Các bài toán về phép đếm (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chọn ra 6 giống để trồng.. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ... Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức... Chọn ra 6 giốn

BTVN NGÀY 11-04

Bài 1:

Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị?

Bài 2:

Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm

7 chữ số khác nhau

Bài 3:

Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:

a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ

b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất

3 bông đỏ?

Bài 4:

Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi Chọn

ra 6 giống để trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?

Bài 5:

Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?

Bài 6:

Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9

Bài 7:

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ

Bài 8:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

Bài 9:

Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn

từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem) Có bao nhiêu cách làm như vậy?

Bài 10:

Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

HDG CÁC BTVN

 BTVN NGÀY 08-04

Bài 1 : Chứng minh rằng với , k n   ; 2   k n luôn có:



Giải:

2

DPCM





Bài 2 : Chứng minh rằng:

C C  C  C  C  C 

Giải:

2

k n





Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức sau:

2010 2010 2010 2009 2010 2010k k 2010 1

k



Giải:

2009

2010 2010

2009

2010

k k

k

k

Ta c C C

C









Bài 4 : Với n, k là số nguyên dương và 1 k n   Chứng minh rằng:

0 k 1 k 11 2 k 22 ( 1) k 0n k 0

Giải:

 

   

!

1

.

n m

m k m k n k m n m k m n k

Thay x

x C k C x C x k k C x k

m k

Ta c C Cn k

m k m

C C n n m

k

C n x C C n n C C n n x C C n n x C C n x

C C n n C C n n C C n n C C n









 







 BTVN NGÀY 09-04

Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:

C C  C 

Giải:

Điều kiện:

1 1

1

6 !( 1)! 5 ( 1)!( 1)!

5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)!

y y

x x

y y

x x

C C

y x

y

y x

y x

x y x y x y

y x y y x y

x y x







  





 





5( 1)( 1) 6( )( 1)

5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3 2( )( 1) 5 ( 1)

3 1 ào (4) 2(2 1)(2 ) 5 ( 1) 4(2 1) 5 5

y y y

x y x y x y

x y x y y y





Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

2 50  , 

x y











Giải Đặt:

2

!

( 1) 20

!

20

!( )!

5 2

y x y x

b C

x

y

x x

x

x y

y x y x

y















 





Bài 3: Giải bất phương trình:

4 3 2

5

4

Giải

Điều kiện:

2

1 4

2 2

5;6;7;8;9;10

n

n

S

 







  



Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

 

22

, 66

x y

y x

x y











Giải

2

3

2 3

66

!

12 12

60

x

y

x y

b

a b a

b A

x A

x















2

4

4;5

x

S



Bài 5: Giải PT:

2n 1 2n 1 2n n 1 2 1 ( )

C   C    C    n  

Giải

2 1

2 1 2 1

2 1

n

n

C

 





    2 1n 22n 1 22n 220 10

n

 BTVN NGÀY 11-04

Bài 1:

Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số

và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị?

Giải

Giả sử số có 6 chữ số là: a a a a a a1 2 3 4 5 6  AB

Trong đó:

6

1

11 1

k

A B







Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có:

1 3 6 1 4 5 2 3 5

A         

Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng

Khi ấy có : 3!.3!=36 cách.

Vậy có tất cả: 3.36=108 (số)

Bài 2:

Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ

số khác nhau

Giải

Ta có 2 trường hợp sau:

 TH1: a a a a a a1 2 3 4 5 60

Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0) Có: A 86 20160

 TH2: a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 với a 7  2; 4;6;8

Vậy có 4 cách chọn a7

Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số đứng đầu là số 0

Vậy có: 4(A86  A75) 70560

Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số)

Bài 3:

Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:

c) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ

d) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ?

Giải:

a) Có 3 khả năng xảy ra là:

 

* 1 ;3 ;3

* 1 ; 2 ; 4

* 1 ;1 ;5











Vậy có tất cả: C C C41 .33 53  C C C41 .32 54  C C C14 .31 55  112

b) Cũng có 3 khả năng là:

* 3 ;3 ;1

* 3 ; 4

* 4 ;3

V D T

V D

V D











Vậy có tất cả: C C C43 .53 31  C C53. 44  C C54. 43  150

Bài 4:

Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi Chọn ra 6 giống để trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?

Giải:

Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi:

 TH1: ( Không có ổi)

Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài Vậy có:C C 44. 62 15

 TH2: ( Có 1 ổi)

Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài

Vậy có: C C C21 44. 16  C C C21 .43 62  132

 TH3: (Có 2 ổi)

Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài Vậy có: C C C 22 .43 61 24

Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách)

Bài 5:

Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?

Giải:

Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: C158

Xét 3 trường hợp:

 Không có nữ: Có C108

 Có 1 nữ: Có C C51. 107

 Có 2 nữ: Có C C52 106

Vậy có tất cả: 8  8 1 7 2 6 

C  C C C C C 

Bài 6:

Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9

Giải:

6

1 2 3 4 5 6

1

k

a a a a a a a



Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999

Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng:

1 100017

999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000 18

u

d









 

 Vậy có 50000 số thõa mãn

Giải:

Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên:

Khi xét số có 5 chữ số: a a a a a1 2 3 4 5 ta có 2 khả năng:

 Nếu a1a2 a3 a4 chẵn thì a 5  1;3;5;7;9 

 Nếu a1a2 a3 a4 lẻ thì a 5  0;2;4;6;8 

Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số a a a a1 2 3 4 là:

9.10.10.10 9.10  3

Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số

Vậy có tất cả là: 5.9.103 45000(Số)

Bài 8:

Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4

em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

Giải:

Để lập nhóm ta tiến hành 3 bước:

 Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có C83cách

 Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có C74cách

 Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có C52cách

Vậy có tất cả: C C C 83 .74 52 19600( Cách)

Bài 9:

Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra

3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem) Có bao nhiêu cách làm như vậy?

Giải:

Ta có:

 Số cách chọn tem thư là: C53

 Số cách chọn bì thư là: C63

 3! Cách dán tem

Vậy số cách làm là: C C53 .3! 120063 

Bài 10:

Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?

Giải:

Đặt: E   0;1; 2 ;9  và số có 5 chữ số là:

1 2 3 4 5

1

; 1;5 0

i

a a a a a

a E i a



 





 



Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách

a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách

a3 được chọn từ tập E\{ a2} => Có 9 cách

a4 được chọn từ tập E\{ a3} => Có 9 cách

A5 được chọn từ tập E\{ a4} => Có 9 cách

Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang