Chú ý: Mỗi nhóm không dưới 8 người. Điểm tính chung cho các thành viên trong nhóm. Nhóm nào làm Project chất lượng sẽ được cộng điểm. c) Tìm tập ảnh của ánh xạ... Chứng minh rằng các tập[r]
Trang 1BÀI TẬP LỚN MÔN TOÁN CAO CẤP 2
Chú ý: Mỗi nhóm không dưới 8 người Điểm tính chung cho các thành viên trong nhóm Nhóm nào làm Project chất lượng sẽ được cộng điểm
Phần 1 – Các bài luyện tập (4đ)
Bài 1 Chứng tỏ các ánh xạ với công thức xác định ảnh sau là đơn ánh nhưng không toàn ánh
a) 4
2 1
x
f x
x
; b) 2 3
5
x
f x
x
Bài 2 Chứng tỏ các ánh xạ với công thức xác định ảnh sau là toàn ánh nhưng không đơn ánh
a)
3 2
1 1
x
f x
x
; b)
2 3 1 1
f x
x
Bài 3 Cho ánh xạ f :3 có công thức xác định ảnh như sau 3
f x y z , , 2 xyz, x 3y2 ,z x4y2z
a) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh trên là song ánh
b) Viết công thức xác định f1
c) Tìm tập ảnh của ánh xạ
d) Xác định tập f1
Bài 4 Hãy xác định sao cho u là tổ hợp tuyến tính của u u u1, 2, 3:
a) u(7, 2, ); u1 (2,3,5),u2 (3, 7,8),u3 (1, 6,1)
b) u(1,3,5); u1 (3, 2,5),u2 (2, 4, 7),u3 (5, 6, )
Bài 5 Chứng minh v v1, 2,v3 là một cơ sở của 3, tìm toạ độ của u trong cơ sở này a) u(6,9,14); v1 (1,1,1),v2 (1,1, 2),v3 (1, 2, 3)
b) u(6,9,14); v1 (1,1, 2),v2 (1, 2,3),v3 (1,1,1)
Bài 6 Tìm chiều và một cơ sở của không gian con của 4
a) Các véc tơ có dạng ( a , b , c , 0 )
b) Các véc tơ có dạng ( a , b , c , d )với d a b và c a b
Bài 7 Tìm chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ các véc tơ sau:
a) v1(2, 4,1),v2 (3, 6, 2), v3 ( 1, 2, 1 2)
b) v1 (1, 0, 0, 1), v2 (2,1,1, 0),v3 (1,1,1,1),v4 (1, 2,3, 4),v5 (0,1, 2,3)
Trang 2Bài 8 Cho 3 véc tơ v v v của không gian véc tơ 1, 2, 3 V Chứng minh:
a) Nếu v v1, 2độc lập thì v1v2, v1v2 cũng độc lập
b) Nếu v v v1, 2, 3 độc lập thì v1v2,v2 v3,v3v1 cũng độc lập
Bài 9 Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của 3
W x y z x y z a) Tìm một cơ sở của ,V W V, W
b) Tìm số chiều của các không gian ,V W V, W
Bài 10 Cho W W là hai không gian véc tơ con của 1, 2 4 xác định như sau:
W x y z t x y z t y z t ;
W x y z t x y z t x y z t Tìm một cơ sở và chiều của các không gian véc tơ con W W và 1, 2 W1W2
Bài 11 Trong không gian 4 xét:
span (1, 0, 0,2);(0,2,1, 1);( 1, 6, 3, 7)
V , W span (3,2, 0,1);(1,2,1,1)
Tìm số chiều của V W V, , W
Bài 12 Cho 2 5 1
A
B
C
Tính 3A4B2C
Bài 13 Cho
1 3
1 2
3 4
A
,
0 1
3 2
2 3
B
,
2 3
1 2
4 1
C
Tính:
a) (AB)C ; b) A(BC) ; c) A B C ; d) t, t, t A B ; e) t BC t
Bài 14 Trong không gian véc tơ M2 các ma trận vuông cấp 2 Tìm tọa độ của ma trận
2 3
4 7
A
trong cơ sở 1 1
1 1
, 0 1
1 0
, 1 1
0 0
, 1 0
0 0
Bài 15 Tính các định thức
a)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
; b)
;
Trang 3Bài 16 Cho
t
t
a) Tìm các giá trị của t để A khả nghịch
b) Khi t tìm 3 A1
Bài 17 Tìm hạng của các ma trận sau:
a,
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
, b,
, c,
1 10 17 4
m
Bài 18 Các ma trận sau có khả nghịch không, nếu khả nghịch hãy tìm ma trận nghịch đảo:
a)
1 2 1
C
; b)
1 1 2
2 3 2
1 3 1
D
Bài 19 Giải các hệ phương trình sau:
a)
; b)
Bài 20 Tìm điều kiện của , ,a b c để hệ phương trình sau có nghiệm:
a)
; b)
Bài 21 Tìm hệ nghiệm cơ bản và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình sau:
a)
; b) 2 7 4 0
;
Bài 22 a) Chứng tỏ v 1 (1, 2,3),v 2 (2, 5,3),v 3 (1, 0,10) là một cơ sở của 3
b) Tìm công thức xác định ảnh ( , , )f x y z của ánh xạ tuyến tính f :3 biết rằng 3 ( ) (1, 0, 0), ( ) (0,1, 0), ( ) (0, 0,1)
Bài 23 Cho hệ phương trình
Trang 4
0
Hệ nào trong số các hệ véc tơ sau là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình trên
a) 1 1, 2,1, 0, 0 ; 2 1, 2, 0,1, 0 ; 3 0, 0,1, 1, 0 ; 4 1, 2, 3, 2, 0 ; b) 1 1, 2,1, 0, 0 ; 2 4, 0, 0, 6, 2 ; 3 0, 0, 1,1, 0 ;
Bài 24 Cho phép biến đổi tuyến tính f :3 có ma trận chính tắc là 3
0 2 1
1 4 0
3 0 0
A
Hãy tìm ma trận của f trong cơ sở v v v1, 2, 3; Với v 1 (1,1,1), v 2 (1,1, 0), v 3 (1, 0,0)
Bài 25 a, Viết ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở chính tắc của Tìm một cơ 3
sở của để biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc: 3
( 1 2, , 3) 1 5 2 4 3 2 1 2 4 1 3
Q x x x x x x x x x x
b, Tìm một cơ sở của để phép biến đổi tuyến tính f có ma trận dạng chéo: 3
( , , ) ( , 2 3 2 , 2 )
f x y z x y x y z xy z
Phần 2 – Dự án nhỏ (6đ)
Hãy nêu 2 ứng dụng của môn Đại số tuyến tính mà em biết, chẳng hạn: trong kinh tế học, kỹ thuật, dân số,
Yêu cầu: Trình bày cẩn thận, cụ thể cho ra một Project Không nêu gạch đầu dòng mà phải nêu bài toán xuất hiện chẳng hạn trong dân số (trong kinh tế, ) thế nào? Giải quyết ra sao? Dùng kiến thức gì trong chương trình? Trình bày càng chi tiết càng tốt
Tài liệu gợi ý:
Gilbert Strang, Introduction to Linear algebra, MIT, WELLESLEY-CAMBRIDGE
PRESS, 2005;
Gilbert Strang, Linear algebra and Its applications, Thomson Brooks, 2006;
David Lay, Linear algebra and Its applications, Addison-Wesley, 2012;
Stephen Boyd, L Vandenberghe, Introduction to Applied linear algebra,
CAMBRIDGE University Press, 2018;
HẾT