de thi HSG toan 6 nam 20132014

Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM..[r]

TRƯƠNG THCS PHƯƠNG TRUNG Đề thi olympic lớp 6

Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán

Thời gian làm bài : 120 phút

(không kể thời gian giao đề )

Bài 1: (4,0 điểm ) ,

1 Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 ⇔ 9x + 5y chia hết cho 17

2 Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40

3 Tỡm cỏc nguyờn tố x, y thỏa món : (x-2)2 (y-3)2 = - 4

Bài 2 :(5,0đ)

Tỡm x, biết:

1 a) 32x = 81 ; b) 52x-3 – 2.52 = 52.3

2 Tính 5 415− 99− 4 320.89

5 29.619−7 229 276

3 Tính tổng: B = 1 42 + 2

4 7+

2

7 10+ +

2

97 100

4 Tỡm số tự nhiờn n để phõn số A= 8 n+193

4 n+3 Cú giỏ trị là số tự nhiờn

Bài 3: (2,0đ) Chứng minh rằng : 12+ 1

32+

1

42+⋯+ 1

1002<1

Bài 4: ( 4,0 điểm)

Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 32 số trang của 1 quyển vở loại 1

Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2 Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.

Bài 5: (5,0đ) Cho tam giỏc ABC và BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm

a Tỡnh độ dài BM

b Cho biết gúc BAM = 800 , gúc BAC = 600 Tính gúc CAM

c Vẽ cỏc tia Ax, Ay lần lượt là tia phõn giỏc của gúc BAC và CAM Tính gúc xAy.

d Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm Tính độ dài BK

Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Lớp 6

Đề chính thức

Bài Nội dung Điểm

Bài 1

(4điểm)

1 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17

Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 ⇒ 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17

⇒ 9x + 5y chia hết cho 17 Ngược lại Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1

⇒ 2x + 3y chia hết cho 17

2 B = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)

= 3 (1 + 3 + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33)

= 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) : 40

3 Do –4 = 12 (- 4) = 22.(-1) nên có các trường hợp sau:

a

x −2¿2=1

¿

y − 3=− 4

¿

⇒

¿

¿x − 2=1

¿

y=−1

¿

¿

¿

hoặc

¿

x − 2=−1

y =−1

⇒

¿x =1

y =−1

¿ {

¿

b

x − 2¿2 =2 2

¿

y −3=−1

¿

⇒

¿

¿x −2=2

¿

y=2

¿

¿

¿

hoặc

¿

x − 2=−2

y =2

⇒

¿x=0

y =2

¿ {

¿

1,0đ

0,5đ 0,5đ

1,0đ

1,0đ

Bài 2

(5điểm)

1 a) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2

b) 52x-3 – 2.52 = 52

.352x: 53 = 52.3 + 2.52

52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53

 52x = 56

=> 2x = 6 => x = 3

0,5đ 0,5đ 0,5đ

2

30 18 2 20 27 29 18

9 19 19 29 18 28 18

5.2 3 2 3 2 2 3 (5.2 3)

2

5 2 2 3 7.2 3 2 3 (5.3 7.2)

3 Ta có 1 41 = 1

3(

1

1−

1

4)⇒ 2

1 4=

2

3(

1

1−

1

4)

4 7=

2

3(

1

4−

1

7);

2

7 10=

2

3(

1

7−

1

10); ;

2

97 100=

2

3(

1

99−

1

100)

⇒ B= 32( 1

1−

1

4+

1

4−

1

7+

1

7−

1

10+ +

1

99 −

1

100)

⇒ B= 32( 1

1−

1

100)=

2

3.

99

100=

33

50

4 A= 8 n+193

4 n+3 =

2(4 n+3)+187

187

4 n+3

Để A N thì 187 ⋮ 4n + 3 => 4n +3 {17 ;11;187}

+ 4n + 3 = 11 -> n = 2

+ 4n +3 = 187 > n = 46

+ 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> không có n N

Vậy n = 2; 46

1,0đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ

Bài 3

(2điểm)

Ta có:

1

22<

1

1 2=

1

1−

1

2; 1

32<

1

2 3=

1

2−

1

3; 1

100 ;

¿ 1

42<

1

3 4=

1

3−

1

4; ;

1

1002<

1

99 100=

1

99−❑❑ Vậy 1

2 2 + 1

3 2 + 1

4 2 + ⋯+ 1

10 0 2 < ¿ 1

1 2+

1

2 3+

1

3 4+⋯+99 1001 = ¿

1

2 100

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

Bài 4

(4điểm)

Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng 32 số trang của 1

quyển loại 1 Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2

quyển loại 1

Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2

Nê số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3

Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng :4 8 : 2 = 16 ( quyển loại 3)

Số trang của 9 quyển loại 2 bằng9 4 : 3 = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3)

Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang)

Số trang 1 quyển vở loại 2 là 60 43 =80 (trang)

Số trang 1 quyển vở loại1 là; 80 32 =120 ( trang)

0,5đ 1,0đ 1,0đ

0,5đ 1,0đ

Bài 5

(5điểm)

a M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM

-> C nằm giữa B và M -> BM = BC + CM = 8 (cm)

b C nằm giữa B,M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM

-> ∠ CAM = ∠ BAM - ∠ BAC = 200

c Có ∠ xAy = ∠ x AC + ∠ CAy = 12 ∠ BAC +

1

= 12 ( ∠ BAC + ∠ CAM) = 12 ∠ BAM =

1

2 80 = 400

d +) Nếu K tia CM -> C nằm giữa B và K1

-> BK1 = BC + CK1 = 6 (cm)

+)Nếu K tia CB -> K2 nằm giữa B và C

-> BK2 = BC = CK2 =4 (cm)

0,75đ

0,5đ 0,75đ

1,0đ 1,0đ 1,0đ

H/s làm cách khác đúng vẫn hưởng điểm tối đa

A

B