SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN
Ngày thi: 28/03/2013
( Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang )
Câu 1
(4 điểm)
a (2đ)
4 500
(2 ) 1(mod 5)
0,5 2000
2 1(mod 5)
2000
2 1 0 (mod 5)
Vậy: 2000
2 1
b (2đ)
Xét phương trình : 2x2– 2xy = 5x + y - 3
2x2– 5x +3 = 2xy + y
2x2– 5x +3 = y ( 2x + 1)
0,25
Suy ra:
2
2 5 3
2 1
y
x
3 2x 1
x
( vì xZ nên 2x+10) 0,25
Ta có : x Zx-3Z; y là số nguyên nên 6 (2 x1)
(2x + 1)Ư(6)= {-6 ; -3 ;-2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 }
0,25 0,25
Mà 2x + 1 là số nguyên lẻ2x 1 3; 1;1;3 x 2; 1;0;1 0,25
Với x = 1 y = 0
x = 0 y = 3
x = -1y = -10
x = -2 y = -7
0,25
0,25 Vậy: Phương trình có các nghiệm nguyên là
(x;y)(1;0), (0;3), ( 1; 10), ( 2; 7) 0,25
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 2
(6 điểm)
a (2,5đ)
a) Điều kiện xác định: x 0;x 1
:
1
P
x
:
:
0,25
0,25
0,5
0,25
:
.
1
x
0,25
0,25
0,25
11 6 2 (3 2 )
x (thỏa mãn ĐKXĐ) Giá trị của biểu thức P là:
2 2
11 6 2 (3 2 ) 1 9 5 2
3 2 (3 2 )
(9 5 2 )(3 2 ) 17 6 2
Vậy P = 17 6 2
7
0,25
0,25
0,25
b (1,5đ)
Xét phương trình: (n+2)x2+2x-n(n+1)(n+3)=0 (1)
- Nếu n+2=0n=-2, phương trình (1) có dạng:
2x-2=0 x=1 là số hữu tỉ (*) 0,5
- Nếu n+20n-2, ta có: = 1+n(n+1)(n+2)(n+3)
= 1+(n2+3n)(n2+3n+2)
= (n2+3n)2+2(n2+3n)+1
= (n2+3n+1)2 0 với mọi n
0,5
Với nZ = (n2+3n+1)2là số chính phương, nên phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ (**)
0,25
Từ (*) và (**), phương trình (1) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi nZ.
0,25
Trang 3Câu 3
(4 đ)
c
(2đ)
Hệ phương trình đã cho trở thành:
4 5 1 12 15 3 5 3 2
0,5
0,5
Khi đó:
3 2
1 1
y y
Hệ phươ ng trình có hai nghiệm là :(-1;1); (-1;-1)
0,5
0,25
a
(2đ)
Với a b, 0, ta có
2
1 0 2
a
1 0 4
4
a
2
1 0 2
b
1 0 4
4
b
Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được: ( ) ( ) 1 0
2
ab a b
1
0 2
(3)
0,25
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương a và b, ta có:
a b ab (4), dấu “=” xảy ra a b 0,25
Nhân vế với vế của (3) và (4) ta được :
2 2
a b a b ab a b
2
2
a b
0,25
0,25
Vậy: 2
2
a b
4
a b
b
a, - Vì (d ) đi qua M(0; 2), nên ta có a.0 + b.2 = -2 b = -1, phương trình của đư ờng thẳng (d) là ax - y = -2 y = ax + 2.
0,25
- Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là
Trang 4Ta có '= 4a2+ 8 = 4(a2 +2) > 0 với a 0,25
Vì ' 0 nên pt(*) có hai nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng (d) luôn cắt Parbol (P) tại hai điểm phân biệt A và B
0,25
b, Vì đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B, nên ta có xA= 2a - 2 2
2
a yA= a.xA+ 2.
xB= 2a + 2 2
2
a yB = a.xB+ 2.
0,25
Ta có AB2 = (xB- xA)2+ (yB - yA)2= 2
2
4 a 2 +[a(xB-xA)]2
= 16(a2+2) + a2[16(a2+ 2)]= 164+ 48a2+ 32 32 Dấu “=” xảy ra a = 0.
0,5
Vậy Min AB2= 32 Min AB = 4 2 khi và chỉ khi a = 0 0,25
Câu 4
(5 điểm)
1
1 1
O F
E H
K
I
N M
C B
A
a (2đ)
Xét đường tròn (O), ta có: 0
90
BAC ( góc nt chắn nửa đt)
0
1 90
Ta có: AIN cân tại I
2 1
2 1
Suy ra:
1 1
B N , mà
1 1
A B ( do AOBcân tại O)
1 1
0,25
Xét MAN vuông tại A 0
1 1 90
Từ (1) và (2), ta có: 0
1 1 90
A M Gọi F MNOA suy ra:
AFM 90 hay OAMN tại F
0,5
b)- Dễ chứng minh
1
Trang 5b (2đ)
- EI là đường trung bình của KHA nên EI // KA Lại có OAMN (cmt) nên EI MN
IM=IN EI là đường trung trực của MN (1)
0,75
Ta có: EO là đường trung bình của KHAOE/ /AH mà
( )
AH BC gt , nên OEBC Khi đó OE là trung trực của BC (2) 0,5
Từ (1) và (2), suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC 0,25
c (1đ)
Xét OEB vuông tại O, ta có: 2 2 2
BE OE OB ( định lý Pi Ta Go) 0,25
Vì OB không đổi, nên BE lớn nhất OE lớn nhất , mà 1
2
OE AH
(tính chất đường trung bình trong tam giác)
0,25
Khi đó OABC và A là điểm chính giữa của cung BC 0,25
Câu 5
(1 điểm)
O P
N'
M '
N
M
I
D
B
C
A
- Kéo dài MP cắt CB tại M’ Ta có: BCD BAD ( 2 góc nt chắn cung BD)
PAM APM AMPcân vì MP = MA = MD)
Do đó : BCDAPM, lại có : MPD M PC' ( 2 góc đối đỉnh)
APM MPD V C M PC hay MPCBtại M’
Mặt khác: ONCB(đường kính qua trung điểm của dây cung)
Suy ra : MP // ON (1)
0,25
0,25
- Kéo dài NP cắt AD tại N’ Ta có: CBA ADC (2 góc nt chắn cung AC)
(
CBANPB BNPcân vì NP = NB = NC)
Do đó : NPBADC, lại có: NPB N PA' ( 2 góc đối đỉnh)
PADADC V PADN PA hay NPADtại N’
Mặt khác: OM AD(đường kính qua trung điểm của dây cung)
Suy ra: NP // OM (2)
0,25
Từ (1) và (2), ta có tứ giác PMON là hình bình hành