bài tập nhập môn toán cao cấp

Trong một lớp học có 20 em xin được bồi dưỡng chỉ một môn Toán, 4 em xin được bồi dưỡng chi một môn Văn, 15 em xin bồi dưỡng thêm môn Tiếng Anh, trong số đó có 8 em chỉ xin bồi dưỡng môn

KHOA TOÁN

NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG

BÀI TẬP

NHẬP MÔN

TOÁN CAO CẤP

ĐỒNG THÁP -2011

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Đề 1 Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:

a) A = {x ∈ R|(x − 1)(2x2 + 3x + 1) = 0}

b) B = {x ∈ Z|xx = x}

c) C = {x ∈ N |x là ước của 24}

d) D = {x ∈ N |x2 + 4x − 5 = 0}

Đề 2 Viết lại các tập hợp sau bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng

của các phần tử

a) A = {5, 10, 15, 20, 25}

b) B = {−2, −1, 0, 1, 2}

c) C = {1,1

2,

1

4,

1

8, · · · } d) D = {∅}

Đề 3 Xét quan hệ giữa các tập A và B cho dưới đây:

a) A = {n ∈ N |n2 < 7}; B = {n ∈ N |n3 < 10}

b) A = {các đa giác có chu vi 4m}, B = {các hình vuông có diện tích 1 m2}

Đề 4 Cho A = {−2, −1, 0, 3, 4}, B = {−1, 2, 3, 5}

a) Xác định các tập A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A∆B

b) Tìm tất cả các tập con của A mà nó cũng là tập con của B

Đề 5 Cho A = {−2, −1, 0, 1, 4}, B = {0, 1, 2} Hãy xác định các tập sau

đây:

a) {(x, y) ∈ A × B|x < y}

b) {(x, y) ∈ A × B|x2 ≤ y2}

Đề 6 Liệt kê các phần tử của các tập sau:

a) {(a, b) ∈ N2|a + b = 8}

b) {(a, b) ∈ N2|a = 6 − 2b}

Đề 7 Cho A = {−2; −1; 0; 1; 2}, B = {0; 1; 2} Hãy xác định các tập sau

đây:

VIETMATHS.NET

a) {(x, y) ∈ A × B|x < y}

b) {(x, y) ∈ A × B|x2 ≤ y2}

c) {(x.y) ∈ A × B|ylà ước của x}

d) {(x, y) ∈ A × B|xy = 0}

Đề 8 Kí hiệu φ là tập rỗng Xác định bản số của các tập sau:

a) {1; 0; {φ, {1}}}

b) {φ; {φ, 1}}

Đề 9 Trong số 50 học sinh của lớp có 25 học sinh có năng khiếu Toán, 17

có năng khiếu Văn, 12 không có năng khiếu cả Văn và Toán Tìm số học sinh của lớp có năng khiếu cả Văn và Toán

Đề 10 Trong một lớp học có 20 em xin được bồi dưỡng chỉ một môn Toán,

4 em xin được bồi dưỡng chi một môn Văn, 15 em xin bồi dưỡng thêm môn Tiếng Anh, trong số đó có 8 em chỉ xin bồi dưỡng môn Tiếng Anh; 2 em xin bồi dưỡng thêm cả 3 môn Văn, Toán, Tiếng Anh, 3 em xin bồi dưỡng Văn và Toán, 5 em xin bồi dưỡng thêm Tiếng Anh và Toán Hỏi:

a) Có bao nhiêu học sinh xin được bồi dưỡng thêm Văn và Tiếng Anh?

b) Lớp có bao nhiêu học sinh, biết rằng mỗi học sinh của lớp đều xin đăng kí học thêm ít nhất một môn

Đề 11 Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán

bộ phiên dịch tiếng Anh và 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong

đó có 12 cán bộ phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp Hỏi: a) Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh? chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Đề 12 Cho tập X = {2, 3, 4, 5, 6} Trên X xác định các quan hệ sau:

aS1b ⇔ a = b

aS2b ⇔ a ≤ b

aS3b ⇔ a < b

aS4b ⇔ a b

aS5b ⇔ a \ b

aS6b ⇔ a, b nguyên tố cùng nhau

a) Liệt kê các phần tử của mỗi quan hệ

b) Biểu diễn các quan hệ đó trên mặt phẳng tọa độ

Đề 13 Trên tập Z, xét tính chất của các quan hệ sau đây:

a) aRb nếu a+b lẻ

b) aSb nếu a+b Chẵn

Đề 14 Gọi X là tập các học sinh trong một lớp Trên X xác định các quan

hệ: aS1b nếu a và B cùng năm sinh, aS2b nếu a, b cùng giới tính a) Chứng tỏ S1, S2 là quan hệ tương đương

b) Xác định tập thương X/S1 và X/S2

Đề 15 Gọi X là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và O ∈ X là một điểm

cố định Xét quan hệ ARB nếu O, A, B thẳng hàng

a) Chứng tỏ R không là quan hệ tương đương trên X

b) Chứng tỏ R là quan hệ tương đương trên X∗ = X \ {0}.Xác định tập thương X∗/R

Đề 16 Trên tập N2, xét quan hệ R sau đây:

∀(m1, n1), (m2, n2) ∈ N2, (m1, n1)R(m2, n2) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1

Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên N2 Hãy chỉ ra tập thương

Đề 17 Trên tập Z × N∗, xét quan hệ R sau đây:

∀(m1, n1), (m2, n2) ∈ Z × N∗, (m1, n1)R(m2, n2) ⇔ m1.n2 = m2.n1 Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên Z × N∗ Hãy chỉ

ra tập thương

Đề 18 Trên tập X = R2 xét quan hệ sau (x1, y1)S(x2, y2) nếu |y1| = |y2|

a) Chứng tỏ S là quan hệ tương đương trên X

b) Xác định tập thương X/S và minh họa trên mặt phẳng tọa độ

VIETMATHS.NET

Đề 19 Kí hiệu X là tập các điểm trên mặt phẳng và O ∈ X là một điểm cố

định Trên X xét quan hệ M <N nếu OM = ON

a) Chứng tỏ < là quan hệ tương đương trên X

b) Xác định lớp tương đương chứa điểm A ∈ X

c) Mô tả tập thương X/<

Đề 20 Trên R xét quan hệ :

aSb nếu a3 ≤ b3

aT b nếu a2 ≤ b2 Chứng tỏ S là quan hệ thứ tự toàn phần trên R còn T không là quan

hệ thứ tự trên R

Đề 21 Tìm miền xác định của ánh xạ cho bởi các biểu thức sau:

a) f (x) = (x + 1)r 2 + x

2 − x b) f (x) = ln x

2 − 3x − 2

x − 1 c) f (x) = ln(sinπ

2)

Đề 22 Cho một ví dụ về ánh xạ f : N → N là

a) Đơn ánh nhưng không toàn ánh

b) Vừa toàn ánh vừa đơn ánh nhưng khác ánh xạ đồng nhất

c) Không đơn ánh cũng không toàn ánh

Đề 23 Chứng minh rằng nếu f : A → A là một toàn ánh và f ◦ f = f thì f

là ánh xạ đồng nhất

Đề 24 Cho ánh xạ f : A → B X và Y là các tập con của A, S và T là tập

con của B Chứng minh rằng:

a) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y )

b) f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y )

c) f (A \ X) =⊃ f (A) \ f (X)

Đề 25 Giả sử n là một số tự nhiên cho trước, f là một ánh xạ từ tập N đến

chính nó được xác định bởi:

f (x) =

(

n − k nếu k < n

n + k nếu k ≥ n

f có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không?

Đề 26 Cho ánh xạ

f :R → R

x 7→ x2 − 3x + 2 Hãy xác định:

a) f (0), f (1), f (−1)

b) f−1(0), f−1(1), f−1(−1)

c) Imf, f ((0; +∞)), f ([2, +∞))

d) f−1([0; +∞), f−1((−∞, 0])

Đề 27 Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của các ánh xạ sau Trường

hợp f là song ánh thì tìm ánh xạ ngược của nó

a)

f :R → R

x 7→ x5 − 1 b)

f :R → R

x 7→ x2 − 3x + 3 c)

f :R \ {2} → R

x 7→ 3x − 1

x − 2 d)

f :[1, +∞) → [−5, ∞)

x 7→ x2 − 2x − 4

VIETMATHS.NET

Đề 28 Cho ánh xạ f : X → Y Trên tập X xét quan hệ xSy nếu f (x) = f (y)

a) Chứng minh S là một quan hệ tương đương trên X

b) Mô tả tập thương X/S Chứng tỏ rằng có một đơn ánh từ X/S

Đề 29 Cho ánh xạ f : A → B Chứng minh rằng:

a) f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi tập X và với mọi g, g0 : X →

A, f ◦ g = f ◦ g0 kéo theo g = g0 b) f là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi tập Y và với mọi h, h0 : B →

Y, h ◦ f = h0 ◦ f kéo theo h = h0

Đề 30 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số

a) Các chữ số không cần khác nhau

b) Các chữ số khác nhau

c) Số đầu và số cuối trùng nhau, khác với 3 số giữa

Đề 31 Bảy người (A,B,C,D,E,F,G) lên một đoàn tàu có 10 toa Hỏi có bao

nhiêu cách lên:

a) Một cách tùy ý

b) Mỗi người một toa khác nhau

c) A và B lên cùng một toa, những người khác tùy ý

Đề 32 Trong một cuộc liên hoan của một lớp học, tất cả mọi người đều bắt

tay nhau và người ta đếm được tất cả 1225 cái bắt tay Hãy tìm số người của lớp đó

Đề 33 Có thể vẽ được bao nhiêu tam giác từ n điểm trên mặt phẳng, trong

đó có m điểm cùng nằm trên một đường thẳng d và ngoài ra mọi bộ

ba điểm không cùng nằm trên đường thẳng d thì không thẳng hàng

Đề 34 Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực

lớp

a) Một cách tùy ý

b) Có đúng một nữ

c) Có ít nhất một nữ

d) Có nhiều nhất hai nữ

Đề 35 Trên một đường tròn cho n điểm A1, A2, · · · , An Hỏi lấy các điểm

này làm đỉnh thì:

a) Xác định được bao nhiêu tam giác

b) Xác định được bao nhiêu tứ giác lồi

c) Xác định được bao nhiêu đa giác lồi

Đề 36 Có bao nhiêu cách phân phối 9 đồ vật khác nhau vào 3 hộp khác

nhau sao cho hộp thứ nhất chứa 2 đồ vật, hộp thứ hai chứa 3 đồ vật

và hộp thứ ba chứa 4 đồ vật

Đề 37 Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ta có thể ghi được bao nhiêu số

tự nhiên thỏ mãn một và chỉ một trong các điều kiện sau đây: a) Có 5 chữ số và là số chẵn

b) Có 5 chữ số khác nhau

c) Có 5 chữ số và chia hết cho 5

d) Có 5 chữ số đồng thời mỗi chữ số ở mỗi hàng lớn hơn chữ số ở hàng liền trước nó

VIETMATHS.NET

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Đề 1 Viết phủ định của các mệnh đề sau:

a) a và b đều không âm

b) a hoặc b không âm

c) Phương trình (1) và phương trình (2) đều có nghiệm

d) Phương trình (1) hoặc phương trình (2) đều có nghiệm

Đề 2 Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

a) Nếu người Mỹ lên được vũ trụ thì người Việt Nam lên được vũ trụ

b) Nếu băng Bắc Cực còn thì các châu lục không còn

c) Nếu chạch đẻ ngọn đa, sáo đẻ dưới nước thì ta lấy mình

Đề 3 Viết các mệnh đề sau đây dưới dạng kí hiệu:

a) Nếu nước được độc lập mà dân không được hưởng hạnh phúc thì độc lập cũng không có ý nghĩa gì? (Hồ Chí Minh)

b) Đường đi khó, không khó vì ngăn sông cách núi mà khó vì lòng người ngại núi e sông (Nguyễn Bá Học)

c) Nó gầy đi không phải vì làm việc nhiều, cũng không phải vì bệnh

Đề 4 Kiểm tra 3 lô hàng Kí hiệu pi là mệnh đề lô hàng i đạt yêu cầu

(i = 1, 2, 3) Sử dụng p1, p2, p3 và các phép toán, hãy biểu diễn các mệnh đề:

a) Lô hàng 1 và 2 đạt yêu cầu

b) Không lô hàng nào đạt yêu cầu

c) Có ít nhất một lô hàng đạt yêu cầu

d) Có không quá 2 lô hàng đạt yêu cầu

Đề 5 Chứng minh các đẳng thức sau theo 2 cách lập bảng chân trị và biến

đổi đồng nhất

a) p ⇒ (q ⇒ r) = q ⇒ (p ⇒ r)

b) p ⇒ (q ⇒ r) = p ∧ q ⇒ r

c) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) = p ⇒ q ∧ r

d) ((p ∧ q) ∨ (p ∧ q)) ∧ p = 0

Đề 6 Chứng minh các công thức sau đây hằng đúng, sau đó viết chúng

dưới dạng luật

a) p ∧ (p ∨ q) ⇒ q

b) (p ⇒) ∧ (p ⇒ q) ⇒ q

c) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q) ⇒ p

Đề 7 Tìm miền đúng trên các hàm mệnh đề xác định trên R các số thực

a) 2x + 1 > 3x

b) 5x2 − 4x − 1 ≤ 0

c) 3x2 + 5x + 10 > 0

d) x2 + 3x + 4 ≤ 0

Đề 8 Tìm miền đúng trên các hàm mệnh đề xác định trên N các số tự

nhiên

a) n chia hết cho 2 và 3

b) n là ước của 15

c) n chia hết cho 5

d) n(2n2 − 3n + 1) = 0

Đề 9 Tìm miền đúng hàm mệnh đề hai biến xác định trên R các số thực

Biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ

a) x = y

b) xy ≥ 0

c) x ≤ y

d) |x + y| = 1

Đề 10 Cho hai hàm mệnh đề xác định trên R:

P (x) : x − 3 ≥ 0; Q(x) : x2 − 7x + 10 ≤ 0 Hãy tìm miền đúng của các hàm mệnh đề:

P (x) ∧ Q(x); P (x) ∨ Q(x), P (x) ⇒ Q(x); P (x) ⇔ Q(x)

VIETMATHS.NET

Đề 11 Cho hai hàm mệnh đề xác định trên R:

P (x, y) : x + y = 2; Q(x, y) : 2x + y = 3 Hãy tìm miền đúng của các hàm mệnh đề:

P (x, y) ∧ Q(x, y); P (x, y) ∨ Q(x, y), P (x, y) ⇒ Q(x, y); P (x, y) ⇔ Q(x, y) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ

Đề 12 Dùng lượng từ ∃ hoặc ∀ để biểu diễn các mệnh đề dưới đây, sau đó

thiết lập mệnh đề phủ định của chúng

a) Một số học sinh không hiểu bài

b) Có quả ớt không cay

c) Tất cả chất khí đều không dẫn điện

Đề 13 Bạn hãy chứng tỏ những kết luận sau đây là sai:

1) Có một số tự nhiên mà mọi số chẵn đều nhỏ hơn nó

2) Mọi người đàn ông đều có một người đàn bà là vợ của người ấy 3) Mỗi tháng đều có ba ngày chủ nhật là ngày lẻ

Đề 14 Cho trước các mệnh đề:

1) Trẻ sơ sinh chưa có tư duy logic

2) Chúng ta không dám coi thường những người chinh phục được cá sấu

3) Chúng ta coi thường những những người chưa có tư duy logic

Đề 15 Diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và xác định tính đúng sai của

các mệnh đề:

1) ∀x∈R(|x| > 0)

2) ∃x∈R(|x| ≤ 0)

3) ∃x∈R∀y∈R(x + y) = 1

4) ∀x∈R∃y∈R(x + y) = 1

Đề 16 Rút gọn công thức

1) A = x ∨ y ⇒ (x ⇒ z)

2) B = (x ⇔ y) ∨ x

3) C = x ⇒ y ∨ (x ⇒ y)

4) D = (xy ∨ xy)z ∨ (xy ∨ xy).z

Đề 17 Ba tên Cam, Quýt và Cuội bị tố cáo đã tham gia vào một vụ cướp

nhà băng Bọn chúng lẫn trốn bằng xe riêng Trong cuộc điều tra:

• Tên Cam khai bọn chúng đi trên chiếc TOYOTA màu xanh

• Tên Quýt khai đó là chiếc MERCESDES màu đen

• Riêng tên Cuội thì cam đoan rằng chún bỏ chạy trên chiếc FORD không phải màu xanh

Giả sử rằng, trong các lời khai trên của mỗi tên chỉ đúng: hoặc là màu xe, hoặc là nhãn hiệu Oto Hỏi chiếc Oto đó màu gì? của hãng

xe nào?

Đề 18 Sau khi làm bài kiểm tra, trên đường về nhà

Bạn An nói: Mình được điểm 10

Bạn Bình khẳng định mình được 6

Còn bạn Cúc vẻ không tự tin: mình không đạt điểm 10

Sau khi thầy giáo trả bài: Một trong 3 bạn đạt điểm 6, một bạn đạt điểm 10 So với dự kiến ban đầu thì có hai bạn trả lời đúng, một người sai Hỏi điểm bài kiểm tra của mỗi bạn

Đề 19 Bốn đội bóng A, B, C, D tham gia vào một cuộc thi đấu để xếp

hạng

• Một người dự đoán: B hạng nhì, C hạng ba

• Người thứ hai dự đoán: A hạng nhì, C hạng tư

• Người thứ ba dự đoán: B hạng nhất, D hạng nhì

Kết quả cho thấy mỗi người có một phần đúng và một phần sai Vậy kết quả xếp hạng thế nào

Đề 20 Trong phòng có 100 người quen với ít nhất là 67 người khác Chứng

minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau

Đề 21 Một gia đình có 5 người: bố, mẹ, em gái, một anh trai và một chị

gái Những buổi đi xem hát vào tối thứ 7 bao giờ cũng tuân theo quy luật sau:

a) Nếu bố đi thì mẹ, ít nhất một trong hai chị,em gái cùng đi

VIETMATHS.NET

b) Hai chị em gái không đồng thời cùng đi.

c) Anh trai và em gái hoặc cùng đi hoặc không cùng đi

Hỏi, tuân theo quy tắc trên thì những ai trong gia đình đi xem hát trong mỗi trường hợp sau:

TH1: Mẹ không đi và anh trai đi

TH2: Bố và ít nhất một trong hai chị em cùng đi

Đề 22 Một giải bóng đá có n đội tham dự, các đội thi đấu vòng tròn mọt

lượt Trong mỗi trận, đội thắng được hai điểm Đội hòa được 1 điểm

và đội thua không điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm, đội xếp thứ ba được 5 điểm Các đội còn lại có số điểm khác nhau, hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm các đội còn lại (có giải thích rõ)

Đề 23 Sau một thời gian dài xa cách, hai người bạn cũ gặp lại nhau Một

trong hai người thông báo là anh ta đã có 3 người con trai và tích các tuổi của chúng bằng 36; còn tổng các tuổi của chúng thì bằng

số cửa sổ của ngôi nhà cạnh chỗ họ đang gặp nhau Người bạn đang lúng túng thì anh ta tiếp luôn: Đứa con trai đầu tóc màu hung Sau đó, người thứ hai lập tức đọc ngay được số tuổi đám trẻ con một cách chính xác Hỏi tuổi của mỗi đứa trẻ

Đề 24 Cho định lý: "Nếu đường thẳng c bất kì của mặt phẳng đã cắt đường

thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b thì hai đường thẳng a và b song song với nhau"

1) Viết cấu trúc logic của định lí đã cho

2) Sử dụng hình thức phản đảo, chứng minh định lí đã cho

Đề 25 Có tất cả 105 học sinh làm một đề kiểm tra Đề kiểm tra gồm 1 bài

toán Đại số, 1 bài toán Hình học và 1 bài toán Lượng giác

Biết rằng: 70 em giải được bài toán đại số; 59 em giải được bài toán hình học và 62 em giải được bài toán Lượng giác; 90 em làm được bài toán Đại số hoặc Hình học; 89 em giải được bài toán Hình học hoặc Lượng giác; 91 em học sinh giải được bài toán Đại số hoặc Lượng giác; còn 6 em không làm được bài toán nào

Hỏi có bao nhiêu em học sinh giải được cả ba bài toán của đề kiểm tra.(20 em)

Đề 26 Có 10 người đi họp Mỗi người quen với ít nhất là 5 người khác

Chứng tỏ rằng, nếu cần sắp xếp 4 người vào một bàn tròn gồm 4 chỗ ngồi thì có thể xếp sao cho người nào cũng ngồi giữa hai quen của mình

Đề 27 Hãy nêu những ví dụ suy luận trong toán học hoặc trong cuộc sống

có vận dụng những quy tắc suy luận sau:

a) p ⇒ q), p

p ⇒ q, q p c) p ⇒ q, q ⇒ r

p ∨ q, p q

Đề 28 Chứng minh rằng một số bằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì

chia hết cho 6

Đề 29 Chứng minh trong một tam giác có nhiều nhất một góc tù Hãy nêu

quy tắc suy luận sử dụng trong chứng minh đó

Đề 30 Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗

1) 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)

2 2) 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2 = [n(n + 1)

2 ]

2

3) 1

1.2 +

1 2.3 + · · · +

1 n(n + 1) =

n n(n + 1) 4) (1 + a)n ≥ 1 + na (a > −1)

VIETMATHS.NET