Giáo án học kì 1

Quy tắc II: Để xác định cực trị của một hàm số ta thực hiện các bước sau. Tìm cực trị của các hàm số sau. Tìm cực trị của các hàm số sau... Tìm cực trị của các hàm số sau.. c) Viết phươn[r]

TRƯỜNG THPT DƯƠNG HÁO HỌC

TỔ TOÁN

ĐỀ CƯƠNG

ÔN THI TN THPT QUỐC GIA

Tân An, 2018

Mục lục

1.1 Kiến thức cần nhớ 1

1.1.1 Qui tắt tính đạo hàm 2

1.1.2 Một số trường hợp tìm tập xác định của hàm số 3

1.2 Xét sự biến thiên của hàm số không có tham số 4

1.2.1 Quy tắt xét tính đơn điệu của hàm số 4

1.2.2 Áp dụng 4

1.3 Xét sự biến thiên của hàm số có tham số 6

1.4 Một số bài toán tổng quát 7

1.5 Một số dạng toán thường gặp 8

Tìm m để hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d đồng biến trên R 8

Tìm m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d nghịch biến trên R 8

Tìm m để hàm số y = ax + b cx + d (ad 6= bc) đồng biến từng khoảng xác định . 9 Tìm m để hàm số y = ax + b cx + d (ad 6= bc) nghịch biến từng khoảng xác định 9 Tìm m để hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e đồng biến từng khoảng xác định 9

Tìm m để hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e nghịch biến từng khoảng xác định 10

Tìm m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đồng biến trên (a; b) 10

Tìm m để hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d nghịch biến trên (a; b) 11

Tìm m để hàm số y = ax + b cx + d (ad 6= bc) đồng biến trên (a; b) 11

Tìm m để hàm số y = ax + b cx + d (ad 6= bc) nghịch biến trên (a; b) 12

Tìm m để hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e đồng biến trên (a; b) 12

Tìm m để hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e đồng biến trên (a; b) 13

Tìm m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đồng biến trên khoảng có độ dài bằng d 13

Tìm m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng d 13

1.6 Áp dụng 13

1.7 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình 18

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 21

2.1 Kiến thức cần nhớ 21

2.1.1 Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số 21

2.2 Một số bài toán 21

2.2.1 Tìm cực trị của hàm số không có tham số 21

2.2.2 Bài toán cực trị có tham số 23

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d, (a 6= 0) có cực trị (có 1 cực đại, 1 cực tiểu) 23

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d, (a 6= 0) không có cực trị 23

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d, (a 6= 0) 24

Tìm giá trị tham số để đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d, (a 6= 0) có cực trị A,B thỏa đối với các trục tọa độ 24

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 3 cực trị 24

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 2 cực tiểu và 1 cực đại 25

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 1 cực tiểu và 2 cực đại 25

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 1 cực trị 25

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác vuông cân 25

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác đều 25

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có một góc bằng 1200 25

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 + bx 2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có diện tích S 26

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R 26 Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A(0; c), B, C sao cho OA = BC 26

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm cực trị A(0; c), B, C sao cho OA = BC 26

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e có 2 cực trị ( có 1 cực tiểu 1 cực đại) 27

Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e không có cực trị . 27

Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị của hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e . 27 Tìm giá trị tham số để hàm số y = f (x) có giá trị cực trị bằng y0 tại x0 27

Tìm giá trị tham số để hàm số y = f (x) có giá trị cực đại bằng y0 tại x0 28 Tìm giá trị tham số để hàm số y = f (x) có giá trị cực tiểu bằng y 0 tại x 0 28 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 37 3.1 Phần lý thuyết 37

3.2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 38

MỤC LỤC

3.2.1 Phương pháp miền giá trị của hàm số 38

3.2.2 Phương pháp bất đẳng thức 40

3.2.3 Phương pháp chiều biến thiên của hàm số 41

3.3 Một số bài có tham số 47

4 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 49 4.1 Lý thuyết 49

4.1.1 Tiệm cận đứng 49

4.1.2 Tiệm cận ngang 49

4.1.3 Tiệm cận xuyên 49

4.1.4 Một số hàm đặc biệt 50

4.2 Một số bài toán 50

4.2.1 Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 50

4.2.2 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 50

4.2.3 Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 51

4.2.4 Một số bài toán liên quan đến tiệm cận 51

5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53 5.1 Lý thuyết 53

5.1.1 Hàm bậc ba 53

5.1.2 Hàm bậc bốn trùng phương 54

5.1.3 Hàm nhất biến 54

5.1.4 Hàm hữu tỷ 55

5.2 Một số bài toán 57

5.2.1 Một số lưu ý 57

5.2.2 Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 58

5.2.3 Một số bài toán liên quan vẽ đồ thị 60

Chương 1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập K

• Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K

* Dạng phát biểu khác của định nghĩa

• Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K

Định lí 1.1.2 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f0(x) > 0 với mọi x ∈ K (f0(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì hàm số

y = f (x) đồng biến trên khoảng K

b) Nếu f0(x) < 0 với mọi x ∈ K (f0(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì hàm số

y = f (x) nghịch biến trên khoảng K

1

c) Nếu f0(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số y = f (x) không đổi trên khoảngK.

0 = u

0

u(sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 cos u

(cos x)0 = − sin x (cos u)0 = −u0 sin u

sin2x (cot u)

0 = − u

0

sin2u

f (α).f (β) < 0

Định lí 1.1.6 Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0)

Ta có

♦ Nếu ∆ < 0 thì f (x) luôn cùng dấu hệ số a, với mọi x ∈ R.

♦ Nếu ∆ = 0 thì f (x) luôn cùng dấu hệ số a, với mọi x 6= − b

2a.

♦ Nếu ∆ > 0 thì f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2(x1 < x2) Tacó

- Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d xét dấu theo qui tắt

"trước trái qua 0 đổi dấu"

1.2 Xét sự biến thiên của hàm số không có tham số

1.2.1 Quy tắt xét tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x), ta thực hiện các bước sau:

- Tìm tập xác định của hàm số

- Tính y0 Tìm các điểm xi(i = 1, 2, , n) mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 khôngtồn tại (gọi là các điểm tới hạn của hàm số)

- Sấp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lặp bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến

1.2 XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 5

Bài 7 Xét tính đơn điệu của hàm số sau

Bài 9 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau.

Bài 12 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

Bài 14 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

a)y = x + 2 cos x, x ∈ (0; π) b)y = cos x(1 + sin x), x ∈ (0; 2π)

Định lí 1.3.1 (Định lí Viét) Nếu phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 cóhai nghiệm x1 và x2 thì

S = x1 + x2 = −b

a và P = x1.x2 =

ca

1.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 7

Định lí 1.3.2 Cho tam thức bậc hai y = f (x) = ax2 + bx + c(a 6= 0) và

α ∈R Giả sử tam thức có hai nghiệm x1; x2 với (x1 < x2) Khi đó

Bài toán 1.1 Cho hàm số y = f (x, m) xác định trên D Xác định điều kiệncủa m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định D

Phương pháp

• Hàm số đồng biến trên D ⇔ y0 ≥ 0 với mọi x ∈ D

• Hàm số nghịch biến trên D ⇔ y0 ≤ 0 với mọi x ∈ D

Bài toán 1.2 Cho hàm số y = f (x, m) Xác định điều kiện của m để hàm

số đồng biến (nghịch biến) trên (a; b)

Phương pháp

• Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y0 ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b)

⇔ min y0 ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b)

• Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y0 ≤ 0 với mọi x ∈ (a; b)

⇔ max y0 ≤ 0 với mọi x ∈ (a; b)

y0 = ad − bc(cx + d)2



y0 = ad − bc(cx + d)2

Để hàm số đồng biến từng khoảng xác định khi

Kết luận: Hợp tất cả các giá trị m ở các trường họp

Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên (a; b)

Phương pháp

Ta có

y0 = 3ax2 + 2bx + c

Để hàm số đồng biến trên (a; b) thì 3ax2 + 2bx + c > 0, ∀x ∈ (a; b)

+ Trường hợp 1:(Nếu hệ số a có tham số) a = 0

Khi đó:

y0 = 2bx + c

* Hàm số đồng biến trên (a; b)

Lúc này y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2, lập bảng biến thiêntìm điều kiện Sau đó sử dụng định lý so sánh một số với nghiệm tamthức bậc hai

Kết luận: Hợp tất cả các giá trị m ở các trường họp

Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d nghịch biến trên (a; b)

Phương pháp

Ta có

y0 = 3ax2 + 2bx + c

Để hàm số nghịch biến trên (a; b) thì 3ax2+ 2bx + c 6 0, ∀x ∈ (a; b)

+ Trường hợp 1:(Nếu hệ số a có tham số) a = 0

* Hàm số đồng biến trên (a; b)

Lúc này y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2, lập bảng biến thiêntìm điều kiện Sau đó sử dụng định lý so sánh một số với nghiệm tamthức bậc hai

Kết luận: Hợp tất cả các giá trị m ở các trường họp

Dạng: Tìm m để hàm số y = ax + b

cx + d (ad 6= bc) đồng biến trên (a; b)

Phương pháp

Ta có

y0 = ad − bc(cx + d)2

Để hàm số đồng biến trên (a; b) khi

adx2 + 2aex + be − dc> 0 ∀x ∈ (a; b)

TH: (nếu ad có tam số) ad = 0

Khi đó xét xem 2aex + be − dc > 0, ∀x ∈ (a; b) hay không

* adx2 + 2aex + be − dc > 0 ∀x ∈ (a; b)

Ta có y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Lập bảng biến thiên tìmđiều kiện Sau đó sử dụng định lý so sánh một số với tam thức bậchai

Lưu ý: −e

d ∈ (a; b)/

Kết luận: Hợp tất cả các giá trị m ở các trường họp

Bài 4 Tìm giá trị m để hàm sốy = mx + 9

Bài 5 Tìm giá trị m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng đã chỉ ra

đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4

Bài 8 Với giá trị nào của m thì hàm số y = x3 + 3mx2 − 3mx + 4 nghịch

biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Bài tập tương tự

Bài 1 Tìm giá trị m để hàm số y = x3 + (m − 3)x2 + (2m + 3)x + m − 4

luôn đồng biến trên R

Bài 2 Tìm giá trị m để hàm số sau tăng trên từng khoảng xác định

Bài 7 Chứng minh rằng hàm số sau luôn nghịch biến trên tập xác định.

a)y = −x3 − mx2 − (m2 + n2)x − 5(m + n) với mọi giá trị m,n

b)y = −x3 + mx2 − (2m2 − m + 1)x + m

Bài 8 CMR hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Bài 11 Định m để hàm số sau nghịch biến trên từng khoảng xác định.

c)y = mx3− 3(m − 1)x2 + 9(m − 2)x + m2 đồng biến trên (2; +∞)

d)y = −2x3 + 3(2m + 1)x2 − 6mx2 − 2 Nghịch biến trên (−∞; 1)

Bài 13 Chứng minh rằng không có giá trị nào của m để hàm số

luôn đồng biến trên R

1.6 ÁP DỤNG 17

Bài 14 Tìm m để hàm số y = mx + 1

a) Đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số

b) Nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số

Bài 15 Tìm giá trị m để hàm số sau nghịch biến trên tập xác định



b) Hàm số y = sin x + 4



0;π2



Bài 21 Với giá trị nào của m thì hàm số y = x3+ 3x2+ mx + m nghịch biến

trên đoạn có độ dài bằng 1

Bài 22 Với giá trị nào của m thì hàm số y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx nghịch

biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Bài 23 Với giá trị nào của m thì hàm số y = 1

3x

3 − 1

nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 3

Bài 24 Với giá trị nào củam thì hàm sốy = −1

3x

đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4

+ Bất phương trình f (x) ≥ α đúng với mọi x ∈ D khi và chi khi m ≥ α

+ Bất phương trình f (x) ≤ α đúng với mọi x ∈ D khi và chi khi M ≤ α

2 Một số bài toán

Bài 1 Với giá trị của m để phương trình x +√

3x2 + 1 = m có nghiệm thực.Bài 2 Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực

√

1.7 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 19

Bài 3 Tìm giá trị của m để phương trình sau có tập nghiệm là R

Chương 2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

2.1.1 Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số

1 Điều kiện cần Giử sử y = f (x) liên tục trên một lân cận của x0 và cóđạo hàm tại x0 Khi đó nếu y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f0(x0) = 0

2 Điều kiện đủ

a) Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [a;b] và x0 ∈ (a; b)

Giả sử y = f (x) có đạo hàm trên (a; b) và f0(x0) = 0 Khi đó, nếu f0(x0)

đổi dấu khi x qua x0, thì hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0

b) Giả sử hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] Nếu x0 ∈(a; b) Khi đó

- Tìm những điểm mà hàm số và y0 không xác định (nếu có).

- Xét dấu y0 Nếu y0 đổi dấu khi x qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.Bài 1 Tìm cực trị của hàm số

+ Nếu y00(xi) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại xi

+ Nếu y00(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại xi

3 + 2 sin x với x ∈ (0; 2π) f) y = sin x + cos x với x ∈ (−π; π)

2.2.2 Bài toán cực trị có tham số

+ A, B nằm về một phía đối với trục Oy khi x1.x2 > 0.

+ A, B nằm về hai phía đối với trục Ox khi y1.y2 < 0

+ A, B nằm về một phía đối với trục Ox khi y1.y2 > 0

+ A, B đối xứng qua đường thẳng (d) khi

Để hàm số có 3 cực trị thì y0 = 0 có nghiệm phân biệt

Suy ra 4ax3 + 2bx = 0 có 3 nghiệm phấn biệt

Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 3 điểm

cực trị A,B,C tạo thành tam giác vuông cân

Phương pháp

- Điều kiện đê hàm số có 3 cực trị là ab < 0

- Để hàm số có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác vuông cânthì

b3

Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 3 điểm

cực trị A,B,C tạo thành tam giác đều

Phương pháp

- Điều kiện đê hàm số có 3 cực trị là ab < 0

- Để hàm số có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác đều thì

b3

Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2+ c, (a 6= 0) có 3 điểm

cực trị A,B,C tạo thành tam giác có một góc bằng 1200

Phương pháp

- Điều kiện đê hàm số có 3 cực trị là ab < 0

- Để hàm số có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có một gócbằng 1200 thì

b3

1

Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm

cực trị A,B,C tạo thành tam giác có diện tích S

Phương pháp

- Điều kiện đê hàm số có 3 cực trị là ab < 0

- Để hàm số có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có diện tích

Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm

cực trị A,B,C tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp

là R

Phương pháp

- Điều kiện đê hàm số có 3 cực trị là ab < 0

- Để hàm số có 3 điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có bán kínhđường tròn ngoại tiếp là R thì

3 − 8a8|a|b

Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+ bx2 + c, (a 6= 0) có 3 điểm

cực trị A(0; c), B, C sao cho OA = BC

Phương pháp

- Điều kiện đê hàm số có 3 cực trị là ab < 0

- Để hàm số có 3 điểm cực trị A(0; c), B, C sao cho OA = BC thì

Để hàm số y = f (x) có giá trị cực trị bằng y0 tại x0 khi

Bài 8 Tìm m để hàm sốy = −3x4+8x3−2(m+2)x2+4(m−1)x+20m+√

3

có ba cực trị

c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Từ đó tìm m

để yCĐ+ yCT = 14

Bài 23 Cho hàm số y = x

x − m

a) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại cực tiểu

b) Tìm m để giá trị cực đại và cực tiểu cùng dấu

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

b) Định m để hai giá trị cực trị cùng dấu

b) Định m để hoành độx1, x2 của các điểm cực trị thỏax1+ 2x2 = 1.

Bài 11 Với giá trị nào của m thì hàm số

a) y = x

2 + 2m2x + m2

g) y = 1

3x

3+ (m2− m + 2)x2+ (3m2+ 1)x + m đạt cực trị tại x = −2

Bài 31 Xác định m để hàm số

Chương 3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ

NHẤT CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 3.1.1 Giả sử f (x) là hàm số xác định trên miền D

1) Ta nói M là giá trị lớn nhất của f (x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn haiđiều kiện sau: