TÌM HIỂU BẢN CHẤT VÀ CÁCH XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GẮN VỚI THỰC TIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Xuất phát điểm từ bài toán hình học phẳng, trên cơ sở phân tích các yếu tố và dữ kiện hình phẳng, phát triển và mở rộng hình phẳng từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều, thiết

Trang 1

TÌM HIỂU BẢN CHẤT VÀ CÁCH XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GẮN VỚI THỰC TIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN

HÌNH HỌC PHẲNG

1 Lời mở đầu:

Hình học không gian có một phần rất quan trọng của hình học phổ thông nói riêng, của môn Toán nói chung và đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp THCS và có liên hệ gắn kết với hình học phẳng Bài toán hình học không gian mặc nhiên có mặt trong đề thi THPT QG với mức độ tương đối khó Đặc

biệt, bài toán hình học không gian gắn liền với thực tiễn là bài toán xuất hiện

nhiều trong đề thi THPT QG dưới dạng trắc nghiệm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao mà đứng trước một bài toán đó học sinh thường lúng túng và chưa biết định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu Thêm vào nữa, mỗi bài toán hình học không gian đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Hay nói

một cách khác “mỗi bài toán hình học không gian luôn chứa đựng và quy về

một bài toán hình phẳng tương ứng” Vì vậy để giải được dạng toán này

chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

Trong bài viết này, chúng tôi xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp

và các em học sinh chuyên đề “Tìm hiểu bản chất và xây dựng các bài toán

hình học không gian gắn với thực tiễn từ một số bài toán hình học phẳng” để

giúp học sinh có thêm kiến thức và làm tốt bài tập dạng này và đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT

2 Các bước tiến hành xây dựng bài toán:

Bước 1: Thiết kế bài toán hình học không gian

Xuất phát điểm từ bài toán hình học phẳng, trên cơ sở phân tích các yếu tố

và dữ kiện hình phẳng, phát triển và mở rộng hình phẳng từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều, thiết lập các yêu cầu của bài toán mới như chứng minh tính vuông góc, song song hoặc tính thể tích của các khối đa diện,

Trang 2

Từ đó, ta nhận được bài toán hình học không gian tương ứng với bài toán hình học phẳng đã cho

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ đã chỉ ra

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

3 Các ví dụ cụ thể:

3.1 Bài toán 1

Bước 1: Xây dựng bài toán hình học không gian

*) Bài toán hình phẳng:

Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5m, cạnh BC = 1m Trên các cạnh

AD, AB, CD, GH lần lượt lấy các điểm E, G, H, F sao cho AE=GB=CH=GF=0,1m Ta thấy diện tích của hình vuông là 2

5

ABCD

S  m và

,

AGEF BCHG

S S cũng tính được

H

F

B

A

E

G

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:

Như vậy, nếu phát triển bài toán hình học trên từ không gian hai chiều (tức là bài toán hình học trong mặt phẳng) thành bài toán hình học trong không gian ba chiều (tức là bài toán hình học không gian), ta thêm các dữ kiện như sau: Gắn với thực tiễn bằng cách gắn thêm không gian ba chiều bằng cách bổ sung chiều cao bằng 2m vào hình chữ nhật ở trên để có được khối hộp chữ nhật biết

ba kích thước Ta được một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m,

Trang 3

1m, 2m, chỉ xây 2 vách (hình vẽ dưới đây) Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước?

5m 2m

1dm

1m

V H'

V H

Bài toán tính thể tích khối hộp chữ nhật V H, V H', thể tích của mỗi viên gạch, thể tích của khối hộp to bao quanh, từ đó tính được số gạch cần sử dụng và thể tích thực của bồn tắm

Vậy ta có bài toán hình học không gian, như sau:

“ Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ xây

2 vách (hình vẽ bên) Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó

và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể)

5m 2m

1dm

1m

VH' VH

+) Viết công thức tính thể tích tính thể tích khối hộp chữ nhật V H, V H'

+) Tính thể tích của mỗi viên gạch

Trang 4

+) Tính thể tích của khối hộp to bao quanh

+) Từ đó suy ra số viên gạch cần sử dụng và thể tích thực của bồn tắm

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2

Gọi V là thể tích khối hộp chữ nhật

V m m m m V H 0,1 4,9 2m m m0,98m3 V H0,1 1 2m m m0,2m3

3

1,18

H H

V V  m

Thể tích mỗi viên gạch là V G  0,2 0,1 0,05m m m 0,001m3

Số viên gạch cần sử dụng là

1,18

1180 0,001

H H

G

V





Bước 4: Kiểm tra lại kết quả (Kết quả đúng)

3.2 Bài toán 2

Xét hình tròn có bán kính bằng R = 6cm, khi đó có thể tính được bất kỳ độ

dài của một cung tròn nào, nếu biết số đo của góc ở tâm chắn cung đó nhờ công thức l.R Từ một cung tròn đó quấn thành một đường tròn, ta có thể tính được bán kính của đường tròn nhờ biết chu vi của đường tròn

Như vậy, nếu phát triển bài toán hình học trên từ không gian hai chiều (tức là bài toán hình học trong mặt phẳng) thành bài toán hình học trong không gian ba chiều (tức là bài toán hình học không gian), ta thêm các dữ kiện như sau:

Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn

làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu

Trang 5

Bài toán tìm thể tích khối nón khi biết chu vi đáy và đường sinh

Vậy ta có bài toán hình học không gian như sau:

“ Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn

làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu.”

+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

+) Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2

2

x



+) Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =

2

4

x



+) Thể tích của khối nón:

2

1



+) Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta tính được V lớn nhất khi và chỉ khi

2

R

2

3



r

R h

M N

I

S

+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn

đáy của hình nón sẽ có độ dài là x

Trang 6

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2

2

x



Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =

2

4

x



Thể tích của khối nón:

2

1



Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

3

2

R

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

2 2

R

2

3



3.3 Bài toán 3

Xét hình vuông ABCD có cạnh bằng a Nếu chia hình vuông đó thành ba

hình vuông thì diện tích của hình vuông ban đầu không đổi so với tổng diện tích của ba hình chữ nhật con

Cũng phát triển bài toán hình học phẳng như ở trên thành bài toán hình học trong không gian, ta xây dựng như sau:

Cho hình vuông ABCD, ta tạo thành các hình trụ (không đáy) theo hai cách

sau:

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2 So sánh V1 với V2

Vậy ta có bài toán hình học không gian như sau:

các hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau:

Trang 7

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.”

Khi đó, tỉ số 1

2

V

V là bao nhiêu

+) Tính R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, suy ra là V1

+) Tính R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, suy ra là V2

Suy ra tỉ số thể tích

+) Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

3

2



2

27

4



+) Gọi R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, có

1

2



2

9

4



+) Từ đó suy ra tỉ số đó bằng 3

3.4 Bài toán 4

Trang 8

Cho tam giác OAB cân tại O, có chiều cao OH bằng 3 lần cạnh đáy BC Trên đường cao OH lấy điểm H’sao cho OH=3OH’ Khi đó AH, A’H’ hoàn toàn tính được, nếu biết HH’

H'

A

O

H

A'

Mở rộng bài toán hình học phẳng ở trên thành bài toán hình học trong không gian, như sau:

Gắn tam giác OAB cân với khối nón có OA là đường sinh, AB là đường kính đáy, HH’ với hình trụ tròn xoay nội tiếp khối nón Khối nón và khối trụ có

sự liên hệ giữa chiều cao với chiều cao, bán kính đáy với nhau Nếu biết thể tích của khối trụ tròn xoay đó thì có thể tính được diện tích xung quanh của khối nón tương ứng Ta có bài toán hình học không gian như sau:

“Cho một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó Người ta thả vào đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 16 3



Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón Tính diện tích xung quanh S xq của bình nước.”

Trang 9

- Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao h Ta có h  3R

- Tính chiều cao của khối trụ là h1  2R , bán kính đáy là r

- Trong tam giác OHA có H A' '/ /HA

r

- Tính thể tích khối trụ V và tính được R

- Suy ra đường sinh của hình nón

- Từ đó tính được diện tích xung quanh S xq của bình nước

H'

A

O

H

A'

- Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao h Ta có h  3R

- Chiều cao của khối trụ là h1 2R , bán kính đáy là r

- Trong tam giác OHA có H A' '/ /HA

r

- Thể tích khối trụ là

3 2

1

2

R

V  r h     R

- Đường sinh của hình nón là 2 2 2 2

l OA  OH HA  R R 

Trang 10

- Diện tích xung quanh S xq của bình nước S xq Rl 4 10

Sau đây là một kết quả đã biết về hình học phẳng và phát triển sang bài toán hình học không gian

3.5 Bài toán 5

Trong các hình chữ nhật có cùng đường chéo thì hình vuông có diện tích lớn nhất

Mở rộng bài toán hình học phẳng ở trên thành bài toán hình học trong không gian, như sau:

Gắn hình chữ nhật với thiết diện của khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ cắt bởi mặt phẳng song song với đáy của khối trụ Ta cũng có kết quả là trong các khối hộp chữ nhật nội tiếp trong khối trụ tròn xoay thì khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất Ta có bài toán hình học không gian như sau:

“Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để được một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ Hỏi thể tích cực đại của khối

gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?”

Trang 11

+) Gọi x y m, ( ) là các cạnh của thiết diện Theo Định lí Pitago ta có: 2 2 2

1

x y  Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại

+) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy ra thể tích khối gỗ sau khi cưa xong

+) Gọi x y m, ( ) là các cạnh của thiết diện Theo Định lí Pitago ta có: 2 2 2

1

x y 

(đường kính của thân cây là 1m) Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại, nghĩa là khi x y. cực đại Ta có: 2 2 1

2

x y  xyxy

Dấu " "  xảy ra khi 1

2

x y +) Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: 1 1 3

8 4

V    m (thiết diện là hình vuông)

Hoàn toàn tương tự cách làm như trên chúng ta có thể chọn các bài toán hình phẳng gốc rồi phát triển thành các bài toán hình học không gian được ra dưới dạng trắc nghiệm khách quan sau đây :

Bài 1 (Đề thi KSCĐ lần 1 –

THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc

năm 2017 - 2018) Cho một tấm

tôn hình chữ nhật ABCD có

60

AD cm Ta gập tấm tôn theo

2 cạnh MN và QP vào phía trong

sao cho BA trùng với CD để

được lăng trụ đứng khuyết hai

đáy Khối lăng trụ có thể tích lớn

nhất khi x bằng bao nhiêu?

Bài 2 (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Lê Văn Hưu - Thanh Hóa năm 2017 - 2018)

Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy SA 2 a Gọi M N, là lượt là trung điểm của SB SC, Thể tích khối đa diện

ABCMN là:

A

3

.

8

a

B

3

3 12

a

C

3

3 3

a

D

3

4

a

Trang 12

Bài 3 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 - 2018).

Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A1 Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của

tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng không gian

phía trong lều là lớn nhất?

Bài 4 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018)

Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có hình chóp A ABCD'. là một hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 2a Cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy một góc 0

45 Tính

thể tích V của lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' '

4 2

3

4 2 3

a

3

4 3

a

V 

Bài 5 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018)

Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Gọi M

là trung điểm của cạnh BC, góc giữa A M' và đáy (ABC) bằng 0

30 Tính thể tích

V của lăng trụ ABC A B C ' ' '?

A

3

24

a

3

3 12

a

3

3 8

a

3

3 4

a

V 

Bài 6 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018)

Trang 13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh là 3a, góc  0

60

BAC  , cạnh SC = 4a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A

3

3 21

2

a

V 

B

3

3 21 4

a

V  C

3

15 3 2

a

V 

D

3

15 3 4

a

V 

Bài 7 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Chuyên Hưng Yên năm 2017 - 2018) Cho

lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2BC, góc giữa hai

mặt phẳngAA'B và AA C' bằng 0

30 Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB, gọi K là trung điểm AC Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng A A' và HKbằng a 3 Tính thể tích V của lăng trụ

' ' '

ABC A B C ?

A V 

3

8 3

3

a

8 3

3

4 3 3

a

4 3

Bài 8 (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017 - 2018)

Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu

là 2000lít mỗi chiếc Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?

A 1m và 2m B 1dm và 2dm C 2m và 1m D 2dm và 1dm

Bài 9 (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018) Bạn

Loan là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng

có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:

A 35cm; 25cm B 40cm; 20cm C 50cm;10cm D 30cm; 30cm

Có thể nói rằng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng là nhiều vô kể

và có nhiều kết quả hay Nếu biết khai thác một cách hợp lí các kết quả đó và

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	503,86 KB