De dap an thi HSG mon toan

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE đpcm * CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên CM = AM M

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

Đề thi có 03 trang

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2017 - 2018 Môn: Toán

(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

(Gồm 16 câu trắc nghiệm khách quan có 1 hoặc nhiều lựa chọn Hãy chọn các phương án đúng và viết và tờ giấy thi.)

Câu 1 Cho biểu thức Sau khi rút gọn biểu thức thì

A sẽ bằng:

Câu 2 Cho biểu thức (với x> 0; y>0; x#y) Rút gọn biểu thức ta sẽ có G=?

Câu 3: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(6;2) và vuông góc với đường thẳng

y = - x + 1 là:

A y = -3x +20 B y = 3x -16

C y = x D y = x + 1

Câu 4 Cho phương trình .Tổng các nghiệm của phương trình

là?

Câu 5: Điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 là:

Câu 6: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:

ĐỀ MINH HỌA

A 2018; B ; C 1; D 0.

là:

Cõu 8: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ phương trỡnh

cú số nghiệm là:

A.1 nghiệm; B 2 nghiệm; C vụ nghiệm; D vụ số nghiệm

Cõu 9 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, phõn giỏc AD , cú AB = 10cm, AC

= 15cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E Độ dài đoạn thẳng CE là:

Cõu 10 Tam giác ABC có = 2 ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài

AC?

A 9 cm B 20cm

C 36cm D 6cm

Cõu 11 Một tam giỏc cõn cú chiều cao ứng với cạnh đỏy bằng 10 cm, chiều cao ứng

với cạnh bờn bằng 12 cm Tam giỏc cõn đú cú diện tích là

A 60 cm2 B.120 cm2

C 75cm2 D.57cm2

Cõu 12 Cho tam giỏc ABC cú ( ), AH vuụng gúc với cạnh huyền BC(H BC)

cú sinB = 0,6 Kờ́t quả nào sau đõy là sai

A cosC = B cosC = sin

C cosC = 0,6 D cosC =

Cõu 13: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cú và AB = 2018cm Khi đú độ dài đoạn thẳng BC là:

Cõu 14: Tứ giỏc ABCD cú Nhận xột nào sau đõy đỳng:

A Đường trũn ngoại tiờ́p tam giỏc ABD khụng đi qua điểm C

B Đường trũn ngoại tiờ́p tam giỏc ABC đi qua điểm D

C Bốn điểm A; B; C; D cựng thuộc một đường trũn cú tõm là trung điểm

của BD

D Bốn điểm A; B; C; D cựng thuộc một đường trũn cú tõm là trung điểm

của AC

Cõu 15: Cho nửa đường trũn tõm O, đường kính AB = 10cm Gọi M là một điểm bất

kỳ thuộc nửa đường trũn, qua M kẻ tiờ́p tuyờ́n xy Gọi D và C lần lượt là hỡnh chiờ́u của A, B trờn xy Diện tích lớn nhất của tứ giỏc ABCD là:

A 50cm2; B 100cm2; C 25cm2; D Kờ́t quả khỏc

Cõu 16: Cú 108 người đăng kí tham gia học tiờ́ng Anh, Phỏp, Nhật, biờ́t số người học

tiờ́ng Nhật bằng số người học tiờ́ng Phỏp; số người học tiờ́ng Phỏp bằng số người học tiờ́ng Anh Số người học tiờ́ng Anh là:

A 54 B 72 C 36 D Đỏp ỏn khỏc

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Cõu1: (5,0 điểm)

trị của x để biểu thức S nhận giá trị là một số nguyên

b) Tính giá trị của biểu thức

Cõu2: (6,0 điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a N là điểm tựy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuụng gúc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểm của EF

a) Chứng minh: CM vuụng gúc với EF

b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng

c) Tỡm vị trí của N trờn AB sao cho diện tích của tứ giỏc AEFC gấp 3 lần diện tích của hỡnh vuụng ABCD

Cõu3: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 - 2018

MễN: TOÁN

I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 8,0 điểm ( Mụ̃i cõu đỳng được 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN: 12,0 điểm

Cõu1: (5,0 điểm)

trị của x để biểu thức S nhận giá trị là một số nguyên

b) Tính giá trị của biểu thức

Cõu í Nội dung Điểm

Cõu 1

5,0đ

a

2,5đ

ĐKXĐ:

Rút gọn ta đợc:

S có giá trị nguyên thì phơng trình ( ẩn a tham số S ) có nghiệm

0,25

0,5

0,25

0,25

có nghiệm

Tacó:

-Với thì

-Với thì

Vì x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ nên với

thì nhận giá trị là một số nguyên

0,5

0,5

0,25

b

2,5đ

Ta có:

Do đó:

1,5

1

Câu2: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểm của EF

a.Chứng minh: CM vuông góc với EF

b.Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng

c.Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD

Câu2

6,0 đ

a

2đ

Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

CE = CF ECF cân tại C

Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF

1.0

1,0

M

F E

C

B A

D

N

2 đ

* Vì EDC = FBC ED = FB

NCF vuông tại C Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta có:

BC2 = NB.BF

a2 = NB.DE (đpcm)

* CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên

CM = AM M thuộc đường trung trực của AC

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực

của AC

B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của

AC (đpcm)

0,5

0.5

0.5

0.5

c

2đ

Đặt DE = x (x > 0)  BF = x

SACFE = SACF + SAEF =

SACFE = 3.SABCD

0.5

0.25

0.5

Câu3: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Do x > 0; a > 0  3a + x > 0 x = 2a

A là trung điểm của DE AE = a

Vì AE //BC nên

N là trung điểm của AB

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0,5

0.25

Câu3

Tương tự:

(1)

* Ta có:

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:

0,5

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

(Đề minh họa)

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TỈNH

Năm học 2017 - 2018 Môn: Toán (Phần trắc nghiệm khách quan)

Thời gian 45 phút không kể thời gian giao đề

Điểm bài thi Họ tên, chữ ký giám khảo Số phách

Bằng chữ: Giám khảo số 2:

Hãy khoanh tròn vào chữ cái trước các câu trả lời đúng

Tương tự:

Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b

tức là a = b = c (vô lý)

(2)

Từ (1) (2) ta có đpcm

0,5

A B C D

Câu 3 Đường thẳng đi qua điểm A(4; 3) cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên

dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố là:

A 3x +y -15 =0 B 3x – y +5 = 0 C x - y +15 = 0 D x +y -7 =0

Câu 4 Đường thẳng đi qua A(7; 2) và cách đều hai điểm B(2; 8) và C(8; 4) về hai phía là:

A 2x +y –7 =0 B 2x +y -16 =0 C 2x +3y -21 =0 D 4x – 8y +7 =0 Câu 5 Cho đường thẳng (d): y = 2x +4 Đường thẳng (d’) đối xứng với d qua đường thẳng y

=x có phương trình là:

A y =4x +2 B x -2y -4 =0 C x -2y +4 =0 D x – y =0

Câu 6 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H Biết AH = 14cm; BH = HC

= 30cm Độ dài AD bằng:

Câu 7 Cho hệ phương trình: (tham số ) Với điều kiện của để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì giá trị nhỏ nhất của x + y là:

Câu 8 Cho Parabol (P) và đường thẳng (d): y = 2x + 3 Gọi A, B là giao điểm của (d)

và (P) Tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất là:

A (0; 0)

Câu 9 Cho Parabol (P) Tập hợp các điểm M sao cho các tiếp tuyến kẻ từ M với (P) vuông góc với nhau là đường thẳng:

A y = B y = C y = -1 D y = -2

Câu 10 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 60cm Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho BD =

20cm Lấy H là trung điểm của AD Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AB tại M

Độ dài đoạn MD là:

Câu 11 Giá trị của m để phương trình: (tham số m) có ít nhất một nghiệm không âm là:

A m > 2 B m 2 C m 2 D m < 2

Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm Các đường trung tuyến BD và

CE vuông góc với nhau Độ dài cạnh BC bằng;

Câu 13 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn, lấy M là một điểm bất kì trên d Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BM, cắt d tại N Độ dài nhỏ nhất của MN là:

A cm B 12cm C cm D 10cm

Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, đường phân giác AD Điểm O chia

trong đoạn AD theo tỉ số 2:1 Gọi K là giao điểm của BO và AC Tỉ số của AK:KC bằng:

A

Câu 15 Cho tam giác ABC, biết AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân giác AD = 12cm.

Diện tích tam giác ABC là:

A 233,5cm2 B 232,5cm2 C 235,2cm2 D 234,4cm2

Câu 16 Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh là 6cm Người ta muốn cắt một hình thang như

hình vẽ Tổng của x + y để diện tích hình thang EFGH bé nhất là:

A 7cm B 5cm

Hết

-PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

(Đề minh họa)

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TỈNH

Năm học 2017 - 2018 Môn: Toán (Phần tự luận)

Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy2 + 2xy + x = 32y;

b) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:

x

y

3cm

2cm

A

B

H

E

F

G

a2 – b = b2 – c = c2 – a

Chứng minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = –1

Câu 2 (4,0 điểm).

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (4,5 điểm).

Cho đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B Vẽ đường kính AC

và AD của đường tròn (O) và (O ) Tia CA cắt (O )tại F; tia DA cắt (O) tại E Qua A

kẻ cát tuyến cắt (O) và (O ) lần lượt tại M và N

a) Chứng minh tỉ số không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A;

b) Gọi K là giao điểm của ME và NF; I là trung điểm của MN Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định khi MN quay quanh A;

c) Khi MN song song với EF, chứng minh: MN = BE + BF

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: Toán 9

I PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 8 điểm) Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm

14 A

II PHẦN TỰ LUẬN: ( 12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy2 + 2xy + x = 32y;

b) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:

a2 – b = b2 – c = c2 – a

Chứng minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1

a) pt: x(y + 1)2 = 32y

Vì (y, y+1) = 1 nên 32 (y + 1)2 (y + 1)2 {1; 4; 16}

Vì y nguyên dương nên y {1; 3}

Vậy (x; y) {(8;4), (6;3)}

1.5

b) Ta có:

a 2 – b = b 2 – c

b 2 – c = c 2 – a

a 2 – b = c 2 – a

(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1

1.5

Câu 2 (4,0 điểm).

b) Giải hệ phương trình:

a) Điều kiện :

PT

Pt : 3ab = a2 – 10b2 (a + 2b)(a – 5b) = 0

a = 5b ( vì a + 2b > 0)

Giải pt được nghiệm

2,0

b) Hệ tương đương

Thay (1) vào (2) được

Với x = 0 suy ra y = 0

Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra (Vô lí)

Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2

Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)

2.0

Câu 3 (4,5 điểm).

Cho đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B Vẽ đường kính AC

và AD của đường tròn (O) và (O ) Tia CA cắt (O )tại F; tia DA cắt (O) tại E Qua A

kẻ cát tuyến cắt (O) và (O ) lần lượt tại M và N

a) Chứng minh tỉ số không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A;

b) Gọi K là giao điểm của ME và NF; I là trung điểm của MN Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định khi MN quay quanh A;

c) Khi MN song song với EF, chứng minh MN = BE + BF

Vẽ hình:

a)

(không đổi)

0,50

0,50 0,50

là đường cao của

Tứ giác MCDN là hình thang vuông Gọi P là trung điểm của CD P cố

định

IP là đường trung bình của hình thang MCDN

Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng IP và IK trùng nhau thẳng hàng

đi qua P cố định

0,50

0,50

0,50

Tứ giác EFDC nội tiếp

Chứng minh tương tự ta được BE = AM

Mà

0,50

0,50

0,50

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có:

Ta lại có:

*)

(*)

*)

Từ (*) và (**) ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33.

Dấu “=” xảy ra khi

0.5

0.5

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.