Dãy số jacobsthal và một số vấn đề liên quan

Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas

Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, cùng với công thức tổng quát của chúng Hai dãy số này là nghiệm của một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với các điều kiện ban đầu khác nhau Đầu tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và trình bày công thức nghiệm của nó khi đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dạng u n+1 = Au n + Bu n−1, với n = 1, 2, , được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, trong đó A và B là các hằng số Để tìm nghiệm của phương trình này, chúng ta cần xét phương trình bậc hai λ 2 − Aλ − B = 0.

Phương trình bậc hai được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1) Định lý 1.1.2 chỉ ra rằng nếu phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β, thì phương trình sai phân (1.1) sẽ có nghiệm dưới dạng u n = C 1 α n + C 2 β n, với n = 0, 1, 2, , trong đó C 1 và C 2 là các hằng số tùy ý.

Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u 0 và u 1 thì các hằng số C 1 và C 2 hoàn toàn được xác định.

Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm của phương trình sai phân u n+1 = 5u n − 6u n−1 (1.4) với điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1.

Giải Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là λ 2 − 5λ + 6 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3 Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là u n = C 1 2 n + C 2 3 n , n = 0, 1,

Từ điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1 ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình này ta đượcC 1 = 1, C 2 = −1 Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1 là u n = 2 n − 3 n , n = 0, 1,

Trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β, phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u 0 và u 1 xác định một dãy số {u n } ∞ n=0 Dãy số này được tính theo công thức u n = aα n − bβ n / (α − β), với a = u 1 − u 0 β và b = u 1 − u 0 α.

Dãy số Jacobsthal {J n} là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết phương trình sai phân Chúng ta sẽ tìm hiểu về dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas dựa trên những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết này.

J 0 = 0, J 1 = 1 và J n+2 = J n+1 + 2J n , với n ≥ 0 (1.5) b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {j n } được xác định bởi j 0 = 2, j 1 = 1 và j n+2 = j n+1 + 2j n , với n ≥ 0 (1.6)

Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng các số hạng đầu tiên của các dãy số

Theo các công thức (1.5) và (1.6), với n ≥ 1, tất cả các giá trị của J n và j n đều là số lẻ, đây là đặc trưng đầu tiên của hai dãy số này.

Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas đều được xác định bởi cùng một phương trình sai phân, nhưng có điều kiện ban đầu khác nhau Phương trình sai phân của hai dãy số này có phương trình đặc trưng là x² − x − 2 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1 Do vậy, theo Định lý 1.1.2 cả hai dãy có số hạng tổng quát dạng

Với điều kiện ban đầu J 0 = 0 và J 1 = 1 ta tìm được C 1 = 1 3 , C 2 = −1 3 Do đó công thức tổng quát cho J n là

Tương tự, với điều kiện ban đầu j 0 = 2 và j 1 = 1 ta thu được C 1 = C 2 = 1 Do đó, công thức tổng quát cho j n là j n = α n + β n = 2 n + (−1) n , với n ≥ 0.

Công thức tổng quát này được biết đến với tên gọi công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas Do đó, ta có thể đưa ra mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.1.5 (Công thức Binet) Với số nguyên n ≥ 0, ta có

Một số tính chất cơ bản

Trong phần trước, chúng ta đã định nghĩa và trình bày công thức Binet để xác định số hạng tổng quát của hai dãy số J n và j n Bài viết này sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản của hai dãy số này, bắt đầu với công thức Simson liên quan đến chúng.

Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson) Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có

Chứng minh Theo công thức Binet, ta có J n = 1 3 (2 n − (−1) n ) Suy ra

Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng minh được j n+1 j n−1 − j n 2 = (−1) n−1 2 n−1 Suy ra j n+1 j n−1 − j n 2 = −9 J n+1 J n−1 − J n 2

Mệnh đề sau đây cho ta tổng của các số hạng đầu của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas.

Mệnh đề 1.2.2 a) Với n ≥ 2, ta có n

Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức (1.7) bằng quy nạp theo n Đẳng thức (1.8) được chứng minh tương tự.

Dễ dàng thấy rằng đẳng thức (1.7) đúng với n = 2 Giả sử đẳng thức đúng với n Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n + 1, tức là n+1

Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều cần chứng minh.

Mệnh đề sau đây cho ta một số đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal {J n } và dãy số Jacobsthal–Lucas {j n }.

Mệnh đề 1.2.3 Các đẳng thức sau đây là đúng: j n J n = J 2n , (1.9) j n = J n+1 + 2J n−1 , (1.10)

Để chứng minh các đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal và Jacobsthal–Lucas, chúng ta có thể sử dụng công thức Binet cùng với những phép toán đơn giản Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chứng minh cho một số đẳng thức đầu tiên, trong khi các đẳng thức còn lại có thể được chứng minh theo cách tương tự Đặc biệt, chúng tôi sẽ bắt đầu với việc chứng minh đẳng thức (1.9) thông qua công thức Binet cho dãy số Jacobsthal và Jacobsthal–Lucas, từ đó rút ra được kết quả j n J n = 1.

Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (1.10) Tiếp tục sử dụng các công thức Binet, ta có:

Thay công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas vào vế trái của đẳng thức (1.11) ta được: j n+1 + 2j n−1 = 2 n+1 + (−1) n+1 + 2 2 n−1 + (−1) n−1

Sử dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal và dãy Jacobsthal–Lucas, ta có thể biến đổi cả hai vế của đẳng thức 3 (2 n − (−1) n ) = 9J n.

Suy ra đẳng thức (1.12) là đúng Các đẳng thức còn lại trong mệnh đề được chứng minh hoàn toàn tương tự.

Dãy tổng riêng

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất quan trọng liên quan đến dãy tổng riêng của các phần tử đầu tiên trong dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas Chúng tôi sẽ phân tích các đặc điểm và cách xác định dãy số này.

Theo định nghĩa, ta có bảng 10 giá trị đầu của T n và ˆ  n như sau: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ã ã ã

Theo Mệnh đề 1.2.2, ta có n

Từ đó, ta có thể chứng minh được công thức truy hồi xác định các dãy { T n } và {ˆ  n } như trong mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.3.1 Với n ≥ 0, ta có

Chứng minh Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.25) Đẳng thức (1.26) được chứng minh tương tự Theo nhận xét ở trên, ta có

Theo định nghĩa của dãy Jacobsthal ta lại có J n+4 + 2J n+3 = J n+5 Do đó, ta có

2 = T n+2 Suy ra điều cần chứng minh.

Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức tổng quát của các dãy số T n và ˆ j n. Mệnh đề 1.3.2 (Công thức Binet) Với n ≥ 0, ta có

Để chứng minh các công thức liên quan, chúng ta có thể áp dụng lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Tuy nhiên, một cách đơn giản hơn là sử dụng công thức Binet cho các dãy Jacobsthal và Jacobsthal–Lucas, cùng với mối liên hệ giữa chúng với các dãy T n và ˆ j n.

Thật vậy, như ta đã nhận xét ở đầu mục này, ta có

2 Mặt khác, áp dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal ta có

Do đó, với tính toán đơn giản, ta thu được

Nói cách khác, công thức tổng quát (1.27) được chứng minh.

2 Theo công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta lại có j n+2 = 2 n+2 + (−1) n+2

Vậy công thức (1.28) được chứng minh.

Bằng cách áp dụng các công thức Binet đã được chứng minh, chúng ta có thể chứng minh công thức Simson cho các dãy số Tn và ˆjn như được nêu trong mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.3.3 (Công thức Simson) Với n ≥ 1, ta có

Chứng minh Trước tiên ta sử dụng công thức Binet cho T n để chứng minh (1.29) Cụ thể như sau:

Ta tiếp tục sử dụng công thức Binet cho ˆ j n ta sẽ chứng minh được (1.30).

Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức xác định tổng của n số hạng đầu tiên của các dãy số T n và ˆ j n

Mệnh đề 1.3.4 Với n ≥ 1, ta có n

Chứng minh Ta chứng minh (1.31) và (1.32) bằng phương pháp quy nạp Ở đây, chúng tôi chứng minh (1.31), còn lại (1.32) được chứng minh tương tự.

Từ bảng giá trị 10 giá trị đầu của T_n và  ˆ_n, chúng ta nhận thấy rằng công thức (1.31) đúng với n = 1 và n = 2 Giả sử công thức (1.31) đúng với n, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh rằng nó cũng đúng với n + 1, tức là cần chứng minh trường hợp n + 1.

Suy ra điều cần phải chứng minh.

Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta một số đẳng thức thú vị liên quan đến các dãy số T n và ˆ j n

Mệnh đề 1.3.5 Các đẳng thức sau đây là đúng:

Để chứng minh các đẳng thức liên quan, chúng ta sử dụng công thức Binet cho các dãy số tương ứng và thực hiện các phép tính đơn giản Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chứng minh cho một số đẳng thức đầu tiên, trong khi các đẳng thức còn lại có thể được chứng minh theo cách tương tự.

Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (1.33) Sử dụng công thức Binet cho T n và ˆ j n ta được:

Vậy VT=VP và (1.33) đã được chứng minh.

Bằng cách sử dụng công thức Binet, ta chứng minh được (1.34) Cụ thể như sau

Vậy VT=VP và (1.34) đã được chứng minh.

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày các kết quả của ˇCerin về tổng bình phương và tổng đan dấu bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn hoặc lẻ Ngoài ra, sẽ có những phân tích về tổng và tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp, mở rộng kiến thức về dãy số Jacobsthal J n và dãy số Jacobsthal–Lucas j n đã được giới thiệu trong chương trước.

Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn

Nhắc lại rằng dãy số Jacobsthal {J n } và dãy số Jacobsthal–Lucas {j n } lần lượt được xác định bởi các công thức truy hồi

Số hạng tổng quát của hai dãy số này lần lượt được xác định bởi các công thức

Bây giờ, với số nguyên n bất kỳ, ta đặt β n = 2 4n+2 − 1

5 và η = 2 4n+4 + 1 = j 4n+4 Khi đó ta có hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.1 Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có đẳng thức sau:

Chứng minh Để chứng minh (2.1) ta sẽ khai triển hai vế, sau đó ta sẽ chứng minh sự khác nhau của hai vế bằng 0 Ta có β n+1 γ n+1 = 2 4n+6 − 1

− 2 8n+4 + 2.2 4n+2 (−1) 4n+2 − (−1) 8n+4 ]. Để thuận tiện cho việc biến đổi và tính toán ta đặtA = 2 2k , B = 2 8n và C = 2 4n Khi đó ta được

Ta thấy sự khác nhau giữa vế trái và vế phải trong (2.1) là

Rõ ràng tất cả các số hạng trong biểu thức trên đều bằng 0 Vậy bổ đề được chứng minh.

Với n = 0, 1, 2, , ta lại đặt η n = 2 4n+4 + 1 = j 4n+4 Ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 2.1.2 Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có

Trong quá trình chứng minh, chúng ta thực hiện các bước tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.1.1 Qua đó, chúng ta có thể nhận diện sự khác biệt giữa vế trái và vế phải của đẳng thức (2.2).

Ta nhận thấy tất cả các số hạng của biểu thức này đều bằng 0 nên bổ đề đươc chứng minh.

Định lý 2.1.3 khẳng định rằng đối với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, tổng bình phương của số Jacobsthal với chỉ số chẵn có thể được tính toán.

Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức (2.3) bằng phương pháp quy nạp theo n Với n = 0 ta có

J 2k 2 = J 0 2 + β 0 J 2k [γ 0 J 2k + 8τ 0 ] = J 2k J 2k = J 2k 2 vì J 0 = 0, β 0 = 1, γ 0 = 1 và τ 0 = 0 Vậy đẳng thức đúng khi n = 0.

Giả sử đẳng thức (2.3) đúng khi n = r Khi đó, ta có

J 2i 2 + β r+1 J 2k [γ r+1 J 2k + 8τ r+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta áp dụng Bổ đề 2.1.1 với n = r + 1 Vì vậy (2.3) đúng với n = r + 1 và chứng minh đẳng thức (2.3) được hoàn thành.

Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (2.4) bằng phương pháp quy nạp theo n Với n = 0 ta có

J 2k 2 + J 2k+2 2 = J 0 2 + J 2 2 + τ 1 J 2k [η 0 J 2k + 8β 0 ] = 17J 2k 2 + 8J 2k + 1, vì J 0 = 0, J 1 = 1, β 0 = 1, η 0 = 17 và τ 1 = 1 Đẳng thức trên tương đương với

J 2k+2 2 = 16J 2k 2 + 8J 2k + 1 = (4J 2k + 1) 2 Từ mối quan hệ J n+2 = 4J n + 1 ta thấy đẳng thức này là đúng Vậy, đẳng thức (2.4) đúng với n = 0.

Giả sử (2.4) đúng với n = r Khi đó, ta có

Áp dụng Bổ đề 2.1.2 với n = r + 1, ta có đẳng thức J 2i 2 + τ r+2 J 2k [η r+1 J 2k + 8β r+1 ] đúng với n = r + 1 Từ đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta suy ra điều cần chứng minh.

Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một tính chất liên quan đến tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số lẻ Để làm rõ điều này, trước tiên chúng ta cần xem xét một số bổ đề quan trọng.

Bổ đề 2.2.1 Với mọi k ≥ 0, ta có

Để chứng minh bổ đề J 2k+1 2 = 16J 2k J 2k−2 + 8J 2k + 1, chúng ta sẽ áp dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal Qua đó, chúng ta sẽ khai triển hai vế của phương trình và chứng minh rằng sự khác nhau giữa hai vế bằng 0.

Đặt M = 2 k và P = (−1) k Khi đó sự khác nhau giữa vế trái và vế phải là

Vì P = (−1) k nên ta có P − 1 = 0 hoặc P + 1 = 0 Do đó sự khác nhau giữa hai vế của đẳng thức luôn bằng 0.

Bổ đề 2.2.2 Với mọi k > 0 , ta có

Để chứng minh bổ đề này, ta sử dụng công thức Binet để khai triển hai vế của đẳng thức Đặt M = 2^k và P = (−1)^k, sự khác nhau giữa VT và VP sẽ được xác định.

Do đó sự khác nhau giữa 2 vế của đẳng thức luôn bằng 0 và bổ đề được chứng minh. Đặt π n = 2 4n+1 − 1

3 = J 4n+1 , với n = 0, 1, 2, Ta có bổ đề tiếp theo.

Bổ đề 2.2.3 Với mọi m > 0 và k> 0 , ta có

J 2k+4n+5 2 + J 2k+4n+3 2 − J 4n+5 2 − J 4n+3 2 (2.7) Trong quá trình chứng minh, chúng ta sẽ khai triển hai vế tương tự như các bước đã thực hiện trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1, sử dụng các ký hiệu A, B, C Kết quả cuối cùng cho thấy sự khác nhau giữa VT và VP.

Ta nhận thấy tất cả các hệ số của biểu thức đều bằng 0 Suy ra điều cần chứng minh.

Bổ đề 2.2.4 Với mọi m > 0 và k> 0 , ta có

Tiếp tục áp dụng phương pháp chứng minh tương tự như trong chứng minh đẳng thức (2.1), chúng ta sẽ khai triển và phân tích để chỉ ra sự khác biệt giữa VT và VP.

Ta nhận thấy tất cả các hệ số của biểu thức đều bằng 0 Vậy bổ đề được chứng minh. Định lý 2.2.5 Với mọi m> 0 và k > 0 , ta có m

Chứng minh Ta chứng minh (2.9) bằng phương pháp quy nạp theo n Thật vậy khi n = 0 ta có

J 2k+1 2 = J 1 2 + 8β 0 J 2k [2γ 0 J 2k−2 + π 0 ] = 1 + 8J 2k [2J 2k−2 + 1] , vì J 1 = 1, β 0 = 1, γ 0 = 1 và π 0 = 1 Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.2.1.

Giả sử (2.9) đúng với n = r Khi đó

J 2i+1 2 + 8β n+1 J 2k [2γ n+1 J 2k−2 + π n+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.2.3 với n = r + 1 Vậy đẳng thức (2.9) đúng với n = r + 1, do đó, đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp toán học.

Tiếp tục sử dụng phương pháp quy nạp theo n để chứng minh đẳng thức (2.10) Khi n = 0 ta có

= 10 + 8J 2k [34J 2k−2 + 15] , vì J 1 = 1, J 3 = 3, τ 1 = 1, η 0 = 17 và σ 0 = 15 Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.2.2. Giả sử (2.10) đúng với n = r Khi đó

J 2i+1 2 + 8τ r+2 J 2k [2η r+1 J 2k−2 + σ r+1 ] ,trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.2.4 với n = r + 1 Vậy (2.10) đúng với n = r + 1 Định lý hoàn toàn được chứng minh.

Tích của số Jacobsthal

Trong phần này, chúng tôi sẽ khám phá các tính chất liên quan đến tổng các tích của hai số Jacobsthal liên tiếp Để bắt đầu, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề quan trọng.

Bổ đề 2.3.1 Với mọi k > 0 , ta có

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh (2.11) Từ công thức J k = 2 k − (−1) k

Vậy đẳng thức (2.11) là đúng.

Để chứng minh đẳng thức (2.12), chúng ta sẽ áp dụng công thức Binet để khai triển hai vế của đẳng thức Sau khi thay M = 2k và P = (-1)k, chúng ta sẽ xác định sự khác biệt giữa VT và VP.

Ta dễ dàng nhận ra (P − 1)(P + 1) = 0 với P = (−1) k Vậy chứng minh được hoàn thành.

Bổ đề 2.3.2 Với mọi m > 0 and k > 0 , ta có

Chứng minh Để chứng minh bổ đề này ta cũng áp dụng phương pháp khai triển

2 vế của đẳng thức sau đó cho A = 2 2k , B = 2 8n và C = 2 4n Ta thu được sự khác nhau của 2 vế đẳng thức là

Ta có thể dễ dàng nhận thấy các số hạng trong biểu thức trên đều bằng 0 Do đó VT = VP và bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.3.3 Với mọi m > 0 and k > 0 , ta có

Chứng minh Để chứng minh (2.14) ta thực hiện các bước biến đổi và cho A =

2 2k , B = 2 8n và C = 2 4n tương tự như các chứng minh trên Cụ thể, ta sẽ tìm được sự khác nhau giữa 2 vế của đẳng thức sau khi khai triển là

Vì tất cả các số hạng trong biểu thức đều bằng 0, nên VT = VP, điều này chứng minh bổ đề Định lý 2.3.4 là kết quả chính được trình bày trong mục này, với mọi m > 0 và k > 0, sử dụng các ký hiệu đã đề cập.

Chứng minh Ta dùng phương pháp quy nạp theo n để chứng minh 2 đẳng thức của định lý Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (2.15) Với n = 0 ta có (2.15) là

J 2k J 2k+1 = J 0 J 1 + β 0 J 2k (8γ 0 J 2k−2 + à 0 ) = J 2k (8J 2k−2 + 3) Đẳng thức này đúng vì J 2k+1 = 8J 2k−2 + 3 bởi (2.11) trong Bổ đề 2.3.1.

J 2i J 2i+1 + β n+1 J 2k [8γ n+1 J 2k−2 + à n+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.3.2 với n = r + 1 Vậy đẳng thức (2.15) đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.

Tương tự ta chứng minh (2.16) như sau: với n = 0 ta có (2.16) là:

= 3 + J 2k (136J 2k−2 + 55) Đẳng thức này đúng bởi (2.12) trong Bổ đề 2.3.1.

J 2i J 2i+1 + τ n+2 J 2k [8η n+1 J 2k−2 + ν n+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.3.3 với n = r + 1 Vậy (2.16) cũng đúng với n = r + 1 Suy ra điều phải chứng minh.

Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số chẵn

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal với chỉ số chẵn Trước khi đi vào định lý chính, cần thiết phải giới thiệu một số bổ đề liên quan.

Chứng minh Để chứng minh bổ đề chúng ta chỉ cần sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal J k = 2 k − (−1) k

Để chứng minh bổ đề này, chúng ta áp dụng phương pháp quen thuộc bằng cách sử dụng công thức Binet để khai triển hai vế và ký hiệu M, P như các phần trước Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng sự khác nhau của hai vế bằng 0 Qua các phép tính đơn giản, chúng ta có thể xác định sự khác biệt giữa hai vế.

Ta có thể dễ dàng thấy được với P = (−1) k thì biểu thức trên bằng 0. Đặt τ 0 ∗ = 1 và τ n+1 ∗ − τ n ∗ = 2 4n+3 50 ã 2 4n − 1

, với n = 0, 1, 2, Với mỗi n = 0, 1, 2, ta đặt γ n ∗ = 2 8n+4 + 1

Bổ đề 2.4.3 Với mọi k ≥ 0, n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có

Để chứng minh bổ đề trên, chúng ta sẽ khai triển hai vế theo công thức Binet và sử dụng các ký hiệu A, B, C đã được xác định trước đó Mục tiêu là chứng minh rằng sự khác nhau giữa VT và VP bằng 0 Cụ thể, chúng ta nhận thấy rằng sự khác nhau giữa VT và VP là

Thật vậy ta dễ dàng thấy các hệ số của biểu thức trên bằng 0. Đặt β 0 ∗ = 23 và β n+1 ∗ − β n ∗ = 2 4n+5 200 ã 2 4n − 1 với n = 0, 1, 2, Với mỗi n = 0, 1, 2, đặt η n ∗ =

Bổ đề 2.4.4 Với mọi k ≥ 0 n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có

(2.20) Chứng minh Sau khi khai triển và biến đổi, ta tìm được sự khác nhau của 2 vế đẳng thức là

Dễ dàng quan sát thấy được tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0.Vì vậy VT = VP.

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý quan trọng nhất của phần này. Định lý 2.4.5 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có m

Chứng minh Để chứng minh định lý trên ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp theo n Trước tiên ta sẽ chứng minh (2.21).

Với n = 0 đẳng thức (2.21) có dạng

J 2k 2 = J 0 2 + J 2k (4γ 0 ∗ J 2k−2 + τ 0 ∗ ) = J 2k (4J 2k−2 + 1) Đẳng thức là đúng bởi Bổ đề 2.4.1.

Giả sử đẳng thức đúng với n = r Khi đó

Chúng ta áp dụng Bổ đề 2.4.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng, từ đó xác nhận rằng đẳng thức đúng với n = r + 1 Nhờ nguyên lý quy nạp, đẳng thức này sẽ đúng với mọi n Tiếp theo, chúng ta tiến hành chứng minh đẳng thức (2.22), bắt đầu với trường hợp n = 0, khi đó đẳng thức (2.22) sẽ có dạng như sau.

− J 2k [4η 0 ∗ J 2k−2 + β 0 ∗ ] = −1 − J 2k [60J 2k−2 + 23] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.4.2.

Ta sử đụng Bổ đề 2.4.4 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.

Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ.

Chúng ta sẽ bắt đầu với một số bổ đề thú vị sau đây.

Để chứng minh bổ đề này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp quen thuộc bằng cách sử dụng công thức Binet để khai triển hai vế Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu M và P để chứng minh rằng sự khác nhau của hai vế bằng 0.

Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là

Ta có thể dễ dàng thấy được với P = (−1) k thì biểu thức trên bằng 0 Vậy

Chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.5.2 tương tự như chứng minh Bổ đề 2.5.1.

Ta tìm được sự khác nhau của hai vế là

Dễ thấy biểu thức bằng 0. Đặt τ 0 ∗∗ = 1 và τ n+1 ∗∗ − τ n ∗∗ = 101 ã 2 4n+1 + 25 ã 2 4n+3 2 4n − 1 với n = 0, 1, 2,

Bổ đề 2.5.3 Với mọi k ≥ 0, m ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta được

Để chứng minh bổ đề, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khai triển hai vế theo công thức Binet và sử dụng các ký hiệu A, B, C đã được xác định trước đó Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng sự khác nhau giữa VT và VP bằng 0 Cụ thể, sự khác biệt giữa VT và VP được thể hiện rõ ràng.

Dễ thấy tất cả hệ số của biểu thức trên đều bằng 0 Vì vậy VT = VP. Đặt β 0 ∗∗ = 13 và β n+1 ∗∗ − β n ∗∗ = 401 ã 2 4n+3 + 100 ã 2 4n+5 2 4n − 1 với mỗi n =

Bổ đề 2.5.4 Với mọi k ≥ 0, n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta được

Để chứng minh bổ đề trên, ta thực hiện tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.5.3, tập trung vào việc tìm ra sự khác biệt giữa hai vế.

Dễ thấy tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0.

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày định lý là nội dung chính của mục này. Định lý 2.5.5 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có m

Chứng minh Để chứng minh định lý trên, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp theo n.

Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (2.27).Với n = 0 đẳng thức (2.27) có dạng

J 2k+1 2 = J 1 2 + 8J 2k (2γ 0 ∗ J 2k−2 + τ 0 ∗∗ ) Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.5.1.

Giả sử đẳng thức (2.27) với n = r khi đó

Tiếp theo ta chứng minh đằng thức (2.28) Với n = 0 đẳng thức (6.6)có dạng

J 2k+1 2 − J 2k+3 2 = J 1 2 − J 3 2 − 8J 2k [2η ∗ 0 J 2k−2 + β 0 ∗∗ ] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.5.2 khi η 0 ∗ = 15 và β 0 ∗∗ = 13.

Giả sử đẳng thức (2.28) đúng với n = r Khi đó

Tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày tổng đan dấu của tích hai số Jacob-sthal liên tiếp Trước hết, chúng ta sẽ xem xét một số bổ đề liên quan.

Để chứng minh bổ đề này, chúng ta áp dụng phương pháp quen thuộc bằng cách sử dụng công thức Binet để khai triển hai vế Tiếp theo, chúng ta sử dụng kí hiệu M và P, sau đó tiến hành chứng minh rằng sự khác nhau của hai vế bằng 0.

Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là biểu thức:

Ta có thể dễ dàng thấy được sự khác nhau của hai vế bằng 0 Do đó VT VP.

Bổ đề 2.6.2 Với mọi k ≥ 0 và n ≥ 0, ta có

Để chứng minh bổ đề, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển hai vế theo công thức Binet, kết hợp với các ký hiệu A, B, C đã được xác định trước đó Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng sự khác nhau giữa VT và VP bằng 0 Cụ thể, sự khác nhau giữa VT và VP được thể hiện rõ ràng.

Dễ thấy tất cả hệ số của biểu thức trên đều bằng 0 Vì vậy bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.6.3 Với mọi k ≥ 0 , n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có

Để chứng minh bổ đề này, chúng ta cần khai triển hai vế và kết hợp sử dụng các ký hiệu A, B, C Từ đó, chúng ta sẽ tìm ra sự khác biệt giữa VT và VP.

Ta dễ thấy tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0 Vì vậy VT = VP.

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý là nội dung chính của mục này. Định lý 2.6.4 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0 ta có m

Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý trên bằng phương pháp quy nạp theon. Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức (2.31) Với n = 0 đẳng thức (2.31) có dạng

J 2k J 2k+1 = J 0 J 1 + J 2k [8γ 0 ∗ J 2k−2 + τ 0 ∗∗∗ ] = J 2k [8J 2k−2 + 3] Đẳng thức đúng bởi (2.11) trong Bổ đề 2.3.1 khi J 0 = 0, J 1 = 1, γ 0 ∗ = 1 và τ 0 ∗∗∗ = 3.

, trong đó, ta sử đụng Bổ đề 2.6.2 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh đẳng thức (2.32) Với n = 0 đẳng thức (2.32) có dạng

J 2k [8η 0 ∗ J 2k−2 + β 0 ∗∗∗ ] = −3 − J 2k [120J 2k−2 + 49] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.6.1.

,trong đó, ta sử đụng Bổ đề 2.6.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.

Một số mở rộng của dãy số

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm và các tính chất của hai mở rộng của dãy số Jacobsthal, bao gồm dãy số Jacobsthal suy rộng và dãy số Jacobsthal suy rộng phức Nội dung này được tham khảo từ bài báo [1].

Dãy số Jacobsthal suy rộng

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về dãy số Jacobsthal suy rộng, được xác định bằng phương trình sai phân tương tự như dãy Jacobsthal, với điều kiện ban đầu khác nhau Cụ thể, dãy số Jacobsthal suy rộng, ký hiệu là Jn, được định nghĩa thông qua một công thức truy hồi.

J 0 = q, J 1 = p + q, J n = J n−1 + 2 J n−2 , (n ≥ 2), (3.1) trong đó p, q là số nguyên tùy ý.

Theo định nghĩa, một số giá trị ban đầu của dãy số Jacobsthal suy rộng là: q, p + q, p + 3q, 3p + 5q, 5p + 11q, 11p + 21q, , (p + q)J n + 2qJ n−1 , (3.2)

Dễ dàng thấy rằng với p = 1 và q = 0 ta sẽ được dãy Jacobsthal; với p = −1 và q = 2 ta được dãy Jacobsthal–Lucas.

Mệnh đề 3.1.2 Với mọi số nguyên n, các đẳng thức sau đây là đúng:

Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức thứ nhất bằng phương pháp quy nạp Hai đẳng thức còn lại sẽ được chứng minh tương tự Theo (3.2), đẳng thức đúng với n = 0, 1, 2 Giả sử đẳng thức đúng với n ≥ 2, chúng ta sẽ tiếp tục chứng minh đẳng thức cho n + 1.

Thật vậy, sử dụng (3.1) và giả thiết quy nạp, ta có

= pJ n+1 + qJ n+2 Suy ra điều phải chứng minh. Đặt n = r trong (3.3)và sử dụng (3.1), ta có hệ quả sau:

Hệ quả 3.1.3 Với mọi số nguyên r, các đẳng thức sau là đúng:

Tổng quát hóa, ta thấy được mối quan hệ giữa dãy số Jacobsthal và Jacob- sthal suy rộng như sau:

Mệnh đề 3.1.4 Với n ≥ 1 và r ≥ 0, ta có

Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức (3.5) bằng phương pháp quy nạp theo n Đầu tiên, từ các đẳng thức (3.3) và (3.4), ta xác định rằng đẳng thức đúng với n = 1, 2, 3 Tiếp theo, giả sử đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n + 1.

Thật vậy, sử dụng (3.1) và giả thiết quy nạp, ta có

=Jn+1 J r+1 + 2Jn J r Suy ra điều phải chứng minh.

Ngoài ra, từ công thức (3.1) ta còn thu được

Sử dụng lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, chúng ta có thể dễ dàng xác định công thức tổng quát cho các số Jacobsthal suy rộng.

Mệnh đề 3.1.5 (Công thức Binet) Công thức tổng quát của dãy Jacobsthal suy rộng là:

Mệnh đề sau đây cho ta giới hạn tỷ số Jn+1

J n Mệnh đề 3.1.6 Nếu J n là số Jacobsthal suy rộng, khi đó n→∞ lim

Chứng minh Với dãy số Jacobsthal J n , ta đã có n→∞ lim

= α, trong đó α = 2 Với dãy số Jacobsthal suy rộngJ n , sử dụng (3.3), ta có n→∞ lim

Sử dụng công thức Binet như ở trên, ta dễ dàng có thể chứng minh các tính chất sau của dãy Jacobsthal suy rộng:

Mệnh đề 3.1.7 Các đẳng thức sau đây là đúng:

Chứng minh Ở đây, chúng tôi chứng minh đẳng thức (3.9), các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Theo công thức Binet, ta có

Mặt khác, theo công thức Binet, ta lại có

Từ đây suy ra đẳng thức (3.9) là đúng.

Dãy số Jacobsthal suy rộng phức

Định nghĩa 3.2.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức được kí hiệu làC n và được định nghĩa như sau:

Như vậy, một số phần tử đầu tiên của dãy Jacobsthal suy rộng phức là: q + i(p + q), (p + q) + i(p + 3q), (p + 3q) + i(3p + 5q) (3p + 5q) + i(5p + 11q), , (p + i2q)J n + (q + i(p + q))J n+1 , ,

(3.17) trong đó, p, q là hai số nguyên tùy ý.

• Trường hợp đặc biệt 1: Từ dãy Jacobsthal suy rộng C n , cho p = 1, q = 0 trong (3.17), ta được dãy Jacobsthal phức như sau:

• Trường hợp đặc biệt 2: Từ dãy Jacobsthal suy rộng (C n ) cho p = −1, q = 2 trong (3.17) ta được dãy Jacobsthal - Lucas phức (C n = j −1+4i,2+i ) như sau:

Tương tự như các dãy số đã xét, bằng tính toán, ta dễ dàng kiểm tra được các tính chất sau đây của dãy Jacobsthal phức suy rộng:

Mệnh đề 3.2.2 Các đẳng thức sau là đúng:

Chúng tôi sẽ chứng minh đẳng thức (3.18) và các đẳng thức tương tự Theo định nghĩa của dãy số Jacobsthal mở rộng phức, chúng ta có các kết quả quan trọng cần được trình bày rõ ràng.

= (Jn−1Jn+1 −J 2 n ) + (J 2 n+1 −JnJn+2 ) + (Jn−1Jn+2 −JnJn+1 )i. Áp dụng đẳng thức (3.11), ta có

=Jn−1Jn+1 −J 2 n = (−1) n 2 n−1 e J Thay vào đẳng thức ở trên ta được

Cn−1Cn+1 −C 2 n = (−1) n 2 n−1 (3 + i)e J Vậy đẳng thức (3.11) là đúng.

Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau:

Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas là hai dãy số quan trọng trong toán học, với nhiều tính chất đặc trưng Dãy Jacobsthal được định nghĩa bằng công thức hồi quy, trong khi dãy Jacobsthal–Lucas là sự mở rộng của nó Cả hai dãy số này đều có những tính chất thú vị liên quan đến tổng riêng của các phần tử đầu tiên, cho thấy mối liên hệ sâu sắc giữa chúng Việc nghiên cứu các tính chất này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các dãy số mà còn mở ra nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

Tổng bình phương của các số Jacobsthal có thể được phân tích theo chỉ số chẵn và lẻ, cho thấy những đặc điểm thú vị trong toán học Bên cạnh đó, tổng đan dấu bình phương của các số Jacobsthal cũng được nghiên cứu, mở ra những khía cạnh mới trong việc hiểu rõ hơn về chuỗi số này Thêm vào đó, việc xem xét tổng và tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp góp phần làm phong phú thêm kiến thức về các tính chất số học của chúng.

3 Khái niệm và một số tính chất của hai mở rộng của dãy số Jacobsthal.

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	332,95 KB