Dãy số và cách xây dựng dãy số

Ngoài ra, khai thác những điều thú vị của dãy số trong đời sống với hi vọng thông qua nghiên cứu này, tìm ra những cách triển khai bài giảng mới thú vị hơn, gần gũi hơn giúp học sinh sẽ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Bốn năm đại học quả thực là quãng thời gian vô cùng ý nghĩa trong cuộc đời

em Dưới mái trường này em đã có biết bao kí ức tươi đẹp với bạn bè, thầy cô, em

đã từng bước trưởng thành hơn rất nhiều dưới sự dạy dỗ tận tình của thầy cô không chỉ về mặt lý thuyết chuyên môn mà còn là những kĩ năng xã hội, những bài học kinh nghiệm quý báu, những bài học chia sẻ đáng để suy ngẫm Em xin gửi lời cảm

ơn chân thành và sâu sắc nhất đến quý thầy cô giảng viên Trường Đại học khoa học

Tự nhiên và quý thầy cô giảng viên trường Đại học Giáo dục đã trao trọn tình cảm, tâm huyết, lòng nhiệt thành với nghề để truyền thụ cho em những kiến thức quý báu nhất, giúp em có hành trang vững chắc, tự tin hơn để sau này có thể bước vào nghề trở thành một giáo viên tương lai có đầy đủ về mặt chuyên môn lẫn kĩ năng và thái độ

Qua khóa luận này, em xin được gửi lời tri ân cũng như lời chúc tốt đẹp nhất tới toàn thể các thấy cô và đặc biệt, em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành, lời tri ân, lời chúc tới người thầy hướng dẫn em khóa luận tốt nghiệp này, PGS.TS Nguyễn Nhụy Cảm ơn thầy đã luôn tận tình chỉ bảo cho em từ những điều nhỏ nhặt nhất, cảm ơn thầy đã cho em những lời khuyên bổ ích, cảm ơn thầy đã luôn động viên, thúc giục chúng em trong suốt thời gian triển khai và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Dù đã rất cố gắng nhưng trong khóa luận này nhưng không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự quan tâm, những lời nhận xét quý báu của các thấy

cô và các bạn giúp kết quả nghiên cứu của em được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 13 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Lục Thị Lệ

DANH MỤC VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3.1 Nhiệm vụ nghiên cứu lý luận 2

3.2 Nhiệm vu nghiên cứu thực tiễn 2

4 Đối tượng, khách thể nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

1.1 Tổng quan 3

1.2 Một số khái niệm 3

1.2.1 Khái niệm Hàm số 3

1.2.2 Khái niệm “Dãy số” 4

1.2.2.1 Dãy số ở trung học cơ sở 4

1.2.2.2 Dãy số ở trung học phổ thông 5

1.2.3 Dãy số đơn điệu 6

1.2.3.1 Định nghĩa 6

1.2.3.2 Định lý 7

1.2.4 Dãy số bị chặn 9

1.2.5 Phương pháp quy nạp 10

1.2.6 Phương pháp giải toán bằng cách thiết lập công thức tính số hạng tổng quát 11

1.3 Các cách xác định một dãy số 12

1.3.1 Cho dãy số bằng cách liệt kê các phần tử 12

1.3.2 Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát 13

1.3.3 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 13

1.3.4 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (Cho dãy số bằng quy nạp) 13

1.3.5 Cấp số cộng 14

1.3.5.1 Định nghĩa 14

1.3.5.2 Tính chất đặc trưng của cấp số cộng 14

1.3.6 Cấp số nhân 14

1.3.6.1 Định nghĩa 14

1.3.6.2 Tính chất đặc trưng của cấp số nhân 15

1.3.7 Cấp số nhân cộng 15

1.3.7.1 Khái niệm 15

1.3.7.2 Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân cộng 15

CHƯƠNG II DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG BỞI QUY LUẬT ĐẶC BIỆT 17

2.1 Dãy số được xác định bởi quy luật cấp số cộng 17

2.2 Dãy số xác định bằng công thức cấp số nhân 22

2.3 Dãy số được xác định bởi quy luật cấp số nhân cộng 29

2.4 Dãy số Phi-bô-na-xi 32

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 38

3.1 BÀI GIẢNG 1 CẤP SỐ CỘNG 38

3.1.1 Mục tiêu của bài học 38

3.1.1.1 Về kiến thức 38

3.1.1.2 Về kĩ năng 38

3.1.1.3 Thái độ 38

3.1.2 Hoạt động dạy và học 39

3.2 BÀI GIẢNG 2.CẤP SỐ NHÂN 45

3.2.1 Mục tiêu 45

3.2.1.1 Về kiến thức 45

3.2.1.2 Về kĩ năng 45

3.2.1.3 Thái độ 45

3.2.2 Hoạt động dạy và học 45

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

mà mục đích chính là giới thiệu các dãy số đặc biệt và sự hình thành nên dãy số đấy Ngoài ra, khai thác những điều thú vị của dãy số trong đời sống với hi vọng thông qua nghiên cứu này, tìm ra những cách triển khai bài giảng mới thú vị hơn, gần gũi hơn giúp học sinh sẽ cảm thấy dãy số không chỉ là những con số khô khan xếp lại với nhau mà là cả một nền tri thức văn minh của nhân loại đáng để chúng ta học tập, tìm hiểu và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu về dãy số và sự hình thành nên các dãy số từ trong thực tế, cách xây dựng nên dãy số đặc biệt theo công thức cấp số cộng và cấp số nhân, trên cơ sở đó đề xuất một số bài giảng giúp học sinh thấy toán học gần gũi với đời sống hơn

2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nhiệm vụ nghiên cứu lý luận

- Tổng hợp, phân tích một số nghiên cứu về dãy số

- Trình bày các khái niệm liên quan đến dãy số cấp số cộng, cấp số nhân

- Cách xây dựng nên dãy số từ trong thực tiễn

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu thực tiễn

- Đề xuất một số bài giảng về dãy số được xây dựng từ cấp số cộng và cấp số nhân để áp dụng vào dạy học thực tế nhằm đem lại hứng thú và sự gần gũi của toán học đến với học sinh

4 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Dãy số và cách xây dựng nên dãy số

- Khách thể nghiên cứu: Nội dung dãy số trong trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

- Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Phần mở đầu

Phần nội dung gồm 3 chương

- Chương 1: Cơ sở lí luận

- Chương 2: Dãy số được xây dựng bởi quy luật đặc biệt

- Chương 3: Ứng dụng vào công tác giảng dạy

Phần kết luận và kiến nghị

- Đề tài “Dãy số viết theo quy luật” của Nguyễn Quốc Hùng năm 2015 đã nêu ra một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải cụ thể giúp các em tháo gỡ những khó khăn, lúng túng khi đứng trước một bài toán mà chưa định ra phương pháp giải (chưa tìm được quy luật của dãy số)

- Các bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4 đã giới thiệu các bài toán trong các đề thi Olympic và hướng giải cụ thể của từng bài

- Luận văn thạc sĩ “Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng” của giáo sư Nguyễn Văn Mậu đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về dãy số và một số vấn đề liên quan đến dãy số, phân loại một số dạng toán vè dãy số theo dạng cũng như phương pháp giải

1.2 Một số khái niệm

Trong chương trình toán lớp 11 học sinh được học khái niệm dãy số thông qua khái niệm về hàm số vì vậy mà trước khi tìm hiểu về khái niệm dãy số ta sẽ xét đến khái niệm hàm số trước

1.2.1 Khái niệm hàm số

Hàm số f xác định trên một tập hợp khác rỗng DR là một quy tắc đặt

tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f x số ; f x đó

gọi là giá trị của hàm số f tại x (Tập D gọi là tập xác định hay miền xác định, x gọi là biến số hay đối số của hàm số f )

Ví dụ

Hàm hằng : f x 5

1.2.2 Khái niệm dãy số

Ta có thể hiểu dãy số một cách đơn giản là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó Chẳng hạn khi viết liên tiếp các lũy thừa với số mũ

1.2.2.1 Dãy số ở trung học cơ sở

- Ở dưới trung học cơ sở, dãy số được chia thành hai dạng chính là: Dãy số

có các số hạng cách đều và dãy số có các số hạng không cách đều

Dãy số có các số hạng cách đều (Hay còn gọi là dãy cộng): Là dãy số cứ mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một đơn

 Dãy các số chia 3 dư 1: 1; 4; 7; 10;

- Dãy mà các số hạng không cách đều

Các số hạng trong dãy không cách đều nhau nhưng được viết theo một quy luật nhất định

 Dãy có các số hạng là tích của hai hoặc nhiều số

1.2; 2.3; 3.4; 4.5; n n 1 ;

1.2.2.2 Dãy số ở trung học phổ thông

Khi lên lớp 11, sau khi được học về hàm số thì học sinh được quay lại học về dãy số nhưng nâng cao hơn với với một định mới

Dãy số là một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương

* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số) Mỗi giá trị của hàm số u

được gọi là một số hạng của dãy số, u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), u 2 được gọi là số hạng thứ hai, Người ta thường kí hiệu các giá trị u 1 ;

 2

u tương ứng bởi u1;u2;

Ngoài ra dãy số còn được phát biểu theo một số cách khác như

- Một hàm số u xác định trên tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên (m

tùy ý thuộc *) cũng là một dãy số Rõ ràng dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng: u1; u2; ;u n); vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn, u gọi là số hạng đầu và 1 u gọi là số hạng cuối n

u  

3

2

;6

Dãy số trên có số hạng đầu là 2; số hạng cuối là 26

Ngoài ra, ta có thể viết dãy số trên dưới dạng khai triển là

7

Ta có

1

13

n

u n

1 2

1 2 k i i i k

v  v  v v v  v Vậy mỗi số hạng của tổng trên đều không âm hay ta có điều phải chứng minh

* Nếu hai dãy trên là đơn điệu giảm ta thu được bất đẳng thức tương tự ngược chiều

Khi giải các bài tập để xét tính đơn điệu của dãy số người ta thường làm theo hai phương pháp

8

Phương pháp 1: Xét hiệu H u n1u n

Nếu H 0 với mọi số tự nhiên n * thì dãy số  u n là dãy tăng

Nếu H 0 với mọi số tự nhiên n * thì dãy số  u n là dãy giảm

Phương pháp 2: Nếu u n 0 với mọi số tự nhiên n * thì lập tỉ số

1

n n

u T u



 Nếu T 1 với mọi số tự nhiên n * thì dãy số  u n là dãy tăng

Nếu T 1 với mọi số tự nhiên nN* thì dãy số  u n là dãy giảm

Ta tùy thuộc vào từng bài toán để áp dụng phương pháp phù hợp

Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau

Vậy  u n là một dãy số tăng

b) Với mọi số tự nhiên n * thì u n 0, ta xét tỉ số n 1

n

u u

n n

9

1.2.4 Dãy số bị chặn

 Dãy  u n gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: u n M n,  *

 Dãy  u n gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho: u n M n,  *

 Dãy  u n gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới Rõ ràng rằng dãy  u n bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số dương k sao cho

Với n * ta luôn có u n 2 suy ra  u n là dãy số bị chặn trên

b) Dãy số  u n với u n  2 n2 3 nn * là dãy số bị chặn dưới

- Dãy  u n là một dãy số tăng nên u1u2u3 unn * 

Nói cách khác với mu1 ta luôn có u n m với mọi nN*, suy ra dãy số bị chặn trên

- Dãy  u n là một dãy số giảm nên u1u2 u3  u n n * 

Nói cách khác với M u1 ta luôn có u n M với mọi n *, suy ra dãy số

bị chặn dưới

1.2.5 Phương pháp quy nạp

Để giải các bài tập liên quan đến dãy số thì quy nạp là một phương pháp khá hữu ích và được ứng dụng nhiều, đặc biệt là trong các bài toán chứng minh

Quy nạp toán học là một phương pháp toán học để chứng minh một mệnh đề

về bất kì tập hợp nào được xếp theo thứ tự, hình thức chứng minh trực tiếp, và để chứng minh một mệnh đề chứa biến A n là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên  

dương của n, ta thực hiện hai bước sau

Suy ra VT VP hay đẳng thức đúng khi n1

Giả sử đẳng thức đúng với n k , nghĩa là

Vậy theo nguyên lý quy nạp, đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n

1.2.6 Phương pháp giải toán bằng cách thiết lập công thức tính số hạng tổng quát

- Nếu dãy số  u n được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự đoán công thức tính u theo n, rồi chứng minh công thức này n

bằng phương pháp quy nạp Ngoài ra cũng có thể tính hiệu u n1u n dựa vào đó tìm công thức tính u theo n n

Ví dụ: Tìm công thức tổng quát u theo n của dãy số sau n

12

1 1

32

- Giả sử đẳng thức đúng với nk nghĩa là u k 2k1

- Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là

k

u   k  Thật vậy u k1u k  2 2k  1 2 2k 1 1

13

1.3.2 Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ: Cho dãy số  u n với   1

1 2





1.3.3 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Là cách diễn đạt dãy số bằng lời hoặc bằng hình ảnh hay sơ đồ minh họa

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB10 cm Một điểm C nằm giữa A và B thì ta có dãy

số  u n với u là độ dài đoạn AC n

Ví dụ 2: Cho đường tròn  O , bán kính R Ta xác định được dãy số  u n với u là n

độ dài cung tròn có số đo là 2

n

 n * của đường tròn  O

1.3.4 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (Cho dãy số bằng quy nạp)

Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi tức là

- Cho một hoặc vài số hạng đầu

- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hay vài số hạng đứng trước nó

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u 1

và công sai d thì số hạng tổng quát u của nó được xác định theo công thức sau n

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng

thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q

không đổi, nghĩa là  u n là cấp số nhânu n u n1.q  n 2

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

15

1.3.6.2 Tính chất đặc trưng của cấp số nhân

- Nếu  u n là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi

số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

2

1.u 1

u u  

- Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát 1

- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Giả sử  u n là một cấp số nhân với công bội q1 Với mỗi số nguyên dương n, gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của nó n S n  u1 u2  u n

Khi đó ta có

1 11

n n

Với q1dãy số trở về dạng cấp số cộng với công sai d

Với d 0 dãy số trở về dạng cấp số nhân với công bội q

1.3.7.2 Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân cộng

Cho dãy số  u n xác định bởi hệ thức truy hồi

17

CHƯƠNG II DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG BỞI QUY LUẬT

ĐẶC BIỆT 2.1 Dãy số được xác định bởi quy luật cấp số cộng

Cấp số cộng không phải là một khái niệm quá xa lạ đối với học sinh vì ngay

từ lớp 6 học sinh đã được làm quen với dãy số này với tên gọi dãy cộng, các tính chất và các bài toán liên quan đến nó

Sau đây, ta sẽ tìm hiểu một số dãy số khá quen thuộc và đơn giản

Ví dụ 1: Dãy n số tự nhiên lẻ liên tiếp

Dựa vào các phương pháp xây dựng dãy số ta có nhiều cách để có thể xác định dãy số này như:

 Xác định dãy số bằng phương pháp liệt kê các phần tử

1; 3; 5; ;2n1 ; 

 Xác định dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát

Dãy  u n được xác định bằng công thức của số hạng tổng quát với

12

- Ta có u n u n1  n * nên đây là một dãy số tăng

-  m 1 sao chou n 1  n * nên đây là dãy số bị chặn dưới

Bài toán: Tính tổng của dãy số

n

S      n Với những dạng toán tính tổng của dãy như này học sinh đã được làm quen nhiều từ các lớp ở trung học cơ sở với các công thức tổng quát

- Nếu một dãy cộng có số hạng đầu là u , số hạng cuối là 1 u , khoảng cách n

giữa các số hạng là d thì ta có công thức tính số các số hạng của dãy là

18

11

n

u u d

n

n

 

  Tổng của dãy số là

.2

Bài tập 1: Tìm số hạng đầu tiên, công sai và tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng sau (biết d là một số nguyên)

20 30

64432

Gọi x1; x2; x là ba nghiệm của phương trình 3

Không mất tính tổng quát, giả sử x1x2 x3

1 2 31

1 2 3

x x x

Bài toán hợp đồng lao động (SGK - Đại số và giải tích 11 nâng cao)

Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, công ti liên doanh

A đề xuất hai phương án trả lương cho người lao động tự lựa chọn, cụ thể là

- Phương án 1: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm

việc đầu tiên, và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm

- Phương án 2: Người lao động sẽ được nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc

đầu tiên, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500000 đồng mỗi quý

Nếu em là người kí hợp đồng lao động với công ti liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào?

36000000

23000000

1 3

(vì 3 năm tương ứng với 12 quý)

Ta có thể thấy từ năm thứ ba trở đi mức lương của phương án thứ hai sẽ cao hơn phương án phương án thứ nhất và vì đây là một hợp đồng dài hạn nên nếu là người kí hợp đồng ta nên chọn phương án thứ hai

2.2 Dãy số xác định bằng công thức cấp số nhân

Cũng tương tự như cấp số cộng thì học sinh từ dưới trung học cơ sở đã được làm khá nhiều dạng bài toán về dãy số được xây dựng theo cấp số nhân nhưng khi chưa được biết đến khái niệm này thì đây là một dạng bài tập khó đòi hỏi sự quan sát, tìm hiểu và làm thật nhiều bài tập để có khả năng phản xạ nhân, chia vào dãy một số thích hợp rồi cộng trừ các dãy cho nhau Vì vậy đối với học sinh cảm thấy khá mơ hồ với dạng toán này

 Trước tiên ta sẽ xét một dãy số không quá phức tạp được xác định bằng phương pháp liệt kê các phần tử

23

1

2 1

1.3

- Ta có u n u n1  n * nên đây là một dãy số tăng

-  m 1 sao chou n 1  n * nên đây là dãy số bị chặn dưới

102

8S 3 1 Hay