(Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề hình học giải tích_Bài tập và hướng dẫn giải

BÀI TẬP VỀ NHÀ Hình học giải tích không gian Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G1;1;1 a Viết phương trình mặt phẳng P qua G và vuông góc với OG b Mặt phẳng P ở câu 1 cắt các t

BÀI TẬP VỀ NHÀ

(Hình học giải tích không gian) Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C

CMR: ABC là tam giác đều

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2 3 5 0 2 2 2 3 17 0

( ) : à (d ) :

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ( ) d1 và song song với ( ) d2

Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2

5 2

7 0 ( ) : 1 à (d ) :

2 3 16 0 5

x y z

x y z

z t

= +



+ + − =



 = −

 = −



Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) à ( )d v d1 2

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : P x y z + + − = 7 0 ; 2 5 0

( ) :

x y z d

x z

+ + + =



 − + =



Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P)

Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0

và 2 đường thẳng:

1 3 1 2 4 3

−

a) CM: ( ) à ( )d v d chéo nhau.1 2 b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) cắt cả ( ) à ( )d v d1 2 .

Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

( ) : à ( ) :

x z

x y

− + =

 +

a) CM: ( ) à ( )d v d chéo nhau.1 2

b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả ( ),( )d1 d2 và song song với

4 7 3

( ) :

x− y− z−

−

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ( ),( )d1 d và mặt 2

phẳng (P) có phương trình:

−

( ) : 2 P x y − − 5 z + = 1 0

a) CM:. ( ) à ( )d v d chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.1 2

b) Viết phương trình đường thẳng∆vuông góc với (P), cắt cả ( ),( )d1 d2 .

Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp( ) :2α x y+ − 2z+ = 15 0 và điểm J(-1;-2;1) Gọi I

là điểm đối xứng của J qua ( ) α Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α

theo một đường tròn có chu vi là 8π

Bài 10 : Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có

phương trình lần lượt là:

(P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0

Bài 11 : Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)

Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)1 1 1

Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó

Bài 12 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT:

1 2

5 2 ( ) : à ( ) : 2

0

d y t v d y

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một khoảng bằng 3 Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5

Bài 13 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1)

Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứ trục Ox

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BTVN

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG

d) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C

CMR: ABC là tam giác đều

Giải:

( )

a Do OG ⊥ P n n n uuur uuur = OG =

( ) :1( P x 1) 1( y 1) 1( z 1) 0 hay P x y z ( ) : 3 0

0 ) ì Ox : (3;0;0)

0

y

z

=

 =

 Tương tự : B(0;3;0) à (0;3;0)v C

Ta có: AB=BC=CA=3 2 ⇒ ∆ABC là tam giác đều

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300 Giải:

Giả sử mặt phẳng cần có dạng :

( )

( ) ( )

( ) : 1( , , 0)

( ) ( ; ;1) à (0;0;1) os30

3 3 2 1 2

xOy xOy

xOy

x y z

a b c

a b c

x y z

Do I c v do K a

b

n n

x y z

α α

α

α α

r r

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2 3 5 0 2 2 2 3 17 0

( ) : à (d ) :

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ( ) d1 và song song với ( ) d2

Giải:

( )

(1; 1; 1); (1; 2; 2) ( 4; 3; 1) (4;3;1)

Q

Hay n

=

r Mặt khác:

(2; 1;0) 1 ; (0; 25;11) 2

Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2

5 2

7 0 ( ) : 1 à (d ) :

2 3 16 0 5

x y z

x y z

z t

= +



 = −

 = −



Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) à ( )d v d1 2

Giải:

Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:

1

( ) ( )

(5;1;5) ; (5; 2;0) (0;1; 5)

à (0;1; 5) ( ) : 3( 5) 5( 1) 5 0

( ) : 3 5 25 0

hay Q x y z

uuuur

r r uuuur

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : P x y z + + − = 7 0 ; 2 5 0

( ) :

x y z d

x z

+ + + =



 − + =



Giải:

Đường thẳng ( )d′ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)

chứa (d) và có VTCP là n r( )P

ó : (1; 4; 2) à M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5) ( ) : 6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0

ình hình chiê u ( ) :

7 0

Q x y z hay x y z

x y z

x y z

− − + =



Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0

và 2 đường thẳng:

−

c) CM: ( ) à ( )d v d chéo nhau.1 2

d) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) cắt cả ( ) à ( )d v d1 2 .

Giải:

( ) ( )

1 2

( ) ( )

: ( ) :

Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

( ) : à ( ) :

x z

x y

− + =

 +

c) CM: ( ) à ( )d v d chéo nhau.1 2

d) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả ( ),( )d1 d2 và song song với

4 7 3

( ) :

x− y− z−

−

Giải:

( ) ( )

1 2

( ) ( )

) ó : (1;2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1)

( )

( ; 2 2 2 ;1 3 )

2; 1 2;3; 2 : 1; 1; 4

: ( ) :

Do d song song u AB

KQ d

∆

−

uuur

r uuur

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ( ),( )d1 d và mặt phẳng (P) có 2

phương trình:

−

( ) : 2 P x y − − 5 z + = 1 0

a) CM:. ( ) à ( )d v d chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.1 2

b) Viết phương trình đường thẳng∆vuông góc với (P), cắt cả ( ),( )d1 d2 .

Giải:

( ) ( )

1 2

( ) ( )

) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1;2) ; (2; 2;0)

195

u u

Ta c d d d

u u

 

 

 

 

r r uuuur

r r

1 1 1 1 2

( )

( ) (2; 1; 5)

: ( ) :

P

b GS d A A t t t v d B

KQ

uuur

r uuur

Bài 9:Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp( ) :2α x y+ − 2z+ = 15 0 và điểm J(-1;-2;1) Gọi I là

điểm đối xứng của J qua ( ) α Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α theo một đường

tròn có chu vi là 8π

Giải:

Gọi I(a;b;c) ta có:

( )

2 3

IJ ( 1; 2; 1) IJ n

2 3

a b

= + + − ↑↑ ⇒ = = − ⇒  = − −



Nhưng trung điểm M của IJ lại nằm trên ( ) α nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5)

Ta tính được khoảng cách từ I đến ( ) α là IO’=3

Vì C=2πR0=8π nên R0=4 => R IA IO= ' 2 +AO' 2 = 4 2 + 3 2 = 5

Vậy: ( ) :(C x+5)2 + +(y 4)2 + −(z 5)2 = 25

Bài 10 :

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

(P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0

Giải:

Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q))

Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 2 5 ⇒ =R 5.

Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=5

Vì C đi qua O(0;0;0) nên: a2 + + = ⇒ ∈b2 c2 5 I ( ) :S x2 +y2 +z2 = 5

Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có PT:

(α): ( 2 4) ( 2 6) 2 1 0

2

x y

Do ( ) ( ) ( ) : 2 2 2 1 02

x y I

α

 ⇒ ∈ ∩

Bài 11 : Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)

Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)1 1 1

Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó

Giải:

Lần lượt ta lập các PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là:

x2 + y2 + +z2 2ax+2by+2cz d+ =0

2 2 2

c d

a d

a b c d x y z x y z

b d

a b c d

+ + =



 + + =

 + + =



 + + + + =



1

0 4

a d

a b d

b c d

 + + =











 + + + =



Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có PT:

( ) : 9α x y+ +9z− =4 0

Vậy PT đường tròn giao tuyến cần tìm là:

2 2 2

x y z C





 − + − + − =



Bài 12 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT:

1 2

5 2 ( ) : à ( ) : 2

0

d y t v d y

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một khoảng bằng 3 Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5

Giải:

Vì I thuộc d1 nên I( t;-t;0)

2

2 2

( 2;0;1)

(5; 2;0)

6 30 45

5

0 (0;0;0)

5 (5; 5;0)

u

t t

u IM t t t d I d



= ⇒



r uuur r

uuur

r

r uuur

Vậy có 2 PT mặt cầu thõa mãn đk bài toán là:

2 2 2 1

2

( ) : ( 5) ( 5) 25

S x y z

Bài 13 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1)

Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và

đường thẳng chứ trục Ox

Giải:

Lập PT đường thẳng đi qua AB ta có:

( ) : 1 3

1

x t

z

=



 = − +



 =



Gọi M t t( ;3 1;1) (− ∈ AB)

Và N(s;0s0) thuộc Ox ⇒MNuuuur= −(t s t;3 1;1)− .

Sử dụng :

Ox

MN AB MN

⊥



 ⊥

 Ta tìm được

1 3

t s= =

Ta tìm được : ( ;0;1), ( ;0;0)1 1 ( ;0; )1 1

M N ⇒O là trung điểm của MN

Và 1

MN

R= = Vậy: 2 2 1 2 1

x− + y + −z =

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang