SKKN cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số trong chương trình đại số và giải tích 11

Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy học chương 3 Đại số và Giải tích 11 với những cải tiến như sau.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình

Chúng tôi, gồm:

1 Nguyễn Tiên Tiến

Sinh ngày: 08 tháng 06 năm 1981

Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình

Chức vụ: Phó Hiệu trưởng

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 60%

2 Vũ Xuân Đài

Sinh ngày: 22 tháng 12 năm 1972

Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Trình độ chuyên môn: Cử nhân

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 20%

3 Hoàng Thị Năm

Sinh ngày: 04 tháng 10 năm 1985

Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình

Chức vụ: Giáo viên

Trình độ chuyên môn: Cử nhân

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 20%

I Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng

- Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số trong chương trình Đại số và Giải tích 11

- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy bộ môn Toán lớp 11 cấp THPT

II Nội dung sáng kiến

1 Giải pháp cũ thường làm

Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi và dựa vào kết quả lấy phiếu điều tra đối giáo viên dạy Toán 11 về kinh nghiệm, tình hình giảng dạy về dãy số và cấp số trong chương trình Đại số và Giải tích 11, tôi xin được đánh giá ưu điểm và hạn chế như sau:

Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giáo khoa Cách làm này có ưu điểm là học sinh dễ theo dõi bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày các ví dụ một cách chi tiết để học sinh nhận biết, thông hiểu từng định nghĩa hoặc đơn vị kiến thức Đồng thời, học sinh không được cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ bản chất của khái niệm toán học hoặc đơn vị kiến thức đó

Giáo viên thường sử dụng các ví dụ và bài tập tự luận trong giảng dạy lý thuyết

và dành câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho tiết ôn tập hoặc tiết tự chọn Điều này vừa

mất nhiều thời gian vừa hạn chế việc rèn kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh

Giáo viên sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong tiết ôn tập, tiết tự chọn hoặc học thêm buổi chiều và câu hỏi được xây dựng thành chủ đề nhưng các câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống Cách làm này có

ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm và dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan Học sinh giải được bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài toán Bên cạnh đónên học sinh sẽ khó hình dung các yêu câu sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho trước

2 Giải pháp mới cải tiến

Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy học chương 3 Đại số và Giải tích 11 với những cải tiến như sau:

Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức

Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi nhưng mỗi bài học được thiết kế thành hai phần: Kiến thức cần biết

và Một số ví dụ điển hình

Giải pháp 2: Thiết kế phần kiến thức cần biết

Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình bày lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật cho thi THPT Quốc gia hiện nay Ứng với mỗi khái niệm, định lý hoặc đơn vị kiến thức đều có những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận để học sinh hiểu rõ bản chất của khái niệm, định lý hoặc đơn vị kiến thức đang học Bên cạnh đó, với mỗi khái niệm, định lý các tác giả còn đề xuất một số dấu hiệu nhận biết như các cách thường dùng để chứng minh một dãy số là dãy số tăng, dãy số giảm; dấu hiệu nhận biết một dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân; dãy số không phải là cấp số cộng, cấp số nhân;

Giải pháp 3: Thiết kế phần các ví dụ điển hình

Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng và phân tích các đề thi học kỳ, thi chọn học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia, các tác giả xây dựng, phân loại các ví dụ điển hình thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ, thi học sinh giỏi hoặc thi THPT Quốc gia Các

ví dụ được thiết kế khác so với sách giáo khoa để học sinh có thêm tư liệu tham khảo và được trình bày từ cơ bản đến nâng cao, có sự phân tích, đánh giá, nhận xét và bình luận nhằm giúp học sinh nhận biết, thông hiểu và biết vận dụng kiến thức Các ví dụ trong phần này vừa được phân dạng vừa được thiết kế ở cả hai dạng tự luận và trắc nghiệm khách quan

Đối với những ví dụ ở dạng tự luận, bên cạnh việc bổ sung các bài tập cùng dạng để học sinh có cơ hội rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy thì có khai thác đến các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan với những thông tin, dữ liệu cho trước Điều này sẽ giúp cho học sinh có cái nhìn tổng thể về các tình huống có thể đặt ra hoặc xuất hiện với những thông tin, dữ liệu cho trước Và khi đó, năng lực tự học, tự đặt vấn đề và giải quyết vấn đề của học sinh tiếp tục được bồi dưỡng Bên cạnh đó, các câu hỏi trắc nghiệm khách quan được đề xuất đều có dụng ý phân hóa học sinh ở các cấp độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Việc kết hợp giữa khai thác các bài tập tự luận và các câu hỏi trắc nghiệm khách quan một mặt giúp học sinh có cái nhìn tổng

quát, rõ ràng trước những tình huống cụ thể Mặt khác, vừa rèn cho học sinh kỹ năng làm bài tự luận, kỹ năng làm bài trắc nghiệm vừa tiết kiệm được thời gian và vừa đạt được hiệu quả cao

Đối với những ví dụ ở dạng trắc nghiệm khách quan, chúng tôi trình bày chi tiết lời giải tự luận hoặc lời giải trắc nghiệm Điều này giúp học sinh làm bài tập trắc nghiệm nhưng vẫn được rèn kỹ năng tính toán, kỹ năng trình bày lời giải Sau mỗi câu hỏi trắc nghiệm khách quan, chúng tôi còn đề xuất thêm một số câu hỏi trắc nghiệm khác ở các mức độ nhận thức để học sinh tự luyện

Giải pháp 4: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về dãy số, cấp số, chúng tôi xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng đơn vị bài học: dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Việc xây dựng được hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng bài học một mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện tập Bên cạnh các câu hỏi mang đặc trưng toán học, chúng tôi còn cung cấp một

số lượng đáng kể các bài toán có liên quan đến thực tiễn Điều này vừa đáp ứng với yêu cầu của thi THPT Quốc gia hiện nay vừa tạo hứng thú học tập cho học sinh và nâng cao được chất lượng giảng dạy và bước đầu đáp ứng được với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

III Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

1 Hiệu quả kinh tế

học, luyện thi thì giáo viên sẽ phải mất rất nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham khảo Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để tự luyện thì cũng phải tìm kiếm trong nhiều tài liệu rồi hệ thống lại Điều này cũng sẽ mất nhiều thời gian, trong khi đó, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay tài liệu này để giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi Nếu cần thì giáo viên chỉ cần bổ sung hàng năm

để có được tài liệu phong phú về bài tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng học sinh của lớp giảng dạy

Thứ hai, xét về tài chính Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet, và nhiều giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc ít nhất 05 đầu sách tham khảo (bài tập

về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân chủ yếu ở dạng tự luận) Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần phô tô hoặc in tài liệu này với giá không quá 15.000 đồng

2 Hiệu quả xã hội

Các tác giả đã xây dựng tài liệu này từ năm 2015 và hoàn thiện dần qua các năm học Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô trong trường sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi và bước đầu đã cho thấy tính khả thi và phổ dụng của sáng kiến

Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên có sự hướng dẫn của giáo viên và đạt được thành tích cao trong học tập Điều này cho thấy, nếu sáng kiến tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh tự học Từ đó, tạo được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học và nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh

IV Điều kiện và khả năng áp dụng

1 Điều kiện áp dụng

Sáng kiến này đã được các tác giả triển khai thực hiện từ năm 2015 tại nhà trường và được hoàn thiện dần qua các năm học Qua thực nghiệm và tiến hành áp dụng trong các năm học qua, kết quả tài liệu rất hữu ích trong công tác giảng dạy của giáo viên và công tác ôn tập của học sinh Đồng thời, chất lượng giảng dạy và học tập nội dung chương 3 Đại số và Giải tích 11 được nâng lên đáng kể, tạo được hứng thú và góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Vì vậy, sáng kiến có thể áp dụng cho các trường THPT trên địa bàn tỉnh và toàn quốc

2 Khả năng áp dụng

Sáng kiến là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và được áp dụng trong giảng dạy ở các trường THPT Tài liệu này được các đồng nghiệp trong trường cũng như trên địa bàn huyện đánh giá cao về chất lượng nội dung, phương pháp và mục tiêu dạy học

Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên đều công tác tại trường THPT Gia Viễn B):

Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật

và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./

Xác nhận của Ban giám hiệu

Gia Viễn, ngày 14 tháng 05 năm 2018

Người nộp đơn

Nguyễn Tiên Tiến

Vũ Xuân Đài

Hoàng Thị Năm

PHỤ LỤC PHẦN 1 LÝ THUYẾT VỀ DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ

(3): Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng;

(4): Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn

A KIẾN THỨC CẦN BIẾT

1 Định nghĩa

dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u u1, , , , 2 u n , trong đó

Cách 1 Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ 1 Cho dãy số  x n với 1

3

n n

n x

Cách 2 Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi

Ví dụ 2 Cho dãy số  a xác định bởi n a  và 1 1 a n1 3a n 7,n 1

Ví dụ 3 Cho dãy số  b xác định bởi n 1 2

Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là giúp chúng ta xác định được ngay mối liên hệ

Tuy nhiên, để tính được số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tính được các

Cách 3 Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

Ví dụ 4 Cho dãy số  u gồm các số nguyên tố n

Ví dụ 5 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 Trên cạnh BC , ta lấy điểm A sao cho 1

1 1

CA  Gọi B là hình chiếu của 1 A trên CA , 1 C là hình chiếu của 1 B trên AB , 1 A là 2

hình chiếu của C trên BC , 1 B là hình chiếu của 2 A trên CA , … và cứ tiếp tục như thế 2

Xét dãy số  u với u CA

3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng

Dãy số  u n được làdãy số tăngnếu ta có u n1 u n với mọi n   *

Dãy số  u n được làdãy số giảmnếu ta có u n1 u n với mọi n   *

Dãy số  u n được là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có u n1 u n với mọi n   *

Ví dụ 6 a) Dãy số  x n với x n n2 2n 3 là một dãy số tăng

Vậy,  y là một dãy số giảm n

Cách 2 Với mọi n   , ta có * y  nên ta có thể xét tỷ số n 0 n 1

n

y y

Vậy,  y là một dãy số giảm n

c) Vì z n1 z n   1n1   1 n  2 1  n không xác định được dương hay âm nên đây không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm

 Nhận xét: Để chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta

Hướng thứ nhất: Lập hiệu u n u n1u n Sử dụng các biến đổi đại số và các kết quả đã biết để chỉ ra u n 0,  n * (dãy số tăng) hoặc u n 0,  n * (dãy số giảm)

Hướng thứ hai: Nếu u n 0,n 1 thì ta có thể lập tỷ số n n 1

n

u T u



 Sử dụng các biến đổi đại số và các kết quả đã biết để chỉ ra T n 1,  n * (dãy số tăng) hoặc T n 1,  n *

(dãy số giảm)



 là một dãy số bị chặn vì

*2

giải được các bài tập dưới đây:

Bài 1 Cho dãy số  x n xác định bởi 2 1

b) Hãy tính tổng của 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

Bài 2 Cho dãy số  y xác định bởi n 3 1

b) Hãy tính tổng của 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

Bài 3 Cho dãy số  z xác định bởi n 20 sin 7 cos

2) Qua ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Cho dãy số  a xác định bởi n 2017 sin 2018 cos

n

đúng trong mỗi câu hỏi sau đây

Câu 1 Số hạng thứ 6 của dãy số là số nào trong các số dưới đây?

a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho Tính tổng của 6 số hạng đó

b) Chứng minh rằng a n3 a n với mọi n   *

c) Số hạng thứ 2018 của dãy số  a có giá trị bằng bao nhiêu? n

Với n  thì 1 a  và 1 1 a  nên 4 1 a4 a1 3 a1 Vậy đẳng thức đúng với n  1

Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là a k3 a k

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n k1, nghĩa là phải chứng minh a k4 a k1

Thật vậy, ta có 4 3 2 3 5 3

1

a    a   a   (theo hệ thức truy hồi)

Theo giả thiết quy nạp thì a k3 a k nên 4 3 2 5 1

1

Vậy đẳng thức đúng với n k1 Suy ra điều phải chứng minh

c) Từ kết quả ở ý b) ta có: nếu m  pmod 3 thì a m a p

Ta có 2018 2 mod 3  nên a2018 a2 2 Vậy số hạng thứ 2018 của dãy số là 2

d) Vì a n3 a n  n * nên với 2016 số hạng đầu, chúng ta chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 672 số hạng Nhóm thứ nhất gồm các số hạng bằng a , nhóm thứ hai gồm các 1

 Nhận xét: 1) Việc chứng minh được hệ thức a n3 a n,n 1 giúp chúng ta giải quyết

hiện ra tính chất đặc biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách thuận lợi và dễ dàng hơn Chúng ta cùng tìm hiểu tính chất đặc biệt của mỗi dãy số trong các bài tập sau đây nhé

Bài 1 Cho dãy số  x n xác định bởi x  và 1 2  2 

a) Chứng minh rằng  x n là một dãy số không đổi

b) Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

Bài 2 Cho dãy số  y xác định bởi n y  và 1 2 2

n n

a) Số hạng thứ 2017 của dãy số  y bằng bao nhiêu? n

b) Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

c) Số 2018 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên của dãy số  y ? n

Bài 3 Cho dãy số  z xác định bởi n z  và 1 3 3 2

a) Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số  z n

b) Số 2019 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên của dãy số  z ? n

Bài 4 Cho dãy số  a xác định bởi n 1 2

b) Kiểm nghiệm hệ thức a n12 a n,n 1

c) Tính tổng của 2017 số hạng đầu tiên của dãy số  a n

2) Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây:

Cho dãy số  a xác định bởi n a  và 1 1 2 *

án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây

Câu 1 Tính tổng S của 6 số hạng đầu tiên của dãy số  a n

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  a n

c) Xét tính tăng, giảm của dãy số  a n

Lời giải

a) Ta có a2  1a12  2;a3  1a22  3;a4  1a32  4;a5  1a42  5

Do đó a1a2 a3 a4 a5 1 2 3 4  5 3 2  3  5

b) Từ 5 số hạng đầu của dãy số  a ta dự đoán được n a n  n

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được a n  n

c) Để xét tính tăng, giảm của dãy số  a chúng ta có thể dựa vào một trong các cách sau: n

Cách 1 Từ công thức tính số hạng tổng quát của dãy số  a , ta có n

*

a   n   n a   n Suy ra  a là dãy số tăng n

Cách 2 Từ công thức truy hồi, ta có a n 0  n *

Suy ra a n1  1a n2  a n a n,  n * Do đó  a là dãy số tăng n

Ví dụ 4 Cho dãy số  a có tổng của n số hạng đầu tiên bằng n S n n3.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số  a n

Dấu bằng chỉ xảy ra khi n   hay 1 0 n  1

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng./

Nhận xét: 1) Bằng kỹ thuật tương tự như trong ví dụ này, chúng ta có thể giải được các bài tập dưới đây:

Bài 1 Cho dãy số  x n có tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S ) được tính theo n

công thức 7 3 

.2

Ví dụ 5 Cho dãy số  a xác định bởi n a  và 1 1 *

1 3 10,

n n

a   a    n a) Tính a a a 3, ,5 7

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  a n

 Chú ý: Dãy số  a n xác định bởi a1 a và a n1 qa n d, với mọi n  1

1

n n

- Nếu q 1 thì số hạng tổng quát của dãy số  a n là a n a n 1 d

giải được các bài tập dưới đây:

Bài 1 Cho dãy số  u xác định bởi n u  và 1 2 u n1 2u n 1,n 1

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

n n

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n

  

Cho dãy số  a xác định bởi n a  và 1 1 *

1 3 10,

n n

a   a    n Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây

Câu 1 Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số  a lần lượt là n

A giảm và bị chặn trên B tăng và bị chặn trên

C tăng và bị chặn dưới D giảm và bị chặn dưới

Ví dụ 6 Cho dãy số  a xác định bởi n a1 5,a2 0 và a n2 a n16 ,a n n 1

a) Tính tổng 5 số hạng đầu tiên của dãy số  a n

b) Lập dãy số  b với n b n a n12 ,a n n 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  b n

c) Lập dãy số  c với n c n a n13 ,a n n 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  c n

d) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  a n

Từ hệ thức truy hồi của dãy số  b , ta có n 2 3

1 1

được các bài tập dưới đây:

Bài 1 Cho dãy số  u xác định bởi n u1 2,u2 5 và u n2 5u n16 ,u n n 1

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số  u n

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có 2n 3 n

Bài 4 Cho dãy số  x n xác định bởi 1 2

1 2

n

Cho dãy số  a xác định bởi n a1 5,a2 0 và a n2 a n1 6 ,a n n 1 Hãy chọn phương

án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây

Câu 1 Tính số hạng thứ năm của dãy số  a n

b) Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số  a theo n n

n

 Chú ý: Dãy số  a n xác định bởi a1 a vàa n1 a n f n ,n 1.

1

n n

bài tập dưới đây:

Bài 1 Cho dãy số  u xác định bởi n u  và 1 1 1  1 2 , n 1

Bài 4 Cho dãy số  a xác định bởi n a1 1;a2 2 và a n2 2a n1a n 1,n 1

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số  a n

b) Lập dãy số  b với n b na n1a n Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số  b n

c) Tìm công thức tính a theo n n

2

2.2

n

Bài 5 Cho dãy số  a xác định bởi n a  và 1 2 a n1  3a n 2n1,n 1

a) Lập dãy số  b với n b n a n n Tìm công thức tính b theo n n

Lời giải

a) Chứng minh  a là một dãy số giảm n

Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng a n1 a n,n 1

Giả sử bất đẳng thức đúng với n k, nghĩa là ta có a k1 a k.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n k1, nghĩa là phải chứng minh rằng a k2 a k1

Theo hệ thức truy hồi của dãy số  a và giả thiết quy nạp, ta có n

Vì  a là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi n a  1 2

Cũng do  a là một dãy số giảm nên n   1

1

2 a n a n a n  n Suy ra a n 1,n 1 Vậy dãy số  a bị chặn dưới bởi 1 n

Dãy số  a bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 2 nên n  a là một dãy số bị chặn./ n

Bài 3 Cho dãy số  z xác định bởi n z  và 1 1 1 2, 1

1

n n n

§2 CẤP SỐ CỘNG

Trong bài học này, chúng ta tìm hiểu một số nội dung liên quan đến cấp số cộng

Cụ thể là tìm hiểu các nội dung sau:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ

Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng

Đặc biệt, khi d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

3) Cấp số cộng  u n là một dãy số giảm khi và chỉ khi công said  0

4) Để chứng minh dãy số  u n là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chứng minh

1

n n

Ví dụ 1 Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

2,1, 4, 7,10,13,16,19



Lời giải Vì 1  2 3; 4 1 3 ; 7 4 3 ; 10 7 3 ;

1310 3 ; 1613 3 ; 1916 3nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2,1, 4, 7,10,13,16,19 là một cấp số cộng với công sai d 3

Ví dụ 2 Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó

a) Dãy số  a , với n a n 4n 3; b) Dãy số  b , với n 2 3

Lời giải a) Ta có a n1 4n13 4n1 nên a n1a n 4n1  4n 3 4,n 1

Do đó  a là cấp số cộng với số hạng đầu n a 1 4.131 và công sai d 4

của n ) Suy ra  c không phải là một cấp số cộng n

minh u n1u n là một hằng số với mọi số nguyên dương n

2) Để chỉ ra dãy số  u n không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng liên tiếp u u k, k1,u k2 của dãy số không lập thành một cấp số cộng

2 Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định lý 1 Nếu cấp số cộng  u n có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát

n

u được xác định bởi công thức u n u1n 1 ,d n 2  2

 Nhận xét: Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:

Cho cấp số cộng  u n , biết hai số hạng u p và u qthì số hạng đầu và công sai được tính theo công thức sau:

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2 Trong một cấp số cộng  u n , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là

2

k k k

Ví dụ 5 a) Cho cấp số cộng  u có n u 99 101 và u101 99 Tính u 100

b) Cho cấp số cộng 2, , 6,  x y Tính giá trị của biểu thức P x2 y2

Lời giải a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 99 101

n n

2) Để tính được S n, thì công thức  5 được sử trong mọi trường hợp Cụ thể là, chúng

ta cần tìm được số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng

3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u d n u S1, , , ,n n Chúng ta cần biết 3 đại lượng trong 5 đại lượng thì có thể tìm được 2 đại lượng còn lại Tuy nhiên, theo các công tính u S n, n thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính 3 đại lượng u d n 1, ,

Lời giải Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng

- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2, 4, 8

Suy ra u17 u1 17 1 d 11 Vậy phương án đúng là C./

hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng của n số hạng đầu tiên Cụ thể, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

Câu 1 Cho cấp số cộng  u có n u 1 123 và u3u15 84 Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho?

 Chú ý: Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như:

1) u m k u n k u m u k n, m n,

2) u m k u m k 2 ,u k m m

3) u m u k m k d k  , m

Ví dụ 5 Cho dãy số  u xác định bởi n u 1 321 và u n1 u n 3,  n *. Tính tổng S của

125 số hạng đầu tiên của dãy số đó

Vậy phương án đúng là A./

Ví dụ 6 Cho cấp số cộng  u có công sai n d   và 3 2 2 2

u u u đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó 100

Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có đề xuất các câu hỏi sau đây:

Câu 1 Cho cấp số cộng  u có công sai n d   và 3 2 2 2

 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

Câu 4 Cho cấp số cộng  u có n u1 m và công sai d   , trong đó m là tham số Tìm 3

giá trị nhỏ nhất min F của biểu thức F u22 u32 u42

A minF 18 B minF 6 C minF 99 D minF 117

Ví dụ 7 Cho cấp số cộng 3, 8,13, Tính tổng S   3 8 13 2018. 

A S 408 422 B S  408 242 C 407 231, 5 D 409 252, 5

Lời giải Cấp số cộng 3, 8,13, có số hạng đầu a  và công sai 1 3 d  5

Suy ra 2018 là số hạng thứ 2018 3

1 4045

Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết được các câu hỏi sau đây:

Câu 1 Cho cấp số cộng 3, 8,13, Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Lời giải

Cách 1 Giải bài toán như cách giải tự luận

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x x x lập thành 1, ,2 3một cấp số cộng

Theo định lý Vi-et đối với phương trình bậc ba, ta có x1x2 x3 3 m

+ Với m  thì ta có phương trình 0 x3 0x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất)

Do đó m  không phải là giá trị cần tìm 0

+ Với m  , ta có phương trình 1 x3 3x2 6x 8 0 x 1;x  2;x 4

Ba nghiệm 2,1, 4 lập thành một cấp số cộng nên m  là giá trị cần tìm 1

Cách 2 Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng

Trước hết ta kiểm tra các phương án A và D (vì m nguyên)

+ Với m  thì ta có phương trình 0 x3 0x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất)

Do đó m  không phải là giá trị cần tìm 0

điều kiện cần này ta có hệ thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là

  là nghiệm của phương trìnhax3 bx2 cx d 0

Ví dụ 9 Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm

phân biệt lập thành một cấp số cộng: x4 10x22m2 7m 0, tính tổng lập phương của hai giá trị đó

.8

Lời giải + Đặt t x t2, 0 Khi đó ta có phương trình t2 10t 2m2 7m 0 * 

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  * có hai

2 2

+ Với điều kiện trên thì  * có hai nghiệm dương phân biệt là t t1, ,2 t1 t2 Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là  t2, t1, t1, t2

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

 Chú ý: Phương trình bậc bốn trùng phương ax4 bx2 c 0,a 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là 9b2 100 a c 0.

Ví dụ 10 Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

A 7 700 000 đồng B 15 400 000 đồng

C 8 000 000 đồng D 7 400 000 đồng

Lời giải Gọi u là giá của mét khoan thứ n , trong đó 1 n n 20

Theo giả thiết, ta có u 1 100 000 và u n1 u n 30 000,1n 19

Ta có  u là cấp số cộng với số hạng đầu n u 1 100 000 và công sai d  30 000

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng bằng tổng các số hạng của cấp

số cộng  u Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là n

Vậy phương án đúng là A./

các bài tập mới Cụ thể:

xong giếng là 7 700 000 đồng thì ta có bài toán:

Bài 10.1 Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu

tiên là 100 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình Khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền

là 7 700 000 đồng Hỏi giếng đó sâu bao nhiêu mét?

2) Nếu đổi giả thiết giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó thành giả thiết tổng số tiền cần thanh toán khi khoan xong giếng là

7 700 000 đồng thì ta có bài toán:

Bài 10.2 Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu

tiên là 100 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm x đồng

so với giá của mét khoan ngay trước đó Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình