Dạy số phức theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

Sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ở nội dung số phức sẽ giúp học sinh chủ động trong việc học tập, nắm vững được kiến thức của nội dung này.. Giúp học sinh có cá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ NGÀ

DẠY “SỐ PHỨC” THEO HƯỚNG

“PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ”

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

MÃ SỐ: 60 14 10

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong thời

gian học tập và hoàn thành luận văn này

Em xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường

đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập

và nghiên cứu đề tài

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu cùng các thầy cô giáo tổ Toán và các em học sinh trường THPT Lê.Ngọc.Hân- Gia Lâm - Hà Nội

đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này

Xin cảm ơn gia đình, người thân đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong nghiên cứu đề tài và trình bày luận văn, song chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót Rất mong được sự góp ý của hội đồng phản biện khoa học, các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Thị Ngà

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

SL Số lƣợng

TB Trung bình

THPT Trung học phổ thông THTT Toán Học Tuổi Trẻ

TM Thỏa mãn

TNSP Thực nghiệm

TN Thực nghiệm

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục viết tắt ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1

1.1.Khái.quát 5

1.1.1 Những cơ sở khoa học của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 6

1.1.2 Những khái niệm cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 7

1.1.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 7

1.1.4 Các hình thức ( cấp độ ) dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 8

1.1.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 9

1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông 1 0 1.2.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học 10

1.2.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và việc dạy bài tập toán 12

1.3 Dạy khái niệm số phức trong trường phổ thông lớp 12 15

1.3.1 Lịch sử hình thành 15

1.3.2.Phân tích sự trình bày của sách giáo khoa 18

KẾT LUẬN CHƯƠNG I 25

CHƯƠNG 2.GIẢNG DẠY MỘT SỐ NỘI DUNG CỤ THỂ 26

2.1 Chuẩn bị kiến thức 26

2.1.1 Dạng đại số của số phức 26

2.1.2.Dạnglượng giác của số phức 28

2.2 Một số bài giảng và dạng toán cơ bản 29

2.2.1 Bài.giảng.về.các.phép.toán.số.phức 29

2.2.2 Bài giảng về giải phương trình phức 40

2.2.3 Bài.giảng.về.dạng.lượng.giác.của.số.phức 50

2.3 Mở rộng số phức 61

2.3.1 Các kiến thức liên quan 61

2.3.2 Các dạng toán 62

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 74

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 75

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 75

3.1.2.Nhiệmvụ thực nghiệm sư phạm 75

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 75

3.3 Nội dung thực nghiệm 75

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 75

3.3.2 Nội dung thực nghiệm 76

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 76

3.4.1 Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 76

3.4.2 Kết quả thực nghiê ̣m……….81

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thực tiễn ở các trường phổ thông hiện nay, quan điểm phân hoá trong dạy học chưa được quan tâm đúng mức Giáo viên chưa được trang bị đầy đủ những hiểu biết và kỹ năng dạy học phân hoá, chưa thực sự coi trọng yêu cầu phân hoá trong dạy học Đa số các giờ dạy vẫn được tiến hành đồng loạt, áp dụng như nhau cho mọi đối tượng học sinh, các câu hỏi, bài tập đưa ra cho mọi đối tượng học sinh đều có chung một mức độ khó – dễ Do đó, không phát huy được tối đa năng lực cá nhân của học sinh, chưa kích thích được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc chiếm lĩnh tri thức, dẫn đến chất lượng giờ dạy không cao, chưa đáp ứng được mục tiêu giáo dục

Thực tế đó đòi hỏi mỗi giáo viên trong khâu chuẩn bị giáo án cũng như trong khi tiến hành tổ chức các hoạt động dạy học, phải làm thế nào để tác động đến từng cá nhân học sinh với những đặc điểm khác nhau về năng lực,

sở thích, nhu cầu sao cho phát huy được tối đa khả năng của bản thân mỗi học sinh trong học tập Mục đích của giáo dục ngày nay đòi hỏi mỗi người cần có kiến thức, có năng lực tư duy, có khả năng làm việc độc lập, chủ động, tự giác, sáng tạo.Tuy nhiên hiện nay, trong nhà trường phổ thông có thực trạng là thầy nặng về thuyết trình, truyền thụ kiến thức một chiều, trò tiếp thu thụ động thiếu tích cực, và gặp nhiều khó khăn khi gặp các vấn đề cần giải quyết

Trong tất cả các tập hợp số, tập số phức là tập lớn nhất và trừu tượng, nên

để giảng dạy cho học sinh PTTH người giáo viên phải nắm rõ về nó thì mới

có thể giảng dạy một cách hiệu quả Qua đó giúp học sinh nắm rõ hơn về tập

số phức và ý nghĩa của nó trong việc giải các phương trình bậc ba trở lên Mặt khác, tập số phức cũng là tập hợp số mà chỉ trong chương trình phân ban thí điểm hoặc các tài liệu chuyên toán mới có trong chương trình số phức thường xuất hiện trong các kì thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, cao đẳng của học sinh phân ban thí điểm Học tốt tập số phức ở lớp 12 sẽ giúp cho học sinh học tốt các môn toán cao cấp ở đại học

Sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ở nội dung

số phức sẽ giúp học sinh chủ động trong việc học tập, nắm vững được kiến thức của nội dung này Đồng thời giúp học sinh thay đổi cách học của mình

để đạt kết quả cao nhất

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cách giảng dạy theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề hiện nay ở các trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên.cứu thực trạng về vấn đề dạy và học số.phức ở một số trường THPT

- Tiến.hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện.thực và tính hiệu quả của đề tài

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề.ở,nội.số.phức.ở một số.trường THPT

- Đối tượng nghiên cứu: Lớp 12 A1, 12 A2, 12 A3 12 A4 trường THPT Lê.Ngọc.Hân- Gia Lâm - Hà Nội

5 Vấn đề nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu hai vấn đề cơ bản sau:

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.ở,nội.số.phức

6 Giả thuyết khoa học

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết

sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ10) Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội

dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về

số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh

có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết tôi xây dựng cách dạy theo hướng

“dạy số phức theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề”

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về thời gian: Từ tháng 9/2013 đến 11/2013 và kinh nghiệm.giảng dạy 7 năm ở trường THPT

- Phạm.vi về nội dung: dạy học “số phức” lớp 12

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

9 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, sách báo, tạp chí

Các.văn kiện của đảng và nhà nước, của Bộ GD - ĐT có liên quan đến việc dạy và học toán ở trường phổ thông

Sách,báo, tạp chí về khoa học toán học có liên quan đến đề tài

Tài.liệu, sách báo về giáo dục học, giáo dục học môn toán, tâm lý học có liên quan đến đề tài

Các.công trình nghiên cứu, các vấn đề có liên quan trực tiếp tới đề tài

- Phương pháp quan sát điều tra

Tiếp.thu, nghiên cứu ý kiến giảng viên hướng dẫn và các chuyên gia bộ môn

Quan.sát ngay trong giờ học của mình và rút ra các kết luận trong quá trình giảng dạy

Khảo.sát phương pháp học tập của học sinh và đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng thực nghiệm

- Thực nghiệm sư phạm

Thực.nghiệm giảng dạy để đánh giá tính khả thi của đề tài

Thực.nghiệm kiểm tra, so sánh với nhóm đối chứng để đánh giá mức hiệu quả của đề tài

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn dự kiến được trình bày theo 3 chương:

Chương 1: Dạy học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề và tiếp cận số phức

Chương 2: Giảng.dạy.một.số.nội.dung.cụ.thể

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

VÀ TIẾP CẬN SỐ PHỨC 1.1 Khái quát

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học mà ở đó thầy tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều kiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề lĩnh hội tri thức mới Thông qua đó học sinh lĩnh hội tri thức mới, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác

Theo I.IA Lecne: thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” ra đời chưa được lâu, việc nghiên cứu tư tưởng dạy học nêu vấn đề bắt đầu chưa lâu lắm nhưng các

tư tưởng đó, dưới các tên gọi khác nhau, đã tồn tại trong giáo dục hàng trăm năm nay rồi Các hiện tượng “nêu vấn đề” đã được Xôcrat ( 469 – 399, trước công nguyên ) thực hiện trong các cuộc đàm thoại.Trong khi tranh luận, ông không bao giờ kết luận trước mà để mọi người tự tìm ra cách giải quyết Trên thế giới, các nhà khoa học cũng quan tâm nhiều đến phương pháp dạy học này

và áp dụng ở nhiều môn học, lứa tuổi khác nhau ở bậc phổ thông vào những năm 60, 70 của thế kỷ XX Vào thời kỳ này, ở Việt Nam, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có tác dụng lớn trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học ở phổ thông, đáng kể đến là công trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu

Phương pháp giải quyết vấn đề đã phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm trong gần suốt một thế kỷ 20 để đến gần đây mới được sử dụng thực

sự ở nhiều trường học ở Phần Lan, Mĩ và trở thành một yếu tố chủ đạo trong cải cách giáo dục ở một số nước khác Đó là một phương pháp dạy và học mới phù hợp với triết lý về khoa học và giáo dục hiện đại, đáp ứng tốt những yêu cầu về giáo dục trong thế kỷ 21 Vì vậy, phát hiện và giải quyết vấn đề là một mục đích của quá trình dạy học trong nhà trường, cụ thể là năng lực giải

quyết vấn đề để thích ứng với sự phát triển của xã hội Nghị quyết ban chấp

hành TW Đảng lần thứ hai khóa VIII (1997 ) đã chỉ rõ “cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”

Tóm lại, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với mục tiêu và xu thế thời đại về đổi mới phương pháp dạy học của thế giới nói chung và của Việt Nam nói riêng

1.1.1 Những cơ sở khoa học của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo GS – TSKH Nguyễn Bá Kim, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề dựa trên các cơ sở sau:

a Cơ sở triết học:

- Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Mâu thuẫn trong học tập nảy sinh giữa yêu cầu nhận thức với tri thức, kỹ năng còn hạn chế của ngýời học

b Cơ sở tâm lý:

- Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy “Tư duy sáng tạo thường bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề” (Rubinstien 1960, tr.435)

c Cơ sở giáo dục học:

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc về tính tích cực và tự giác Nó khêu gợi được hoạt động học tập của người học, hướng đích, gợi động cơ trong quá trình học tập

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng tạo ra sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất

1.1.2 Những khái niệm cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Gợi nhu cầu nhận thức;

- Khơi dậy niềm tin ở khả năng của bản thân

* Các cách thông dụng tạo „tình huống gợi vấn đề‟

Khi thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề yếu tố đặc trưng là tình huống gợi vấn đề Việc tạo „tình huống gợi vấn đề‟ là thiết thực Có nhiều cách để tạo „tình huống gợi vấn đề‟ Sau đây là những cách thông dụng:

- Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm

- Lật ngược vấn đề

Vì thế nếu giáo viên đưa ra bài toán phù hợp với trình độ của học sinh, làm cho học sinh hứng thú tham gia tìm lời giải thì bài toán sẽ trở thành tình huống gợi vấn đề

1.1.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau:

- Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn: thầy cho học sinh phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm, tham gia vào quá trình giải toán để rút ra tri thức phương pháp, hình thành một số quy trình giải bài tập số phức…

- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động Thông qua những hoạt động và những yêu cầu của giáo viên, học sinh tham gia vào quá trình phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đó: tham gia vào quá trình xây dựng đề toán, giải quyết bài toán đó…

- Mục đích dạy học không chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ có khả năng tiến hành những quá trình như vậy, nói cách khác, học sinh học được bản thân

việc học: biết khai thác từ một bài toán đã biết để giải quyết bài toán mới, biết vận

dụng quy trình cho những dạng bài toán có cùng dạng

1.1.4.Các hình thức ( cấp độ ) dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Căn cứ vào mức độ độc lập của học sinh trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, có thể nói tới các cấp độ của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề như sau:

a) Tự nghiên cứu vấn đề

Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của người học được phát huy cao độ

- Thầy chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề

- Người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó, tức là người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

b)Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề, người học không hoàn toàn độc lập mà có sự dẫn dắt của thầy khi cần thiết

- Thầy: Tạo ra tình huống gợi vấn đề và đưa ra câu hỏi Những câu hỏi ở đây không đơn thuần là những câu hỏi nhằm tái hiện lại tri thức cũ

- Người học: Trả lời câu hỏi hoặc hành động đáp lại

c) Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn hai hình thức trên

- Thầy: tạo ra tình huống gợi vấn đề; phát hiện vấn đề; trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề Trong quá trình đó có việc tìm tòi dự đoán, có khi thành công, khi thất bại, phải điều chỉnh hướng đi mới đi đến kết quả

- Người học được đặt trong tình huống gợi vấn đề và trong quá trình mô phỏng và rút gọn của quá trình khám phá thật sự

1.1.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

hệ và phụ thuộc, suy ngược tiến, suy ngược lùi

+ Kiểm tra giải pháp xem có đúng đắn hay không Nếu đúng thì kết thúc, nếu không thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề

- Sau khi tìm được một giải pháp, có thể tiếp tục tìm các giải pháp khác theo quy trình trên, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất

Tìm một cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo sơ

đồ sau:

Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề và giải quyết nếu có thể

1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông

1.2.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

-

Do nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu nói chung của PPDH của nước

ta hiện nay Trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn có những nhược điểm phổ biến:

- Thầy thuyết trình tràn lan;

- Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;

Cụ thể hóa định hướng trên là:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

- Tri trức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm

- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sức mạnh của con người

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học

Khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học cần tham khảo có chọn lọc kinh nghiệm của các nước trên thế giới Ví dụ như:

- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Dạy học hợp tác

- Dạy học theo tư tưởng thuyết kiến tạo

- Dạy học có sử dụng sự hỗ trợ của các phương tiện kỹ thuật với các thành tựu của công nghệ thông tin truyền thông

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới PPDH Phương pháp này tỏ ra rất phù hợp với định hướng đổi mới:

- Học sinh được đặt vào tình huống có vấn đề, học sinh chiếm vị trí chủ thể, tích cực để phát hiện và giải quyết vấn đề

- Tri thức được cài đặt trong tình huống gợi vấn đề, trong quá trình học sinh phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

- Mục đích dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở tri thức và kĩ năng, mà điều quan trọng hơn là bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình một cách hiệu quả Điều này rất phù hợp với yêu cầu của định hướng dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Học sinh tham gia vào quá trình phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề tạo sự chủ động, tích cực và giúp học sinh tìm thấy niềm vui trong học tập

1.2.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và việc dạy bài tập toán

a) Vài nét về dạy bài tập toán ở nhà trường phổ thông

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, việc giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, dạy học sinh giải bài tập có vai trò quan trọng trong dạy học Toán

Các bài toán ở phổ thông là phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình

thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện mục đích dạy học toán ở trường phổ thông

Trong môn Toán, bài tập có chức năng sau:

+ Chức năng dạy học

+ Chức năng phát triển

+ Chức năng giáo dục

+ Chức năng kiểm tra

Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể của một bài tập mà người biên soạn SGK cố ý chuẩn bị Người giáo viên có thể khám phá và thực hiện nội dung đó bằng năng lực sư phạm hay trình độ nghệ thuật của mình Khi dạy giải bài tập toán, cần chú ý đến hai mặt sau:

+ Dạy chứng minh

+ Dạy tìm tòi

Khi thực hiện các điều này cần chú ý hình thành và rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá

b) Dạy giải bài tập theo bốn bước của Polya và sự phù hợp với thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

* Theo tài liệu[13], giải bài tập toán theo Polya gồm bốn bước sau:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bài toán nói gì? Cái gì là dữ liệu? Cái gì phải tìm? Cái dữ kiện đã đủ để xác định được cái phải tìm hay chưa? Hay chưa đủ? Hay thừa?

Có thể phát biểu bài toán một cách khác?

Có thể tìm quan hệ giữa bài toán đã cho và bài nào khác mà ta đã biết cách giải không? Hay một bài toán mà ta có thể giải dễ dàng hơn?

Phải nhắc lại câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại, khi giải các bài toán phụ Ngoài ra mọi dữ kiện cảu bài toán đã được sử dụng chưa?

Khi thực hiện bước này chính là giúp cho học sinh phát hiện và thâm nhậm vấn đề

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Phát biểu các quan hệ giữa cái đã cho và cái chưa biết

Biến đổi các yếu tố chưa biết

Chỉ giải một phần bài toán đã thỏa mãn một phần các điều kiện: khi đó cái chưa biết được xác định đến mức độ nào?

Tổng quát hóa Đặc biệt hoá Sử dụng sự tương tự

Thực hiện các thao tác trên là cách đi tìm giải pháp, tìm một cách giải

quyết vấn đề

 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Kiểm tra lại từng bước, chỉ công nhận những điểu thật rõ ràng hay đã được tính toán thật cẩn thận

Ở đây, người học trình bày giải pháp một cách cụ thể, rõ ràng

 Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Kết quả có đúng không? Vì sao? Có thể kiểm tra được không? Có con đường nào khác để đi đến cùng kết quả đó không? Trên con đường đi còn có thể có thêm những kết quả nào khác không?

Điều này phù hợp với bước nghiên cứu sâu lời giải trong khi thực hiện

dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

c) Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy bài tập số phức

Ngoài những vấn đề nêu trên khi dạy bài tập toán theo phát hiện và giải quyết vấn đề cần chú ý vận dụng quan điểm “dạy học toán là dạy học các hoạt động toán học”

Khi dạy học bài tập số phức cần chú ý tăng cường vận dụng những phương pháp dạy học tích cực nhằm rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh, phát triển tư duy thuật toán, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh

Vì vậy, vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy bài tập

số phức là phương án đáp ứng yêu cầu bộ môn và nhu cầu của định hướng đổi mới PPDH

1.3 Dạy khái niệm số phức ở trường phổ thông lớp 12

1.3.1 Lịch sử hình thành

- Nhà toán học Italia R Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về

số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne,1572) công bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của − 1

- Nhà toán học người Pháp D‟Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "a+bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đã đưa ra kí hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauus đã dùng lại ký hiệu

- Sơ lược về các nhà toán học đặt nền móng cho sự ra đời của số phức

+ N.F.Tartaglia(1499-1557): Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI,

có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách giải phương trình bậc ba Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH Bologne (Ý) tên là Scipione del Ferro (1465-1526) đã biết cách giải phương trình x3 px q , nhưng ông không hề

công bố, người ta nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà toán học ít tài năng tên là Antonio Maria Fior.Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một cách độc lập Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia

giải 30 phương trình bậc ba như trên Ngược lại, Fior cũng nhận thách thức

của Tartaglia là sẽ giải những phương trình bậc ba do Tartaglia ra.Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc ba nói trên đều được làm một cách mò mẫm Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng của

cuộc thi giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình mà Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang “bí” và chỉ giải được một phương trình mà thôi vì vậy chỉ sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thưởng.Cardan (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc ba trong trường hợp tổng

quát nhất Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior, Cardan muốn gặp ngay Tartaglia

Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardan bèn chớp cơ hội nhờ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc ba Cardan phải thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo chí Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải trước Tartaglia nên Cardan đã không giữ lời hứa với

Tartaglia bèn cho công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm

1545 Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardan trong quyển

sách của mình nhan đề New Problems and inventions Từ đó đã xẩy ra cuộc

cải vã giữa hai người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo Vì khi đi giải phương trình bậc ba cả Tartaglia và Cardan đều chưa biết số phức

là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc hai của số âm thì cả hai đều cho là vô lý

G.Cardano(1501-1576)(Cardan) là một nhà bác học người Ý Ông sinh năm

1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy toán Ông có trên 200 công trình về lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số” Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cạô tới căn bậc hai của số âm Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn

từ công tŕnh này.(theo sách giáo khoa giải tích 12 phân ban thí điểm ban khoa học tự nhiên bộ hai do Trần Văn Hạo làm tổng chủ biên)

- Công thức Cardan-Tartaglia:

Ba nghiệm của phương trình là a u v b  ,  ju j v c2 ,  j u2  jv với u và v là hai

số phức có dạng:

- R.Bombelli(1526-1573): Người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là toán

học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông Sự đóng góp của nhà khoa học người Ý này chủ yếu là hệ thống hoá kiến thức về các phéo tính số phức Năm 1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc 3: x3 mxn và ông chỉ ra rằng phương tŕnh trên có 3 nghiệm thực nếu n m

2 3 là âm Trong trường hợp này công thức của Tartaglia- Cardan.Không dung được vì trong trường hợp này ta gặp phải căn bậc hai của

số âm, là một trở ngại, vào thời đó chưa ai vượt qua nổi Với sự sáng tạo của mình Bombelli vẫn dung công thức trên nhưng tìm cách vượt qua trở ngại đó

Ví dụ với phương trình x3  15x 4, ông làm việc với các số có dạng

ab 1như đối với số thực, ông nhận xét rằng 2   1 là căn bậc ba của

Piu a meno b piu di meno c meno di meno d

a,b,c,d là nhũng số thực dương, ngày nay ta viết a-b+ic-id và ông khẳng định rằng : trong một công lý(axiome) báo trước khái niệm độc lập tuyến tính piu

và piudi meno không cộng được với nhau Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức

1.3.2 Phân tích sự trình bày của sách giáo khoa

1 Phân tích cách trình bày khái niệm của sách giáo khoa:

- Theo sách giáo khoa phân ban thí điểm ban A bộ hai trình bày :

+ Hoạt động 1: đặt câu hỏi “Nếu có người hỏi rằng có thể viết 10 thành tổng của hai số mà tích của chúng bằng 40 được không?” Để giải bài toán này học sinh phổ thông đã có công cụ là định lý Viet và giải như sau:

Gọi hai số là x1, x2 , đặt S = x1+x2, P=x1.x2 thì x1, x2 là nghiệm phương trình: x2     Sx P 0 x2 10 40 0x  (∆ = 25 - 40 = -15 < 0) nên kết luận phương trình vô nghiệm và không có hai số thỏa mãn đề ra

+ Hoạt động 2: sách giáo khoa đưa khái niệm số I vào chương trình như sau : Ta đã biết, trên tập số thực R mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm Nhưng đối với phương trình bậc hai, điều đó không còn đúng nữa

- Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là: x  2 1 0

- Với mong muốn mở rộng tạô hợp số thực, để mọi phương trình bậc cao đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên Như vậy i  2 1

- Ở hoạt động này sách giáo khoa đã đưa kí hiệu i vào và đặt i  2 1 một cách áp đặt, cưỡng ép, không chỉ rỏ tại sao lại có số I, tại sao phải đặt số i

là như vậy Và nếu phải mở rộng tập hợp số nhằm giải phương trình bậc hai thì điều này không cần thiết vì trên thực tế nếu không đưa số i vào thì

ta có thể kết luận phương trình là vô nghiệm với phương trình có biệt số

âm, và khi biểu diễn trên hẹ trục toạ độ thì đồ thị của hàm số đó không cắt trục hoành Như vậy mục đích của việc đưa số i nhằm mở rộng tập hợp số của sách giáo khoa là không rõ ràng, không có động cơ Vậy động cơ để cần phải đưa số I vào để mở rộng tập số thực là gì? Trong sách giáo khoa chỉ trình bày phần này ở phần đọc thêm, và phần trình bày này cũng không

rỏ ràng phần trình bày của sách giáo khoa như sau: Cho phương trình bậc

ba x3  px q 0 Nghiệm của nó được cho bởi công thức:

- Cardano đã công bố công thức này vào năm 1545, trong quyển sách

“Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số”

- Lẽ tự nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng  q2  p3

4 27 là không âm đại lượng ∆ cũng được gọi là biệt số của phương trình trên Tuy nhiên, dễ chỉ ra những phương trình bậc ba với biệt số ∆ <0, mà vẫn có nghiệm thực Chẳng hạn xét phương trình x3    7 6 0x

- Phương trình này có ba nghiệm là -3,1,2, nhưng biệt số ∆ = -100/27<0

- Điều đó dẫn đến việc thừa nhận rằng biểu thức:

- Là có nghĩa và các giá của nó là -3,1,2, mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của một số thực âm

- Như chúng ta đã thấy, việc thừa nhận có căn bậc hai của số thực âm, bắt đầu từ việc đặt i  1, đã dẫn đến sự ra đời của tập số phức

- Đồng thời với việc sang ra các số phức, người ta chứng minh được rằng môi phương trình đại số bậc n (n>0) với hệ số phức đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt)

- Trong thực tế thì khái niệm số phức ra đời như phần trình bày về lịch sử hình thành ở phần trên

+ Hoạt động 3: căn bậc hai của một số âm Trong phần này sách giáo khoa trình bày như sau:

- Thế nào là căn bậc hai của một số thực dương? Đây là câu hỏi ôn tập

bài củ, nhằm giúp học sinh nhớ lại phần kiến thức đã học ở lớp 9

- Đưa ra khái niệm mới là căn bậc hai của số thực âm tương tự như căn

bậc hai của số thực dương: từ đẳng thức i  2 1, ta coi i là căn bậc hai của -1 Cũng vậy, ta coi 2i là một căn bậc hai của -4, 3i là căn bậc hai của -9

+ Hoạt động 4: phương trình bậc hai với biệt số âm Sách giáo khoa trình bày như sau:

- Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm

thực Nhờ số i và những số mới là căn bậc hai của những số thực âm,

ta có thể đưa ra các nghiệm của phương trình bậc hai đó

- Ví dụ: xét phương trình x2    2 10 0x

- Ta đã biết phương trình này không có nghiệm thực

Dễ thấy phương trình trên tương đương phương trình : x 12   9

Giá trị x0  1 3i là một căn bậc hai của -9 thoả mãn phương trình này

Ta coi x0  1 3i là một nghiệm của phương trình đã cho

- Đối với phần này sách giáo khoa trình bày một cách sơ sài, nó chỉ có

thể giúp học sinh biết cách thay giá trị căn bậc hai của số âm vào phương trình để từ đó suy ra nghiệm chứ chưa đí giải một phương trình bậc hai một cách tổng quát

+ Hoạt động 5: Dạng đại số của số phức:

- Định nghĩa số phức: sách giáo khoa trình bày :

- Xét tập hợpabi/a,b ,i  1

- Mỗi phần tử z a bi  được gọi là một số phức, a được gọi là phần thực của z, b được gọi là phần ảo của z

- Ví dụ: 3+2i; -5+(-7i);

- Chú ý, số phức -5+(-7i) còn được viết là -5-7i

Sách giáo khoa đưa khái niệm số phức theo tiến trình đối tượng – công cụ nhưng ta cũng có thể ngầm hiểu là công cụ - đối tượng – công cụ vì trong phần giải bài tập ở phần trên, nghiệm của phương trình là x0  1 3i chính là dạng đại số của số phức

+ Hoạt động 6: Dạng lượng giác của số phức:

1 Modun và argumen của số phức:

Giả sử z = a+bi là một số phức khác 0, M là điểm biểu diễn z trên mặt

phẳng phức Điểm M hoàn toàn xác định vectơ OM.

Ta đã biết, độ dài vectơ OM được gọi là modun của số phức z Góc lượng giác  tạo bởi Ox và 0M được gọi là argunen của số phức z và

kí hiệu là argz Argumen của số phức z được xác định sai khác một bội

của 2π, nhưng người ta thường coi argz là giá trị không âm nhỏ nhất

của 

2 Dạng lượng giác của số phức:

Cho z a bi  Xác định mối liên hệ giữa z,argz , a và b

Dễ thấy, nếu r và tương ứng là modun và argumen của số phức z = a+bi thì :

cos

2 2

r b r a

b a r





Từ công thức trên suy ra: a r cos , b r sin

Do.đó,.số.phức.z a bi  có.thể.viết.dưới.dạng.mới.là:

, cos sin

3 3

Khi đưa khái niệm số phức ở dạng lượng giác vào chương trình, sách

giáo khoa đưa theo tiến trình đối tượng – công cụ Do đó khi học bài

này học sinh chỉ được biết số phức ở dạng đại số được chuyển sang dạng lượng giác là như thế nào chứ chưa biết được mình phải học số phức ở dạng lượng giác để làm gì? Do đó khi giảng dạy bài này cho học sinh, giáo viên nên giới thiệu đôi nét về các ứng dụng của số phức

ở dạng lượng giác cho học sinh biết trước nhằm tạo sự hứng thú cho học sinh

2 Phân tích cách trình bày của sách giáo khoa về khai căn các số âm để giải phương trình bậc hai, bậc ba

- Theo sách giáo khoa từ đẳng thức    i 2 1 ta có thể tính được căn bậc hai của các số âm, ví dụ:  2ilà căn bậc hai của -4, vì

    2i 2  2i 2   4

- Đây là cách giảng giải tường minh để từ đó đưa ra cách lấy căn bậc

hai của các số âm như sau: nếu α là một số âm thì i  là căn bậc hai của α

- Và ở đây sách giáo khoa chỉ trình bày ứng dụng của việc khai căn bậc

hai của số âm là để giải phương trình bậc hai, do đó học sinh chưa thấy rõ sự cần thiết phải có số phức và khai căn bậc hai các số âm là

để giải phương trình bậc cao hơn Tuy vậy ở phần đọc thêm về giải phương trình đại số người ta đã đưa ra công thức tính nghiệm của phương trình bậc ba…

- Và ở công thức này nếu biệt số âm thì cardano xem như phương trình

vô nghiệm, tuiy nhiên thực tế không phải vậy ví dụ x3  7x  6 0 có ba nghiệm thực nhưng biệt số   100

27 và điều này mới làm nổi bậc lên

sự cần thiết phải có số phức cũng như khai căn bậc hai của số âm

- Tóm lại đối với sách giáo khoa, khi trình bày trong bài giảng đã không

nêu bậc lên được sự cần thiết phải có tập số phức, vì để giải phương trình bậc hai thì việc khai căn các số âm hay buộc phương trình bậc hai có biệt số âm có hai nghiệm phức là không cần thiết, làm cho học sinh cảm thấy bị áp đặt vào việc thừa nhận mọi phương trình bậc hai đều phải có nghiệm có thể là nghiệm thật hay nghiệm ảo nhưng khi biểu diễn nghiệm trên hệ trục toạ độ thì không thấy đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đâu cả

- Đối với phần đọc thêm( phần này đa số học sinh trung bình yếu sẽ

không đọc đến) sách giáo khoa có đưa ra công thức giải phương trình bậc ba của Cardano, và có chỉ ra đối với phương trình bậc ba có biệt

số âm vẫn có nghiệm thực nhưng đó cũng chỉ là đưa ra công thức rồi tính nghiệm một phương trình cụ thể, không tổng quát.Và mọi điều sách giáo khoa viết là việc bắt học sinh phải thừa nhận nó Tuy nhiên

nó cũng cho học sinh thấy được sự cần thiết phải có tập số phức cũng như việc khai căn bậc hai của số thực âm Và vì như nói ở trên đại bộ phận học sinh sẽ không đọc phần này, và từ đó làm cho việc trình bày của sách giáo khoa là không hợp lý và áp đặt cho học sinh học số phức

mà không biết mình phải học nó để làm gì Hoặc là sách giáo khoa chỉ phục vụ cho một số ít học sinh có học lực từ khá trở lên

- Tuy vậy, khi học sinh đã biết một chút về khái niệm số phức cũng như

các phép toán trên nó, thì sẽ tạo điều kiện cho các em sau này học các môn toán cao cấp một cách thuận lợi hơn Và khi giải toán trên máy tính bỏ túi các em cũng sẽ hiểu được tại sao lại có chữ i hay chữ R ở trên màn hình khi bấm giải các phương trình vô nghiệm thực

3 Xây dựng tình huống để đưa số phức vào giảng dạy:

- Bài đọc thêm về phương trình đại số trong sách giáo khoa cần sửa lại

là bài giới thiệu và đặt ở đầu chương số phức Vì khi đó sẽ tạo điều kiện cho đại đa số học sinh khi học bài số phức sẽ đọc về nó.Và trong bài đó nên đặt thêm các câu hỏi như: tại sao phải cần có số phức? sự cần thiết phải có tập số phức trong việc giải các phương trình bậc ba trở lên? Tại sao cần phải mở rộng tập số thực đến tập số phức? Khi đó

sẽ tạo sự tò mò, cũng như gợi cho học sinh sự muốn tìm tòi và khám phá về số phức, từ đó học sinh sẽ học bài này một cách nghiêm túc

- Khi đó, khi giáo viên dạy bài số phức sẽ đưa tình huống giải phương

trình bậc ba như sách đã nêu: x3  7x  6 0 và đưa công cụ để giải cho các em là công thức Cardano để cho học sinh giải Khi giải theo công

thức các em sẽ vấp phải tình huống là phải khai căn bậc hai của số âm(không có nghĩa vì các em chưa được học), nhưng khi dùng máy tính bỏ túi thì sẽ thấy có ba nghiệm là -3, 1, 2 Và giáo sẽ lý giải cho học hinh biết về điều này bằng cách dạy cho các em bài học về số phức, tập số lớn nhất trong các tập số mà chúng ta đã biết cho đến bây giờ

- Hoặc để dẫn dắt học sinh vào bài số phức giáo viên có thể nêu lên lịch

sử hình của tập số phức một cách khái quát, hoặc kể chuyện về Tartaglia và Cardano đã tranh cải như thế nào về việc tìm ra công thức tính nghiệm tổng quát của một phương trình bậc ba Hay chuyện về Bombelli đã giải quyết vấn đề khai căn bậc hai của số âm như thế nào

Từ đó khi học bài này học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú, vì mình đang học về một vấn đề rất mới mẽ, trừu tượng, nhưng cũng có ý nghĩa rất lớn trong cuộc sống

KẾT LUẬN CHƯƠNG I Trong chương I, luận văn đã trình bày một số vấn đề về lý luận và thực tiễn

làm cơ sở cho đề tài Đối với vấn đề về lý luận, tác giả đã đưa ra quan điểm của một số tác giả về tư duy, tư duy sáng tạo Đồng thời cũng đưa ra định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn toán Đối với vấn đề thực tiễn luận văn tổng kết một số thực trạng về dạy và học.số.phức,.vấn.đề.thực tiễn.làm.điểm.xuất.phát.cũng.như.là.đích.đến.của.đề

.tài

CHƯƠNG 2 GIẢNG DẠY MỘT SỐ NỘI DUNG CỤ THỂ

2.1 Chuẩn bị kiến thức

2.1.1 Dạng đại số của số phức

1- Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực

và số i thoả mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

b b

a a

3- Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ

i b b a a z z

5- Phép nhân số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z‟ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

 .  .

.z a a b b a b a b i

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số

thực thông thường

2.1.2 Dạng lượng giác của số phức

1- Cho số phức z  0 Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:

z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z

3- Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos +isin)

[z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n)

5- Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0)

Khi đó z có hai căn bậc hai là:

2.2 Một số bài giảng và dạng toán cơ bản

2.2.1 Bài giảng dạng đại số của số phức

Dạng 1: Các phép tính về số phức

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức

Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ nhý trong số thực Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

Ví dụ 1: Cho số phức z = 3 1

2  2i Tính các số phức sau: z; z2; (z)3; 1 + z + z2

Lời Giải:

a) Vì z = 3 1

2  2i  z = 3 1

2  2i b) Ta có z2 =

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

y x

i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

Ví dụ 6: Tính số phức sau:

z  1 i 15.

Lời Giải:

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

1

1 1

i z

Dạng 2: Các bài toán chứng minh

Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức

Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun của số phức đã đƣợc chứng minh

Ví dụ 8: Cho z1, z2  C

CMR: E = z z1 2z z1. 2  R

z   hoặc |z2 + 1| ≥ 1

Lời Giải:

1 1 2

Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y) Ta có: OM = x2 y2 = z

Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M

Lưu ý:

- Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R

- Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R)

- Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R)

Ví dụ 11 : Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Tìm tập hợp các điểm M(z) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

1 z  1 i =2

2 2   z 1 i

(x 1)  (y 1)  2  (x-1)2 + (y + 1)2 = 4  Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2

Giả sử z = x + yi, khi đó:

(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2

 4x + 2y + 3 = 0

vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0

nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn AB

3) Xét: 2   z z 2 (3)

Giả sử z = x + yi, khi đó:

(3)  |2+x+yi| > |x+yi-2|

Vậy (3)  M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng nhau qua Oy

Từ đó suy ra tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung 3) Xét hệ thức: z 4i  z 4i  10

Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4)

Xét điểm A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi đó 1≤ MA ≤ 2

Vậy tập hợp các điểm M(z) là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1

Cách 2: Giả sử z = x +yi khi đó (5)  1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2

 1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4  kết quả như ở trên

Ví dụ 12: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số

phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

1 |z + z +3|=4

2 |z + z + 1 - i| = 2

3 2|z-i|=|z-z +2i|

y x

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung

x = 1

2và x = 7

2

 2) Xét hệ thức: |z + z + 1 - i| = 2

3 1 2

3 1

Đặt z = x + yi  z = x – yi Khi đó: (4)  |4xyi| = 4  16x2y2 = 16