Chương III. §4. Cấp số nhân

- Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất và công thức về số hạng tổng quát, công thức liên hệ 3 số hạng liên tiếp và công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhâ[r]

Ngày soạn:……… Tiết PPCT:……….

Tên bài học: CẤP SỐ NHÂN

I XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU BÀI HỌC

1 Mục tiêu

Hình thành các kiến thức về cấp số nhân và ứng dụng vào giải toán thực tiễn

2 Về kiến thức

- Biết được khái niệm cấp số nhân

- Nắm được các tính chất, công thức về số hạng tổng quát, công thức liên hệ 3 số hạng liên

tiếp và công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.

- Biết được một số ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế

3 Về kĩ năng

- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng nhận biết một dãy số là cấp số nhân

- Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất và công thức về số hạng tổng quát, công thức

liên hệ 3 số hạng liên tiếp và công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

để giải quyết các bài toán liên quan

- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các bài toán thực tiễn, kĩ năng tính toán, trình bày lời giải khoa học

4 Về thái độ

- Giúp học sinh được rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong tính toán, thái độ nghiêm túc trong học tập và tích cực tham gia các hoạt động trong tiến trình dạy học

- Học sinh được học tập bằng sự tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo

- Khuyến khích học sinh có khả năng phản biện, đưa ra quan điểm riêng trong các vấn đề, nội dung tiếp thu được

- Qua bài học tạo được sự hứng thú, lôi cuốn cho học sinh, hướng dẫn học sinh tìm tòi, mở rộng và khám phá thêm nhiều kiến thức liên quan đến bài học

5 Các năng lực hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh

- Hình thành và phát triển các năng lực tính toán, năng lực tư duy, năng lực tự học và năng lực sử dụng MTCT và giải toán

- Hình thành và phát triển năng lực giải quyết các bài toán thực tiễn nhờ vào các kiến thức đã học

II XÂY DỰNG BẢNG MÔ TẢ MỨC ĐỘ CÂU HỎI/BÀI TẬP

THẤP

VẬN DỤNG CAO Định

nghĩa và ví

dụ

Nắm được khái niệm cấp số nhân

Hiểu được định nghĩa cấp số nhân

Xác định được

số hạng đầu và công bội của một CSN

Chứng tỏ một dãy số

là CSN

Dãy số nào sau đây là CSN, nếu có hãy tìm công bội của nó ? 1) 5; 0; 0; 0;…; 0; … 2) 2; 2; 2; 2;…;2;…

3) u n2n1

4)

1 1 5;1; ; ;

5 25

5) 1;3;6;12; 24

6) 0; 0; 0;…; 0;…

7) u  n 3.( 2) n

VD: CSN nào

sau đây có

1

1 3

u 

và

5 ?



q

A

5 3

n n

u 

B

5 3

n n

u 

C

3 5

n n

u 

D

3 5

n n

u 

Số hạng

tổng quát

của một

CSN

Nắm công thức tìm số hạng tổng quát của CSN

Hiểu quan hệ giữa

số hạng đầu, công bội, số hạng bất kì của một CSN

Tìm được số hạng tổng quát của CSN

Câu hỏi VD: Cho CSN

biết u 1 3và 2



công thức tính số hạng TQ, từ đó tính các số hạng

7, ,9 15 ?

u u u

VD: Cho CSN

1 16;8; 4; ; ;

64 Hỏi số

1

64là số hạng thứ mấy?

A.9. B.10 C.11

D.12

Tính chất

của ba số

hạng liên

tiếp của

một CSN

Nắm được các cách cho CSN

và mối liên hệ của 3 số hạng liên tiếp

Hiểu được mối liên

hệ của 3 số hạng liên tiếp của 1 CSN

Cho các dãy số

là CSN và tìm được các số hạng của CSN

VD: Cho CSN có

công bội q 0, biết

u  và u 7 54 Tính u6?

Tổng n số

hạng đầu

tiên của

CSN

Nắm được công thức

Hiểu được quan hệ giữa các đại lượng trong công thức

Tính được tổng của n số hạng đầu của CSN

Vận dụng tìm CSN khi biết các yếu tố liên quan BT tổng hợp

Câu hỏi VD: Cho CSN

( )u n có

1

1 3;

2

u  q

Tính tổng 20 số hạng đầu tiên

VD: Cho CSN

( )u n có

u  u 

Tính tổng của 5

số hạng đầu tiên

III CHUẨN BỊ:

 Học sinh:

- Ôn bài cũ, xem trước bài mới

- Sách, vở và các đồ dùng học tập

 Giáo viên:

- Xác định mục tiêu bài dạy, xây dựng nội dung, kế hoạch dạy học

- Lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp với đối tượng học sinh

- Chuẩn bị các phương tiện dạy học, sách giáo khoa và máy chiếu

IV PHƯƠNG PHÁP- KĨ THUẬT DẠY HỌC:

Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh tự giác, tích cực, chủ động trong việc chiếm lĩnh tri thức như: gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm, thuyết trình,…trong đó phương pháp chính là gợi mở nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề

V TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:

HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG CHUNG

 GV giới thiệu khái niệm cấp số nhân bằng câu chuyện cổ:

“Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được ưa chọn 1 phần thưởng tùy theo sở thích Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ 1 hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai 2 hạt,… cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng”.

CH1: Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ nhất đến thứ 6?

CH2: Tính số hạt thóc ở ô số 10, 11, 12?

CH3: Nhận xét gì về số hạt thóc ở 3 ô trên?

CH4: Tính tổng số hạt thóc từ ô số 1 đến ô số 6?

CH5: Tính tổng số hạt thóc từ ô số 1 đến ô số 64?

8 7 6

5 4 3 2 1

TL1: 1; 2; 2.2; 2.4; 2.8; 2.16

TL2: 29, 210, 211

TL3: HS có nhiều nhận xét khác nhau

TL4:S 6 63

TL5: S 64

GV DẪN DẮT VÀO ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN

HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

HOẠT ĐỘNG CỦA GV-HS NỘI DUNG CẦN ĐẠT KỸ NĂNG/NĂNG

LỰC CẦN ĐẠT

I ĐỊNH NGHĨA:

a Khởi động:

Lấy lại câu chuyện cổ: Quan sát dãy gồm 6

số ở trên nhận thấy kể từ số hạng thứ 2, mỗi

số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay

trước nó với số 2 Ta gọi dãy số đó là CSN

có công bội bằng 2

b Hình thành kiến thức:

GV: Thay số 2 bởi 1 số không đổi q hãy phát

biểu định nghĩa CSN với công bội q

HS: Phát biểu định nghĩa CSN

GV: Yêu cầu HS tự cho các VD các dãy số là

CSN

HS: Cho VD

GV nêu VD1

Từ VD1 hãy rút ra các trường hợp đặc biệt

về CSN khi công bội q1; q0

c Củng cố

GV đưa VD2

I ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn

hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó

và một số q không đổi.

n u

( )

là CSN u n u n1 ,q n 2

Số q được gọi là công bội của CSN.

VD1:

Dãy số nào sau đây là CSN, nếu có hãy tìm công bội của nó ?

1) 5; 0; 0; 0;…; 0; … 2) 2; 2; 2; 2;…;2;…

3) u n 2n1

4)

1 1 5;1; ; ;

5 25

5) 1;3;6;12; 24

6) 0; 0; 0;…; 0;…

7) u  n 3.( 2) n

* CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:

 Khi q 0 CSN có dạng

1; 0; 0; 0; 0

u

 Khi q 1 CSN có dạng

1; ; ; ; 1 1 1

u u u u

 Khi u 1 0 thì với mọi q CSN có

dạng 0; 0; 0; 0;

VD2: CSN nào sau đây có 1

1 3

u 

và

5 ?



q

A

5 3

n n

u 

B

5 3

n n

u 

C

3 5

n n

u 

D

3 5

n n

u 

Đáp án: B.

- Nắm được định nghĩa về CSN

- Cho được một số ví

dụ về CSN

- Nhận biết được một dãy số cho trước có phải là CSN hay không, nếu có thì tìm công bội của nó

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

a Khởi động:

Hãy quan sát sự phân chia của tế bào E.coli

CH: Tính số tế bào ở lần phân chia thứ 3? 6?

20?

CH: Dự đoán công thức tính số tế bào ở lần

phân chia thứ n  1 ?

b Hình thành kiến thức: GV: Dẫn dắt học

sinh hình thành công thức tính số hạng tổng

quát của CSN biết u1và q và chứng minh

bằng phương pháp quy nạp

c Củng cố:

GV đưa các VD3, VD4

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1: Nếu một CSN có số hạng

đầu u1

và công bội q thì số hạng tổng quát u n của nó được xác định

theo công thức sau:

n n

u u q1 1



(*)

Chứng minh

– Với n 1 ta có: u1u q1 0

 (*) đúng với n 1 – Giả sử (*) đúng với n k , tức là:

k k

u u q1 1



Ta chứng minh (*) đúng với

n k 1  Thật vậy:

k k

u 1u q u q1 k1.q



= u q1 k

VD3: Cho CSN biết u 1 3và 2



TQ, từ đó tính các số hạng

7 , , 9 15 ?

u u u

VD4: Cho CSN

1 16;8;4; ; ;

64 Hỏi số

1

64là số hạng thứ mấy?

A.9. B.10 C.11 D.12

- Nắm được công thức

số hạng tổng quát của CSN

- Tìm được công thức SHTQ và tính được một số hạng bất kì của CSN khi biết số hạng đầu u1 và công bội q.

- Tính được số hạng cho trước là số hạng thứ mấy của CSN khi biết số hạng đầu u1 và

công bội q của nó.

III TÍNH CHẤT

a Khởi động:

GV: Cho CSN 1; 3; 9; 27; 81; 243; …Nhận xét

quan hệ của 3 số hạng liên tiếp của CSN đó?

HS: Nêu nhận xét

b Hình thành khái niệm:

GV: Hướng dẫn học sinh so sánh u32và tích

2 4

u u Yêu cầu học sinh rút ra tính chất.

HS: Nêu được tính chất

c Củng cố:

GV đưa VD5

III TÍNH CHẤT Định lý 2:

Nếu ( )u n là một CSN thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi

số hạng (trừ số hạng cuối đối với CSN hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

2

1 1

u u u

VD5: Cho CSN có công bội q 0, biết u 5 36và u 7 54 Tính u6?

- Biết được tính chất các số hạng của CSN

- Vận dụng tính chất

để giải một số bài toán liên quan

IV TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA 1 CSN IV TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU

a Khởi động:

GV: Quay lại câu chuyện cổ, tính tổng số hạt

thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ?

HS: …

b Hình thành kiến thức:

GV: Gợi ý để tính tổng số hạt thóc ở 11 ô đầu

Đặt

Yêu cầu HS viết công thức

q S qu u q u q  u q

Lập hiệu

10

10 1 11

(1 ) 1

S

q







GV: Yêu cầu HS phát biểu công thức tính tổng

của n số hạng đầu của 1 CSN biết u1và q1.

c Củng cố:

- Giải quyết câu hỏi tính tổng số hạt thóc từ ô 1

đến ô 64:

64

64 1

64

(1 )

1

S

q





- GV đưa VD6, VD7

CỦA 1 CSN

Định lí 3: Giả sử ( )u n

là một CSN.

Với mỗi số nguyên dương n, gọi S n

là tổng n số hạng đầu tiên của nó.

Ta có:

S nu u1 2 u n

+ Nếu q 1 thì S n nu1

+ Nếu q 1 thì

n n

S

q

1







VD6: Cho CSN ( )u n có

1

1 3;

2

u  q

Tính tổng 20 số hạng đầu tiên

VD7: Cho CSN ( )u n có

u  u  Tính tổng của 5

số hạng đầu tiên

- Biết được công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN

- Tính được tổng n số hạng đầu tiên của CSN khi biết u1 và q.

HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP HOẠT ĐỘNG CÁ NHÂN

BT1: Cho dãy số:

1 1 1 1 1 1; ; ; ; ;

3 9 27 81 243 Chứng

tỏ dãy số này là 1 CSN

BT2: Cho CSN ( )u n có u12,u6 486 Tìm

q?

BT3: Tìm x để ba số 2x 3; ; 2x x3 lập

thành CSN

A.x  3 C

1 3

x 

Giải BT1:

Vì

1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 9 3 3 27 9 3

81 27 3 243 81 3

Giải BT2:

Áp dụng CT tính số hạng TQ ta có

1

3

u

u q

 

Giải BT3:

Đáp án: A

- Chứng minh dãy số nào đó là CSN và tìm công bội của nó

- Vận dụng công thức tính số hạng tổng quát

- Vận dụng tính chất của các số hạng của CSN để giải toán

- Vận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN để giải toán

1

3

x 

D.x 1

HOẠT ĐỘNG NHÓM

BT4: Giữa các số 160 và 5 hãy đặt thêm 4

số nữa để tạo thành một CSN

BT5: Cho CSN ( )u n có q 3 và tổng của 9

số hạng đầu tiên bằng 19682 Tìm số hạng

1

u

Giải BT4:

1 6

160 5

u u









1 2

u q













 CSN: 160,80, 40, 20,10,5

Giải BT5:

Ta có

9 1

(1 3 )

1 3

u



HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG BT6:

Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người Biết

rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 2%

Hỏi dân số của thanh phố A sau 2 năm nữa là bao

nhiêu?

BT7:

Giải BT6:

Đặt u 0 3.106

Gọi u n là dân số của

thành phố A sau n năm

Ta có:

u n u n1 u n1 0,02

= u n1.1,02

 ( )u n là CSN với

6

1 3.10 1, 02

u  và q 1,02

 u 2 3.10 (1,02)6 2

= 3121200 (người)

Giải BT7:

Gọi u u1; 2; u7 lần lượt là diện tích (đơn vị m2)mặt sàn tầng 1, tầng 2, …tầng 7

Ta có u u1; 2; u7 lập thành cấp số nhân có u 1 100

- HĐ vận dụng có thể được triển khai trên lớp (với lớp tốt) hoặc triển khai ở nhà, giúp

HS vận dụng các kiến thức đã học

để giải quyết các bài toán thực tế

- Hình thành và phát triển cho HS

kĩ năng giải quyết các bài toán thực

tế nhờ vào các kiến thức đã học

về CSN

Người ta dự định xây một tòa tháp 7 tầng tại một ngôi

chùa theo thiết kế diện tích của mặt sàn tầng dưới gấp

đôi diện tích của mặt sàn tầng trên kế tiếp, biết rằng

diện tích mặt sàn đáy tháp là 100m2 Nếu chọn gạch

hoa lát sàn loại 20x20 cm thì cần tối thiểu bao nhiêu

viên gạch để lát mặt sàn cả tòa tháp ?

A.4961 B.4960 C.4959 D.4958

và

1 2

q 

Tổng diện tích mặt sàn cả

7 tầng tháp là

7

2 1

7

2

(1 ) 3175

1984375

q

cm





 Diện tích mỗi viên gạch hoa là 400 cm2 Vậy số gạch hoa tối thiểu cần để

lát là

400

S



viên

Chọn đáp án A

HOẠT ĐỘNG 5: TÌM TÒI VÀ MỞ RỘNG

Ở câu chuyện cổ về số hạt thóc, cứ cho rằng 1000 hạt thóc nặng 20 gam Hãy cho biết nhà vua

có đủ thóc để thưởng cho người đã phát minh ra bàn cờ vua hay không ?