Luận án tiến sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

Luận án được nghiên cứu với mục tiêu nhằm thiết lập một số định lý tương tự định lí của Ritt đối với hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp phức và p-adic.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT

VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1 TS Vũ Hoài An

2 GS.TSKH Hà Huy Khoái

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îngd¨n cõa GS.TSKH H  Huy Kho¡i v  TS Vô Ho i An C¡c k¸t qu£ vi¸tchung vîi t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v oluªn ¡n C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trongb§t ký cæng tr¼nh khoa håc cõa ai kh¡c

T¡c gi£

Ph¤m Ngåc Hoa

Líi c£m ìn

Luªn ¡n ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i khoa To¡n thuëc tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m kh­c cõa GS TSKH H  Huy Kho¡i v  TS Vô Ho i An C¡c th¦y

¢ truy·n cho t¡c gi£ ki¸n thùc, kinh nghi»m håc tªp v  sü say m¶ nghi¶ncùu khoa håc Vîi t§m láng tri ¥n s¥u s­c, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìnch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t èi vîi hai th¦y

T¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m èc ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban  o t¤o

¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håcTh¡i Nguy¶n, c¡c Pháng Ban chùc n«ng, Pháng  o t¤o, Ban chõ nhi»mkhoa To¡n còng to n thº gi¡o vi¶n trong khoa, °c bi»t l  tê Gi£i t½ch ¢t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶ncùu v  ho n th nh luªn ¡n

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng H£iD÷ìng, Pháng Ban chùc n«ng, Pháng  o t¤o, c¡c gi£ng vi¶n trong Khoa

Tü Nhi¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nhhåc tªp nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ, b¤n b± trong c¡c Seminart¤i Bë mæn To¡n Gi£i t½ch v  To¡n ùng döng Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m-

¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v  Tr÷íng Cao ¯ngH£i D÷ìng ¢ luæn gióp ï, ëng vi¶n t¡c gi£ trong nghi¶n cùu khoa håc.T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh,

°c bi»t l  chçng còng hai con trai, nhúng ng÷íi ¢ chàu nhi·u khâ kh«n,v§t v£ v  d nh h¸t t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n, chia s´, kh½ch l» ºt¡c gi£ ho n th nh ÷ñc luªn ¡n

T¡c gi£

Ph¤m Ngåc Hoa

Möc löc

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Möc löc iii

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 9

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 9

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c h m ph¥n h¼nh 14

1.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 20

Ch÷ìng 2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 38

2.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 39

2.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 44

2.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 54

Ch÷ìng 3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 67

3.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 67

3.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 79

3.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n v  a thùc sai ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 85

K¸t luªn v  ki¸n nghà 93

Danh möc cæng tr¼nh 94

T i li»u tham kh£o 95

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

ành lþ cì b£n cõa lþ thuy¸t sè ph¡t biºu r¬ng måi sè nguy¶n n ≥ 2

·u biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng

º mæ t£ k¸t qu£ cõa Ritt, ta k½ hi»u M(C) (t÷ìng ùng, A(C)) l  tªpc¡c h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, nguy¶n) tr¶n C v  k½ hi»u L(C) l  tªp c¡c

a thùc bªc 1 °t E, F l  c¡c tªp con kh¡c réng cõa M(C), khi â mët

h m ph¥n h¼nh F (z) ÷ñc gåi l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n E× F n¸u b§t

ký c¡ch vi¸t th nh nh¥n tû F (z) = f ◦ g(z) vîi f (z) ∈ E v  g(z) ∈ F ·uk²o theo ho°c f l  tuy¸n t½nh ho°c g l  tuy¸n t½nh N«m 1922, Ritt [46]

¢ chùng minh ành lþ sau

ành lþ A (ành lþ thù nh§t cõa Ritt) Cho F l  tªp con kh¡créng cõa C[z] \ L(C) N¸u mët a thùc F (z) câ hai c¡ch ph¥n t½ch kh¡cnhau th nh c¡c a thùc khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n F × F:

F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs,

th¼ r = s, v  bªc cõa c¡c a thùc ψ l  b¬ng vîi bªc cõa c¡c a thùc ϕ n¸ukhæng t½nh ¸n thù tü xu§t hi»n cõa chóng

Công trong [46], Ritt ¢ chùng minh ành lþ sau

ành lþ B (ành lþ thù hai cõa Ritt) Gi£ sû r¬ng a, b, c, d ∈ C[x]\

C thäa m¢n a◦b = c◦d v  gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1

Khi â tçn t¤i c¡c h m tuy¸n t½nh lj ∈ C[x] sao cho (l1 ◦ a ◦ l2, l2−1 ◦ b ◦

l3, l1 ◦ c ◦ l2, l4−1◦ d ◦ l3) câ mët trong c¡c d¤ng

(Fn, Fm, Fm, Fn) ho°c

(xn, xsh(xn), xsh(x)n, xn),

ð âm, n > 0 l  nguy¶n tè còng nhau, s > 0nguy¶n tè còng nhau vîi n, v 

h ∈ C[x]\xC[x], l−1j l  h m ng÷ñc cõa lj, Fn, Fm l  c¡c a thùc Chebychev

Ð ¥y, ph²p ph¥n t½ch F (z) = f ◦ g(z) ch½nh l  ph²p hñp th nh

c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh a(b) = c(d), ð â a, b, c, d l  c¡c a thùc

v  bªc cõa c¡c a thùc l  nguy¶n tè còng nhau Rã r ng ph÷ìng tr¼nh

a thùc ÷ñc Ritt nghi¶n cùu l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh h m

Ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u t¡c gi£nh÷ T¤ Thà Ho i An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [3], H.Fujimoto [19], H  HuyKho¡i-C.C.Yang [35], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51],

º þ r¬ng, ph÷ìng tr¼nh h m li¶n quan mªt thi¸t ¸n v§n · x¡c ànhduy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh-mët ùng döng cõa lþ thuy¸t ph¥n bègi¡ trà V§n · x¡c ành duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu l¦n ¦u ti¶n bðiR.Nevanlinna N«m 1926, R.Nevanlinna ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng: Vîihai h m ph¥n h¼nh f v  g tr¶n m°t ph¯ng phùc C, n¸u chóng câ chungnhau £nh ng÷ñc (khæng t½nh bëi) cõa 5 iºm ph¥n bi»t th¼ f = g (ành

lþ 5 iºm) v  n¸u chóng câ chung nhau £nh ng÷ñc (câ t½nh bëi) cõa 4

iºm ph¥n bi»t th¼ g = af + b

cf + d (a, b, c, d l  c¡c sè phùc n o â sao cho

ad − bc 6= 0)(ành lþ 4 iºm) Khði nguçn tø ành lþ 5 iºm v  ành lþ 4

iºm, v§n · duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu li¶n töc vîi hai h÷îng nghi¶ncùu chõ y¸u v  ¢ câ r§t nhi·u k¸t qu£ s¥u s­c cõa G.Dethloff, é ùcTh¡i, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H  Huy Kho¡i, H  HuyKho¡i-Vô Ho i An, H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An-L¶ Quang Ninh, T¤ Thà

Ho i An, T¤ Thà Ho i An-H  Tr¦n Ph÷ìng, L.Lahiri, Tr¦n V«n T§n, S¾

ùc Quang, A.Escassut, H.Fujimoto,

Ti¸p theo, sü nghi¶n cùu ÷ñc mð rëng sang mët nh¡nh cõa lþ thuy¸tx¡c ành duy nh§t â l  xem x²t tªp x¡c ành duy nh§t cõa c¡c a thùc viph¥n V  ng÷íi ¦u ti¶n khði x÷îng cho h÷îng nghi¶n cùu n y l  Hayman.N«m 1967, Hayman ¢ chùng minh mët k¸t qu£ nêi ti¸ng r¬ng mët h mph¥n h¼nh f tr¶n tr÷íng sè phùc C khæng nhªn gi¡ trà 0 v  ¤o h m bªc k

cõa f, vîi k l  sè nguy¶n d÷ìng, khæng nhªn gi¡ trà 1 th¼ f l  h m h¬ng.Hayman công ÷a ra gi£ thuy¸t sau

Gi£ thuy¸t Hayman [21] N¸u mët h m nguy¶n f thäa m¢n i·uki»n fn(z)f0(z) 6= 1 vîi n l  sè nguy¶n d÷ìng v  vîi måi z ∈ C th¼ f l 

h m h¬ng.

Gi£ thuy¸t n y ¢ ÷ñc ch½nh Hayman kiºm tra vîi n > 1 v  ÷ñc Cluniekiºm tra vîi n ≥ 1 C¡c k¸t qu£ n y v  c¡c v§n · li¶n quan ¢ h¼nh th nhmët h÷îng nghi¶n cùu ÷ñc gåi l  sü lüa chån cõa Hayman Cæng tr¼nhquan trång thóc ©y h÷îng nghi¶n cùu n y thuëc v· Yang-Hua [51], haiæng ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh v  ìn thùc

vi ph¥n cõa nâ câ d¤ng fnf0 Hai æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, vîi f

v  g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng, n l  sè nguy¶n, n ≥ 11 n¸u fnf0

v  gng0 còng nhªn gi¡ trà phùc a t½nh c£ bëi th¼ ho°c f, g sai kh¡c nhaumët c«n bªc n + 1 cõa ìn và, ho°c f, g ÷ñc t½nh theo c¡c cæng thùccõa h m mô vîi c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â Tø â, c¡ck¸t qu£ ti¸p theo ¢ nhªn ÷ñc düa tr¶n xem x²t c¡c a thùc vi ph¥nd¤ng (fn)(k), [fn(f − 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) v 

câ d¤ng [fn(afm + b)](k), [fn(f − 1)m](k) (xem Zhang v  Lin, [54]), v  câd¤ng (f )(0)P0(f ),( xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda[11]) N«m 1997,thay v¼ nghi¶n cùu c¡c ¤o h m bªc n, I Lahiri [36] ¢ nghi¶n cùu c¡ctr÷íng hñp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi ph¥n khæng tuy¸n t½nh cõac¡c h m ph¥n h¼nh nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi Theo h÷îng nghi¶n cùu n y,n«m 2002 C Y Fang v  M L Fang [17] ¢ chùng minh r¬ng, n¸u n ≥ 13,

v  èi vîi hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g, m  f(n)(f − 1)2f0 v 

g(n)(g − 1)2g0 nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi, th¼ f = g V o cuèi nhúng n«mcõa thªp k n y, v§n · nhªn gi¡ trà công ÷ñc xem x²t èi vîi a thùcsai ph¥n cõa c¡c h m nguy¶n v  c¡c h m ph¥n h¼nh Laine v  Yang [37]

¢ nghi¶n cùu v§n · ph¥n bè gi¡ trà cõa t½ch sai ph¥n èi vîi c¡c h mnguy¶n X C.-Qi, L.-Z Yang v  K Liu [45] xem x²t c¡c t½ch sai ph¥n v 

vi ph¥n câ d¤ng f (z)(n)f (z + c), v  ¢ ch¿ ra i·u ki»n º f = tg, vîi f

v  g l  hai h m nguy¶n si¶u vi»t câ bªc húu h¤n

N«m 2007, xu§t ph¡t tø ành lþ thù hai cõa Ritt, F.Packovich [43] câ þt÷ðng x²t £nh ng÷ñc cõa hai tªp compact èi vîi hai a thùc Æng ¢ t¼m

÷ñc i·u ki»n cho hai a thùc f1, f2 v  hai tªp compact K1, K2 thäa m¢n

f1−1(K1) = f2−1(K2) K¸t qu£ cõa F.Packovich ÷ñc inh Ti¸n C÷íng mðrëng trong [13], [14] Tø ành lþ Ritt thù hai v  k¸t qu£ cõa F.Pakovichnâi tr¶n chóng tæi câ nhªn x²t

Nhªn x²t ành lþ Ritt thù hai câ thº ÷ñc xem l  k¸t qu£ ¦u ti¶nv· v§n · x¡c ành h m tø ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g), tø â sinh rac¡c k¸t qu£ cho V§n · x¡c ành a thùc thæng qua i·u ki»n £nh ng÷ñccõa tªp hñp iºm

Tø nhªn x²t n y v  c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h m (xem [3], [35],

[44]) n¶u tr¶n, v§n · nghi¶n cùu ÷ñc °t ra tü nhi¶n nh÷ sau.

V§n · 1 Xem x²t sü t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh

v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n

V§n · 2 Xem x²t V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h mph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n d÷îigâc ë cõa c¡c ành lþ Ritt

Tø â, chóng tæi chån · t i: "Mët sè d¤ng cõa ành lþ Ritt v  ùng döng

v o v§n · duy nh§t" º gi£i quy¸t c¡c v§n · nghi¶n cùu tr¶n ¥y, çngthíi gâp ph¦n l m phong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v  ùng döng cõa Lþ thuy¸tNevanlinna

2 Möc ti¶u cõa luªn ¡n

2.1 Thi¸t lªp mët sè ành lþ t÷ìng tü hai ành lþ cõa Ritt èi vîi h mph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n trongtr÷íng hñp phùc v  p-adic

2.2 Ti¸p cªn V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥nh¼nh, a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n trong tr÷ínghñp phùc v  p-adic d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

4 Ph÷ìng ph¡p v  cæng cö nghi¶n cùu

Sû döng hai ành lþ ch½nh v  c¡c t÷ìng tü cõa chóng còng vîi c¡c kiºu

Bê · Borel cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh h m.C¡c ph÷ìng tr¼nh h m n y t÷ìng tü nh÷ ph÷ìng tr¼nh h m trong ành lþRitt thù hai

Sû döng hai ành lþ ch½nh º chuyºn b i to¡n x¡c ành h m, b i to¡nduy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m Nhí â v  c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h mnâi tr¶n º ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· V§n · x¡c ành h m v  V§n · duy nh§t

5 Þ ngh¾a khoa håc cõa luªn ¡n

Luªn ¡n ¢ ÷a ra mët c¡ch ti¸p cªn mîi èi vîi V§n · x¡c ành, V§n

· duy nh§t cõa h m, a thùc vi ph¥n v  a thùc sai ph¥n â l , xemx²t c¡c v§n · n y d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt Nhí â thi¸t lªp

÷ñc c¡c k¸t qu£ mîi gâp ph¦n mð rëng th¶m c¡c ùng döng cõa Lþ thuy¸tNevanlinna

6 C§u tróc v  k¸t qu£ cõa luªn ¡n

Luªn ¡n gçm câ ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn v  t ili»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 vîi tüa ·: "Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi

a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh" Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶ncùu v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Nëi dungcõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [7], [29] Vi»c nghi¶n cùu

b i to¡n n y gçm c¡c b÷îc sau

B÷îc 1 Thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥nh¼nh

B÷îc 2 Chuyºn b i to¡n duy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m v  dòng k¸t qu£

ð B÷îc 1

Nh÷ ta ¢ th§y ð tr¶n, ành lþ thù nh§t cõa Ritt ¢ chùng tä r¬ng: b§t

ký hai sü ph¥n t½ch cõa mët a thùc cho tr÷îc th nh c¡c a thùc khængph¥n t½ch ÷ñc s³ chùa còng mët sè a thùc nh÷ nhau v  bªc cõa c¡c athùc trong méi c¡ch ph¥n t½ch l  nh÷ nhau n¸u khæng t½nh ¸n thù tü cõachóng trong c¡ch ph¥n t½ch Tø â, möc ti¶u thù nh§t cõa Ch÷ìng 1 l :Thi¸t lªp k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh.Tuy nhi¶n, ta th§y r¬ng, chùng minh cõa hai ành lþ cõa Ritt trong [46]d÷íng nh÷ khæng t÷ìng tü ÷ñc cho h m ph¥n h¼nh Lþ do l  ð ché, Ritt

¢ dòng ¸n i·u ki»n "húu h¤n" khæng iºm cõa a thùc trong chùngminh cõa æng Kh­c phöc khâ kh«n n y, tr÷îc ti¶n chóng tæi thi¸t lªp

ành lþ 1.2.2 ành lþ 1.2.2 ch½nh l  mët kiºu ành lþ Ritt thù hai èivîi ph÷ìng tr¼nh h m P (f1, f2) = Q(g1, g2), ð â P, Q l  c¡c a thùc haibi¸n kiºu Yi v  f1, f2, g1, g2 l  c¡c h m nguy¶n Chó þ r¬ng, k¸t qu£ n y

¢ ÷ñc ph¡t biºu v  chùng minh trong [2] v  [32], tuy nhi¶n ð ¥y chóngtæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë cõa ành lþ Ritt thù hai v  ÷a ra mëtc¡ch chùng minh kh¡c Nhí ¡p döng ành lþ 1.2.2 v  c¡c h» qu£ chóngtæi chùng minh ÷ñc ành lþ 1.2.5, ch½nh l  mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþRitt thù nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Trong Ch÷ìng 1 cán tr¼nh b y c¡cùng döng cõa ành lþ 1.2.2 â l  ành lþ 1.3.1 v  ành lþ 1.3.2, c¡c ành

lþ n y cho ta c¡c k¸t qu£ mîi v· Bi − U RSM cho c¡c h m ph¥n h¼nh

º þ r¬ng, v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (P (f ))(k), ð â

P l  a thùc v  f l  h m ph¥n h¼nh, l  mët b i to¡n khâ Khâ kh«n ð ¥y

l  trong tr÷íng hñp têng qu¡t hi»n ch÷a câ mët mèi li¶n h» tèt giúa h m

¸m, h m °c tr÷ng cõa f vîi h m ¸m v  h m °c tr÷ng cõa (P (f ))(k).V¼ vªy, c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ¢ x²t mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n

n y â l  c¡c d¤ng:[fn(f −1)m](k) vîif l  h m nguy¶n (xem [54]),(fn)(k)

vîi f l  h m ph¥n h¼nh (xem [10]) Chóng tæi ¢ gi£m bît khâ kh«n n y

èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (Pd(f ))(k) Tø â v  dòng c¡c kiºu t÷ìng

tü cõa ành lþ ch½nh thù hai (Bê · 1.1.5) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ1.3.10, â l  mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n.Ch÷ìng 2 vîi tüa ·: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§tcõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet" TrongCh÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 2: V§n · x¡c ành, V§n · duynh§t cõa h m ph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc

q-sai ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic d÷îi gâc ë cõa ành lþ Ritt thù hai.Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [4], [5], [7].Nh÷ ¢ · cªp ¸n ð tr¶n, v§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v  v§n · duynh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  câ c¡c k¸t qu£thó và trong tr÷íng hñpp-adic Trong [31], Kho¡i, An v  Lai ¢ nghi¶n cùu

ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet v  a thùc

vi ph¥n cõa nâ Chó þ r¬ng i·u ki»n n ≥ 3k + 5 trong ành lþ 2.2.7 l tèt hìn i·u ki»n t÷ìng ùng n ≥ 3k + 8 trong k¸t qu£ cõa Kho¡i-An-Lai(xem [31])

Trong [49] Yang ¢ °t ra v§n · sau: li»u ¯ng thùc f−1(S) = g−1(S)

vîi S = {−1, 1} èi vîi c¡c a thùc còng bªc f, g s³ k²o theo f = g hay

c¥u häi thù hai °t ra trong Ch÷ìng 2 l : cho S, T l  c¡c tªp khæng iºmcõa c¡c a thùc P (z), Q(z) t÷ìng ùng th¼ ta câ thº k¸t luªn g¼ v· f, g n¸u

Ef(S) = Eg(T )? ành lþ 2.2.8 còng c¡c h» qu£ 2.2.9 v  2.2.10 ¢ gi£i

¡p cho c¥u häi °t ra v  gâp ph¦n tr£ líi C¥u häi cõa C.C.Yang trong[38], C¥u häi cõa F.Pakovich trong [44] trong tr÷íng hñp p-adic TrongCh÷ìng 2 chóng tæi công thi¸t lªp ÷ñc c¡c k¸t qu£ l  ành lþ 2.3.2, mëtkiºu ành lþ Ritt thù hai cho mët vec-tì c¡c h m nguy¶n p-adic ành lþ2.3.7 l  k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸np-adic

Ch÷ìng 3 câ t¶n gåi: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èivîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íngkhæng-Acsimet" Trong Ch÷ìng 3 chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 3 d÷îi gâc

ë ành lþ thù hai cõa Ritt Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc vi¸t düa tr¶nc¡c b i b¡o [6], [22]

Trong tr÷íng hñp phùc, chõ · n y ÷ñc nghi¶n cùu g¦n ¥y v  ang

÷ñc ti¸p töc bði C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang([37]), Liu-Cao ([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]),H.X.Yi ([52]), Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ mîi ch¿ · cªp ¸n lîp h m ph¥nh¼nh câ bªc húu h¤n èi vîi t½ch sai ph¥n ho°c bªc khæng èi vîi t½ch q-saiph¥n

R§t nhi·u k¸t qu£ thó và công ¢ nhªn ÷ñc èi vîi c¡c h m ph¥nh¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]).K.Boussaf, A Escassut, J Ojeda ([11]) ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t

èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh p-adic m  f0P0(f ), g0P0(g) còng nhªn mët h mnhä Trong [9], J.-P Bezivin, K Boussaf v  A Escassut, ¢ nghi¶n cùuc¡c khæng iºm cõa ¤o h m mët h m ph¥n h¼nh p-adic

Möc ½ch cõa Ch÷ìng 3 l  thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ èi vîi V§n · duynh§t cõa t½ch q-sai ph¥n d¤ng fnfm(qz + c), cõa a thùc vi ph¥n v  q-saiph¥n d¤ng (fnm(z)fnd(qz + c))(k) Vô Ho i An-Ph¤m Ngåc Hoa [4], Vô

Ho i An-Ph¤m Ngåc Hoa-H  Huy Kho¡i [6], Vô Ho i An-H  Huy Kho¡i[28] ¢ câ c¡c k¸t qu£ theo h÷îng nghi¶n cùu n y Chó þ r¬ng, t½ch q-saiph¥n v  a thùc vi ph¥n n¶u tr¶n ch÷a ÷ñc · cªp trong tr÷íng hñp phùc

Lþ do l  ð ché, mèi li¶n h» giúa h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh f v 

h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh f (qz + c) câ thº khæng thi¸t lªp ÷ñctrong tr÷íng hñp phùc Nâ ch¿ thi¸t lªp ÷ñc trong tr÷íng hñp p-adic dot½nh ch§t °c bi»t cõa chu©n p-adic Dòng Bê · 3.1.2, 3.1.6 (c¡c kiºu cõa

ành lþ ch½nh thù hai cho h m ph¥n h¼nh p-adic) v  c¡c Bê · kÿ thuªtkh¡c chóng tæi thu ÷ñc ành lþ 3.2.7, ành lþ 3.3.4 cho V§n · 3 ành

lþ 3.2.7 l  mët k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa t½ch q-sai ph¥n cõa h mph¥n h¼nh p-adic ành lþ 3.3.4 l  mët k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõat½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i Hëi th£o quèc t¸ v· gi£it½ch phùc v  ùng döng l¦n thù 20 t¤i H  Nëi ng y 29/07-3/08/2012; Hëinghà To¡n håc phèi hñp Vi»t-Ph¡p, Hu¸ 20-24/08/2012; ¤i hëi To¡n håcVi»t Nam l¦n thù 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Hëi nghà ¤i sè- H¼nh håc-Topo, Buæn Ma Thuët ng y 26-30/10/2016; C¡c Seminar cõa Bë mæn Gi£it½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n; C¡c

Seminar cõa nhâm nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v  tr÷íngCao ¯ng H£i D÷ìng.

n y Muèn vªy, tr÷îc h¸t chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.2.2 nh÷ l  mët kiºu

ành lþ thù hai cõa Ritt Tø â, chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.2.5 v 

ành lþ 1.3.2 ành lþ 1.2.5 l  mët kiºu ành lþ thù nh§t cõa Ritt ành

lþ 1.3.2 l  mët k¸t qu£ èi vîi v§n · Bi − U RSM

Ti¸p theo, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.3.3 ¥y l  mët k¸t qu£ v· tªpx¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Tø â, dòng Bê · 1.1.5 (mëtt÷ìng tü cõa ành lþ ch½nh thù hai) v  dòng c¡c ph÷ìng tr¼nh h m (t÷ìng

tü ph÷ìng tr¼nh m  Ritt xem x²t) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ mët k¸t qu£ v· V§n · duy nh§t cho a thùc vi ph¥n

1.3.10-1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ

Tr÷îc h¸t, chóng tæi nh­c l¤i c¡c kþ hi»u v  kh¡i ni»m cì b£n còng vîi c¡ck¸t qu£ bê trñ dòng trong Ch÷ìng 1 (xem [1])

Gi£ sû f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C Vîi méi a ∈ C, ta ành

Ta câ c¡c Bê · sau (xem trong [20]).

Bê · 1.1.1 (ành lþ cì b£n thù hai) Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡ch¬ng tr¶n C v  a1, a2, , aq l  c¡c iºm ph¥n bi»t trong C∪ {∞} Khi â

Ta nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m sau

Mët a thùc kh¡c h¬ng P (z) ∈ C[z] ÷ñc gåi l  a thùc duy nh§t choc¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C n¸u vîi måi c°p h m ph¥n h¼nh f, g kh¡c h¬ngtr¶n C thäa m¢n P (f ) = P (g), ta câ f = g

T÷ìng tü, a thùc kh¡c h¬ng P (z) ∈C[z] ÷ñc gåi l  a thùc duy nh§tm¤nh cho c¡c h m ph¥n h¼nh, n¸u vîi b§t ký c°p f, g l  c¡c h m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  h¬ng sè c 6= 0 thäa m¢n P (f ) = cP (g), ta câ

f = g

a thùc duy nh§t (t÷ìng ùng, duy nh§t m¤nh) èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nhvi¸t t­t l  U P M (t÷ìng ùng, SU P M)

Gi£ sû F l  tªp con kh¡c réng cõa M(C) Hai h m f, g cõa F gåi l  nhªn

S t½nh bëi, (nhªn S CM ), n¸u Ef(S) = Eg(S) v  nhªn S khæng t½nh bëi,(nhªn S IM), n¸u Ef(S) = Eg(S)

Cho tªp S ⊂ C∪ {∞} N¸u Ef(S) = Eg(S) k²o theo f = g vîi hai h mph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n) kh¡c h¬ng f, g th¼ S gåi l  tªp x¡c

ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n) vi¸t t­t

Mët tªpS ⊂ C∪ {∞} gåi l  tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh(t÷ìng ùng, h m nguy¶n) khæng t½nh bëi, kþ hi»u U RSM − IM (t÷ìngùng, U RSE − IM), n¸u Ef(S) = Eg(S) k²o theo f = g

Mët tªp S ⊂ C∪ {∞} gåi l  U RSMm) ( t÷ìng ùng, U RSEm) ) n¸uvîi b§t k¼ hai h m ph¥n h¼nh (h m nguy¶n) f, g tho£ m¢n i·u ki»n

Ef,m)(S) = Eg,m)(S) k²o theo f = g

Hai tªp S1, S2 ⊂ C∪ {∞} ÷ñc gåi l  Bi − U RSM (t÷ìng ùng, Bi −

tho£ m¢n i·u ki»n Ef(Si) = Eg(Si), i = 1, 2 k²o theo f = g

Ta câ c¡c k¸t qu£ sau

Bê · 1.1.3 [24] (Bê · ¤o h m Logarit ) Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡ch¬ng tr¶n C Khi â vîi méi sè nguy¶n k, v  måi r < p ta câ

Bê · 1.1.4 [24] Cho f v  g l  c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C.N¸u Ef(1) = Eg(1) th¼ mët trong ba h» thùc sau l  óng:

1

T (r, f ) ≤N2(r, f ) + N2



r, 1f



+ N2(r, g) + N2



r,1g



+ N1(r, g) + N2



r,1g

a thùc thu¦n nh§t bªc d x¡c ành c¡c si¶u m°t câ và tr½ têng qu¡t trong

PN(C) Gi£ sû tçn t¤i ÷íng cong ch¿nh h¼nh f tø C v o PN(C) vîi biºudi¹n rót gån l  f = (f˜ 1 : · · · : fN +1)sao cho £nh cõa nâ n¬m trong ÷íngcong ÷ñc x¡c ành bði

çng nh§t khæng v  thäa m¢n i·u ki»n a1f1d+ a2f2d+ + an+1fn+1d = 0

Khi â tçn t¤i mët ph¥n ho¤ch cõa c¡c ch¿ sè, {1, , n + 1} = ∪Iv, thäam¢n

i Méi Iv ·u chùa ½t nh§t 2 ch¿ sè;

ii Vîi j, i ∈ Iv; ta câ fi = cijfj, ð â cij l  h¬ng sè kh¡c khæng

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu

Bê · 1.2.1 [2] Cho n, n1, n2, , nq ∈ N∗, a1, a2, , aq l  c¡c iºmph¥n bi»t cõa C, c ∈ C, c 6= 0 v  q > 2 +

ành lþ sau l  mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù hai cõa Ritt Chó þr¬ng, k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc · cªp ¸n trong Kho¡i-An-Ninh [32] v  trong[2] Tuy nhi¶n, ð ¥y chóng tæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë ành lþ thùhai cõa Ritt v  ÷a ra mët c¡ch chùng minh kh¡c

Chùng minh Tø (1.3) ta câ

cf1n + df1n−mf2m + ef2n − ug1n − vg1n−mgm2 − tg2n = 0, (1.4)

v  do â

ef2n + f1n−m(cf1m + df2m) − tg2n− g1n−m(ug1m + vg2m) = 0 (1.5)Chó þ r¬ng exn1, xn−m2 (cxm2 + dxm1 ), −txn3, −xn−m4 (uxm4 + vxm3 ) l  c¡c athùc thu¦n nh§t bªc n ð và tr½ têng qu¡t V¼ n ≥ 2m + 9 v  do Bê · 1.1.6n¶n tçn t¤i c¡c h¬ng sè C1, C2, C3, (C1, C2, C3) 6= (0, 0, 0), sao cho

f2 l  mët h m h¬ng, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t Vªy,

câ mët trong c¡c h¬ng sè C1, C2, C3 b¬ng khæng Ta s³ chùng minh r¬ng

C3 = 0

Thªt vªy, gi£ sû r¬ng C2 = 0 Th¸ th¼ tø (1.6) ta câ

C1ef2n+ C3f1n−m(cf1m + df2m) = 0

Suy ra f1

f2 l  mët h m h¬ng, i·u n y tr¡i vîi gi£ thi¸t

B¥y gií, gi£ sû C1 = 0 Tø (1.6) ta câ

Tø ¥y suy ra f kh¡c h¬ng v  ϕ công kh¡c h¬ng.

X²t tr÷íng hñp m ≥ 2, (m, n) = 1 Th¸ th¼ tø (1.6) ta th§y r¬ng sè bëicõa méi khæng iºm cõa f v  f − di l  mët bëi cõa n Do n ≥ 2m + 9

v  H» qu£ 1.1.2 ta suy ra r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.8) khæng câ nghi»m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

X²t tr÷íng hñp m ≥ 4 Do m + 1 > 2 + n − m

Pm i=1

1

n, ¡p döng Bê ·1.2.1 cho (1.8) vîi q = m + 1, n = n, n1 = n − m, n2 = n3 = = nm = 1

ta công nhªn ÷ñc mët m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

Vªy C3 = 0 Tø (1.6) ta câ

C1ef2n + C2tg2n = 0 (1.9)Suy ra, g2

T (r, f ) = T (r, g) + S(r, f ), S(r, f ) = S(r, g),

T (r, f ) = n

mT (r, h1) + S(r, f ), S(r, f ) = S(r, h1).

°t S(r) = S(r, f ) = S(r, g) = S(r, h1) Ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau ¥y.Tr÷íng hñp 1.m ≥ 2, (m, n) = 1.N¸u hn1− α v  hn−m1 − β khæng câ khæng

iºm chung th¼ måi khæng iºm cõa hn1 − α ·u câ bëi ≥ m Th¸ th¼

Kþ hi»u ζ l  mët c«n nguy¶n thõy bªc n cõa ìn và, ta câ

i·u n y m¥u thu¨n vîi n ≥ 2m + 9

N¸u hn1 − α v  hn−m1 − β câ khæng iºm chung th¼ tçn t¤i z0 sao cho

h1(z0) − ri ·u câ bëi ≥ m V¼th¸, do H» qu£ 1.1.2 ta câ

ìn, ph÷ìng tr¼nh zn−m − β = 0 câ n − m nghi»m ìn Do â zn− α =

0, zn−m− β = 0 câ nhi·u nh§t n − mnghi»m ìn chung V¼ th¸, câ ½t nh§t

m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh zn− α = 0 khæng ph£i l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh zn−m− β = 0, gåi c¡c nghi»m â l  r1, r2, , rm Th¸ th¼, méi khæng

iºm cõa h1 − rj, j = 1, , m, câ bëi ½t nh§t l  m Theo H» qu£ 1.1.2 ta

câ m(1 − m1) ≤ 2 Suy ra m ≤ 3, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

Vªy h1 l  h m h¬ng

Do g = h1f, g2 = lf2 n¶n ta câ g1 = hf1 Tø (1.4) v  do f1

f2, g1

g2 l  c¡c h mkh¡c h¬ng n¶n ta câ

g1 = hf1, g2 = lf2,

F = P ◦ f,

H» qu£ 1.2.4 Vîi måi h m ph¥n h¼nh f, ta ·u câfn l  h m khæng ph¥nt½ch ÷ñc èi vîi P = {zn+ dzn−m+ e}, ð â d, e l  c¡c h¬ng sè phùc kh¡ckhæng v  n, m l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n n ≥ m + 4

Chùng minh Gi£ sû ph£n chùng r¬ng tçn t¤i D ∈ P v  g ∈ M(C) saocho

fn = D ◦ g, fn = gn + dgn−m+ e

Khi â, lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh Bê · 1.2.3 ta nhªn ÷ñcmët m¥u thu¨n vîi n ≥ m + 4

Cho ai, bi, i = 1, 2, · · · , r v  pj, qj, j = 1, 2, · · · , s l  c¡c h¬ng sè kh¡ckhæng °t

P = {Ri = zn + aizn−m+ bi, i = 1, 2, , r};

Q = {Dj = zn + pjzn−m+ qj, j = 1, 2, , s}

Sau ¥y l  k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh

ành lþ 1.2.5 Cho n, m l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng, thäa m¢n n ≥ 2m + 4

v  ho°c m ≥ 2, (n, m) = 1, ho°c m ≥ 4 Gi£ sû f v  g l  hai h m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng sao cho f (t÷ìng ùng, g) l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n Q

(t÷ìng ùng, tr¶n P) Khi â, n¸u ta câ

Rr ◦ Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f = Ds◦ Ds−1◦ · · · ◦ D1 ◦ g,

th¼ r = s v  f = lg, vîi l l  mët h¬ng sè

Chó þ r¬ng tªp c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng khæng ph¥n t½ch ÷ñctr¶n P, Q l  væ h¤n (xem H» qu£ 1.2.4)

Chùng minh Gi£ sû

Rr◦ Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f = Ds◦ Ds−1 ◦ · · · ◦ D1 ◦ g (1.18)Khæng gi£m têng qu¡t, gi£ sû r¬ng r ≤ s

m, ai, bi, (i = 1, 2), l  c¡c sè phùc kh¡c khæng.

Gi£ sû c¡c a thùc Y(ai,bi,m,n)(x), (i = 1, 2), khæng câ nghi»m bëi vîi tªpc¡c khæng iºm t÷ìng ùng l  Si Gåi Ti l  tªp c¡c khæng iºm cõa c¡c athùc Y(ai,bi,m,n)(x + 1), (i = 1, 2)

ành lþ 1.3.1 Gi£ sû f, g l  c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng vîi c¡c kþ hi»u

v  gi£ thi¸t nh÷ tr¶n Gi£ sû r¬ng n ≥ 2m + 9, ho°c m ≥ 2 v  (m, n) = 1,

ho°c m ≥ 4, Ef(S1) = Eg(S2) Khi â tçn t¤i sè phùc h sao cho g = hf

f1n+ a1f1n−mf2m+ b1f2n = c(gn1 + a2gn−m1 g2m+ b2gn2) (1.21)

Do c l  h m nguy¶n khæng câ khæng iºm, n¶n luæn vi¸t ÷ñc c d÷îi d¤ng

c = eϕ = (eϕ/n)n V¼ th¸, khæng gi£m têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû c ≡ 1

Chùng minh Vi¸t f = f1

f2 (t÷ìng ùng g = g1

g2 ) vîi f1, f2 (t÷ìng ùng g1, g2)khæng câ khæng iºm chung Tø Ef(S1) = Eg(S1), Ef(T2) = Eg(T2) suy

ra tçn t¤i c¡c h m nguy¶n c, c0 khæng câ khæng iºm sao cho

f1n+ a1f1n−mf2m+ b1f2n = c(g1n+ a2gn−m1 g2m+ b2g2n),

(f1 + f2)n+ a2(f1 + f2)n−mf2m + b2f2n

= c0 (g1 + g2)n + a2(g1 + g2)n−mg2m+ b2gn2) (1.23)B¥y gií, lþ luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành lþ 1.3.1 cho (1.23)

P (x) = anxn+ bn + (a1x + b1)n+ · · · + (aqx + bq)n

Ta gåi P (x) x¡c ành nh÷ tr¶n l  a thùc ch§p nhªn ÷ñc v  vi¸t P (x) =R(x) + bn

°t v1 = (a, 0), v2 = (0, b), vi = (ai−2, bi−2), i = 3, , q + 2 °t A =

Chó þ r¬ng, do a thùc P (x) thäa m¢n i·u ki»n (B1) n¶n suy ra r¬ng

ành lþ 1.3.3 Gi£ sû P (x) l  a thùc ch§p nhªn ÷ñc v  S l  tªp c¡ckhæng iºm cõa nâ Gi£ sû c¡c i·u ki»n (B1), (B2), (B3) ÷ñc thäa m¢n

Li( ˜f ) = cii0Li0(˜g), cii0 6= 0 (1.27)

iii/ Tçn t¤i c¡c sè i0, i00 ∈ {1, , q + 2}, i0 6= i00 sao cho

Li( ˜f ) = cii0Li0(˜g) = cii00Li00(˜g), cii0, cii00 6= 0,

v  do â

Li0(˜g) = ci0 i00Li00(˜g), ci0 i00 6= 0 (1.28)N¸u ta câ (1.26) ho°c (1.28), ta s³ g°p m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f v  g

kh¡c h¬ng V¼ th¸, ch¿ x£y ra (1.27), tùc l , vîi méi i = 1, 2, , q + 2, tçnt¤i duy nh§t i0 ∈ {1, , q + 2} sao cho Li( ˜f ) = cii0Li0(˜g), i·u n y cângh¾a l 

Li(f1, f2) = cii0Li0(g1, g2),vîi cnii0 = 1 (1.29)B¥y gií, ta ti¸p töc chùng minh i = i0 Gi£ sû ph£n chùng r¬ng i 6= i0.Khi â, tçn t¤i j ∈ {1, , q + 2} sao cho

detAαdet(Aα)−1 = 1,detAβdet(Aβ)−1 = 1,

ta ho n thi»n chùng minh cõa ành lþ 1.3.3 Do gi£ thi¸t Ef(S) = Eg(S)

n¶n d¹ th§y r¬ng tçn t¤i h m nguy¶n h sao cho Q(f1, f2) = ehQ(g1, g2)

°t l = ehn v  G1 = lg1, G2 = lg2 Khi â Q(f1, f2) = Q(G1, G2) B¬ngc¡ch lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ f1

f2 =

G1

G2 Vªy th¼ f = g

Ti¸p theo, chóng tæi c¦n câ c¡c bê · sau.

Vªy Bê · 1.3.6 ÷ñc chùng minh.

Bê · 1.3.7 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, n ≥ k + 1 Khi â, ta câ

Bê · 1.3.8 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, n > 2k Khi â, ta câ

((P (f ))n)(k)(P (f ))n−k

Chùng minh 1 °t A = ((P (f ))n)(k), C = P (f ) Khi â T (r, C) =

nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi, th¼ f = g

Chùng minh Ta câ P (f ) = (f − e1) (f − ed), ei ∈ C,ei 6= 0, (P (f ))d =(f − e1)n (f − en)d.

K¸t hñp c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ

T (r, A) ≤ (2 + 2n + kn)T (r, f ) + (2 + 2n)T (r, g) + kN1(r, C) + N (r, 1

Q)+S(r, f ) + S(r, g)

T (r, B) ≤ (2 + 2n + kn)T (r, g) + (2 + 2n)T (r, f ) + kN1(r, D) + N (r, 1

F)+S(r, f ) + S(r, g)

Bði vªy

(d−2k)n(T (r, f )+T (r, g)) ≤ (4+4d+kd)(T (r, f )+T (r, g))+S(r, f )+S(r, g),((d − 2k)n − 4 − 4d − kn)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g)

Do d ≥ 3k + 5 > 2k + 4 + 4d + kn

n , n¶n ta g°p m¥u thu¨n

Tr÷íng hñp 2 (P (f ))d)(k) ((P (g))d)(k) = 1, ta câ

P (f ) = (f − e1) (f − en), (Cd)(k) = Cd−kF

+S(r, f ) + S(r, g),(nd − 2n − 2k + 1))(T (r, g) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g).

Do â ta g°p m¥u thu¨n v¼ d ≥ 3k + 5 > 2n + 2k − 1

n Vªy p = 0.Khi â (P (f ))d = (P (g))d V¼ th¸ P (f ) = eP (g), ed = 1 Tø ¥y, ta câ

Ef(S) = Eg(S) Do ành lþ 1.3.3 ta câ f = g

V½ dö 1.3.11 X²t tr÷íng hñp n = 25, q = 1 L§y a = 1, b, c, e l  c¡ch¬ng sè kh¡c khæng thuëc C, v  thäa m¢n c¡c i·u ki»n: