Đề + đáp án môn CASIO năm 2010

Ông Bắc gửi số tiền bằng ông A cũng thời gian 10 năm với lãi suất 5 % 12 /tháng; biết rằng hai ông không rút tiền lãi ra hàng năm hoặc hàng tháng.. Hỏi sau 10 năm đến hạn rút tiền, ai s

Phòng GD - ĐT Lâm Thao

- giải toán trên máy tính cầm tay casiO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

lớp 9 - năm học 2010-2011

Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi : 14/12/2010

Chú ý: Thí sinh đợc dùng loại máy tính CASIO f(x)500A- 500 M, 570 MS, 570 ES, Vn-500

MS, Vn 570 MS ( thí sinh phải ghi rõ dùng máy loại nào).

-Đề Bài :

Bài 1:Tính giá trị biểu thức: T= 3 3 3

3

8 3 5 64 12 20

8 3 5 57

Viết kết quả đúng và gần đúng của T

Bài 2: Tính tổng A = a1 + a2 + a3 +…+ a2024

trong đó: an=(n+ 1) n n n1+ + 1 ( Với n = 1; 2; 3; ; 2024)

Bài 3: CMR : 9+ 9 + + 9 <4 (Vế trái có n dấu căn)

Bài 4: Cho đa thức f(x) bậc 3 Biết f(0) = 15; f(1) = 17; f(2) = 9; f(3) = 6 Tìm f(17) = ? Bài 5: Ông Nam gửi tiết kiệm 2 000 000 000 đồng vào ngân hàng thời gian 10 năm với lãi

suất 5%/ năm Ông Bắc gửi số tiền bằng ông A cũng thời gian 10 năm với lãi suất 5 %

12 / tháng; biết rằng hai ông không rút tiền lãi ra hàng năm hoặc hàng tháng Hỏi sau 10 năm đến hạn rút, ai sẽ nhận đợc nhiều tiền hơn và hơn bao nhiêu? (làm tròn đến đồng)

Bài 6: Cho ∆ABC (Â=1v) có AB = 4,6892 cm , BC = 5,8516 cm

1) Tính góc B

2) Tính đờng cao AH

3) Tính độ dài đờng phân giác CI

Bài 7: Cho hai hình vuông ABCD và MNPQ đồng tâm O, có cạnh AB = 4 cm, MN = 3 cm.

Hình vuông MNPQ quay quanh O một góc x0 (x0<450) cho đến khi các đỉnh của nó nằm trên cạnh hình vuông ABCD Tính góc x0 ?

Bài 8: Cho dãy dãy số { }U n cho bởi: 1 1 2 5 1 2 5

5

n

=  ữ ữ − ữữ

Tính U19; U20; u22; U30; U32

………

H ớng dẫn chấm

Bài 1

(5đ) Tính giá trị biểu thức T= 3 3 3

3

8 3 5 64 12 20

8 3 5 57

đúng và gần đúng của T

HD:

Biến đổi cho kết quả đúng T =

3

3

8 (3 5) (64 24 5)(8 3 5 ) 19 8(8 9.5) 19 2 19

3 19 3

9

3 19 3

QTAP f(x) 570-MS

(KQ ≈2,080083823)

3,0

2,0 Bài 2

(5đ) Tính tổng A= a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2024

trong đó a n =( )

1

n+ n n n+ + ( Với n = 1;2;3; ; 2024) HD: xét an=

Thay n =1;2;3;…2024 ta đợc An=

45 45

1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + + 2024 − 2025 = − 2025 = − =

2,0

3,0 Bài 3

(5đ) CMR : 9+ 9 + + 9 <4 (Vế trái có n dấu căn)

HD: Chứng minh bằng quy nạp : Gọi vế trái là A(n)

Với n = 1 => A1= 9 4 < (đúng)

Giả sử BĐT đúng với n = k => Ak = 9+ 9 + + 9 <4 ( có k dấu căn)

Ta phải chứng minh đúng với k+1 dấu căn

Thật vậy: Ak+1 = 9+ 9 + + 9 = 9+A k < 9 4+ = 13 4< (ĐPCM) 5,0

Bài 4

(5đ) Chứng minh rằng số 222 555 + 555 222 chia hết cho 7.

HD:

1) Trớc hết tìm số d của phép chia 222555 cho 7:

- Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222 ≡ 5 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ 5555 (mod 7)

- Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia lũy thừa của 5 cho 7:

⇒ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 ≡ 53≡ 6 (mod 7) (1)

Vậy số d khi chia 222 555 cho 7 là 6.

2) Tơng tự, tìm số d của phép chia 555222 cho 7:

- Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7)

- Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia lũy thừa của 2 cho 7:

⇒ 2222 = 23.74 = (23)74 ≡ 174≡ 1 (mod 7) (2)

Vậy số d khi chia 555 222 cho 7 là 1.

Cộng vế với vế các phép đồng d (1) và (2), ta đợc:

222555 + 555222≡ 6 + 1 ≡ 0 (mod 7) Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7

2,0

2,0

1,0

Bài 5

(5đ) Cho đa thức f(x) bậc 3 Biết f(0) = 15; f(1) = 17; f(2) = 9; f(3) = 6 Tìm

f(17) = ?

Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 15; f(1) = 17;

f(2) = 9; f(3) = 6 nên:

15

17

d

a b c d

a b c d

a b c d

=



 + + + =



 + + + =





lấy 3 phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu và giải hệ gồm 3 phơng

1,0

1,0

trình ẩn a, b, c trên QTAP cho ta kết quả: 5; 25; 12; 15

a= b= − c= d =

f x = x − x + x+ ⇒ f(17) =

QTAP - Ghi f(x) vào màn hình

- Dùng phím CALC với x = 10 => f(17)=8889

1,0

2,0

Bài 6

(5đ) Ông Nam gửi tiết kiệm 2 000 000 000 đồng vào ngân hàng thời gian 10

năm với lãi suất 5%/năm Ông Bắc gửi số tiền bằng ông A cũng thời gian

10 năm với lãi suất 5 %

12 /tháng; biết rằng hai ông không rút tiền lãi ra hàng năm hoặc hàng tháng Hỏi sau 10 năm đến hạn rút tiền, ai sẽ nhận

đ-ợc nhiều tiền hơn và nhiều hơn bao nhiêu ? (làm tròn đến nghìn đồng).

HD:

* Lãi suất không rút ra hàng tháng nên lãi tháng 1 trở thành gốc của tháng

sau Tơng tự cho lãi năm và đợc tính bằng công thức An= a(1+m%)n

( Với An là tiền rút ra; a là số tiền gửi; m% là tỷ lệ lãi; n là số tháng gửi hoặc số

năm gửi tiền)

Thật vậy, ( Chứng minh bằng quy nạp)

Với n =1 thì A1 = a(1+m%) (đúng)

Giả sử công thức đúng với n = k tức là Ak = a(1+m%)k

Ta phải chứng minh đúng với n = k+1

Ta có Ak+1= a(1+m%)k+ a(1+m%)k.m% = a(1+m%)k(1+m%)

= a(1+m%)k+1 (đpcm)

Số tiền gửi của ông Nam sau 10 năm là 2.109.(1+5/100)10 = 3 257 789 254 (đ)

(QTAP : Cho KQ là : 3 257 789 254 )

Số tiền ông Bắc sau 10 năm = 120 tháng là:

2.109.(1+5/1200)1 = 3 294 018 997 (đ)

(QTAP cho KQ : 3 294 018 997).

Vậy ông Bắc đợc nhiều hơn ông Nam số tiền là:

3 294 018 997- 3 257 789 254 = 36 229 743 (đồng)

2,0 1,0

1,0 1,0 Bài 7

(6đ) Cho ∆ABC (Â=1v) có AB = 4,6892 cm , BC = 5,8516 cm

Tính góc B; Tính đờng cao AH; Tính độ dài đờng phân giác CI.

HD:

H

I

B

A

C

a/ Tính cos B =BC AB =4,68925,8516

QTAP : 4,6892 : 5,8516 = SHIFT cos -1 = (KQ ˆB ≈36044’25’’,64)

b/ Ta có AH = AB Sin B

Trên máy tính đợc AH ≈ 2,805037763 cm.

c/ Ta có

^ 0

2

ABC ACI = − = 26và IC =

0

90 2

B CosACI

Cos

−

=

− =

Trên máy tính đợc IC≈3,91575246 cm.

2,0 2,0

2,0

Bài 8

(7đ) Cho hai hình vuông ABCD và MNPQ đồng tâm O, có cạnh AB = 4 cm,

MN = 3 cm Hình vuông MNPQ quay quanh O một góc x 0 (x 0 <45 0 ) cho đến

khi các đỉnh của nó nằm trên cạnh hình vuông ABCD Tính góc x 0 ?

E F

Q'

P' M'

C D

O

P

N M

Q

N'

HD:

Gọi E là hình chiếu của N trên đờng thẳng // với cạnh của hình vuông kẻ từ O,

cắt NP tại F ta có N’E = 2 cm , NF = 1,5 cm => ∆O N F vuông cân tại F =>

ON= 3 2

2 cm vì góc N’ON = x0và góc NO F = 450 nên góc N’ O F= x0+ 450

ta có tg N’ Ô E =

=tg ( x0+450)=

2 2 3

2

viết QTAP và tính x0+450=70031’43’’,61

x0 =25031”43”,61

3,0

2,0

2,0

Bài 9

(7đ) Cho dãy dãy số { }U n cho bởi:

1 1 2 5 1 2 5

5

n

=  ữ ữ − ữữ

Tính U 19 ; U 20 ; u 22 ; U 30 ; U 32

HD

- Ta lập quy trình tính u n nh sau:

1 SHIFT STO A ( 1 ữ 5 ) ( ( ( 1 + 5 ) ữ 2 ) ∧ ANPHA A

- ( ( 1 - 5 ) ữ 2 ) ∧ ANPHA A ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 =

- Lặp lại phím: = =

Ta đợc kết quả: u19 =4181; U 20 =6765; U 22 =17 711; U 30 =832040;

U 32 =2 178 309

2,0 5,0

Ghi chú: Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa cho từng phần hoặc từng

bài có cách giải khác đó