Hàm số mũ hàm số logarit và một số vấn đề liên quan

Các bài toán liên quan đến hai hàm số này cũng là các bài toán khó và xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi cũng như các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm.. Một trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC

Phùng Thị Hoàng Nghĩa

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60 46 40

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thành Văn

Hà Nội – Năm 2012

Mục lục

1.1 Khái niệm hàm số, hàm ngược ……… 5

1.2 Hàm số mũ ……… 6

1.3 Hàm số logarit ……… 7

1.4 Định lý Lagrange ……… 8

2 Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit 10 2.1 Tính giá trị biểu thức ……… 10

2.2 Chứng minh đẳng thức ……… 14

2.3 Chứng minh bất đẳng thức ……… 17

3 Phương trình, bất phương trình mũ và logarit 44 3.1 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit ……… 44

3.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số ……….… 44

3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ ……… 50

3.1.3 Phương pháp đưa về phương trình, bất phương trình tích … 63

3.1.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và logarit ……… 67

3.1.5 Phương pháp so sánh ……….…… 74

3.1.6 Phương pháp sử dụng đạo hàm ……… 75

3.2 Bài tập áp dụng ……… 86

3.2.1 Giải phương trình, bất phương trình ……… 86

3.2.2 Giải và biện luận phương trình, bất phương trình ………… 94 3.2.3 Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện cho trước … 99

LỜI NÓI ĐẦU

Hàm số là một khái niệm rất quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như kinh tế, cơ học, vật lý, hóa học, kỹ thuật, … Ở bậc trung học phổ thông thì hai hàm số sơ cấp quan trọng là hàm số mũ và hàm số logarit Các bài toán liên quan đến hai hàm số này cũng là các bài toán khó và xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi cũng như các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm Một trong những nguyên nhân làm cho học sinh trung học phổ thông khó tìm ra lời giải của các bài toán này là do các bài tập liên quan đến hàm số mũ, logarit rất phong phú,

đa dạng với nhiều phương pháp giải Do đó, tác giả đã chọn đề tài “Hàm số mũ, hàm

số logarit và một số vấn đề liên quan” để làm luận văn của mình

Nội dung của luận văn gồm lời nói đầu, kết luận và được chia thành ba chương

 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, hàm ngược, hàm số mũ và hàm số logarit và định lý Lagrange, định lý Rolle

 Chương 2 Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit

Chương này tác giả trình bày một số bài tập liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức

mũ và logarit : rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

 Chương 3 Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Trong chương này, tác giả nêu được một số phương pháp cơ bản giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit như : phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp đặt

ẩn phụ, phương pháp đưa về phương trình, bất phương trình tích, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp so sánh và phương pháp sử dụng đạo hàm kèm theo một số bài tập minh họa Cuối chương là bài tập áp dụng các phương pháp đã nêu

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn

Thành Văn Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong suốt thời gian xây dựng đề tài cho đến khi hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán –

Cơ – Tin học, Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong được các thầy cô giáo và các bạn góp ý xây dựng

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 25 tháng 2 năm 2012

Học viên

Phùng Thị Hoàng Nghĩa

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

1.1 Khái niệm hàm số, hàm ngược

Định nghĩa 1.1 Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực ¡

Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi số x Î Dvới

một và chỉ một số thực y , kí hiệu là f x ( )

Phần tử x Î D bất kỳ gọi là biến số độc lập (hay biến số, hay đối số)

Số thực y tương ứng với biến số x gọi là giá trị của hàm số f tại x

D gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f

Tập f D( )= {y Î ¡ | $ Îx D y: = f x( ) }gọi là tập giá trị của hàm số f

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y = f x( ) xác định trên K

( ) ( )

x x K x x f x f x

" Î < Þ >

3 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K

Định nghĩa 1.3 Cho hàm số :f D ® ¡ với tập giá trị

x

x x x

a a a

-= ( )ab x = a b x x

x x

Định nghĩa 1.5 Hàm số ngược của hàm số x

y = a được gọi là hàm số logarit cơ số a

và được ký hiệu là y = loga x

Hàm số logarit y = loga x có tập xác định là (0; + ¥ ), tập giá trị là ¡

 loga xy = loga x + loga y ,"x y, thỏa mãn xy > 0

 loga x loga x loga y , x y,

b

x x

a

= , với 0< b¹ 1," > x 0

x

Các hàm số logarit với cơ số đặc biệt

 Nếu a = 10 thì quy ước không cần viết cơ số :log10x = logx hoặc lg x

 Nếu a = e thì hàm logarit được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe và được kí hiệu loge x = lnx

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

 Hàm số mũ y = a x có đạo hàm tại mọi x Î ¡ và ( )a x '= a x lna

ë û và có đạo hàm trên khoảng ( )a b thì tồn ;

tại c Î ( )a b; sao cho f b( )- f a( )= f '( )(c b- a) hay f '( )c f b( ) f a( )

b a

-=

- Đặc biệt khi f a( )= f b( ) thì ta có định lý sau

Định lý Rolle

Nếu hàm số y = f x( ) liên tục trên đoạn ;é ùê úa b

ë û, có đạo hàm trên khoảng ( )a b và ;

( ) ( )

f a = f b thì tồn tại c Î ( )a b; sao cho f '( )c = 0

Bài toán 2.1 Rút gọn các biểu thức sau

-= + Tính

50

2 1

sin100

1 log 3

+

( )2

2

2 log 3 log 5log 45 log 3 5

1 log 3 log 5

+

Bước 2 Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn, ta thu được hệ

Bài toán 2.4 Tìm phần nguyên của số

2 2

ln2

n

n k k

k k S

4

k k

C C

T

+ +

n k

n k

k

C U

+

n n n

Bài toán 2.5 Cho ,a c > 0 và 0< b ¹ 1 Chứng minh rằng logb c logb a

a = c (1)

Giải

Cách 1 Nếu a = 1 hoặc c = 1 thì đẳng thức (1) đúng

Xét ,a c ¹ 1 Khi đó ta có

( )

b c b a a c a c b a

a = a = a = c Vậy (1) được chứng minh

Cách 2 Lấy logarit cơ số b hai vế ta có ngay điều phải chứng minh

Bài toán sau có phương pháp giải tương tự bài toán 2.3

Bài toán 2.6 Cho log 1812 = a, log 5424 = b Chứng minh rằng

- (2) Chú ý là hiển nhiên a = log 1812 ¹ 2 và b = log 5424 ¹ 3

Bài toán 2.8 Chứng minh rằng

loga Alogb A + logb Alogc A + logc Aloga A = loga Alogb Alogc AlogA abc

xy xyz x y xyz x y xy xyz

Suy ra logy x + xlogy = 2xyzt

Chứng minh tương tự ta có logy z + zlogy = 2xyzt, logz x + x logz = 2xyzt

Từ đó suy ra (2) Vậy (1) được chứng minh

2.3 Chứng minh bất đẳng thức

Một trong những bất đẳng thức thường hay được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức khác là bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean) Cụ thể ta xét các bài toán sau :

Bài toán 2.11 Chứng minh rằng 1 1 1

log sin 70 sin 50 sin 10

13

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 15 20 0

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số dương ta được

log1+a(1+ b)+ log1+b(1+ a)³ 2 log1+a(1+ b)log1+b(1+ a)= 2

Suy ra log1+a(1+ a+ b+ ab)+ log1+b(1+ a + b+ ab)

= 2+ log1+a(1+ b)+ log1+b(1+ a)³ 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ngoài việc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc đã biết, khi chứng minh bất đẳng thức mũ và logarit ta cũng cần chú ý sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và logarit

+ hay loga b³ loga c+ b

b Ta có loga b³ loga c+ (b+ c)Û loga b- 1³ loga c+ (b+ c)- 1

b b c

a a c

+

³+ do đó

loga b loga b c loga c b c

+ + (theo câu a)

Dấu đẳng thức xảy ra khi c = 0 hoặc a = b

Áp dụng kết quả của bài toán 2.15 ta giải được các bài toán sau :

Bài toán 2.16 Cho a > 1 Chứng minh rằng loga(a+ 1)> loga+1(a+ 2)

hay loga(a+ 1)> loga+1(a + 2), "a > 1

Bài toán này cũng có thể được giải bằng phương pháp sử dụng đạo hàm

Þ nghịch biến trên (1;+ ¥ ) Þ loga(a + 1)> loga+1(a + 2 ,) " > a 1

Bài toán 2.17 Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ rằng

Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Bài toán 2.18 Cho , ,a b c > 1 thỏa mãn ( )( )( ) ( )

3 2

+

+ ++ +

Tương tự, ta có logb c+ b< loga b c+ + (a+ b), logc a+ c < loga b c+ + (b+ c)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

( ) ( ) ( ) ( )

2 alga+ blgb+ clgc ³ a lgb+ lgc + b lga + lgc + c lga + lgb Cộng hai vế với (alga + blgb+ clgc) ta thu được (2) và (1) được chứng minh

Nhận xét Thực chất bất đẳng thức (2) là bất đẳng thức Trêbưsép nên bài toán 2.19 có

thể được khái quát hơn như sau

1 Trong bài toán trên cho , ,a b c > 0 thỏa mãn a+b+ c = 4 ta có bài toán sau :

Bài toán 2.22 Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn a +b+c = 4 Chứng minh rằng

Bài toán 2.23 Cho a a1, 2, ,a > n 0 và x < 1 Chứng minh rằng

Vậy (1) được chứng minh

Bài toán 2.25 Không sử dụng máy tính chứng minh rằng

< < và

( ) 1

logn n + 1 , logn- n > 0 Do đó bài toán có thể phát biểu dưới dạng khái quát sau

Bài toán 2.26 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 3 ta có

Bài toán 2.27 Cho , , ,x y z t là bốn số thuộc khoảng 1;1

logx y + logy z + logz t + logt x ³ 4 logx ylogy zlogz tlogt x = 4

Suy ra 2 log( x y + logy z + logz t + logt x)³ 8 (1)

x ³ x- y ³ y - z ³ z- t ³ t- và áp dụng tính chất nghịch biến của hàm số y = loga x khi 0< a < 1 ta được

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

Chứng minh rằng y y1 2 y n ³ x x1 2 x n (1)

Giải

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau

Nếu A A1, 2, ,A là các số hữu tỉ dương và n A1+ A2 + + A n = 1 thì với mọi số dương X X1, 2, ,X ta có n

Suy ra log(y y1 2 y n)³ log(x x1 2 x n)

Theo tính chất đồng biến của hàm số logarit khi cơ số lớn hơn 1 ta có

y y y ³ x x x Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Ngoài việc sử dụng các bất đẳng thức đã biết và tính chất đơn điệu, ta cũng thường sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 2.29 Chứng minh rằng với mọi số dương , ,x a b thỏa mãn a ¹ b ta luôn có

biến trên é + ¥êë0; ), do đó f x1( )> f1( )0 = 0 Bất đẳng thức (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ³ 1, tức là f x k( )> 0,"x > 0

k x

Þ = - - - = > " > (theo giả thiết quy nạp)

Suy ra f k+1( )x đồng biến trên é + ¥êë0; ), do đó f k+1( )x > f k+1( )0 = 0,"x > 0

Nhận xét

1 Với x > 0,a > 1 thì xlna > 0 Áp dụng bài toán 2.30 ta có bài toán sau :

Bài toán 2.31 Chứng minh với x > 0,a > 1 ta có

2 Chứng minh tương tự bài toán 2.30 ta có bài toán sau :

Bài toán 2.32 Chứng minh với mọi x < 0 ta có

3 Với x < 0,a > 1 thì lnx a < 0, áp dụng bài toán 2.32 ta có

Bài toán 2.33 Chứng minh với x < 0,a > 1 ta có

Suy ra hàm số f x nghịch biến trên ( ) (0; + ¥ )

Với giả thiết a ³ b> ta có 0 ( ) ( ) ln(C a 1) ln(C b 1)

Tùy theo giá trị được chọn của C ta có các bài toán khác nhau Nếu chọn C = 4 thì ta

có bài toán 2.34 Nếu chọn 3

Bài toán 2.35 Cho các số thực dương , , ,a b c d thỏa mãn a £ b£ c £ d và bc £ ad Chứng minh rằng a b c d b c d a ³ a b c d d .a b c

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b và c = d

Bài toán 2.36 Chứng minh rằng với mọi số dương ,x y ta có ln 2

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Nhận xét Bài toán này xuất phát từ tính chất sau của hàm số ( ) x

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Bài toán 2.39 Chứng minh rằng với mọi x Î ( )0;1 ta có

1 1

sin sin sin

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau

Giả sử f x liên tục trên đoạn ;( ) é ùa b

Vậy bổ đề được chứng minh

Sử dụng các hệ thức cơ bản trong tam giác 0 sin sin sin 3 3

sinA + sinB + sinC ³ sin A + sin B + sin C

Từ giả thiết tam giác ABC là tam giác nhọn, ta nhận được

sin sin sin

Với a ¹ 0,a ¹ 1, ta có ( ) ( 1 )

f t = a t a-

f '( )t = 0Û t = 1Với 0< a < 1 ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra f t( )£ f ( )1 = 0," Î ¡ t +

Với a < 0 hoặc a > 1 ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra f t( )³ f ( )1 = 0," Î ¡ t +

Bài toán 2.42 Với , ,a b c > 0, chứng minh rằng

Bất đẳng thức (5) được chứng minh tương tự và bổ đề được chứng minh

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta thu được

Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 2.43 Với , ,a b c là các số thực dương, ta có

Chương 3

Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

3.1 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

3.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Khi sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số để giải phương trình, bất phương trình mũ

và logarit ta cần chú ý một số vấn đề sau :

 Đối với phương trình mũ

Ta sử dụng các công thức biến đổi đưa phương trình về dạng f x( ) g x( )

 Đối với bất phương trình mũ

Ta sử dụng các công thức biến đổi đưa phương trình về dạng f x( ) g x( )

a > a (3) hoặc f x( ) g x( )

a ³ a (4)

 Đối với phương trình logarit

Biến đổi phương trình đã cho về dạng loga f x( )= loga g x( )

Û ìï

= >ïïî

 Đối với bất phương trình logarit

Ta sử dụng các công thức biến đổi đưa bất phương trình logarit về dạng

( ) ( )

loga f x > loga g x (5) hoặc loga f x( )³ loga g x( ) (6) Nếu a > 1 thì (5) Û f x( )> g x( )> 0

(6) Û f x( )³ g x( )> 0 Nếu 0< a < 1 thì (5) Û 0< f x( )< g x( )

(6) Û 0< f x( )£ g x( ) Tổng quát ta có

Bài toán 3.1 Giải phương trình

ê =êë

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm 1; 9

(3) có thể viết dưới dạng

2 log 3

x

x x

-êë (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình (5) có hai nghiệm x = 2;x = 1- 33

Bài toán 3.2 Giải bất phương trình

1 1

1

x x

x

-

x x

+

x x

Bài toán 3.3 Trong tất cả các nghiệm (x y của bất phương trình ; ) log 2 2 ( ) 1

5 102

ïï = - =ïï

3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ là bí quyết thành công của nhiều lời giải bài toán Trong quá trình giải một bài toán ta có thể đặt một biểu thức của phương trình, bất phương trình làm ẩn phụ Tùy theo sự hiểu biết về góc độ bài toán mà ta có các cách đặt ẩn phụ khác nhau Khi đặt ẩn phụ, có thể xảy ra các trường hợp sau

 Ẩn mới thay thế hoàn toàn ẩn cũ, ta nói rằng đó là phép đặt ẩn phụ toàn phần

 Ẩn mới không thay thế hoàn toàn ẩn cũ mà cả ẩn mới và ẩn cũ cùng tồn tại trong một phương trình Ta nói rằng đó là phép đặt ẩn phụ không toàn phần Trong trường hợp này, cách xử lý với hai ẩn cũng khác nhau

- Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới hoàn toàn bình đẳng với nhau, khi đó bài toán thường được đưa về giải hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình hai ẩn

- Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới không bình đẳng với nhau, khi đó thường ẩn cũ trở thành các hệ số của phương trình, bất phương trình

Bài toán 3.4 Giải phương trình log log2 2x = log log3 3x

2

2

x = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

( )

log2log 323

2

2

x =