Dãy số jacobsthal và một số vấn đề liên quan

Gần đây, năm 2007, ˇCerin [2] đã công bố một số kết quả nghiên cứu về tổngbình phương của các số Jacobsthal và về tổng các tích của hai số Jacobsthal liêntiếp.. Đồng thời chúng tôi trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

1.1 Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas 3

1.2 Một số tính chất cơ bản 7

1.3 Dãy tổng riêng 10

2 Tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal 17 2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn 17

2.2 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ 21

2.3 Tích của số Jacobsthal 25

2.4 Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số chẵn 28

2.5 Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ 31

2.6 Tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp 34

3 Một số mở rộng của dãy số Jacobsthal 38 3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng 38

3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức 42

Khái niệm về hai dãy số này lần đầu tiên được giới thiệu bởi Horadam [3] năm

1988 Sau đó, hai dãy số này được nhiều người quan tâm nghiên cứu Năm 1996,Horadam [4] đã công bố thêm một số kết quả về hai dãy số này

Gần đây, năm 2007, ˇCerin [2] đã công bố một số kết quả nghiên cứu về tổngbình phương của các số Jacobsthal và về tổng các tích của hai số Jacobsthal liêntiếp Đây là những kết quả khá thú vị về dãy số Jacobsthal

Vừa rồi, năm 2018, Aydin [1] đã công bố một số nghiên cứu về việc mởrộng dãy số Jacobsthal Đầu tiên, ta thấy rằng dãy số Jacobsthal và dãy sốJacobsthal–Lucas có chung công thức truy hồi và chỉ khác nhau về điều kiệnban đầu Từ hai dãy số này, Aydin đã định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng

{Jn}bằng cách cho điều kiện ban đầu tùy ý Cụ thể, dãy số Jacobsthal suy rộngđược xác định bởi

J0 = q,J1= p + q,Jn =Jn−1+ 2Jn−2, với n ≥ 2,

trong đó, p, q là hai số nguyên tùy ý Bên cạnh đó, Aydin còn định nghĩa dãy sốJacobsthal suy rộng phức {Cn} và một số đối tượng khác cũng là các mở rộng

từ dãy số Jacobsthal.

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số kết quả nói trên

về dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal–Lucas và các vấn đề liên quan Cụ thể,trong Chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản củadãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas dựa theo hai bài báo [3] và [4] củaHoradam Chương 2 trình bày lại các kết quả của ˇCerin về tổng bình phương

và tích của các số Jacobsthal Chương 3 trình bày về khái niệm và một số tínhchất của dãy Jacobsthal suy rộng và dãy Jacobsthal suy rộng phức dựa theo bàibái của Aydin [1]

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn của TS Ngô Văn Định Tôi xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc nhất tới TS Ngô Văn Định, người đã định hướng chọn đề tài và tận tìnhhướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáodạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thânyêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thểhọc tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019Người viết luận văn

Nguyễn Quang Vinh

Chương 1

Dãy số Jacobsthal

Mục đích của chương này là trình bày lại khái niệm về dãy số Jacobsthal vàdãy số Jacobsthal - Lucas Đồng thời chúng tôi trình bày chứng minh các côngthức số hạng tổng quát, công thức Simson và một số tính chất thú vị của haidãy số này Đặc biệt, chúng tôi trình bày về một số tính chất của hai dãy sốtổng riêng của các số hạng đầu tiên của hai dãy số đó Các nội dung này đượctham khảo trong hai bài báo [3] và [4] Trước đó, chúng tôi trình bày sơ lược về

lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất để làm cơ sở choviệc trình bày về hai dãy số nói trên Nội dung này chúng tôi tham khảo trongcuốn sách [5]

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy

số Jacobsthal–Lucas và công thức tổng quát của hai dãy số này Thực chất haidãy số này chính là nghiệm của một phương trình sai phân tuyến tính cấp haithuần nhất với điều kiện ban đầu khác nhau Chính vì vậy, trước tiên, chúng tôinhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất vàđặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương trình này trongtrường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt

Định lý 1.1.2 ([5, Định lý 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hainghiệm phân biệt α và β Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là

với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1

Giải Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là

λ2− 5λ + 6 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3 Do đó, nghiệmtổng quát của phương trình (1.4) là

Giải hệ phương trình này ta đượcC 1 = 1, C 2 = −1 Vậy nghiệm của phương trình(1.4) với điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1 là

un = 2n− 3n, n = 0, 1,

Một cách tổng quát, trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hainghiệm phân biệt α và β, phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện banđầu u0, u1 xác định một dãy số {un}∞n=0 với

J0 = 0, J1 = 1 và Jn+2 = Jn+1+ 2Jn, với n ≥ 0. (1.5)

b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {jn} được xác định bởi

j0 = 2, j1 = 1 và jn+2= jn+1+ 2jn, với n ≥ 0. (1.6)

Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng các số hạng đầu tiên của các dãy số

Tương tự, với điều kiện ban đầu j0 = 2 và j1 = 1 ta thu được C1 = C2 = 1 Do

đó, công thức tổng quát cho jn là

1.2 Một số tính chất cơ bản

Ở mục trước ta đã có định nghĩa và công thức Binet xác định số hạng tổngquát của hai dãy số Jn và jn Trong mục này chúng tôi trình bày một số tínhchất cơ bản của hai dãy số này Trước tiên là công thức Simson cho hai dãy sốnày

Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson) Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có

Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều cần chứng minh.

Mệnh đề sau đây cho ta một số đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal

số Jacobsthal và công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta có:

Theo định nghĩa, ta có bảng 10 giá trị đầu của T n và ˆ  n như sau:

Từ đó, ta có thể chứng minh được công thức truy hồi xác định các dãy { T n } và

{ˆ n} như trong mệnh đề sau đây

Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức tổng quát của các dãy số T n và ˆj n.Mệnh đề 1.3.2 (Công thức Binet) Với n ≥ 0, ta có

Thật vậy, như ta đã nhận xét ở đầu mục này, ta có

Bây giờ, sử dụng các công thức Binet vừa được chứng minh, ta có thể chứngminh được công thức Simson cho các dãy số T n và ˆj n như trong mệnh đề dướiđây.

Mệnh đề 1.3.3 (Công thức Simson) Với n ≥ 1, ta có

Chứng minh Ta chứng minh (1.31) và (1.32) bằng phương pháp quy nạp Ởđây, chúng tôi chứng minh (1.31), còn lại (1.32) được chứng minh tương tự.

Từ bảng giá trị 10 giá trị đầu của T n và  ˆn ta dễ dàng thấy (1.31) đúng với

n = 1, n = 2 Giả sử (1.31) đúng với n, ta sẽ chứng minh (1.31) cũng đúng với

Suy ra điều cần phải chứng minh

Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta một số đẳng thức thú vị liên quan đến cácdãy số T n và ˆjn

jn+1− 1 nlẻ,

(1.39)

Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (1.33) Sử dụng công thức Binet choT n

Vậy VT=VP và (1.33) đã được chứng minh.

Bằng cách sử dụng công thức Binet, ta chứng minh được (1.34) Cụ thể nhưsau

Bây giờ, với số nguyên n bất kỳ, ta đặt

Khi đó ta có hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.1 Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có đẳng thứcsau:

Với n = 0, 1, 2, , ta lại đặt ηn = 24n+4+ 1 = j4n+4 Ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 2.1.2 Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có

(τ n+2 η n+1 − τ n+1 η n ) J2k2 + 8 (β n+1 τ n+2 − β n τ n+1 ) J2k

= J2k+4n+62 + J2k+4n+42 − J4n+62 − J4n+42 . (2.2)

Chứng minh Trong chứng minh này ta thực hiện các bước tương tự như chứngminh Bổ đề 2.1.1 Ta rút ra được sự khác nhau giữa vế trái và vế phải của đẳngthức (2.2) là

trong đó, bước cuối cùng ta áp dụng Bổ đề 2.1.1 với n = r + 1 Vì vậy (2.3) đúngvới n = r + 1 và chứng minh đẳng thức (2.3) được hoàn thành.

Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (2.4) bằng phương pháp quy nạp theo

n Với n = 0 ta có

J2k2 + J2k+22 = J02+ J22+ τ1J2k[η0J2k+ 8β0] = 17J2k2 + 8J2k + 1,

vì J0 = 0, J1 = 1, β0 = 1, η0 = 17 và τ1 = 1 Đẳng thức trên tương đương với

J2k+22 = 16J2k2 + 8J2k + 1 = (4J2k+ 1)2 Từ mối quan hệ Jn+2 = 4Jn+ 1 ta thấyđẳng thức này là đúng Vậy, đẳng thức (2.4) đúng với n = 0

Giả sử (2.4) đúng với n = r Khi đó, ta có

Tương tự mục trước, trong mục này, chúng tôi trình bày một tính chất vềtổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số lẻ Trước tiên, chúng ta cầnmột số bổ đề sau

Bổ đề 2.2.1 Với mọi k ≥ 0, ta có

J2k+12 = 16J2kJ2k−2+ 8J2k+ 1. (2.5)

Chứng minh Để chứng minh bổ đề này, ta sử dụng công thức Binet cho dãy sốJacobsthal để khai triển hai vế và chứng minh sự khác nhau ở hai vế bằng 0

rút ra được sự khác nhau của VT và VP là

Chứng minh Ta chứng minh (2.9) bằng phương pháp quy nạp theon Thật vậykhi n = 0 ta có

Tiếp tục sử dụng phương pháp quy nạp theo n để chứng minh đẳng thức(2.10) Khi n = 0 ta có

J2k+12 + J2k+32 = J12+ J32+ 8τ1J2k[2η0J2k−2+ σ0]

= 10 + 8J2k[34J2k−2+ 15] ,

vì J1 = 1, J3= 3, τ1 = 1, η0 = 17 và σ0 = 15 Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.2.2.Giả sử (2.10) đúng với n = r Khi đó

2.3 Tích của số Jacobsthal

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về tổng các tích của hai

số Jacobsthal liên tiếp Trước tiên, chúng ta có một số bổ đề sau đây

J2k+1 = 2

2k+1 − (−1) 2k+1

22k+1+ 1 3

Chứng minh Để chứng minh bổ đề này ta cũng áp dụng phương pháp khai triển

2 vế của đẳng thức sau đó cho A = 22k, B = 28n và C = 24n Ta thu được sự khácnhau của 2 vế đẳng thức là

22k, B = 28n và C = 24n tương tự như các chứng minh trên Cụ thể, ta sẽ tìmđược sự khác nhau giữa 2 vế của đẳng thức sau khi khai triển là

Định lý sau đây là kết quả chính được trình bày trong mục này

Định lý 2.3.4 Với mọi m>0, k>0 và sử dụng kí hiệu trên ta có

J2kJ2k+1 = J0J1+ β0J2k(8γ0J2k−2+ µ0) = J2k(8J2k−2+ 3)

Đẳng thức này đúng vì J2k+1 = 8J2k−2+ 3 bởi (2.11) trong Bổ đề 2.3.1

Giả sử (2.15) đúng với n = r Khi đó

Đẳng thức này đúng bởi (2.12) trong Bổ đề 2.3.1

Giả sử (2.16) đúng với n = r Khi đó

là sử dụng công thức Binet khai triển hai vế và sử dụng kí hiệu M, P như cácphần trước Sau đó chứng minh sự khác nhau của hai vế bằng 0 Cụ thể, bằngtính toán đơn giản ta tìm được sự khác nhau của hai vế là

là khai triển hai vế theo công thức Binet đồng thời sử dụng kí hiệu A, B, C đượcxác định ở những phần trước Sau đó chứng minh sự khác nhau giữa VT và VPbằng 0 Cụ thể ta thấy sự khác nhau giữa VT và VP là

Thật vậy ta dễ dàng thấy các hệ số của biểu thức trên bằng 0

Đặt β0∗ = 23 và βn+1∗ − βn∗ = 24n+5 200 · 24n− 1
với n = 0, 1, 2, Với mỗi

n = 0, 1, 2, đặt ηn∗ =

2 317

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý quan trọng nhất củaphần này.

Ta sử dụng Bổ đề 2.4.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với

n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp Tiếp theo ta chứng minh(2.22).Với n = 0 đẳng thức (2.22) có dạng

J2k2 − J2k+22 = J02− J22
− J2k[4η0∗J2k−2+ β0∗] = −1 − J2k[60J2k−2+ 23]

Ta sử đụng Bổ đề 2.4.4 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với

n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp

là sử dụng công thức Binet khhai triển hai vế và sử dụng kí hiệu M, P Sau đóchứng minh sự khác nhau của hai vế bằng 0

Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là

Bổ đề 2.5.2 Với mọi k ≥ 0, ta có

J2k+32 − J2k+12 = 8 + 8J2k(30J2k−2+ 13) (2.24)

Chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.5.2 tương tự như chứng minh Bổ đề 2.5.1

Ta tìm được sự khác nhau của hai vế là

là khai triển hai vế theo công thức Binet đồng thời sử dụng kí hiệu A, B, C đượcxác định ở những phần trước Sau đó chứng minh sử khác nhau giữa VT và VPbằng 0 Cụ thể ta thấy sự khác nhau giữa VT và VP là

Chứng minh Để chứng minh bổ đề trên ta chứng minh tương tự như chứngminh Bổ đề 2.5.3 Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là

Dễ thấy tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày định lý là nội dung chính của mục này.Định lý 2.5.5 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có

Ta sử đụng Bổ đề 2.5.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với

n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp

Tiếp theo ta chứng minh đằng thức (2.28) Với n = 0đẳng thức (6.6)có dạng

J2k+12 − J 2

2k+3 = J12 − J 2

3 − 8J2k[2η∗0J2k−2+ β0∗∗] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề2.5.2 khi η0∗= 15 và β0∗∗= 13.

Giả sử đẳng thức (2.28) đúng với n = r Khi đó

Ta sử đụng Bổ đề 2.5.4 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với

n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp

là sử dụng công thức Binet khai triển hai vế và sử dụng kí hiệu M, P Sau đóchứng minh sự khác nhau của hai vế bằng 0

Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là biểu thức:

(P − 1)(P + 1)

3 49M

2 − 40P2+ 9
.

Ta có thể dễ dàng thấy được sự khác nhau của hai vế bằng 0 Do đó VT =VP.

Chứng minh Để chứng minh bổ đề trên, ta sử dùng phương pháp chứng minh

là khai triển hai vế theo công thức Binet đồng thời sử dụng kí hiệu A, B, C đượcxác định ở những phần trước Sau đó chứng minh sử khác nhau giữa VT và VPbằng 0 Cụ thể ta thấy sự khác nhau giữa VT và VP là

kí hiệu A, B, C từ đó ta tìm được sự khác nhau giữa VT và VP là

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý là nội dung chínhcủa mục này.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh đẳng thức (2.32) Với n = 0 đẳng thức (2.32) códạng

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về dãy số Jacobsthal suyrộng với cùng phương trình sai phân xác định dãy Jacobsthal và chỉ thay đổiđiều kiện ban đầu.

Định nghĩa 3.1.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng, kí hiệu bởi Jn, được định nghĩabởi công thức truy hồi

J0 = q,J1= p + q,Jn =Jn−1+ 2Jn−2, (n ≥ 2), (3.1)trong đó p, q là số nguyên tùy ý

Theo định nghĩa, một số giá trị ban đầu của dãy số Jacobsthal suy rộng là:

q, p + q, p + 3q, 3p + 5q, 5p + 11q, 11p + 21q, , (p + q)Jn+ 2qJn−1, (3.2)

Dễ dàng thấy rằng với p = 1 và q = 0 ta sẽ được dãy Jacobsthal; với p = −1 và

q = 2 ta được dãy Jacobsthal–Lucas

Mệnh đề 3.1.2 Với mọi số nguyên n, các đẳng thức sau đây là đúng:

Thật vậy, sử dụng (3.1) và giả thiết quy nạp, ta có

Jn+1 =Jn+ 2Jn−1

= (pJn+ qJn+1) + 2(pJn−1+ qJn)

= p(Jn+ 2Jn−1) + q(Jn+1+ 2Jn)

= pJ n+1 + qJ n+2

Suy ra điều phải chứng minh

Đặt n = r trong (3.3)và sử dụng (3.1), ta có hệ quả sau:

Hệ quả 3.1.3 Với mọi số nguyên r, các đẳng thức sau là đúng:

Chứng minh Ta chứng minh (3.5) bằng phương pháp quy nạp theo n Từ (3.3)

và (3.4) ta thấy rằng đẳng thức đúng với n = 1, 2, 3 Giả sử đẳng thức đúng với

Suy ra điều phải chứng minh

Ngoài ra, từ công thức (3.1) ta còn thu được

Jn+2− 3Jn− 2Jn−1= 0. (3.6)Tương tự như trong Chương 1, sử dụng lý thuyết của phương trình sai phântuyến tính cấp hai thuần nhất, ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát xácđịnh các số Jacobsthal suy rộng như sau:

Mệnh đề 3.1.5 (Công thức Binet) Công thức tổng quát của dãy Jacobsthalsuy rộng là:

trong đó α = 2 Với dãy số Jacobsthal suy rộng Jn, sử dụng (3.3), ta có

Chứng minh Ở đây, chúng tôi chứng minh đẳng thức (3.9), các đẳng thức cònlại được chứng minh tương tự

Theo công thức Binet, ta có

− (p2+ pq − 2q2)2

2n−1 − (−1) 2n−1

3

= 13



(q − p)2+ (p + 2q)222n−1.

Từ đây suy ra đẳng thức (3.9) là đúng

Định nghĩa 3.2.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức được kí hiệu là Cn và đượcđịnh nghĩa như sau:

Cn =Jn+ iJn+1, n ≥ 0. (3.16)Như vậy, một số phần tử đầu tiên của dãy Jacobsthal suy rộng phức là:

q + i(p + q), (p + q) + i(p + 3q), (p + 3q) + i(3p + 5q) (3p + 5q) + i(5p + 11q), , (p + i2q)Jn+ (q + i(p + q))Jn+1, ,

(3.17)

trong đó, p, q là hai số nguyên tùy ý

• Trường hợp đặc biệt 1: Từ dãy Jacobsthal suy rộng Cn, cho p = 1, q = 0

trong (3.17), ta được dãy Jacobsthal phức như sau:

(Cn) : i, 1 + i, 1 + i3, 3 + i5, 5 + i11, , Jn+ iJn+1,

• Trường hợp đặc biệt 2: Từ dãy Jacobsthal suy rộng (Cn ) cho p = −1, q = 2

trong (3.17) ta được dãy Jacobsthal - Lucas phức (Cn = j−1+4i,2+i) như sau:

2 + i, 1 + i5, 5 + i7, 7 + i17, 17 + i31, , jn+ ijn+1,