – 1 b) Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng 6n + 5
Bài 2: a) Tìm tất cả các số tự nhiên không phải là tổng của hai hợp số b) Biểu diễn số 1992 thành tổng của n hợp số Hỏi n lớn nhất là bao nhiêu
Bài 3: Cho p, q là các số nguyên tố thỏa mãn p - 1 chia hết cho q và q 3 1 chia hết cho p Chứng minh rằng: p = q 2 q 1.
Bài 4: Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của hai số tự nhiên thì cách biểu diễn đó là duy nhất
Bài 5: Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n để n 4 n 1 4 là hợp số
Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng các ƣớc số tự nhiên của p 4 là một số chính phương
Bài 7: Tìm k sao cho trong 10 số liên tiếp: k + 1, k + 2, …, k + 10 có nhiều số nguyên tố nhất
Bài 8: Các số 3, 5, 7 là ba số lẻ liên tiếp và đều là số nguyên tố Hãy tìm tất cả các bộ ba số lẻ liên tiếp và đều là số nguyên tố
Bài 9: Tìm số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng của hai số nguyên tố, vừa là hiệu của hai số nguyên tố
Bài 10: a) Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p + 1 bằng lập phương của một số tự nhiên b) Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 bằng lập phương của một số tự nhiên
Bài 11: Tìm các số nguyên tố x; y; z thỏa mãn: a) x 2 2y 2 1 0 b) x 2 y 3 z 4
Bài 12: Tìm cặp số tự nhiên (x, y) sao cho: 1 1 1 x y p (p là số nguyên tố)
Bài 13: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số nguyên dương (a, b) sao cho a 4 4b 4 là số nguyên tố
Bài 14: Tìm các số nguyên tố có bốn chữ số abcd sao cho ab; ac là các số nguyên tố và b 2 cd b c
Bài 15: Tìm tất cả các số tự nhiên n < 50 sao cho với mọi x ; x n 2 thì
2 f x x x n là các số nguyên tố
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT - BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Bội chung nhỏ nhất
3.2.1 Định nghĩa a) Một số nguyên đƣợc gọi là bội chung (BC) của các số a ,a , ,a 1 2 n khi nó là bội của mỗi số đó b) Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số a ,a , ,a 1 2 n là số dương nhỏ nhất trong tập hợp các bội số chung dương của chúng
Chú ý : Khi nói BC của các số a ,a , ,a 1 2 n ta giả thiết các số đó khác 0 c) Ký hiệu BCNN của dãy số a ,a , ,a 1 2 n là: a , a , , a1 2 n m (m0).
Chú ý: BCNN của nhiều số nguyên tố cùng nhau từng đôi một bằng tích của chúng
* Định lý: Nếu a m và a n thì a m, n
3.2.3 Cách tìm BCNN a) Cách 1: Để tìm BCNN của các số a i với (i 1, ,n); a i 1.
+ Phân tích từng số ấy ra thành thừa số nguyên tố
+ Lập tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất
Khi trong n số có một số chia hết cho tất cả các số còn lại, thì bội chung nhỏ nhất (BCNN) của n số đó chính là số đó Một cách khác để xác định BCNN là sử dụng tính chất 3, trong đó ta đặt m2 = [a, a, m1, 2] và 3 = [m, a, , m = m2, 3] n [n, 1 - an] Từ đó, ta có m = mn = [a, a, , a, 1, 2, n].
Các bài toán về ƣớc chung lớn nhất
3.3.1 DẠNG 1: Tìm ƢCLN của hai hay nhiều số Đối với dạng này ta thường đặt ƯCLN (a 1 , a 2 ,…,a n ) = d (d nguyên dương), rồi sử dụng tính chất và các định lý về chia hết ta suy ra số cụ thể chia hết cho d rồi chọn lựa giá trị thích hợp
Ví dụ 1: Tìm ƢC của hai số A = 2222222 và B = 22…2 (có 1992 chữ số 2)
Sử dụng thuật toán Ơclit Ta có B = kA + 2222, nên (A, B) = (A, 2222) Đặt 2222 = C Ta có A = 1000C + 222
Ví dụ 2: Tìm ƢCLN của tất cả các số có 9 chữ số đƣợc viết bởi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 và trong mỗi số các chữ số đều khác nhau
Tất cả các số được tạo ra đều có tổng các chữ số bằng 45, do đó, chúng đều chia hết cho 9 Điều này chứng tỏ rằng 9 là ước chung của tất cả các số này.
Gọi d là ƯCLN cần tìm (d nguyên dương), ta có d9 (1) Xét hai số lập đƣợc A = 123456789 và B = 123456798
Từ (1) và (2) d = 9 (vì d nguyên dương)
Ví dụ 3: Cho (a, b) = 1 , tìm (với k nguyên dương)
Giải Đặt A a 2k b , B a b 2k Khi đó giả sử (A, B) = d (d nguyên dương) Ad và
Tương tự, d cũng là ước của 2a 2k
Vậy 2 chia hết cho d d = 1 hoặc d = 2 dễ thấy nếu a, b cùng lẻ thì d = 2 còn khi a, b khác tính chẵn lẻ thì d = 1
Chứng minh ƢCLN của nhiều số bằng số d nào đó
Chứng minh các ƢCLN của các bộ số khác nhau bằng nhau
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu (a, b) = 1 thì (a + b, ab) = 1
Giả sử (a + b, ab) = d (d 1) (a + b) và ab đều chia hết cho d
Vì d 1 nên tồn tại số p nguyên tố là ƣớc của d
giả sử trên là sai Vậy (a + b, ab) = 1
Vì (2 , d) 1 2 n (do d lẻ) (2 2 (2 n m n 1 1)d Đặt 2 m n 1 k (k nguyên dương lẻ do m n)
Ta có (2 ) 2 n k 1 chia hết cho d, mà (2 ) 2 n k 1 (2 ) 2 n k 1 2.
Trong đó (2 ) 2 n k 1chia hết cho 2 2 n 1 (do k lẻ); 2 2 n 1chia hết cho d (theo trên)
Ta suy ra: 2 chia hết cho d mà d lẻ suy ra: d = 1 (đpcm)
Phương pháp giải chủ yếu: “Ta chứng minh hai tập ƯC trùng nhau”
Tức là : Nếu d là ƯC của cặp này thì nó cũng là ƯC của cặp kia và ngược lại
Nhƣng ta có thể diễn đạt theo cách sau cho phù hợp với học sinh cấp 2: Đặt (a, b) = d 1 (d 1 nguyên dương) và (5a + 3b, 12a + 7b) = d 2 (d 2 nguyên dương)
Từ (*) và (**) suy ra d 1 = d 2 (đpcm)
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: với m n và m, n*.
+ Mặt khác: Vì m, n d nên tồn tại a, b sao cho: am bn d.
Từ những ví dụ trên ta nhận thấy:
- Để chứng minh các số nguyên tố cùng nhau ta dùng phương pháp phản chứng
- Để chứng minh ƯCLN của tập hợp số này bằng ƯCLN của tập hợp số kia ta chứng minh tập các ƯC của hai số ấy trùng nhau
- Trong chứng minh vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết
3.3.3 DẠNG 3: Chứng minh phân số tối giản
Để chứng minh một phân số a/b là tối giản, ta cần chỉ ra rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của tử số a và mẫu số b bằng 1, tức là (a, b) = 1.
Ví dụ 7: CMR: Với mọi giá trị nguyên dương của n thì phân số t ối giản
Giải Đặt A = 2n + 1; B = 2n(n + 1) Ta chứng minh (A, B) = 1
Thật vậy: Giả sử (A, B) = d (d nguyên dương)
Ta có: Ad; Bd A 2 2Bd MàA 2 2B 1 , vậy 1d hay d = 1
Ví dụ 8: Cho phân số trong đó n nguyên dương lớn hơn 1, với những giá trị nào của n thì phân số tối giản
Phương pháp: Đặt d = (A, B), ta xem khi nào d 1 , khi nào d = 1 rồi rút ra kết luận Đặt d (n 2 1, n(n 2 1)), ta sẽ chứng minh đƣợc d = 2 khi n lẻ và d = 1 khi n chẵn
tối giản khi n chẵn và không tối giản khi n lẻ (n 1 )
3.3.4 Một số bài toán khác
Ví dụ 9: Tổng của 30 số tự nhiên bằng 1984, giả sử d là ƢCLN của 30 số đó, tìm giá trị lớn nhất của d
Giả sử 30 số đó là a1, a 2 , …, a30 và d = (a 1 , a 2 , …, a30)
Vì d là ƣớc số của 1984 và k 30 , nên: 1984 1984 d k 30 hay d64
Vậy d lớn nhất (nếu có) là 64 Ví dụ: a 1 a 2 a 29 64 còn a 30 = 128
Ví dụ 10: Chứng minh rằng tồn tại vô số tự nhiên n để các số 19 + n và 93 + n nguyên tố cùng nhau
Chú ý: Có thể giải bài toán tổng quát nếu thay các số 19, 93 bằng các số tương ứng a, b (a b ), khi đó chỉ việc chọn: n (b a)k 1 a với k đủ lớn để cho n 0
Các bài toán về bội chung nhỏ nhất
Ví dụ 1: Hãy tìm BCNN của 3 số nguyên liên tiếp
Gọi 3 số nguyên liên tiếp đó là: a, a + 1, a + 2, ta có (a, a + 1) = 1
Ta có: (a(a 1), a 2) 1 nếu a lẻ, bằng 2 nếu a chẵn
Ta thấy rằng một số bất kỳ trong các số 1, 2, …, n luôn là ƣớc số của số nào đó trong các số n 1, n 2, , 2n Do đó: 1, 2, , 2n 1, 2n n 1, n 2, , 2n
Ta có thể diễn đạt theo cách sau: Đặt M1 1, 2, , 2n 1, 2n ; M2 n 1, n 2, , 2n (M 1 và M 2 nguyên dương) Theo định nghĩa ta có: M 1 chia hết cho k (với k 1, , 2n)
M 1 BC(n 1, n 2, , 2n ) M 1 M 2 (1) Mặt khác: M 2 chia hết cho i (với i n 1, n 2, , 2n)
Trong n số tự nhiên liên tiếp từ n đến n+n, luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho n Cụ thể, trong dãy số n, n+1, n+2, , n+n sẽ có một số chia hết cho 1 và một số chia hết cho 2.
…, một số chia hết cho n Vậy M 2 chia hết cho các số 1, 2, , 2n
* Lời giải trên cũng là hướng giải chính cho các bài tập cùng loại
* Khi giải các bài toán về BCNN chúng ta cũng phải vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết
Một số bài tập tự luyện
Tổng quát: Cho A = ma + nb; B = pa + qb thỏa mãn: mq np 1
Bài 2: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập tất cả các số có sáu chữ số (mỗi chữ số chỉ viết một lần) Tìm ƢCLN của tất cả các số đó
Bài 4: a) Chứng minh rằng trong năm số nguyên liên tiếp bao giờ cũng chọn đƣợc một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại b) Chứng minh rằng từ 16 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng chọn đƣợc một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại
Bài 7: Cho sáu số nguyên dương a, b, a’, b’, d, d’ sao cho (a, b) = d và (a’, b’) = d’
Chứng minh rằng: (aa’, bb’, ab’, a’b) = dd’
Bài 8: a) Chứng minh rằng dãy số: n
2 n * chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau b) Chứng minh rằng dãy số: n
6 n * chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau
Bài 9: Chứng minh rằng dãy số: 2 n 3 n ;n 2 chứa những dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau
Bài 10: Chứng minh rằng dãy số: M n 2 n 1 n * chứa những dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau (dãy số Mecxen)
Bài 11: Chứng minh rằng dãy số Féc – ma (Fermat): F n 2 2 n 1 n là dãy các số nguyên tố cùng nhau
Bài 12: Cho ba số tự nhiên a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một
Chứng minh rằng: (ab + bc + ca, abc) = 1
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Kiến thức cần thiết
Một số là bình phương đúng của một số tự nhiên được gọi là số chính phương
Các số 9, 225, A được gọi là số chính phương
Tính chất 1: Chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6,
Hệ quả: Một số có tận cùng thuộc tập hợp 2;3;7;8 không thể là số chính phương
Chú ý: Một số có tận cùng thuộc tập hợp 0;1;4;5;6;9 cũng chƣa thể khẳng định chắc chắn là số chính phương
Tính chất 2: Một số chính phương có tận cùng là 0 thì số các chữ số 0 tận cùng của nó phải là chẵn
Tính chất 3: Nếu A là số chính phương thì Ap 1 2 1 p 2 2 2 p 3 2 3 p n 2 n với
i và p i là các số nguyên tố
Tính chất 4: Nếu A = B.C và A, B là các số chính phương khác 0, C là số nguyên thì C là số chính phương
Kết quả tương tự: Bình phương của một số hữu tỉ là số nguyên thì số hữu tỉ ấy là số nguyên
Tính chất 5: A là số chính phương; A = B.C trong đó B và C là các số nguyên khác 0, nguyên tố cùng nhau thì B và C đều là các số chính phương
Tính chất 6: A là số chính phương, p là số nguyên tố mà A p thì A p 2
Tính chất 7: Dãy số chính phương là vô hạn và giữa hai số chính phương liên tiếp không còn số chính phương nào cả
4.1.3 Một số kết quả thường dùng
Số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương có tận cùng là 25 thì chữ số hàng trăm chỉ có thể là 0, 2 hoặc 6
Số chính phương chẵn chia hết cho 4; số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1
Bài tập về số chính phương
Bài tập về số chính phương rất phong phú và đa dạng, có thể phân loại thành các dạng thường gặp như: chứng minh một số là hoặc không phải là số chính phương; tìm giá trị của chữ số để một biểu thức trở thành số chính phương; chứng minh sự tồn tại của số chính phương thỏa mãn một điều kiện nhất định; và các bài toán liên quan khác.
Để giải quyết các bài toán dạng này, có nhiều phương pháp khác nhau, nhưng quan trọng nhất là vận dụng linh hoạt các tính chất Trong chuyên đề này, lý thuyết về phép chia hết và phép chia còn dư sẽ được áp dụng hiệu quả Bên cạnh đó, phương pháp phản chứng cũng sẽ đóng góp nhiều trong quá trình giải các bài tập.
4.2.1 Một số bài tập minh họa (lời giải vận dụng định nghĩa)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đều là các số chính phương: a) b) + + 7 với mọi
Mặt khác 2.10 n 7 3 B là số chính phương
Đối với các bài toán trong hai ví dụ trên, phương pháp phổ biến là chuyển đổi số đã cho thành dạng đa thức và sau đó thực hiện biến đổi đại số để viết nó dưới dạng bình phương của một số nguyên.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương
Do a nguyên dương suy ra: a 2 a 1 N.
Vậy A là số chính phương
Chứng minh rằng là số chính phương
Trở về ví dụ 2 ta đƣợc điều phải chứng minh
Ví dụ 4 : CMR nếu x + y = z + t thì số là tổng của 3 số chính phương
Ví dụ 5: CMR: một số tự nhiên n biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số chính phương khi và chỉ khi 2n có tính chất đó
* Ngƣợc lại, giả sử 2n c 2 d 2 c, d cùng tính chẵn lẻ, mặt khác:
4.2.2 Bài tập minh họa sử dụng các tính chất để giải
Để chứng minh một số hoặc tổng không phải là số chính phương, ta thường sử dụng tính chất về chữ số tận cùng của số chính phương Cụ thể, nếu chữ số tận cùng của số cần chứng minh thuộc tập hợp {2, 3, 7, 8} hoặc số chữ số 0 ở tận cùng là lẻ, thì số đó không thể là số chính phương Những bài tập này thường xuất hiện dưới dạng các lũy thừa.
Ví dụ 6 : Số sau có phải là số chính phương: a)
A tận cùng là tận cùng của 1 + 2 + 9 + 5 = 17
Vậy A không phải số chính phương b) Tương tự B có tận cùng bằng 3 B không phải số chính phương
Có thể lựa chọn các số tự nhiên sao cho không tồn tại tổng của một tập hợp nào trong số đó là một số chính phương hay không?
Xét dãy: 1992 1993 số tự nhiên sau: a 1 10. a 2 10 3 a 3 10 5
Rõ ràng các tổng thu đƣợc đều có tận cùng là một số lẻ các chữ số 0 nên không thể là số chính phương
Hạn chế của việc áp dụng tính chất về chữ số tận cùng của số chính phương là chỉ có thể sử dụng với các số cụ thể Đối với các biểu thức tổng quát, cần lựa chọn tính chất khác hợp lý hơn, trong đó tính chất 7 thường được sử dụng: “Giữa hai số chính phương liên tiếp không còn số chính phương nào khác.”
Ví dụ 8: Giả sử n là số tự nhiên khác 0, d là ước dương của 2n 2 CMR n 2 + d không chính phương
Vì d là ước nguyên dương của 2n 2 2n 2 = k.d (k nguyên dương)
2 2 2 2 n (k 2k)k x Suy ra k 2 2k là số chính phương
(Vô lý vì với k nguyên dương thì k 2 k 2 2k (k 1) ) 2
Vậy n 2 d không phải là số chính phương
Ví dụ 9: Tồn tại hay không các số nguyên dương x và y sao cho và đồng thời là các số chính phương
Do x 2 x 2 y x 2 x x 1 2 x 2 y không là số chính phương
Như vậy nếu y x 0 Lập luận tương tự ta cũng được: y 2 x không là chính phương
Vậy không thể tồn tại các số nguyên dương x và y sao cho x 2 y và y 2 x đồng thời là các số chính phương được
Ví dụ 10: Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên dương liên tiếp không bao giờ là số chính phương
= n 2 7n n 2 7n 6 n 2 7n 10 n 2 7n 12 Đặt B = n 2 7n 6 Ta có B và A cùng là các số chẵn
Thật vậy, ta chứng minh (*):
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì B > 0
Bất đẳng thức (1) B 2 14B 121 0 thỏa mãn với mọi B 21 (tương ứng n 2 )
Như vậy trong trường hợp này, A là số chẵn nằm giữa 2 số chính phương chẵn liên tiếp nên A không thể là số chính phương
Trường hợp nếu n = 1 dễ thấy A = 40320 không phải là số chính phương
Vậy tích của 8 số nguyên dương liên tiếp không bao giờ là số chính phương
Để chứng minh rằng một số hoặc biểu thức không phải là số chính phương, chúng ta có thể sử dụng tính chất 1, tính chất 2 hoặc tính chất 7.
50 minh một biểu thức là số chính phương hay tìm số chính phương ta sẽ sử dụng tính chất 3 hoặc tính chất 5 như một số ví dụ sau đây:
Ví dụ 11: CMR nếu a, b là các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức thì a - b; 2a + 2b + 1 và 3a + 3b + 1 là các số chính phương
Giả sử d > 1 d có ƣớc nguyên tố là p
điều giả sử là sai
đều là các số chính phương
Mặt khác biến đổi cách khác ta đƣợc: a b 3a 3b 1 a 2
Suy luận tương tự ta được: a b và 3a 3b 1 đều là số chính phương
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện: một nửa của số đó là bình phương của một số nguyên, một phần ba là lập phương của một số nguyên, và một phần năm là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.
Gọi số phải tìm là a ta có: a 2x 2 a = 3y 3 a = 5z 5 Trong phân tích tiêu chuẩn của a có chứa các thừa số nguyên tố 2, 3 và 5
Vậy a có dạng a 2 3 5 b 1 2 3 ( 1 , 2 , 3 nguyên dương) và b không chứa các thừa số 2, 3 và 5
2 là số chính phương 1 lẻ, 2 chẵn, 3 chẵn (1)
3 là lập phương của số nguyên 1 , 3 có dạng 3k; 2 có dạng 3k ' 1. (2) + Vì a
5 là lũy thừa bậc năm của số nguyên
Vậy a 2 3 5 15 10 6 Lại nhận thấy số 2 3 5 15 10 6 thỏa mãn đề bài
Vậy số phải tìm là 2 3 5 15 10 6
4.2.3 Một số ví dụ minh họa sử dụng dấu hiệu chia hết
Một vấn đề quan trọng là không phải bài toán nào cũng có thể giải quyết bằng các tính chất, vì vậy một phương án hữu ích là áp dụng dấu hiệu chia hết và chia có dư của các số chính phương, như đã được trình bày ở phần đầu mục 4.1.3 về những kết quả thường dùng.
Ví dụ 13: Viết liên tiếp 92 số từ 1 đến 92 đƣợc A, hoán vị tùy ý các chữ số của A ta được số B Hỏi số B có phải số chính phương không? Tại sao?
Kí hiệu S A là tổng các chữ số của A
Vì hoán vị các chữ số của A ta đƣợc B nên S A S B
Mà S A 795 chia cho 9 dƣ 3 B chia 9 dƣ 3
Như vậy B 3 nhưng B9 nên B không thể là số chính phương
Trong ví dụ 14, chúng ta xem xét 1990 số tự nhiên liên tiếp và nâng mỗi số lên một lũy thừa bậc chẵn với số mũ dương Câu hỏi đặt ra là liệu tổng các số thu được có phải là số chính phương hay không.
Nhận xét: Trong 1990 số tự nhiên liên tiếp có đúng 995 số chẵn và 995 số lẻ
Mà: + Lũy thừa bậc chẵn của một số chẵn thì chia hết cho 4
+ Lũy thừa bậc chẵn của một số lẻ thì chia 4 dƣ 1
Tổng thu đƣợc chia 4 có cùng số dƣ với phép chia 995 : 4
Tổng thu đƣợc chia 4 dƣ 3
Kết luận: Tổng thu được không thể là số chính phương (vì số chính phương chia 4 chỉ dƣ 0 hoặc 1)
Ví dụ 15: Cho A = không phải là một số chính phương với n nguyên dương
Mà số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1
Nên A không phải là số chính phương
4.2.4 Các bài toán tìm số chính phương hoặc tìm chữ để biểu thức nhận giá trị là số chính phương
Khi giải quyết các bài toán tìm số chính phương, chúng ta thường áp dụng các tính chất liên quan đến chữ số tận cùng, cũng như các quy tắc về phép chia hết và phép chia có dư của số chính phương.
Ví dụ 16: a) Tìm số chính phương được viết bởi 4 chữ số 2, 2, 5, 7 b) Tìm số chính phương được viết bởi 5 chữ số 2, 2, 5, 7, 8
Gọi số chính phương viết được là A a) Chữ số hàng đơn vị của A phải tìm là 5
Chữ số hàng chục của A phải là 2 và do đó chữ số hàng trăm phải là 2
Ta có số: 7225 85 2 b) Ta có tổng các chữ số của A là: S A 2 2 5 7 8 24 3 nhƣng 249. Nên A 3 nhưng A9 Do đó A không thể chính phương
Ví dụ 17: Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau
Giải Đặt A m 2 aabb 11 100a b (a, b là các chữ số)
9a + 1 phải là số chính phương a 7 Khi đó: b = 4
Vậy số phải tìm là 7744 88 2
Ví dụ 18: Bình phương của số tự nhiên N có 4 chữ số tận cùng giống nhau Hãy tìm tất cả các số N có tính chất nhƣ vậy
+ Nếu b 1;5;6;9 thì A chia cho 4 dư 2 hoặc 3 Nhưng số chính phương chia 4 chỉ dƣ 0 hoặc 1
là số chính phương Mặt khác: B11 3 mod 4 (mâu thuẫn)
Tìm một số A nhỏ hơn 500.000, là số chính phương, có chữ số cuối cùng là một số nguyên tố, và khi đọc ngược lại từ phải sang trái, ta vẫn nhận được chính số A.
+ Vì A là số chính phương nên tận cùng chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6, 9
+ Tận cùng của A là số nguyên tố nên tận cùng của A phải là 5
+ Do số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2
+ Do đọc ngƣợc lại từ phải sang trái vẫn đƣợc A nên hai chữ số đầu phải là 52
Lại có: A < 500000 nên A chỉ có thể là một trong các số 525; 5225; 52a25 (a là chữ số)
Bằng phép thử, ta nhận thấy tất cả các số trên đều không là số chính phương
Không có số nào thỏa mãn điều kiện của bài toán Đối với các bài tập yêu cầu tìm giá trị của biến để biểu thức trở thành số chính phương, chúng ta thường đặt biểu thức đó bằng m² Sau đó, chúng ta sử dụng các tính chất để chuyển đổi về dạng tích, hay nói cách khác là về dạng "phương trình nghiệm nguyên" Dưới đây là một số ví dụ tiêu biểu để minh họa.
Ví dụ 20: a) Tìm x để là số chính phương b) Tìm x để số chính phương
Xét các trường hợp xảy ra ta được: n = 6 2 p 5 p p 6 36 p 6
Vì 2n, 2x + 1 nên 2n 2x 1 và 2n 2x 1 đều nguyên
Làm nhƣ cách 1 ta đƣợc x = 5 hoặc x = -6
Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x có nghiệm hữu tỉ
Lập luận tương tự cách 1 ta được n = 6 Vậy x = 5 hoặc x = -6
Ví dụ 21: Tìm x để là số chính phương
Giải TH1: Ta thử các trường hợp n < 8 đều suy ra A không chính phương
TH2: Xét n8 khi đó: A 2 1 2 8 3 2 n 8 Đặt n - 8 = m Ta có: A 2 9 2 8 m chính phương 9 2 m chính phương Đặt 9 2 m k 2 2 m k 3 k 3
k 3 và k 3 đều là các lũy thừa của 2 và có hiệu bằng 6
Ví dụ 22: Chứng minh rằng n = 1980 là giá trị tự nhiên lớn nhất để là số chính phương
Xét n 19 khi đó: A 4 19 1 4 981 4 n 19 chính phương
là số chính phương Đặt n - 19 = m và 1 4 981 4 m B 2 1 4 981 B 2 m B 2 m
Ví dụ 23: Tìm số chính phương có 8 chữ số biết rằng số lập bởi 4 chữ số đầu lớn hơn số lập bởi 4 chữ số sau 1 đơn vị
Giả sử số cần tìm là a 2 (có 8 chữ số) và x là số lập bởi 4 chữ số cuối
số lập bởi 4 chữ số đầu là x + 1
Mà 10001 = 73 137 Xảy ra ba trường hợp:
TH1: Nếu 1 trong 2 thừa số chia hết cho 10001 thì a 100 10001. a 100 10001
thay vào a = 137k + 100 ta đƣợc: a 10001m 922. + Nếu m = 0 thì a = 922 có 3 chữ số (loại)
+ Nếu m > 0 thì a có quá 4 chữ số (loại)
Lập luận tương tự trường hợp 2, ta được: a = 10001m – 992
Ví dụ 24: Tìm số chính phương P có n + 4 chữ số, trong đó n chữ số đầu tiên và 4 chữ số cuối cùng đều là các số chính phương khác 0 Mục tiêu là xác định giá trị lớn nhất của P.
Số chính phương tạo bởi n chữ số đầu là B 2 và số tạo bởi 4 chữ số cuối là C 2 (A, B,
Do C 2 có 4 chữ số nên C 2 99 2 9801
Vậy A nhận giá trị lớn nhất nếu B và C cùng nhận giá trị lớn nhất
Do đó giá trị lớn nhất của A đạt đƣợc khi B = 49 và C = 99
Ví dụ 25: Tìm n để là số chính phương
+ Nếu n 2 A chia 4 dư 2 (loại vì số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1)
Một số bài tập tự luyện
Bài 1: a) Cho Tính tổng các chữ số của b) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên m ta luôn chỉ ra đƣợc ít nhất một số chính phương có tổng các chữ số bằng 3m 3 3m 1992 1993
Chứng minh rằng: Nếu A thì A là số chính phương
Bài 4: Tìm số tự nhiên mà lập phương của nó là một số có 6 chữ số được tạo thành từ các chữ số 3; 5; 5; 7; 7; và 8
Bài 5: Tìm tất cả các số chính phương dạng: 1985ab.
Bài 6: Tìm các số abc biết xyzabcabc 2
Bài 7: Hãy tìm tất cả các số tự nhiên x, y để 2 x 5 y là số chính phương
Bài 8: Tìm tất cả các chữ số a, b biết 2.ab 1 và 3.ab 1 đều là các số chính phương
Chứng minh rằng: 4T n 1 là số chính phương với T n t 1 t 2 t n
Bài 10: Tìm số chính phương có 4 chữ số, có chữ số cuối cùng khác 0 sao cho khi xóa bỏ hai chữ số cuối cùng thì thu được một số chính phương
Bài 11: a) Tìm n để n 4 2n 3 2n 2 n 7 là số chính phương b) Tìm p nguyên tố để 1 p p 2 p 3 p 4 là số chính phương c) Tìm x để y 1 x x 2 x 3 là lập phương của một số nguyên
Bài 12: Tìm a để 13a + 3 là số chính phương