Kiem tra Hoc ki 1 Toan 12 de so 16

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ.[r]

Đề số 16

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 12

Thời gian làm bài 90 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y x 3 x2 x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 x2 x 2 m0

Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau:

1) 2.4x 2x 1 4 0

Bài 3: (2 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a

1) Chứng minh SA vuông góc với BC

2) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình nâng cao

Bài 4a: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin cos2x x trên đoạn

[0; ]

Bài 5a: (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

2

2 log  log  0

Bài 6a: (1 điểm) Cho một hình trụ có trục là OO' Một mặt phẳng (P) bất kỳ song song với trục OO' cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD,

biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ Chứng minh rằng I thuộc mặt cầu đường kính OO'.

B Theo chương trình chuẩn

Bài 4b: (1 điểm) Cho hàm số y e sinx, chứng minh rằng: y.sinx y '.cosx y '' 0

Bài 5b: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đọan [–1; 1] :

x

x

y 1 e2

2 4

  

Bài 6b: (1 điểm) Cho một hình trụ có trục là OO' và có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng

50cm Một đoạn thẳng AB dài 100cm với A thuộc đường tròn (O) và B thuộc đường tròn (O').

Tính khoảng cách giữa AB và OO'.

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh: SBD :

Đề số 16

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 12

Thời gian làm bài 90 phút

1.1 y f x ( )x3 x2 x2

TXĐ: D = R

xlim ( )f x

 



; xlim ( )f x

  

 

y’=3x2 2x1 ; y’= 0

x x

1 1 3











BBT:

Hàm số tăng trên

1

3

và giảm trên

1 ( ;1) 3



Đồ thị hàm số có điểm cực đại là

1 59

3 27



và điểm cực tiểu là (1;1)

Điểm uốn: y’’= 6x – 2 ; y’’=0 x 1

3

, f 1( ) 43

3 27

Điểm uốn của đồ thị hàm số là I 1 43( ; )

3 27

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

0,25

0,25

0.25

0.25

0,25

0.25

0,5

1.2 x3 x2 x 2 m 0 x3 x2 x 2 m (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đường thẳng ym và đồ thị hàm số

y f x ( )x3 x2 x2

 m 1 m 1: (1) có 1 nghiệm

 m 1 m1: (1) có 2 nghiệm phân biệt

0,25

 1 m 59 59 m 1

: (1) có 3 nghiệm phân biệt

 m 59 m 59

: (1) có 2 nghiệm phân biệt

 m 59 m 59

: (1) có 1 nghiệm

Vậy:

m m

1 59 27

  



 



 : (1) có 1 nghiệm

m m

1 59 27

 







 : (1) có 2 nghiệm phân biệt

59 m 1

27

: (1) có 3 nghiệm phân biệt

0,5

0,25

2.1 2.4x 2x 1 4 0 2.22x 2.2x 4 0

Đặt t2 ,x t0 ta có phương trình:

t loai

2  2 4 0     2

Với t 2 2x  2 x1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = 1

0.5

0,5 2.2 3log29x 2 log9x 1 0

Điều kiện: x > 0.

Đặt tlog9x t, 0

ta có phương trình:

t

3

 









Với

x x

9 9

9

9

9





Đối chiếu điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 1,x 1

9

0,5

0,5

3.1 Chứng minh SA BC

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

AM BC

SM BC

Suy ra BC(SAM)

Nên BC SA

1,0

3.2 Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, ta có : SO(ABC)

Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

Ta có: IA IB IC  (vì I SO ); IA IS

Vặy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Trong tam giác đều ABC , ta có:

a

2



;

a

AO 2AM

Gọi K là trung điểm SA thì SK = a

0.25

Tam giác SAO vuông tại O:

SO SA OA2 4a2 3 2 33

SKI SOK

 ~ (g.g), suy ra:

SI SK

SA SO

SA SK a a a SI

SO

a

3

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

a

S 4 SI2 144 2

33





0.25

0,25

0,25 4a ysin cos2x xsin (1 2sin )x  2x

Với x [0; ]  đặt tsinx, t [0;1] ta có: y f t ( ) t 2t3

f t'( ) 1 6  t2 ;

f t'( ) 0 t 1

6

  

f (0) 0 ; f (1)1;

f 1( ) 2

6 3 6

Giá trị lớn nhất của hàm số là:

2

3 6

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: –1

0,25

0,25

0,25 0,25

5a 2 log32x log3x m 0

(1) Đặt tlog3x t, 0

ta có phương trình: m2t2t (2)

Xét f t( )2t2t; f t'( )4 1t ; f t'( ) 0 t 1

4

  

(1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt  0 m 1

8

0,25 0,25

0,25

0,25

Chứng minh: OIO 90   Gọi M là trung điểm AB

Chứng minh được tam giác IMO’ vuông cân, nên IMO 45  

Chứng minh được IO IO ' , nên IOO' vuông

cân tại I

1,0

4b y e sinx  y cos x esinx; y  sin x esinx cos 2x esinx

Thay vào vế trái, ta được đpcm

1,0

2 4

  

   y'x e 2x; y' 0  x0

e

e

2

2

Giá trị lớn nhất của hàm số là:

e2

4 ; Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

1 4



1,0

6b

Vẽ đường sinh AC, gọi H là trung điểm BC Khoảng cách cần tìm là O’H = 25 cm

1,0

============================

I C

M

D

O O'

A

B

H

I C

B O'

O

A

D