ĐỀ ĐÁP ÁN THI HSG MÔN TOÁN 8 CẤP TRƯỜNG

Tính góc AEC.[r]

PHÒNG GD&ĐT TRIỆU PHONG

TRƯỜNG THCS TRIỆU PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề ra Câu 1: (1 điểm) Chứng minh :

Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương

Câu 2: (2 điểm)

a Xác định các hệ số a và b sao cho đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x – 2 dư 21

b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

A

x



Câu 3: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên x, y biết: 25 y2 8(x 2009)2

Câu 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, góc A bằng 1000 Trên cạnh AB kéo dài về phía B, lấy điểm E sao cho AE = BC Tính góc AEC

Câu 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy

Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông

-Hết -(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ………

Số báo danh: ……

Phòng thi: ………

PHÒNG GD&ĐT TRIỆU PHONG

TRƯỜNG THCS TRIỆU PHƯỚC

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2014 - 2015

Môn: Toán 8

1

Ta có :

an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định

nghĩa, an là số chính phương

0,25 0,25 0,25 0,25

2

a) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6 => - a + b = -4 (1)

Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - 2 dư 21 => 2a + b = 5 (2)

Từ (1) và (2), suy ra a = 3; b= -1

0,25 0,25 0,5

b) Ta có:

2

2

( với y =

1

x) A= (y2 – 2y + 1) +3 = (y – 1)2 + 3 ≥ 3 với mọi giá trị của y

Vậy : GTNN của A bằng 3 khi y – 1 = 0  y = 1 x = 1

0,5

0,25 0,25

3

25 y   8(x 2009)  (1)

Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2

=> y2 = 25 – 8(x - 2009)2 (*)

Vì y2 0 nên 25 – 8(x - 2009)2 0

=> (x-2009)2

25 8



=> (x - 2009)2 = 0 hoặc (x - 2009)2 = 1

Với (x - 2009)2 = 1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại vì y thuộc N)

Với (x - 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 => y = 5 (TMĐK)

Thay y = 5 vào (1) ta được x = 2009

Vậy x= 2009; y = 5

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

4 Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AE, chứa điểm

C, dựng tam giác đều AEF (hình 4)

0,5

Vì ∆ABC cân tại A, A = 1000 nên ABC = 400

Tia AF nằm giữa hai tia AE, AC

Suy ra CAF = 400 suy ra ∆ABC = ∆CAF (c.g.c)

Suy ra AC = FC suy ra ∆AEC = ∆FEC (c.c.c)

Suy ra AEC = FEC = 1/2 AEF = 600 : 2 = 300

0,25

0,5 0,25 0,5

5

Hx là phân giác của góc AHB; Hy phân giác của góc AHC mà

AHB và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc

Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH   = 900

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)

Do

0 0

0 0

90 45

90 45

AHB AHD

AHC AHE

Hay HA là phân giác DHE(2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

0,25

0,5

0,25 0,5 0,5

0,25 0,25 0,5