Tham khảo TN Toán 2010 số 5

Khảo sát hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của C,biết tiếp tuyến đi qua điểm P3;1... Tiếp tuyến của C tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộ

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I:

Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− (1) ,có đồ thị là (C)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1)

3 M x y la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và ( , )0 0

đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

CÂU II:

1.Giải phương trình: 4 2 2 6

log (x−1) +log (x−1) =25 2.Xác định m để phương trìnhx2 −6x m+ + (x−5)(1−x) =0 có nghiệm

CÂU III:

1.Giải phương trình : 2sin2x=3tgx+1

2.Tính các góc của tam giác ABC , biết cos2A - cos2B + cos2C=3

2

CÂU IV:

1.Tìm tất cả các số tự nhiên x thỏa mãn hệ thức: 10 9 8

9

A +A = A

2.Từ các chữ số :1; 2 ; 5 ; 7 ; 8 , lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn

276 ?

CÂU V:

Xác định m để hệ phương trình

2 2

( 2) ( 2)

 + + =



 + + =

có đúng 2 nghiệm phân biệt

DAP AN Bài I:

1) Khảo sát hàm số: = +

−

1 1

x y

• TXĐ: D = R \ (1)

2

( 1)

y x

−

= < ⇒

− Hàm số giảm trên từng khoảng xác định.

• TCĐ: x = 1 vì limx→1y= ∞

• TCN: y = 1 vì xlim→∞y=1

• BBT:

• Đồ thị:

A

B M

y

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:

y = k( x-3) + 1

(d) tiếp xúc (C)





⇔ 



 2

x+1 = k(x-3) + 1 (1) x-1

-2 = k (2) (x-1)

có nghiệm

Thay (2) vào (1) :

−1 -2(x-3) 12

1 (x-1)

x x

⇔ − = − − + −

⇔ = ⇔ =

2 1 2( 3) ( 1)2

Thay vào (2) ⇒ = −k 2

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là:

y= -2x + 7 3)M x y0( , ) ( )0 0 ∈ C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện

tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

= '( )(0 − 0)+ 0

y f x x x y

0 0 0 2

0 0

2 0

1 )

1

3 1 3

-3 ( ( -1)

x x x

x

x

+ +

− + −

−

Giao điểm với tiệm cận đứng x =1

= ⇒ = − ⇒  − ÷

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1

= ⇒ =1 5x03 2⇒ 5x03 2,1÷

Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)

Ta có :

−

−

−

= =

0

0 0

5 2

25 hằng số 6

IAB IA IB y y x x

x

x x

S

Vậy: SIABkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Bài II:

1) Giải phương trình: 4 − 2+ 4 − 6 =

log ( 1) log ( 1) x x 25

Ta có :

• 4 − 2 = − 24= − 4 = 4 −

log ( 1) x log ( 1) x 2log x 1 16.log x 1

•

2 2

log ( x 1) log ( x 1)  2 log x 1 9.log x 1

Do đó: Phương trình⇔ 4 − + 2 − − =

16.log x 1 9.log x 1 25 0 Đặt = 2 −

2

log 1

t x Điều kiện t ≥ 0

Khi đó phương trình trở thành :









+ − = ⇔

16 9 25 0 25

t = - 16 (loại)

Vậy phương trình ⇔ 2 − =

2

log x 1 1

 − =



⇔  − =



⇔ = ∨ = − ∨ = ∨ =

1 2 1 1 2

log 1 1

x x

x

2) Tìm m x2−6x m+ + (x−5)(1− =x) 0 để có nghiệm

Đặt t= (x−5)(1−x) = − +x2 6x− =5 4 (− −x 3)2 ≤4

Suy ra điều kiện 0≤ ≤t 4

Khi đó phương trình trở thành:

− − + + =2

( t 5) m t 0

⇔ − + = t t2 5 m (*) Xem hàm số y t t = − +2 5 trên [0,4]

Ta có :y' 2 1= −t

= ⇔ = 1

' 0

2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:

Phương trình có nghiệm⇔ Phương trình (*) có nghiệm trong [0,4]

⇔19≤ ≤17

4 m

Bài III:

1) Giải phương trình 2sin2x = 3tgx + 1

Đặt t = tgx ⇒ =

+ 2

2 sin2

1

t x t

Khi đó phương trình trở thành:

= + + 2

2

1

t

⇔ + − + =

⇔ + − + =



⇔ 



3 2 2

2

( 1)(3 2 1) 0 t=-1

(3t - 2t + 1)=0 (vô nghiệm)

t t t

Vậy phương trình ⇔ = − ⇔ = − + π ∈1 π ( ¢)

4

2) Tính các góc của tam giác ABC biết:

cos2 cos2 cos2

2

Ta có: cos2 +cos2 −cos2 = 3

2

2

2

3

2 cos( )cos( ) cos2

2 3

2 cos cos( ) 2 cos 1

2 1

cos cos cos( ) 0

4

2

2

2

2

cos cos( ) sin ( ) 0

1 cos cos( ) 0

2 sin( ) 0

cos

2

30

A C

B B

A C

A C



⇔ 

 − =



 = −  = °



⇔ = ⇔ = = °



Bài IV:

1) Giải A10x + Ax9 = 9 A8x (1)

Điều kiện x≥10 và x∈¥

Ta có: (1) ⇔(x−x10)! (! + x−x!9)!=9(x−x!8)!

⇔ + =

⇔ − + =

=



⇔ = ⇔ = 2

( 10)! ( 9)! ( 8)!

( 10)! ( 10)!( 9) ( 10)!( 9)( 8)

1

9 ( 9)( 8)

16 55 0 11

11 5( )

x

x

x loại

2) Từ các số 1, 2, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276 Gọi số cần tìm có dạng x a a a = 1 2 3

Vì x < 276 nêna1∈ {1,2} Ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: a1= 1

Số các số x = 1 a a2 3 là: 4 =

2 12

A (số)

Trường hợp 2: a1= 2

• a2 = ⇒ ∈ 7 a3 {1,5}

⇒ Có 2 số

• a2∈ {1,5} ⇒ a2 có 2 cách chọn và a3 có 3 cách chọn ⇒Có 2 3 6 × =

Suy ra số các số x = 2 a a2 3 là : 2 + 6 = 8 số

Vậy số các số cần tìm là:12 + 8 = 20 (số)

Bài V:

Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt:







2 2

x + (m-2)x = my (1)

y + (m+2)y = mx (2) Lấy (1) trừ (2) được:







=

( )( 2 2) 0

2 2

y x

• Với y = x, hệ trở thành:









=

2

2

( 2)

2 0

y x

• Với y = − − x 2 m − 2, hệ trở thành:













⇔

2

2 2 ( 2) ( 2 2)

y = - x - 2m - 2 (3) (*)

x + 2(m+1)x + 2m + 2m = 0 (4)

Do đó hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt:







⇔







(*) có đúng 1 nghiệm (0,0) (*) có đúng 1 nghiệm (-2,-2) (*) có đúng 2 nghiệm (0,0) ,(-2,-2) (*) vô nghiệm

Trường hợp 1: (*) có đúng 1 nghiệm (0,0)

⇒ 0 = -2m-2 ( Do (3) )

⇒ m = -1 Thử lại với m= -1 (*) trở thành:

 





=

=

2

0 0 0

y x

Vậy nhận m = -1

Trường hợp 2: (*) có đúng 1 nghiệm (-2,-2)

⇒ -2 = 2 –2m – 2

⇒ m = 1

Thử lại với m=1 (*) trở thành:





2

2

4 4 0

y

Vậy nhận m = 1

Trường hợp 3: (*) có đúng 2 nghiệm (0, 0),(-2, -2)







= −

⇒ m m = 1 1 (do trường hợp 1 và trường hợp 2)

điều này không xảy ra

Trường hợp 4 : (*) vô nghiệm

⇔(4) vô nghiệm

⇔ ∆ = − <

⇔ < − ∨ >

2

' 1 0

1 m 1

Tóm lại: Khi m ≤ − ∨ ≥ 1 m 1 thì hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt