Tài liệu (Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề khảo sát hàm số_Bài tập và hướng dẫn giải docx

Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo t

BÀI TẬP VỀ NHÀ

(Chuyên đề khảo sát hàm số)

Câu I : Cho hàm số y2x x11

 (C)

I.1

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)

I.2

Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận

I.3

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1

I.4

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân

Câu II : Cho hàm số m 1 x m

y

x m



  Cm

II.1

CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định

II.2

Tiếp tuyến tại MC m cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR M là trung điểm của AB

II.3

Cho điểm M x , y  0 0 C3 Tiếp tuyến của C3tại Mcắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất

Câu III:

Cho hàm số

y

x m



 Tìm tham số m để hàm số có:

1 Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.

2 Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O

3 Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.

4 Khoảng cách hai điểm cực trị bằng m 10

5 Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.

6 Cực trị và thỏa mãn: y CD y CT  2 3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

Câu IV : Cho hàm số 1

x y x



Tìm m để (C) cắt đường thẳng  dm : y mx   2 m  1 tại 2 điểm phân biệt A, B:

c Thỏa mãn điều kiện 4OA OB   5

Câu V : Cho hàm số

y

x



a Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2

b Tìm m để đường thẳng d:y m x   2 3 và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB

Câu VI :

Cho hàm số m 1x m

y

x m



  Cm

Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

1 log 3

x

m x



 



2 1 0 3

x

m x



  

Câu VII : Cho hàm số

y

x



a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min

b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.

Câu VIII : Cho hàm số 1

x y x

 



 (C)

a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN

b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN

c Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

HDG CÁC BTVN

Câu I : Cho hàm số 1

2 1

x y x

 



 (C)

I.1

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)

I.2

Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận

I.3

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1

I.4

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân

HDG

Tập xác định: \ 1

2

D R  

  Ta có:

 2

3

x





Bài 1:

M (2; 3) có hệ số góc k có dạng: y k x   23 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:

1

2 3

2 1 3

2 1

x

k x x

k x

 



 



 





có nghiệm

Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

   

2 2

x

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)

Bài 2:

2

x  ; TCN: 1

2

y  1; 1

2 2

I  

   

Vì đường thẳng 1

2

x  không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua

1 1

;

2 2

I   

 có hệ số góc k có dạng: 1 1

y k x   

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:

 2

3

x

k x x

k x





có nghiệm

Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)

Bài 3:

0

;

x

  Tiếp tuyến tại M có dạng:

:

Giả sử A d  Ox;B d Oy suy ra: 0 0  0

0

;0 ; 0;

3

x



OAB

OAB

3 0 6 0 6 6

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 4 6

20

40 12 6

y  x 

20

40 12 6

y   x 



Bài 4:

Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là

1

k  Gọi M x y 0; 0   C là tiếp điểm

- Nếu

2

x



Với 0 1 3 0 1 3

x    y    tiếp tuyến là: y  x 1 3

Với 0 1 3 0 1 3

x    y    tiếp tuyến là: yx 1 3

- Nếu

2 0 2

0

3

x



Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: yx  1 3 và y  x 1 3

Câu II : Cho hàm số m 1x m

y

x m



  Cm

II.1

CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định

II.2

Tiếp tuyến tại MC m cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR M là trung điểm của AB

II.3

Cho điểm M x , y  0 0 C3 Tiếp tuyến của C3tại Mcắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất

HDG

Bài 1:

Gọi M x y 0; 0 là điểm cố định của hàm số 0   0

0

1

;

x m



Với M0; 1  , tiếp tuyến tại M là: yy' 0 x 1  x 1

Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định y x1 tại M0; 1  

Bài 2:

Ta có:

2

y m

x m

 TCĐ: x m và TCN: y m  1

Gọi  

2

a

2

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:

 

2

2

A a m m B m m

a

2









M là trung điểm của AB (đpcm)

Bài 3:

3

Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: :y 92 x 2 18 272

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:

2 3;2 ; 3; 2 18

a

   

Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên I3;2

+ IAB vuông tại I nên: 1 1 2 18 18

IAB



+ Chu vi tam giác IAB là:

2 2

2 2



     M6;5 hoặc M0; 1  

Câu III:

HDG:

Tập xác định: D R m \ 

Ta có:

1:

Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung  y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu

g x x xm m

     có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m

( ) 0

m

m

g m





Vậy m   1;1

2:

2

1 ' 0

1

x x m y

x x m

  



  



Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại x x1; 2 Ta có: y1 y x 1 4m 2;y2 y x 2 4m2

Gọi 2 điểm cực trị là A m 1; 4m 2 ; B m 1;4m2

OAB

 vuông tại O  OA OB  OA OB   0

2

85

17

17

m  là giá trị cần tìm

3:

Ta có: MA              m 1; 4m 2 ;               MBm 1;4m

A, M, B thẳng hàng  MA MB  ||  4m m  1  m1 4  m 2

1

3

3

m 

4:

Ta có: AB m 10  4 4  2 m 10  m 2

5:

Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị

x m

Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1 Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:

6:

Ta có:

3 4

3 4

m

y

m











 





m     

Câu IV : Cho hàm số 1

x y x



Tìm m để (C) cắt đường thẳng  dm : y mx   2 m  1 tại 2 điểm phân biệt A, B:

c Thỏa mãn điều kiện 4OA OB   5

HDG:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

1

2 1

x

x

 

2

x 

 C cắt d m tại 2 điểm phân biệt A, B f x  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2



2

0

0

6

0

m

m

m













(*)

a Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị

f x

  có 2 nghiệm phân biệt x x mà 1; 2 1 1 2

2

x   x

0

0

6

m

m





 

b Hệ số góc của tiếp tuyến tại A B lần lượt là:

A B

k k

  nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán

c Gọi x x1 ; 2 là 2 nghiệm của f(x) Giả sử A x mx 1; 12m 1 ; B x mx 2; 2 2m 1

Theo viet ta có:

1 2

m

x x

m m

x x

m





 









4

OA OB                                              OA OB 

   

   

   

2 2

2 2

2

5

4

5

4

5

4 3

4 3

4



Đáp số: 1; 3

2 4

m  

Câu V : Cho hàm số

y

x



c Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2

d Tìm m để đường thẳng d:y m x   2 3 và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB

HDG

a Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

3 3

x x

x

  

Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt f x   0 có 2

 

1

2

m









(*)

Với điều kiện (*), gọi x x1; 2 là nghiệm của f x   0 Theo viet có:

1 2

1 2

3 2

3 2





 



Tọa độ A, B là: A x m B x m 1 ; ;  2 ;  Ta có:

AB   x  x   x x  x x 

2

2

m 

b Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

x x

x

Để hàm số (1) cắt đường thẳng y m x   2 3 tại 2 điểm phân biệt f x  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

 

2

7 2 7 2

7 2 7

2

1 0

1 2

m m

f

m





 

 

 



Với điều kiện trên, gọi x x1; 2 là nghiệm của f x   0  

3 1 2

m

x x

m





Gọi 2 giao điểm là A x m x 1 ;  1  2 3 ; B x m x 2 ;  2  2 3

Điểm M2;3d là trung điểm của AB 1 2 4 3 1 2  4 7

m

m





2

m 

Câu VI :

Cho hàm số m 1x m

y

x m



  Cm

Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

1 log 3

x

m x



 



2 1 0 3

x

m x



  



HDG

Số nghiệm của phương trình f x  g m là số giao điểm của đường cong

 

yf x và đường thẳng y g m   song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy

a Vẽ đồ thị hàm số  : 2 3

3

x

C y

x





 như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của  C3 - kí hiệu là   Ct

- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu  '

t

C

  C   Ct'  Ct

Kết luận: 1

2

m  phương trình vô nghiệm

2

m  

  phương trình có nghiệm duy nhất

1; 2 2; 

2

m   

  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b Vẽ đồ thị hàm số  ' : 2 3

3

x

C y

x





 như sau:

- Giữ nguyên nhánh phải của C3- kí hiệu là  C p

- Lấy  '

p

C đối xứng nhánh trái của C3 qua trục hoành Ox

     '

Kết luận: 1

2

m  phương trình vô nghiệm

   phương trình có nghiệm duy nhất

2

m  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Câu VII : Cho hàm số

y

x



a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min

b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.

HDG

a. Ta có:

1

x x

A  







nhánh phải của đồ thị hàm số với    0 

2 2

4

       

 

2 2

5 1 2 2 2 5



5 5















Vậy

A     B     

thì ABmin  2 2 5

b Hàm số có TCX: : 1 1

2

y  x

Gọi A  Ox  A2;0; B  Oy B 0;1 

2

OAB

S  OA OB (đvdt)

Câu VIII : Cho hàm số 1

x y x

 



 (C)

a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN

b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN

c Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min

HDG

0

x

tọa độ là:

0

0

d x

x

2 2

x   d   

Dấu = xảy ra khi 0 0

0

;

x

Vậy 3 1; 3 1

M   

b Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là: d1 x0 ; 2

0

3 4

d

x



 1 2 0 0

2

x 

Kết luận: 3 1; 3 1

M   

M    

c Gọi 1 3; 1

2 4 2

A a

a

2 4 2

B b

b

của đồ thị hàm số (C), với a  0 b Ta có:

2 2

2

2

b a



3 4

2

ab ab





Dấu bằng xảy ra

 

2 2

3 2

3

2

b a

b

b a







Vậy hai điểm cần tìm là: 3 1; 3 1

A    

B   

thì ABmin  6 ……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang