báo cáo bài tập lớn môn toán rời rạc tập hợp, quan hệ

Ta chia ra làm 3trường hợp:- Thêm vào đồ thị đỉnh, 1 cạnh nối của đỉnh đó với đồ thị: ta thu được đồthị mạch hở và liên thông.. Ta xóa bất kỳ 1cạnh trên chu trình đó ví dụ cạnh u, v ta v

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN TOÁN RỜI RẠC

Đề tài 1

Nhóm 26

MỤC LỤC

GIẢI BÀI TẬP – LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 2

Vấn đề 1: 2

Vấn đề 2: 2

Vấn đề 3: 6

Vấn đề 4: 7

Vấn đề 5: 8

Vấn đề 6: 8

Vấn đề 7: 9

Vấn đề 8: 10

DỊCH TÀI LIỆU– TẬP HỢP, QUAN HỆ 12

Chương 1 12

Tập hợp, quan hệ 12

1.1 Định nghĩa 12

1.2 Các phép toán tập hợp 15

1.3 Đại số tập hợp 21

1.4 Biểu diễn tập hợp trên máy tính 23

1.5 Quan hệ 26

GIẢI BÀI TẬP – LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Vấn đề 1:

Đồ thị hình 1 có phải đồ thị Euler? Hãy chỉ ra 1 chu trình Euler hoặcchứng minh tại sao nó không phải

Lấy vo, v1,….,vn là đường đi dài nhất trong G Vì đường đi dài nhất, nóphải đi qua đỉnh lân cận của vn Nếu vn kề với vi với mọi i < n-1, khi đó vi, vi+1,

…., vn, vi là 1 chu trình của G Vì G là đồ thị không chu trình nên không thể cóchu trình nào trong G

Vì vậy, vn chỉ kề với duy nhất vn-1, vì thế vn là 1 lá Chứng minh tương tự

v0 cũng là lá => đpcm

Các vấn đề khác bạn nên chứng minh:

a) Mọi đồ thị liên thông có ít nhất |V| - 1 cạnh

b) Mọi đồ thị không chu trình có nhiều nhất |V| - 1 cạnh

c) Bất kỳ đồ thị liên thông nào có |V| - 1 cạnh là 1 cây

d) Bất kỳ đồ thị không chu trình bào có |V| - 1 cạnh là 1 cây

e) Mọi đồ thị liên thông tối thiểu là 1 cây

f) Mọi đồ thị không chu trình tối đa là 1 cây

g) Một đồ thị là một cây khi và chỉ khi có duy nhất một đường đi từ đỉnh nàysang đỉnh khác

h) Mọi cây có chứa đỉnh bậc N thì có tối thiểu N lá

i) Trong 1 cây bất kỳ, đa số các đỉnh có bậc lớn nhất là 2

Chứng minh:

a, Mọi đồ thị liên thông có ít nhất |V| - 1 cạnh.

Trường hợp cơ sở: |V| = 0 và |V| = 1, |E| >= 0 >= |V| - 1

Với đồ thị lớn hơn: Giả sử ¿E∨¿ ∨V ∨−1, ta chứng minh G không phải đồthị liên thông

|E1| = |E|-1 < |V1| - 1 = |V| - 2

Tiếp tục loại 1 đỉnh và 1 cạnh ra khỏi đồ thị, cuối cùng ta đưa về trườnghợp |V| = 1, khi đó gia thiết ban đầu |E| < |V| - 1 sai

Ta sẽ bổ sung vào trường hợp cơ sở để số cạnh đạt tối đa Ta chia ra làm 3trường hợp:

- Thêm vào đồ thị đỉnh, 1 cạnh nối của đỉnh đó với đồ thị: ta thu được đồthị mạch hở và liên thông Khi đó |E| = |V| - 1

- Thêm vào đồ thị số cạnh ít hơn số đỉnh: đây không phải là cách thêm để

đồ thị đạt số cạnh tối đa => loại

- Thêm vào số đỉnh lớn hơn số cạnh: với đồ thị được xây theo kiểu bổ sung

1 nút, 1 cạnh, khi đó sẽ xuất hiện chu trình trong đồ thị => loại

Như vậy bằng cách bổ sung 1 đỉnh, 1 cạnh nối của đỉnh đó với đồ thị đã có ta

sẽ thu được đồ thị không chu trình có số cạnh lớn nhất |E| = |V| - 1

=> |E| <= |V| - 1 với đồ thị không chu trình bất kỳ Đpcm

c, Bất kỳ đồ thị liên thông nào có |V| - 1 cạnh là 1 cây.

Với |V| = 0, |V| = 1 => Đồ thị G liên thông không có chu trình

d, Bất kỳ đồ thị không chu trình bào có |V| - 1 cạnh là 1 cây.

Như chứng minh ở phần b, đồ thị không chu trình có |V| - 1 cạnh được xâydựng bằng cách thêm liên tục 1 cạnh và 1 nút mới vào 1 đồ thị cơ sở 1 nút chođến khi số đỉnh bằng |V| Bằng cách làm vậy ta sẽ thu được một đồ thị liênthông, không chu trình, có số cạnh bằng |V| - 1 Như vậy đây sẽ là 1 cây

e, Mọi đồ thị liên thông tối thiểu là 1 cây.

Giả sử G là một đồ thị liên thông, có một chu trình Giả sử u, v là đỉnhliền kề trên chu trình, và có chu trình là u, x1, … , xk, v, u Ta xóa bất kỳ 1cạnh trên chu trình đó ví dụ cạnh (u, v) ta vẫn có con đường đi từ u đến v là

u, x1, …, xk, v do đó đồ thị G vẫn còn liên thông, không bị ngắt kết nối, Gkhông phải là đồ thị liên thông tối thiểu => đồ thị liên thông tối thiểu là đồthị liên thông không có chu trình Mà theo định nghĩa cây là một đồ thị liênthông không có chu trình

Vậy một đồ thị liên thông tối thiểu là cây

f, Mọi đồ thị không chu trình tối đa là 1 cây.

Đồ thị không chu trình tối đa là đồ thị không chu trình mà khi thêm 1 cạnhvào đồ thị sẽ tạo ra chu trình

Giả sử G là đồ thị không chu trình tối đa Ta thêm 1 cạnh nối 2 đỉnh bất kì u,

v của đồ thị và đồ thị sẽ có 1 chu trình đi qua u, v => trước đó phải tồn tại đường

đi từ u đến v Từ đó ta thấy luôn có đường đi giữa các đỉnh trong đồ thị G, tức là

G là 1 đồ thị liên thông không có chu trình Và vì thế G là 1 cây

g, Một đồ thị là một cây khi và chỉ khi có duy nhất một đường đi từ đỉnh này sang đỉnh khác.

- Chứng minh một đồ thị là 1 cây thì có duy nhất một đường đi từ đỉnh nàysang đỉnh khác:

Một đồ thị là một cây thì đồ thị đó sẽ liên thông và không có chu trình Đồthị liên thông đảm bảo luôn có 1 đường đi từ đỉnh này sang đỉnh khác Đồ thịkhông chu trình sẽ đảm bảo có nhiều nhất một con đường đi giữa 2 đỉnh bất

kỳ vì nếu có nhiều hơn 1 con đường giữa 2 đỉnh thì sẽ có 1 chu trình đi qua 2điểm đó

Vì vậy đồ thị là 1 cây sẽ có duy nhất một con đường từ đỉnh này đến đỉnhkhác

- Chứng minh đồ thị có duy nhất một đường từ đỉnh này đến đỉnh khác làmột cây

Có 1 con đường từ đỉnh này đến đỉnh khác => luôn tồn tại đường đi giữa 2đỉnh bất kỳ và do đó đồ thị là liên thông

Nếu giữa 2 đỉnh bất kỳ chỉ có 1 con đường, giả sử là 2 đỉnh u, v Khi đi từ u

Xét tại đỉnh v với deg(v) = N => v có N đỉnh lân cận u1, …, uN.

Xét đường đi dài nhất đi qua v và u1 giả sử đó là yn…, v, u1, x1, …, xn Vìđây là đường đi dài nhất nên nó sẽ đi qua tất cả các đỉnh lân cận của xn Nếu xn

có đỉnh lân cận là yn, v, u1, xi 1 ≤i ≤n−2 thì sẽ tồn tại 1 chu trình, điều này làkhông thể với 1 cây => xn chỉ có đỉnh lân cận duy nhất là xn-1 => xn là 1 lá =>nhánh u1 có ít nhất 1 lá

Tương tự ta sẽ có cây con đỉnh v sẽ có ít nhất N lá

=> Mọi cây chứa đỉnh bậc N sẽ có ít nhất N lá

Thật vậy: Ta xét việc thêm 1 nút v vào cây Tk Để đảm bảo T vẫn là 1 câysau khi thêm nút v thì v phải là 1 nút lá ⇒ bậc của v là 1 hay chỉ có 1 cạnh nốinút v vào cây Tk ⇒ ta được cây Tk+1 mới có thêm 1 cạnh và 1 nút so với Tk.Màcây Tk có k nút và k-1 cạnh ⇒ cây Tk+1 có k+1 nút và k cạnh ⇒ P(k+1) đúng

⇒Giả thiết quy nạp đúng

Thử lại: Cho Tk+1 là cây bất kì với k+1 nút Hủy bỏ bất kì một cạnh e củaT.Vì Tk+1 không có chu trình, nên e phải là cầu nối Vì vậy loại e khỏi Tk+1 sẽ tạo

ra 2 cây con T1 và T2 có k1 và k2 nút Theo giả thiết quy nạp thì 2 cây T1 và T2 có

k1-1 và k2-1 cạnh Đưa cạnh e lại một lần nữa ta được cây Tk+1 có (k1 - 1) + (k2 1) + 1 = k cạnh ⟹Giả thiết quy nạp đúng

-Điều kiện đủ: Nếu T là một đơn đồ thị vô hướng liên thông có n nút với

n-1 cạnh thì T là 1 cây

Giả sử T không phải là 1 cây Khi đó nó có chứa ít nhất một chu trình Vì

đò thị T tồn tại chu trình nên tồn tại ít nhất 1 cạnh không phải là cầu nối Loại bỏcạnh này khỏi đồ thị ta được đò thị T’ có n nút và n-2 cạnh

Ta thử xây dựng 1 đơn đồ thị liên thông với n nút và n-2 cạnh xem có thể xảy rakhông Đầu tiên chọn 2 đỉnh bất kì trong n đỉnh gọi là u1 và u2, ta sử dụng mộtcạnh để kết nối chúng, gọi là cạnh e1

Tiếp theo chọn bất kì đỉnh khác đánh số là u3 và sử dụng 1 cạnh để kết nối

nó với 1 trong 2 đỉnh u1 hoặc u2, gán nhãn là e2 Tiếp tục chọn bất kì một đỉnhkhác đánh số là u4, và sử dung 1 cạnh e3 để kết nối nó với 1 trong ba đỉnh cònlại.Tiếp tục bước này cho đến khi chọn 1 đỉnh gắn nhãn nó là un-1 , và sử dụngcạnh en-2 để kết nối nó một trong các đỉnh u1, u2, … , un-2 en-2 đã là phần tử cuốicùng trong tập cạnh, trong khi vẫn chưa kết nối hết số đỉnh Vì vậy không thểtạo một đơn đồ thị vô hướng liên thông từ n đỉnh và n-2 cạnh

2 đỉnh bậc lẻ thì có thể vẽ bằng 1 nét mà ta đã chứng minh bên trên

Vậy đối với một đồ thị liên thông, nếu có 2k đỉnh bậc lẻ, thì đồ thị đó cóthể vẽ trong k nét

Vấn đề 5:

Chứng minh một đồ thị là một cây khi và chỉ khi nó là liên thông tối thiểu,tức là loại bỏ bất kỳ cạnh sẽ ngắt kết nối của đồ thị

Chứng minh:

Chiều thuận: Một đồ thị là một cây thì nó là liên thông tối thiểu.

Theo định nghĩa, cây là một đồ thị mà trong đó hai đỉnh bất kì đều đượcnối với nhau bằng đúng một đường đi Nếu chúng ta loại bỏ cạnh (u, v), thì u và

v sẽ ngắt kết nối do (u, v) là con đường duy nhất Như vậy một cây là đồ thị liênthông tối thiểu

Chiều đảo: Một đồ thị liên thông tối thiểu thì nó là cây.

Giả sử G là một đồ thị liên thông, có một chu trình Giả sử u, v là đỉnhliền kề trên chu trình, và có chu trình là u,x1,x2,…,xk,v,u Ta xóa bất kỳ 1 cạnhtrên chu trình của đồ thị G ví dụ cạnh (u, v) ta vẫn có con đường đi từ u đến v làu,x1,x2,…,xk,v do đó đồ thị G vẫn còn liên thông, không bị ngắt kết nối, G khôngphải là đồ thị liên thông tối thiểu Ngược lại đồ thị liên thông tối thiểu là đồ thịliên thông không có chu trình Mà theo định nghĩa cây là một đồ thị liên thôngkhông có chu trình Vậy một đồ thị liên thông tối thiểu là cây

Kết luận: Một đồ thị là một cây khi và chỉ khi nó là liên thông tối thiểu.

Vấn đề 6:

Ông bà Smith tổ chức buổi tiệc tại nhà cùng với n cặp vợ chồng Mọingười bắt tay nhau và ông Smith quan sát thấy:

- Không có cặp vợ chồng nào bắt tay nhau

- Không có ai tự bắt tay với mình

- Không có ai bắt tay nhiều hơn 1 lần với 1 người khác

- Số cái bắt tay của mỗi người (bao gồm n cặp đôi và bà Smith) là khácnhau

1 Với n=3, n=4 tính số cái bắt tay của ông bà Smith

2 Tính số cái bắt tay của ông bà Smith trong trường hợp tổng quát

Chứng minh:

1 Với n=3 ta sẽ có 3 cặp vợ chồng đến tham dự nên sẽ có 6 người khi đó

do không có ai bắt tay nhiều hơn 1 lần với 1 người khác nên ta sẽ có ông bàsmith mỗi người có 3 lần bắt tay

Với n=4 tương tự ta sẽ được số lần bắt tay của ông bà smith là 4 lần

2 Với trường hợp tổng quát Để thuận tiện, ta kí hiệu Pi là vị khách (hoặc bàSmith) với i cái bắt tay P2n là số cái bắt tay với mỗi người trừ vợ/chồng củamình do đó P0 là vợ hoặc chồng mình Bây giờ chúng ta thấy rằng cặp đôikhông thể ông bà Smith: thấy rằng ông Smith không thể có 0 cái bắt tay, hoặcP2n có thể có nhiều hơn một cái bắt tay Bây giờ không tính ông bà Smith thì sốlượng cái bắt tay của những người khác ít nhất giảm đi 1 Số cái bắt tay của ông

bà Smith và n-1 cặp vợ chồng là 0,1,2 2n-2 Bằng giả thiết quy nạp, ông bàSmith sẽ có n-1 cái bắt tay với n-1 cặp vợ chồng Cộng từng cái bắt tay 1 của họ

đã có với P2n , ông bà Smith đã có n cái bắt tay Do đó với n bất kì >1, ông bàSmith có tất cả n cái bắt tay

Vấn đề 7:

Xác định cặp đồ thị đẳng cấu

Hình 2

Điều kiện cần để 2 đồ thị đẳng cấu

Điều kiện cần để 2 đồ thị đẳng cấu

2 (4, 4, 4, 2, 2) đây không phải là trình tự bậc của đồ thị Mỗi đỉnh bậc 4 cóthể có tối đa 2 cạnh nối từ 2 đỉnh bậc 4 khác Như vậy cần thêm 6 cạnhnữa để có 3 đỉnh bậc 4 trong khi 2 đỉnh bậc 2 chỉ cung cấp tối đa 4 cạnh.Như vậy không thể có đồ thị với số bậc như trên.

3 (4, 3, 2, 2, 1) là trình tự bậc của đồ thị như hình dưới

4 (3, 3, 3, 3, 3, 3) là trình tự bậc của đồ thị như hình dưới

DỊCH TÀI LIỆU– TẬP HỢP, QUAN HỆ

đó Các đối tượng cấu thành tập hợp có thể là bất kì đối tượng nào và được gọi là phần tử của tập hợp Các phần tử trong một tập hợp không cầnphải có bất kỳ điểm chung (trừ các thuộc đặc trưng để chúng là phần tử tập hợp) Như vậy, nếu không có hạn chế về số lượng các phần tử được cho phép trong một tập hợp; có thể có vô hạn, hữu hạn hoặc thậm chí không có phần tử nào trong tập hợp Tuy nhiên, một hạn chế cần chú ý: cho trước một tập hợp và một đối tượng, chúng ta sẽ có thể quyết định (vềnguyên tắc - nó có thể khó khăn trong thực tế) có hay không các đối tượng thuộc một tập hợp Một khái niệm chung như thế có rất nhiều ví dụ quen thuộc và cũng có rất nhiều những ví dụ trừu tượng

Ví dụ 1.

1 Một tập hợp có thể chứa các phần tử: Niuton, Tháp Hà Nội và số π Đây là một tập hợp hữu hạn

2 Tập hợp các số nguyên dương chẵn là tập hợp vô hạn

3 Xem xét “tập hợp” 10 bài hát hay nhất mọi thời đại Điều đó chưa được thừa nhận cho đến khi ta đưa ra được định nghĩa “hay nhất” Tốt nhất đối với bạn, hay với tôi? Nếu không câu nệ chúng ta có thểxác định một bài hát có thuộc tập hợp không

Ký hiệu

Chúng ta thường dùng chữ hoa để đặt tên cho tập hợp và dùng chữ thường

để biểu thị phần tử (Đôi khi điều này không đúng, ví dụ như khi phần tử

là các tập hợp.) Ký tự ∈ để chỉ “một phần tử thuộc”

a ∈ A nghĩa là (phần tử) a thuộc (tập hợp) A

a ∉ A nghĩa là ¬(a ∈ A) hoặc a không thuộc A

Ở trường hợp tập B không liệt kê hết các phần tử Chúng ta liệt kê vừa đủ các phần tử để tạo ra qui luật và dùng dấu “…” để biểu thị vẫn còn nhiều phần tử khác Một ví dụ khác:

Cho một số nguyên dương xác định n, Nn ¿ {1,2,…, n} là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên “…” biểu thị rằng có rất nhiều các phần tử khác nhưng chúng ta không viết Mặc dù trong trường hợp này chỉ có hữu hạn các phần tử như vậy

D={}, là tập hợp rỗng, nó không chứa phần tử nào Tập rỗng được ký

hiệu là ∅

Vị từ đặc trưng Liệt kê các phần tử của tập hợp là không thực tế ngoại trừcác tập hợp nhỏ hoặc tập hợp giống như B, Nn Ta thay thế bằng cách địnhnghĩa các phần tử bằng tính chất hoặc điều kiện Nếu P(x) là điều kiện củabiến đơn x, ta có thể chỉ ra giá trị của tập hợp là a với a thỏa mãn điều kiện P(a) Một tập hợp có thể được định nghĩa như vậy

A={x : P ( x )}

(Điều này có nghĩa: tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn P(x).)

Ví dụ 2

1 Tập hợp B có thể định nghĩa bằng cách B={n :nlà số chẵn, nguyên dương}, hoặc B={n :n=2 m, khi m >0 và m nguyên} hoặc B={2m :m>0

và m nguyên} Chú ý, mặc dù các điều kiện khác nhau nhưng các phần

tử là như nhau

2 Tập hợp Nn cũng có thể định nghĩa Nn ¿ {p : plà số nguyên và 1 ≤ p ≤ n}

5 X ={x : x là một chính trị gia trung thực} không phải là tập hợp cho đến khi định nghĩa chính xác “trung thực”.

Định nghĩa Nếu A là một tập hợp hữu hạn, số phần tử của A, kí hiệu |A|,

là số lượng phần tử chứa trong A Nếu A có vô hạn số phần tử, ta nói số phần tử là vô hạn và viết |A| = ∞ Ký hiệu khác cho số phần tử của tập A

Mặc dù số phần tử dường như là một khái niệm đơn giản, nhưng xác định

số phần tử của một tập hợp có thể khó khăn trong thực tế Trường hợp đặcbiệt khi một vài hoặc toàn bộ phần tử của một tập hợp chính là tập hợp Ví

dụ cho X = {{1, 2}} X chứa duy nhất một phần tử là tập hợp {1, 2}, vì vậy |X| = 1 Đây là ví dụ rõ ràng để thấy sự khác biệt giữa tập hợp {1, 2} (có 2 phần tử) và X, đồ thị chứa 1 phần tử {1, 2} duy nhất Tương tự, tập hợp ∅ và {∅} là khác nhau Tập hợp phía trước không có phần tử trong khicái sau có 1 phần tử - tên là ∅ Vì vậy |{∅}|=1

Ví dụ 4

1 Cho A={1, {1, 2}} Chú ý rằng A có 2 phần tử, số 1 và tập hợp {1, 2} Vì vậy |A|=2

2 Tương tự, ¿ {1, 2, {1, 2}}∨ ¿ 3, |{∅,{ 1, 2 }}|=2, |{∅,{∅},{ 1,2 }}|=3

1.1.3 Nghịch lý Russell

Nghịch lý, được đặt tên theo nhà logic học Bertrand Russell (1872-1970), chỉ ra “tập hợp của các tập hợp” là khái niệm có vấn đề Nếu coi nó là mộttập hợp, nó có thể là một ví dụ cho tập hợp chứa chính nó Như vậy, một vài “tập hợp” có thể chứa chính nó như một phần tử và số khác thì không

Cho S là một “tập hợp” chứa “các tập hợp không chứa chính nó như là phần tử”.

Câu hỏi: Liệu S có là phần tử của chính nó?

 Nếu “có”, thì S không là môt phần tử của chính nó theo đúng định nghĩa

 Nếu “không”, thì S là một phần tử của S (theo định nghĩa)

Một giải pháp là tập hợp của mọi tập hợp không là một tập hợp

1.2 Các phép toán tập hợp

1.2.1 So sánh các tập hợp

Hai tập hợp là bằng nhau nếu chúng chứa các phần tử như nhau, tức là A

= B nếu ∀ x (x ∈ A ⟺ x ∈ B) la mệnh đề đúng và ngược lại Thứ tự các phần

tử được liệt kê là không quan trọng Ta cũng có thể không quan tâm đến

sự lặp đi lặp lại của phần tử trong danh sách Như vậy các tập hợp dưới đây là bằng nhau:

{11,−12, π , 0.5},

{ −12, 11,0.5, π },

{−12, 11,0.5,11,−12 , π }.Chúng ta nên lưu ý rằng ở đây chỉ có một tập rỗng, hoặc, nói một cách khác, tất cả các tập rỗng là bằng nhau Điều này là bởi vì bất kỳ hai tập rỗng nào đều cùng không chứa cái gì

Vì vậy nếu P(x) và Q(x) là 2 mệnh đề mà nó đúng với cùng đối tượng x thì các đồ thị được chúng định nghĩa là bằng nhau

Tập hợp B là tập hơp con thực sự của A nếu B là tập con của A và A chứa

ít nhất một phần tử không thuộc B Kí hiệu B ⊂ A thường được dùng khi B

là con thực sự của A, nhưng thỉnh thoảng nó được dùng với nghĩa một tậpcon tùy ý Như vậy B ⊂ A khi và chỉ khi B ⊆ A và B≠ A Lưu ý ∅ ⊆ A với