Luận văn bao hàm thức tựa biến phân pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan

Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian vô hạnchiều này sang không gian đối ngẫu của nó và thứ tự sinh ra bởi nón.. Như vậy, trong trường hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội - 2015

PHAN ANH SƠN

VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

PHAN ANH SƠN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội - 2015

VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Nhan dip nay toi cung xin duoc gijfi ldi cam On chan thanh tdi gia dinh, ban be da luon dongvien, giup d0 toi trong suot qua trinh hoc tap va thiic hien de tai nghien ciiu nay.

Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien

Phan Anh SdnLuan van Thac si Toan hoc "Bao ham thufc ttfa bi§n phan Pareto h6n hdp va mot so van de lienquan " diiOc hoan thanh do sir co gang, nQ luc tim hieu, nghien ciiu cua ban than cung vdi sU giup

dQ tan tinh cua GS TSKH Nguyfin Xuan Tan

Toi xin cam doan luan van nay khong trimg lap vdi ket qua cua tac gia khac

LCJl CAM DOAN

Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien

Phan Anh Scfn

Mục lục

1.1 Nón và ánh xạ đa trị 11

1.1.1 Nón 11

1.1.2 Ánh xạ đa trị 15

1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 16

1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị 20

1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị 24

2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Paretohỗn hợp 27 2.1 Đặt bài toán 29

2.2 Sự tồn tại nghiệm 33

2.2.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp trên - trên 33

2.2.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp trên - dưới 40

2.2.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới - trên 41

2.2.4 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp dưới - dưới 43

2.3 Một số vấn đề liên quan 45

2.3.1 Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto 45

2.3.2 Bài toán tựa cân bằng Pareto hỗn hợp 49

BẢNG KÍ HIỆU VÀ VIẾT TAT Trong luận văn này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định dưới đây:

N*: tập hợp các số tự nhiên khác không Q : tập hợp các số

hữu tỷ R : tập hợp các số thực M+ : tập hợp các số

thực không âm

M_ : tập hợp các số thực không dương

: không gian vector Euclid n - chiều

: tập hợp các vector có các thành phần không âm củakhông gian Mn

R” : tập hợp các vector có các thành phần không dương của không gian

{a;a} : dãy suy rộng

x n —¥ X : x n hội tụ yếu tới X

0 : tập rỗng

F : X —>■ 2y : ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y domF : miền định

nghĩa của ánh xạ F GrF : đồ thị của ánh xạ đa trị F C' : nón đối

ngẫu của nón c

C'+: nón đối ngẫu chặt của nón c

C'~ : nón đối ngẫu yếu của nón c

A ç B : A là tập con của B

A<Ệ-B\A không là tập con của B

Au B : hợp của hai tập hợp A và B

A n B : giao của hai tập hợp A và B

A\B : hiệu của hai tập hợp A và B

A + B : tổng đại số của hai tập hợp A và B

A X B : tích Descartes của hai tập hợp A và B

co A : bao lồi của tập A

cone^4 : bao nón lồi của tập hợp A

CỈA : bao đóng tôpô của tập hợp A

int^4 : phần trong tôpô của tập hợp A

hàm số Cho D c K n , T : D —> • M n Tìm X sao cho (T(x),x — x) > 0, Va; ẽ D.

Bài toán này được mở rộng cho không gian vô hạn chiều và ánh xạ đa trị

Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian vô hạnchiều này sang không gian đối ngẫu của nó và thứ tự sinh ra bởi nón Khái niệm ánh xạ đa trị đãđược xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển toán học và các lĩnh vực khác Từ đó người ta tìmcách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị Bài toán bất đẳng thức biến phân đượcnhiều nhà toán học nghiên cứu trong những năm gần đây và gọi chúng là bài toán bao hàm thức biếnphân

Ví dụ, ta xét các bài toán sau:

Cho X , Y , z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff, D c X , K c z

biến phân lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 1.

2, Bài toán: Tìm X e D sao cho

a) X e P\ (x);

b) F(y,x,x) c F(y,x,x) + C(y,x),

(tương ứng, (F(y,x,x) n F(y,x,x) + C(y,x) 7^ 0)), với mọi X € P2(^)j y € Q(^, a?) được gọi làbài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 2 Bài toán bao hàmthức tựa biến phân lý tưởng trên (dưới) hỗn hợp là bài toán bao gồm cả 2 bài toán trên

3, Bài toán: Tìm (x, ỹ) e D X K sao cho:

a) X € S(x,ỹ)\

b) ỹ e T(x,ỹ);

c) F(ỹ,x,x) <£ F(ỹ,x,x-C\{0}), (F(ỹ,x,x)nF(ỹ,x,x)-C\{0} =

1) ,Vx G S(x,ỹ) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dưới) loại 1.

Tương tự, ta có bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 và bài toán bao hàm thức tựabiến phân

Pareto hỗn hợp trên (dưới)

Tương tự, như vậy ta cũng phát triển các loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân loại 1,2 và hỗnhợp cho trường hợp thực sự và yếu Các bài toán này tổng quát các bài toán đã biết như cân bằng,tối ưu đa trị

Như vậy, trong trường hợp đa trị ta có 9 loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân khác nhau.Các loại bài toán đã được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và nghiên cứu rất nhiều cóthể kể đến như GS TSKH Đinh Thế Lục, GS TSKH Phan Quốc Khánh, GS Lai Jill Lin,

Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, cùng sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy

GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài"Bao hàm thức tựa biến phân

Pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan " làm luận văn Thạc sĩ của mình.

2 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương:

1 Chương 1: Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị

1.1 Nón và ánh xạ đa trị

1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị

1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị

2 Chương 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp

2.1 Đặt vấn đề

2.2 Sự tồn tại nghiệm

2.3 Một số vấn đề liên quan

3 Mục đích nghiên cứu

+ Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân

+ Đi sâu vào bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên, dưới, hỗn hợp

+ Giới thiệu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của chúng và các vấn đề liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đến ánh xạ đa trị

4- Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp, xét sự tồn tại nghiệm của nó

và các bài toán liên quan

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa trị cụ thể là bàitoán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và sự tồn tại nghiệm của nó

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên quan đến bao hàm thức tựabiến phân Pareto hỗn hợp và một số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng kiến thức cơ bản của giải tích đa trị: khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị, kiến thức

về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp

+ Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích đa trị để tiếp cận vấn đề

7 Dự kiến đóng góp mới

+ Luận văn trình bày các kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết tới ưu

+ Nghiên cứu sâu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp

Chương 1

Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị

Ánh xạ đa trị được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ lâu do nhu cầu phát triển của toán học và nhiềungành khoa học khác Để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị ta cần phải nghiên cứucác tính chất của ánh xạ đa trị Trong chương này ta xét một số khái niệm của ánh xạ đa trị Dựa trêncác khái niệm này, ta tìm các điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên, liên tục dưới Một sốkết quả về mối liên quan giữa tính liên tục trên và dưới của ánh xạ đa trị lồi (lõm) cũng được đưa ra.Phần cuối của chương trình bày về tính lồi theo nón, mói liên quan giữa tính c - tựa lồi thực sự, c -

tựa lồi trên của ánh xạ đa trị với tính lồi của hàm vô hướng Kiến thức của chương này sẽ được sửdụng cho việc nghiên cứu các phần của chương sau.

Trong toán học và trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán liên quan đến phép tương ứng một điểmcủa tập hợp này với một tập con của tập hợp kia Một phép tương ứng như vậy được gọi là ánh xạ đatrị Để xác định thứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có giá trị làvector hoặc ánh xạ đa trị, người ta đưa ra khái niệm nón Từ đó, ta mở rộng được khái niệm đã biếtcủa không gian số thực hoặc số phức cho không gian tôpô tuyến tính Mục này dành cho các kháiniệm, tính chất của nón, ánh xạ đa trị và các khái niệm có liên quan Các kiến thức của mục nàyđược tham khảo từ cuốn sách của GS Nguyễn Xuân Tấn và PGS Nguyễn Bá Minh ([2])

1.1.1 Nón

Để đưa vào thứ tự từng phần trong không gian tuyến tính người ta đưa vào khái niệm nón

Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính và c c Y Ta nói rằng c là nón có đỉnh tại gốc

(gọi tắt là nón) trong Y nếu tc € c, Vc €E

Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, c là nón trong Y, ta kí hiệu CỈC, intc, coneC lần lượt là

bao đóng, phần trong, bao lồi của nón c.

Ta thường quan tâm tới các loại nón sau:

i) Nón c là nón lồi (nón đóng) nếu tập c là tập lồi (tập đóng);

ii) Ta kí hiệu 1(C) = c n (-C) là phần trong tuyến tính của nón c Nón c được gọi là nón nhọn nếu 1(C) = 0;

Với nón c cho trước, ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trong Y như sau:

2) Va;, y G Y, X y Cy nếu X — y £ c, (có thể viết X >z y nếu không sợ nhầm lẫn);

3) \/x, y € Y, kí hiệu X y y nếu X — y G C\l(C);

4) \/x, y G Y, kí hiệu X y nếu I-Ị/Ễ inte.

Nếu c là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y

trên có tính chất phản đối xứng, có nghĩa là nếu X y y vàX ^ y thì

Trên c ta xác định quan hệ thứ tự như sau:

X = { x u x 2 , , x n ) , y = (2/1,2/2, • • • , y n ) thuộc M n

X > y khi và chỉ khi Xj > yj, với mọi j = 1, n.

Nón c = M" được gọi là nón Orthant dương trong M71

2 Cho Y = R n

c = {x = {x u x 2 , ,x n )\x n > 0}

c là nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì

1(C) = {x = (x u x2, , Zn-1,0) e Mn} Ỷ Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là không gian tuyến tính, Y* là không gian tôpô đối ngẫu của Y,< £,y

{0}-> là giá trị của £ e Y* tại y e Y Nón đối ngẫu C’ và nón đối ngẫu chặt c l + của c lần lượt dược định nghĩa là ơ = {£ G Y* : (£, c) > 0, với mọi c € C},

— X € c với mọi y € A.

Tập điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón c kí hiệu là IMin(AịC).

2) Điểm X G A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập Ả đối với nón c nếu không tồn tại y € A, y Ỷ x để x-ye C\l(C.)

Tập điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c kí hiệu là PMin(AịC) hoặc đơn giản hơn

là Min(AịC).

3) Điểm X G A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của tập A đối với nón c (trong trường hợp

ỉntc ^ 0 và c ^ Y ) nếu X G Min(A\ỉntC\J{0}) Tức là X là điểm hữu hiệu Pareto của

tập A đối với nón (¿níơu{0}).

Tập điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón c kí hiệu là WMin(A\C) hay WMin(A).

4) Điểm X e A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón c nếu tồn tại nón lồi c khác hoàn toàn không gian và chứa C\l(C) trong phần trong của nó sao cho X

£ Min(AịC).

Tập điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón c kí hiệu là PrMin(AịC).

Từ định nghĩa trên ta có IMin(AịC) Ç PrMin(AịC) ç Min(A\C) Ç WMin{A\C).

Ví dụ 1.1.2 Trong M2 lấy hai tập

A = {(x , y ) G M2|(x-l)2+(y-l)2 < 1 , y < l}u{(a:,y) G R2|a; > 1 , y e [0,1]}

Cho hai tập hợp Ầ, y, Ö ç X là tập con.

Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ F : D —»• Y biến mỗi điểm X £ D thành một tập con F(x) của Y, (F(x)

có thể bằng rỗng), được gọi là ánh xạ đa trị Ta kí hiệu 2y là họ các tập con của Y và F : D —>

3) Ánh xạ G gọi là có nghịch ảnh mở, nếu với mọi y e Y, tập G~ 1 (y) = {x G D\y G G(x)} là mở.

Nếu G(x) là tập đóng (compact) với mọi X G D thì ta nói ánh xạ G có giá trị đóng (tương ứng,

có giá trị compact)

Từ Định nghĩa ta thấy,

i) G là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng {æa} Ç D.{y a } cy,ĩa 4 x,y a <E G(x a ), ta

có y G G(x).

ii)Khi X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ F : X —► 2y có ảnh ngược tại mỗi điểm

là tập mở trong X thì ánh xạ bao lồi coF : X —»■ 2y của nó, (coF)(x) = coF(x), cũng có tính

chất như vậy

Cho X,Y là các không gian tôpô, D ç X Ta biết rằng, ánh xạ đơn trị / từ D vào Y được gọi là

f ( x ' ) £ V với mọi x' G u n D Đối với ánh xạ đa trị, f(x) € V tương ứng với khả năng: F(x)

ç V hoặc F(x) nv ^ 0 Từ đó có thể mở rộng từ khái niệm liên tục đối với ánh xạ đơn trị sang ánh

xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liêntục trên và nửa liên tục dưới Hai khái niệm này được đưa ra đầu tiên năm 1932 bởi B.Bouligand vàK.Kuratowski (theo Aubin và Frankowska (1990)) Sau đó, Berge (1959) ([7]) đã khảo sát khá kĩ vềvấn đề này, ta nhắc lại định nghĩa của Berge

Định nghĩa 1.2.1 Cho tập con D ç X, ánh xạ đa trị F : D —»• 2y

1 F được gọi là nửa liên tục trên (dưới) (viết gọn là u.s.c (tương

[—a, a], nếu X Ỷ 0'

2.ứng, l.s.c)) tại X £ D nếu mỗi tập mở V chứa Fix) (tương ứng, F(x)

n V Ỷ 0 )ì tồn tại lân cận mở u của X sao cho F(x) ç V (tương ứng,

F(x) n V Ỷ 0), với mọi X £ u n D.

3 F được gọi là u.s.c (l.s.c) trên D nếu nó là u.s.c (tương ứng, l.s.c) tại mọi điểm X € D.

Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng hai khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới là hoàntoàn khác nhau

Ví dụ 1.2.1 Lấy X = Y = M, D = [—a,a], với aẽt, a > 0 Ánh xạ

nếu X = 0;

1 F nửa liên tục dưới tại X = 0 Thật vậy, V là tập mở bất kì,

V n F(0) ^ 0 (trong trường hợp này V chưa 0 = F(0)) Khi đó, rõ

ràng, lấy một lân cận u của điểm X G 0, lấy bất kì x' G £/, x' 0

thì F(x') = [—a,a] n V 7^ 0 (chúng chứa 0)

2 F không nửa liên tục trên tại X = 0 Thật vậy, lấy tập mở V =

—),F(0) = {0} c V Mọi lân cận u của 0, lấy bất kì x' €

£/, x' Ỷ 0 thì F{x') = [—a, a] V

[—a, a], nếu X = 0;

Ví dụ 1.2.2 Tương tự ta chứng minh được rằng ánh xạ

nửa liên tục trên

nhưng không nửa

liên tục dưới tại X

= 0.

Tiếp theo, cho

X và Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ç X, K ç Y Các mệnh đề sau

nêu lên các điều kiện cần, đủ để ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới

Mệnh đề 1.2.1 ([18]) Giả thiết F : D —> 2 Y là ánh xạ đa trị với giá trị compact Khi

đó F là nửa liên tục dưới tại X G D nếu và chỉ nếu với mọi y G F(x) và với mọi dẫy {x a } trong D hội tụ tới X, tồn tại dãy {y a },ya e F{x a ) với mọi a vày a -> y.

Mệnh đề 1.2.2 ([20]) Ánh xạ đa trị F có nghịch ảnh mở thì nửa liên tục dưới.

Ngược lại không đúng, chẳng hạn trong ví dụ trên, ánh xạ F nửa liên tục dưới nhưng các nghịch

ảnh {0}, [—a, 0], (o, a] không mở

Mệnh đề 1.2.3 ([6]) Nếu F : D —»■ 2 K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng Ngược lại nếu F là ánh xạ đóng và K là tập compact, thì

F là ánh xạ nửa liên tục trên.

Cho X và y là các không gian tôpô tuyến tính, các tập con không rỗng D ç X , K Ç Y

Định nghĩa 1.2.2 Cho F : K X D X D ^ 2ylà một ánh xạ đa trị và c : K X D —> 2 y là ánh xạ nón

đa trị (với mỗi (y, x) € K X D, C(y, X) là một nón trong Y ).

i) F được gọi là c - liên tục trên (dưới) tại điểm (ỹ,x,ĩ) G domF nếu với mọi lân cận V của gốc trong Y, tồn tại lân cận u của điểm

(■y,x,t) sao cho:

F{y, X , t) c F(ỹ, X , t) + V + C(ỹ, x) (tương ứng, F(ỹ, X, ĩ) c F(y, X, t) + V - C(ỹ, x)) với mọi (y, X, t) G

nghĩa về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của Berge

ii) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm c - liên tục trên và c - liên tục dưới là một

và ta nói F là c - liên tục (Đặt biệt, nếu F là c - liên tục tại (ỹ,x,ĩ) vầY = M, c = M+(hoặc,

C(y,x) = M_), thì F nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) tại (ỹ,x,ĩ) theo nghĩa

thông thường)

Ví dụ 1.2.3 Cho f : D ^ K là một ánh xạ đơn trị c là ánh xạ nón hằng (giá trị tại mọi điểm đều bằng nhau) trong Y Khi ấy ánh xạ đa trị F(x) = f(x) + c vừa là c - liên tục trên, vừa là c - liêntục dưới tại điểm mà / liên tục Trong [14], N.x Tấn và Lin, L.J đã đưa ra các điều kiện cần và đủ

để một ánh xạ là c - liên tục trên (dưới)

Trong mục này, chúng tôi giả thiết X, Y là các không gian tuyến tính, D là tập con lồi trong X.

Với các ánh xạ đơn trị, ta đã biết đến các khái niệm hàm lồi, hàm tựa lồi, hàm vector lồi, giống tựalồi theo nón Các khái niệm này được mở rộng tương ứng trong trường hợp ánhxạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1 Cho F : D —> 2 Y là ánh xạ đa trị và c lànóntrong

Y.

1 Ánh xạ F được gọi là c - lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi XI,X 2 ẽ D, a ẽ [0,1], ta có

aF(xi) + (1 — a)F(x 2 ) ç F(axi + (1 — a)x 2 ) + c (tương ứng, F{axi) + (1 — à)x2 ç

aF(xi) + (1 — a)F(x 2) — c).

2 Ánh xạ F được gọi là c - giống như tựa lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi X ị , x 2 G D,

a £ [0,1],

F(x 1) Ç F(ax 1 + (1 - a)x2) + c hoặc, F(x2) ç F(ax 1 + (1 —

à)x2) + c (tương ứng, F(ax 1 + (1 — Oi)x2) Ç F(x 1) — c hoặc,

F(ax 1 + (1 — à)x2) Ç F(x2) — c).

Chú ý Ta dễ thấy rằng:

1 Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm c - lồi trên (dưới) (hoặc, c - giống tựa lồi trên (dưới)) là như nhau và ta nói F là c

- lồi (hoặc, c - giống tựa lồi).

2 Trong trương hợp Y = M, c = M+ và F là ánh xạ đơn trị, nếu F là ánh xạ ơ - giống tựa lồi đơn trị thì F là hàm tựa lồi.

Các khái niệm ánh xạơ- lồi trên (dưới) hay c - giống tựa lồi trên (dưới) là sự tổng quát các khái niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị Có thể thấy rằng, ánh xạ c - lồi trên (dưới) không phải là ánh

xạ c - giống tựa lồi trên (dưới) và ngược lại.

Ví dụ 1.3.1.([12]) Xét các ánh xạ F : G : R —¥ R1, với F(x) = (^3, x) và G(x) = (x, 1 — x) Với

1 F là (Q, ơ) - ịựa iQi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba

nón c — ta dễ dàng chỉ ra được rằng, F là ánh xạ c - giống như tựa lồi nhưng không phải là c - lồi

và ánh xạ G là c - lồi nhưng không là c - giống như tựa lồi.

Định nghĩa 1.3.2 Cho D là tập lồi trong X, F : D X D —> 2 Y là ánh xạ đa trị và c : D —>• 2y làánh xạ nón

1 F được gọi là c - lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn {xi, , x n } c D, X € co{x 1, , x n }, X =

{1, , n} sao cho F(x, Xj) ç F(x, X) + C(æ) (tương ứng, F(x, æ) Ç F(a:, Æj) — ơ(x)).

Ví dụ 1.3.2 Cho D là tập hợp con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương X với đối ngẫu

X*, T : D —»■ X* là ánh xạ đơn trị Ta dễ dàng chỉ ra rằng, ánh xạ đơn trị F : D X D —»• R,

Trong các phần tiếp theo, ta sử dụng rất nhiều khái niệm ánh xạ KKM và các mở rộng của nó,

cụ thể ta có các định nghĩa sau: Cho X là không gian lồi địa phương Hausdorff, X, z là các không gian tôpô tuyến tính Các tập con không rỗng D ç X, K ç z.

Định nghĩa 1.3.4 Ánh xạ G : D —»■ 2° được gọi là ánh xạ KKM nếu vơi mọi tập con hữu hạn

tj € {tị, t n } sao cho X G F(tj).

Định nghĩa 1.3.5

1 Cho F : K X D X D —> 2 X , Q D X D 2 K ỉầ các tập ánh xạ đa trị Ta nói rằng ánh xạ F là Q

— KKM nếu với mọi tập hữu hạn {tị, , n} ç D và X £ co{tị,t n }, tồn tại tj £ {¿ 1, t n } sao

cho 0 e F(y,x,tj), với mọi y e Q(x,tj);

2 Cho 7z là một quan hệ hai ngôi trên K X D Ta nói rằng quan hệ 1Z là quan hệ đóng nếu với mọi dãy suy rộng (y a ,xa) hội tụ tới (y,x) và TZ(y a , x a ) xảy ra với mọi a thì 7Z(y, X) xảy

3 Cho 1Z là một quan hệ ba ngôi trên K X D X D Ta nói 1Z là quan hệ Q - KKM nếu với

mọi tập hữu hạn {ti, ,n} ç D và X e co{ti,t n }, tồn tại tj e {tị, t n } sao cho 7z(y,x,tj) xảy

ra, với mọi y G Q(x,tj).

Chú ý

1 Nếu F là ánh xạ Q — KKM thì 0 £ F(y, X , X) với mọi y £ Q(x, x).

2 Ta định nghĩa ánh xạ G : D —Ï 2 D , G{t) = {x G D : 0 € F(y,x,t) với mọi y G Q(a;,í)} Khi

đó F là ánh xạ Q - KKM nếu và chỉ nếu G - là ánh xạ KKM.

Ví dụ 1.3.3 Cho D là tập hợp con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương X với đối ngẫu

X*, K là tập con của không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Z,Q : D X D K tùy ý T : K X D

—¥ X* là ánh xạ đơn trị Ta dễ dàng chỉ ra rằng ánh xạ đơn trị F : K X D X D —»• M, F(y, X, t)

= (T(y, x), X — t), x,t £ D, y G K,ìầ Q - KKM Hơn vậy, nếu ta định nghĩa quan hệ ba ngôi 7Z(y, X , t) nếu và chỉ nếu 0 G F (y, X , t) Ta chứng minh được: 7z là quan hệ Q - KKM.

Năm 1972, Browder đã chứng minh rằng, mọi ánh xạ liên tục từ một hình cầu đơn vị đóng trong

R n vào chính nó có điểm bất động Năm 1922, Banach đã chứng minh nguyên lý ánh xạ co chỉ ra sựtồn tại điểm bất động của ánh xạ co Hơn nữa, ông còn xây dựng được dãy lặp hội tụ tới điểm bấtđộng đó Năm 1941, Kakutani, nhà toán học Nhật Bản đã đưa ra kết quả về điểm bất động của ánh

xạ đa trị nửa liên tục trên trong không gian hữu hạn chiều Sau đó, năm 1952 Ky Fan đã mở rộng kếtquả trên trong không gian lồi địa phương Hausdorff Trong chứng minh của các kết quả trong cácchương tiếp theo, ta sử dụng các định lý sau

Định lý 1.4.1 ([10] Định lý điểm bất động Ky Fan ) Cho D là một tập con lồi , compact trong không gian lồi địa phương HausdorỊỊ X, ánh xạ F : D 2° nửa liên tục trên với giá trị không rỗng, lồi đóng Khi đó F có điểm bất động.

Định lý 1.4.2 ([11] Bỗ đề Fan - KKM ) Giả sử D là tập con không rỗng của không gian tôpô tuyến tính X, F : D 2 X là ánh xạ KKM với giá trị đóng Nếu tồn tại x 0 G D sao cho F(x ữ ) là tập compact trong X thì

n F ( x ) í 0 Định lý 1.4.3 ([7] Định ỉý điểm bất động Fan - Browder ) Cho D là tập con không rỗng lồi compact của không gian lồi địa phương Hausdorff X và F : D —>• 2 D là ánh

-xạ đa trị thỏa mẫn các điều kiện sau đẫy:

1 Với X GD, F(x) là tập không rỗng và lồi trong D;

2 Với y GD, F~ 1 (y) là tập mở trong D.