Đề thi HSG cấp tỉnh 10-11 môn Toán

[r]

Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Long An Môn thi : Toán

(Đề chính thức) Ngày thi : 07/4/2011

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Đáp Án Bài 1 (4 điểm)

1/ (2 điểm)

A =



Nhân tử và mẫu mỗi phân thức cho 2 ta có:

A=



A=

2

A=



  ……….…0,25 đ

A =

2

A =

15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5

2

25 5

A =

20

2

20

A = 2 ……… … 0,25 đ

2/ Cho biểu thức:

B = x 2 4 x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng(2 điểm)

Với điều kiện xác định: 2 x 4 Ta có B0 ……….….…0,25 đ

B2 = 2 +2 (x 2)(4 x)……….… 0,25 đ

Ta có:( x 2 4 x)20

 x-2+4-x2 (x 2)(4 x)………0,25 đ

Do đó: B2 =2 +2 (x 2)(4 x) 2+2 ………0,25 đ  B2 4……… 0,25 đ

 B2………0,25 đ

Vậy B lớn nhất là bằng 2……….0,25 đ

khi x-2 =4-x  x=3……….………… 0,25 đ

Nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

DEF……… … 0,25 đ

Bài 2 (5 điểm)

1/ (2 điểm)

(P) y=ax2 qua M(-1;2) a= 2  (P): y=2x2 ……… 0,5

đ

A,B thuộc (P) A(1;2) ,B(2;8)……… 0,5

đ

Đường thẳng y=ax+b qua A và B ta có : a+b = 2 và 2a+b =8……….0,5

đ

Giải ra ta có a = 6 ,b =-4 Vậy đường thẳng AB có dạng : y

=6x-4……….0,25 đ

Đường thẳng y = mx+5 song song đường thẳng AB  m

=6……… 0,25 đ

2/ Tìm x :

x   x  x  x x  x

(3 điểm)

 2

x   x  x  x x  x

……… …….0,5 đ

 4x2 1 2 4x24x 1 (x21)(2x1)……… … 0,25

đ



2 (2x1)(2x1) 2 2 x1 (x 1)(2x1)

……….…….0,25 đ

Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm……….…….0,25

đ

 (2x1)(2x1) 2(2 x1) ( x21)(2x1)……….……0,25

đ

 (2x1)(2x1) ( x21)(2x1)

……….0,25 đ

 (2x1)2 (x21)(2x1)……….0,25

đ

 2x 1 (x21)(2x1)………

….0,25 đ

 (2x1)(x2 1 1) 0 ……… ……

0,25 đ

b / Chứng minh :: S =

4

AB AC BC

R (1,5 điểm)

Tam giác vuông ABD đồng dạng tam giác vuông AKC vì ABCˆ AKCˆ (cùng chắn cung AC)

AB AD

AK AC

……… ……0,5 đ

 AB.AC = AK.AD =2R.AD……… 0,25 đ

 AD =

2

AB AC

Mà S =

2

BC AD

………0,25 đ =

4

AB AC BC

c/ Chứng minh DFEM là nội tiếp (2 điểm)

Tam giác BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên tam giác BME cân tại M

 MEB MBEˆ  ˆ ……… … 0,25 đ

Ta có : BEFˆ FAHˆ (cùng chắn cung FH)(2)……… 0,25 đ

Từ (1) và (2) ta có MEFˆ EAFˆ ………0,25 đ

EAF BHF(cùng bù FHEˆ )………0,25 đ

Mà BHFˆ FDBˆ (cùng chắn cung BF)………0,25 đ

Nên MEFˆ FDBˆ

Vậy tứ giác DFEM là nội tiếp……… 0,25 đ

A

E F

D

H O

M

K

Các cách làm khác cho điểm tương đương

Bài 4 (3 điểm)

Ta có :SABC = SMBC + SMAB + SMAC 0,25

đ

 SABC =

1

2 (ax+by +cz )………

0,25 đ

2SABC.P =(ax+by+cz)(

a b c

x yz )

A bcyzM xC B a