Xe thứ nhât : đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là 40 km/h.. Tia AH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là F. Kéo dài tia AE và tia BF cắt nhau[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS LÝ TRUNG VĂN ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu 1
a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau:
( 22 7 2) 30 7 11
b) Rút gọn biểu thức sau:
4
B
x
−
Câu 2
Giải hệ phương trình: 17 2 2011
2 3
Câu 3 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu người thứ nhất làm trong
5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc Hỏi mỗi người làm một mình
công việc đó thì mấy giờ xong
Câu 4 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x2 + 3 x − 26 = 0
a) Hãy tính giá trị của biểu thức: C = x x1( 2 + + 1 ) x x2( 1+ 1 )
b) Lập phương trình bậc hai nhận y1 =
1
1 1
x + và y2 = 2
1 1
x + là nghiệm
Câu 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh: tanB.tanC = AD
HD
b) Chứng minh:
2
4
BC
DH DA
c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
Chứng minh rằng:
bc
a A
2 2 sin
Câu 6 Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng: 2a3+2b3+2c3 3+a2b+b2c+c2a
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Trang 2( ) ( )2
( 11 7 7 )( 11 )
= ( )2
2
Điều kiện xác định của B: 0
4
x x
:
2
A
x
=
−
:
2
x
=
−
( 4 )( 8 ) 2
4
=
2 2
x
x
−
=
+
Câu 2:
Nếu xy 0 thì
2011
(1)
3
1007 9
x
y
(phù hợp)
Nếu xy0 thì
2011
9
3
18
xy
+ = − =−
(loại)
Nếu xy =0 thì (1) = = (nhận) x y 0
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0; 0) và 9 ; 9
490 1007
Trang 3Nếu xy 0 thì
2011
(1)
3
1007 9
x
y
(phù hợp)
Câu 3
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của thứ nhất là x(h, x > 7, 2 )
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y > 7, 2 )
Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1
x (cv); người thứ hai làm được
1
y (cv) & cả hai làm được
5
36(cv)
=> ta có hệ phương trình:
1 1 5
36
5 6 3
4
x y
x y
+ =
+ =
Giải hệ được x = ; y =
Vậy
Câu 4
a) Do x x1, 2là hai nghiệm của phương trình đã cho nên theo định lí Viet ta có: 1 2 3 1 2
2
x + x = − x x = −
Ta có C = x x1 2+ + x1 x x1 2 + x2
2
3 26
2
2
= −
b)
1 2
1 2
1 27 2
27
y y
−
+ =
→ y1 và y2 là nghiệm của pt: y2 + 1
27 y -
2
27 = 0
Câu 5
Trang 4Ta có tanB = AD
BD ; tanC =
AD
DC tanB.tanC =
2
AD
Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có DAC=DBH vì cùng phụ với góc C nên ta có :
AD BD ADC BDH
DC DH
Từ (1) và (2) tanB.tanC = AD
HD
Theo câu a ta có:
Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax
Ta có sin sin
2
A BM MAB
AB
= = suy ra sin
2
A
BM =c
Tương tự sin
2
A
CN =b do đó ( ).sin
2
A
BM +CN = +b c
Mặt khác ta luôn có: BM+CNBF+FC=BC=a
Nên ( ).sin
2
A
b c+ a sin
+
Câu 6
Do a <1 <1 và b <1
Nên
Hay
Mặt khác 0 <a,b <1 ;
a
1−a 1−b +0 1 a b−a − b 0
b a b
a + + 2 2
1
a
a b b3
Trang 5
Tương tự ta có
Vậy
ĐỀ 2
Bài 1
a) giải phương trình: x2− 3 x + = 2 0
b) giải hệ phương trình: 3 3
4 3 18
+ =
− = −
c) Rút gọn biểu thức: 2 28
2 2
3 7
d) giải phương trình: ( 2 )2 ( )2
Bài 2
Cho Parabol (P): y= −2x2 và đường thẳng (d): y= − (với m là tham số) x m
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1, 2
x x thỏa mãn điều kiện x1+x2 = x x1 2
Bài 3
Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một ngọn núi (chân núi có dạng đường tròn tâm O, bán kính 3 km) và một trạm cứu hộ ở vị trí A (tham khảo hình vẽ) Do chưa biết đường đi nào để đến vị trí tai nạn
nhanh hơn nên đội cứu hộ quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:
Xe thứ nhât : đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là 40 km/h
Xe thứ hai: đi theo đường thẳng từ A đến C với vận tốc trung bình 60 km/h, rồi đi từ C đến B theo
đường cung nhỏ CB ở chân núi với vận tốc trung bình 30 km/h ( 3 điểm A, O, C thẳng hàng và C ở chân núi) Biết đoạn đường AC dài 27 km và ABO =900
a) Tính độ dài quãng đường xe thứ nhất đi từ A đến B
b) Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng một lúc tại A thì xe nào thì xe nào đến vị trí tai nạn trước ?
b a a
b+ +
a3 +b3 1 +a2b
a c c
a
c b c
b
2 3
3
2 3
3
1
1 +
+
+
+
a c c b b a c
b
a3 2 3 2 3 3 2 2 2
Trang 6
Bài 4
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và E là điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó (E khác A, B)
Lêy1 điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, B) Tia AH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là F Kéo dài tia
AE và tia BF cắt nhau tại I Đường thẳng IH cắt nửa đường tròn tại P và cắt AB tại K
a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn
b) chứng minh AIH = ABE
c) Chứng minh: cosABP PK BK
+
= +
d) Gọi S là giao điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) Khi tứ giác AHIS nội tiếp
được đường tròn , chứng minh EF vuông góc với EK
ĐÁP ÁN Bài 1
a) giải phương trình: x2− 3 x + = 2 0
có a+ + = − + =b c 1 3 2 0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt x1=1 ,x2 =2
b) giải hệ phương trình: 3 3
4 3 18
+ =
− = −
− = − + = − + = =
Vậy hệ pt có 1 nghiệm duy nhất : 3
2
x y
= −
=
c) Rút gọn biểu thức: 2 28
2 2
3 7
+
( 2 3)( 7 )
3 7 7 2 1
A
A
−
= − + − =
d) giải phương trình: ( )2 ( )2
2
Chân núi
O
B A
C
Trang 7( ) ( )
2
2
Đặt 2
2
t = x − x , khi đó ta có 2 3
12 0
4
t
t
=
+ − = = −
3
x
x
= −
− = − − = =
* Với t = − 4 x2− 2 x = − 4 x2− 2 x + = 4 0 (pt vô nghiệm)
Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x = − 1, x = 3
Bài 2
a) vẽ Parabol (P): y= −2x2
Bảng giá trị:
2 2
y= − x − 8 − 2 0 − 2 − 8
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1, 2
x x thỏa mãn điều kiện x1+x2 = x x1 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
2
2
1 8m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 1
8
- Vì x x1, 2là hai nghiệm của pt hoành độ giao điểm, nên ta có:
1
;
m
1
1 2 -1
-2
-2
-8 O
Trang 8Khi đó : x1+x2 =x x1 2 1 1
2 2
m m
− −
= = (Thỏa ĐK)
Bài 3
a) OA = AC + R = 27 + 3 = 30 km
Xét ABO vuông tại B, có: AB= OA2−OB2 = 302−32 =9 11km
b) t/gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: 9 11
0.75
40 (giờ)
t/gian xe thứ hai đi từ A đến C là: 27
0.45
60 = (giờ) Xét ABO vuông tại B, có:
0
9 11
3
AB
OB
Độ dài đoạn đường từ C đến B là 3 .84,3 4, 41
180
CB
T/gian đi từ C đến B là : 4, 41 0,15
30 giờ
Suy ra thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là : 0,45 + 0,15 = 0,6 giờ
Vậy xe thứ hai đến điểm tai nạn trước xe thứ nhất
Bài 4
a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn
Ta có: AEB =900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0
90
HEI
= (kề bù với AEB)
T tự, ta có: HFI =900
Suy ra: HEI + HFI = 900+900= 1800
tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn (tổng hai góc đối nhau bằng 1800 )
O
E
F
H
K I
P
Trang 9b) chứng minh AIH = ABE
Ta có: AIH = AFE (cùng chắn cung EH)
Mà: ABE= AFE (cùng chắn cung AE)
Suy ra: AIH = ABE
c) Chứng minh: cosABP PK BK
+
= +
ta có: AF ⊥ BI BE , ⊥ AI nên suy ra H là trực tâm của IAB
IH AB PK AB
Tam giác ABP vuông tại P có PK là đường cao nên ta có:
BP.PA = AB.PK và BP2 = AB BK
Suy ra: BP.PA + BP2 = AB BK + AB.PK
BP PA BP AB PK BK
cos
ABP
Đề 3
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
a) A = 45−2 20
b) 3 5 27 ( )2
3 12
Câu 2
a) Giải hệ phương trình 2 4
5
− =
+ =
b) Cho hàm số y=3x2 có đồ thị ( )P và đường thẳng ( )d : y=2x+1 Tìm tọa độ gia0 điểm của ( )P và
( )d bằng phép tính
Câu 3: Cho phương trình: 2 ( )
x − mx− m− (m là tham số)
a) Giải phương trình ( )1 khi m = − 2
b) Chứng minh phương trình ( )1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ( )1 Tìm m để:
2
2x − m− x +x − m+ 2 =
Trang 10Câu 4: Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ; H là giao điểm hai dây AQ và BI
a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp
b) Chứng minh: CI AI =HI BI
c) Biết AB=2R Tính giá trị biểu thức: M =AI AC +BQ BC theo R
ĐÁP ÁN Câu 1
a) A = 45−2 20= 3 52 −2 2 52 =3 5−2.2 5= − 5
b) 3 5 27 ( )2 3 5 3 3
3 12
−
2
3 12 3 12)
= − + − = − = −
Câu 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( )x y =; 3; 2
b) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 ( )
3x =2x+ 1 3x −2x− =1 0 * Phương trình ( )* có hệ số: a=3; b= −2; c= − + + = 1 a b c 0
Phương trình ( )* có hai nghiệm: 1 1; 2 1
3
c
a
−
x = =y = A
- Với
2 2
Vậy tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d là A( )1;3 và 1 1;
3 3
Câu 3
a) Thay m = − vào phương trình 2 ( )1 ta có:
1
x
x
= −
Vậy với m = − thì phương trình có tập nghiệm 2 S = − 3; 1−
b) Ta có: ' 2 ( ) ( )2
Trang 11Do đó phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
c) Do phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m, gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình ( )1
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 1 2
1 2
2
4 5
x x m
+ =
= − −
Ta có: 2 ( )
2x − m− x +x − m+ 2 =
1
1
2
2
( 1 2)
2 x x 1524000
+ = (do x1 là nghiệm của ( )1 nên
1
2
1
2.2m 1524000 m 381000
Vậy m =381000 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 4
90
AIB= AQB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0
90
Xét tứ giác CIHQ có 0 0 0
90 90 180
tứ giác CIHQ nội tiếp
b) Xét AHI và BCI có:
( )
0
90
AIH BIC
AHI BCI g g IAH IBC
= =
AI HI
CI AI HI BI
BI CI
c) Ta có: M = AI AC +BQ BC =AC AC( −IC)+BQ BQ QC( + )
2
AC AC IC BQ BQ QC
AQ QC AC IC BQ BQ QC
AQ BQ QC QC BQ AC IC
AB QC BC AC IC
H
Q C
I
A
Trang 12Xét CIQ và CBA có:
( )
ACB chung
CIQ CBA g g CIQ CBA
IC QC
QC BC AC IC
BC AC
QC BC AC IC
Suy ra: 2 ( )2 2
Đề 4
Bài 1
1- Giải các phương trình sau:
a) x - 1 = 0
b) x2 - 3x + 2 = 0
2- Giải hệ phương trình:
= +
=
− 2
7 2
y x
y x
3, Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2) và song song với đường thẳng y=3x+5
Bài 2
Cho biểu thức A =
2
1 : 4
1 4 2
−
− +
−
−
a a
a a
a
(Với a 0;a ) 4
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A tại a = 6+4 2
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + 3 (m là tham số)
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2
b) Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
Gọi y , y1 2là các tung độ giao điểm của (P) và (d), tìm m để y1+y29
Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm
E, F Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm)
1 Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
2 Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF Chứng minh KM là phân giác của góc CKD
3 Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D =
2
2
8 4
y x
+ +
với x+ y 1 và x > 0
Trang 13ĐÁP ÁN
Bài 1
1, mỗi y cho 0,5đ
a, x = 1
b, x1 = 1; x2 = 2
2, 3 mối ý cho 0,5đ
Bài 2
a) A =
2
1 : 4
1 4 2
−
− +
−
−
a a
a a
a
a
− 2
4
a
a
+
=
−
= 1
2
a
−
−
b) a = 6+4 2 = (2+ 2)2
A =
2
a
Câu 3:
1 A ( 2 ;2) và B (- 2 ;2)
2, Viết pt hoành độ giao điểm: x2=2mx – 2m + 3
x2-2mx +2m – 3=0
Ta có: ∆’= m2 - 2m + 3= (m-1)2+2 > 0 với mọi m suy ra (P) và đường thẳng d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m
Áp dụng viét ta có: x1+x2=2m
x1x2 =2m – 3
Theo bài ra ta có: y1+y2 9
( x1+x2)2-2 x1x2 <9
4m2-2(2m – 3)<9
4m2-4m-3<0
1
2
−
< m <3
2
Câu 4
Trang 141 HS tự chứng minh
2 Ta có K là trung điểm của EF => OK ⊥ EF => MKO =900 => K thuộc đương tròn đường kính MO =>
5 điểm D; M; C; K; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO
=> DKM =DOM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD
CKM =COM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có DOM =COM(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> DKM =CKM => KM là phân giác của góc CKD
3 Ta có: SMRT = 2SMOR = OC.MR = R (MC+CR) 2R CM CR
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có: CM.CR = OC2 = R2 không đổi
=> SMRT 2R2
Dấu = xảy ra CM = CR = R 2 Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
Bài 5 (1 điểm)
Tìm GTNN của D =
2
2
8 4
y x
+ +
với x+ y 1 và x > 0
Từ x+ y 1 y 1 - x ta có:
2
2
2
x
+ −
Thay x 1 - y ta suy ra: D 1 1 2 1 2 1 1
1
+ + − − + = + + − + +
Vì x > 0 áp dụng BĐT côsi có: 1
4
x x
+ 1
lại có:
2
0
− + = −
d
E
F O
M
C D
R T
K
Trang 15Nên từ (1) suy ra: D1 + 0 +1
2 hay D 3
2 Vậy GTNN của D bằng
3
2 Khi
1
1 2
x y
+ =
=
Trang 16Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí