Bai tap ve gioi han 02

[r]

Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:

limC = C ; lim= 0  > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1

*Các phép toán giới hạn :

lim(un  vn) = limun  limvn ; lim(un.vn) = limun ;

limvnlim =

*Các định lý về giới hạn:

Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)

Nếu n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A

Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = 

Nếu limun =  thì lim = 0

*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S =

1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:

a) lim b) lim c) lim

2.Tính các giới hạn sau:

a) lim b) lim c) lim

d) lim e) lim 3 2 n −3

√n3−2 n+1

f)lim() g) lim

3.Tính các giới hạn sau:

a) lim b) lim() c) lim)

d) lim) e) lim

f) lim g) lim

3

√n3+n2+n+3√n2+1

n√3+1

h) lim i) lim()

j) lim n() k) lim( 3

√n3− 2 n2− n ) l) lim m) lim(1 + n2 – )

n) lim

4.Tính các giới hạn

a) lim b) lim c) lim

d) lim e) lim f) lim

g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1

4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 =

a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng

b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó

5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 =

a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng

b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó

6.Tìm các số hữu tỉ sau :

a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515

7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )

8 Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥

Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn

9 Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn n  N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n n ≥ 3

b) Tính limxn

10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1=

a) Chứng minh rằng: un < 1 n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun

11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1=

a) Chứng minh rằng un < 3  n b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun

Giới hạn hàm số

*Các phép toán về giới hạn hàm số

lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)

x a

x a

x a

lim f (x)

f (x) lim g(x) lim g(x)









lim f (x)x a lim f (x)x a

*Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lx a x a

thì

x a

lim f (x) L

Định lý 3: Nếu x a x a

1 lim f (x) 0 thì lim

f (x)

Nếu x a x a

1

f (x)

Định lý 4: x 0

sinx

x

x 0

x

sinx

x 0

sin kx

kx

x 0

kx

sin kx

*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0. ;  – 

1.Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→ 2

2 x2− 3 x −2

x − 2 b) limx→ 1

x3−3 x2+5 x − 3

x2−1

c) lim

x →− 2

x2+2 x

x2+4 x +4 d) limx→ 1

x3− x2− x +1

x2− 3 x+2

e) lim

x→ 3

x3−5 x2+3 x +9

x4− 8 x2−9 f) x →− 1lim

x4−1

x3− 2 x2+3

g) lim

x→ 1

x2+2 x − 3

2 x2− x −1 h) x →− 2lim

x3− 3 x +2

4 − x2

i) lim

x→ 1

4 x6− 5 x5

+x

x2−1 k) limx→ 1

x m −1

x n −1 m,nN

2.Tính các giới hạn sau:

a) lim

x → 4

√x +5 −3

4 − x b) limx→ 0

√1+x −√1 − x

x c) limx→ 7

2 −√x − 3

x2− 49

d) lim

x→ 2

√4 x+1 −3

x2− 4 e) limx→ 2

√x +2− x

√4 x+1 −3 f) limx → 4

3−√5+x

1 −√5 − x

g) lim

x →− 1

√2 x +3 −√x+2

3 x +3 h) limx→ 1

√2 x+7 +x − 4

x3− 4 x2+3

i) lim

x→ 1

x2−√x

√x − 1 j) limx→ 1

√x −1

√x +3 −2 k)

lim

x→ 2

√x +2− x

√4 x+1 −3

l) lim

x→ 1

√2 x+7 − 3

2 −√x +3 m)

x → 1+ ¿√x2− 1+√x −1

√x − 1

lim

¿

n)

lim

x→ 1

x3−√3 x −2

x2−1

o) lim

x→ 1

√x2+3+x3−3 x

x − 1

3.Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→ 2

x

3

√8 − x −√38+x b) x →− 1lim

x5 +x3+2 3

√x+1

c) lim

x→ 0

x

3

√1+x − 1 d) limx→ 0

3

√1+x2− 1

x2 e)

lim

x → 4

3

√x +4 −√x

x2−5 x +4

f) lim

x →− 3

√2 x +10+√3x − 5

x2−9 g) limx→ 2

3

√10 − x −√x+2

h) limx→ 2

3

√x +6 −√x+2

x2− 4 i)

3 2

x 2

lim



g)

4

x 1

lim

(1 x)



n

2

x 1

lim

(x 1)





4.Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→ 0

sin 3 x

2 x b) limx→ 0

5 x sin 2 x c) limx→ 0

sin 4 x sin 7 x d)

lim

x→ 0

1 −cos 6 x

x2 e) lim

x→ 0

1 −cos 3 x

1 −cos x f) limx→ 0

cos x − cos 3 x

2 x2 g) limx→ 0

1 −√cos x

x2 h) lim

x → π

6

√3 sin x − cos x sin 6 x i) x →limπ

4

sin x − cos x sin 8 x j)

lim

x→ 0

cos4x −sin4x −1

√x2+1− 1

k) lim

x→ 0

1+sin x − cos x

1 −sin x −cos x l) limx→ 0( 1

sin x −

1

cos x ) m)

lim

x→ 0(π

2− x )tgx

n) lim

x→ 0

√2 −√1+cos x

sin2x o) limx→ 0

1 −cos x √cos 2 x

lim

x→ 0

√1+sin x −√cos2 x

lim

x → π4

sin x − cos x 1− tgx r)

lim

x→ 0

cos 2 x −1

1 −√1 − x2

4.Tính các giới hạn sau:

a) x 0

sinx sin 3x x





tgx sinx lim

x





c) x 0 2

lim

tg x





d) x 2

cosx

lim

x- /2



e) x 2

lim(1 cos2x)tgx







f) x 4

1 tgx lim

1 cot gx









g) x 4

sinx - cosx

lim

1 - tgx





h)

3 x 3

tg x 3tgx lim

cos(x + )

6









i) x

lim x.sin

x

 



j) x 0 2

lim

tg x



k) x 0

lim

x



l) xlim(sin x 1 sin x )

m) xlim(cos x+1 cos x )

5.Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→ 1( 1

x − 1 −

3

x3−1) b) x →− 2lim( 1

x +2+

4

x2−4)

lim





c) lim

x → ∞

(x −1)(x2+3 x )

x3+4 x d) x → ∞lim

√x2 +x −3 x

2 x −1

e) lim

x → ∞(√x2− x +3+ x) f) lim

x →− ∞(√3 − x −√5− x)

g) lim

x → ∞ x (√x2

+5− x) h) lim

x →+∞ x (√x2+1 − x)

i)

lim

x →+∞(√x2− 2 x −1 −√x2−7 x +3)

i)

2 2 x

lim

 

  

j)

x

lim

x 1

 

2

3 3 x

lim

 

j) lim

x → ∞

√x2+x +1+√x2− x +1

x+√x2+1 k) x → ∞lim

7 x 1+14 x +√16 x2

+x+ 1

6.Tính giới hạn các hàm số sau

a) lim

x → ∞

√x2−3 x

x +2 b) x → ∞lim

c) lim

x→ 0 x2sin1

x d) x → ∞lim

sin x +3 cos 2 x

x2−2 x+3

e) x →+∞lim 5 cos x+x

2

x3− 1 f)

2 x

)

g)

2 x

h) x

 

i)

x

j)  2 3 3 

x

7.Tìm 2 số a,b để

a) lim

x →+∞(√x2

+x+1 − ax −b)=0

b) lim

x → ∞(x2+1

x+1 − ax − b) = 0

8 Tính các giới hạn sau:

Hàm số liên tục

Định nghĩa:

*Hàm số f(x) liên tục tại xo  xlim f (x) f (x )xo o

*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm

xo  (a;b)

*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]

và xlim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)a x b

Các định lý:

Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng

Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục

Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a;b) sao cho f(c) = 0

Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)

1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) =

¿

x2−3 x +4 khi x <1

2x − 3 khi x ≥ 1

¿{

¿

tại xo = 1

b) f(x) =

¿

x3− x − 6

x2− x − 2 khi x ≠2

11

3 khi x=2

¿{

¿

tại xo = 2

c) f(x) =

sin x

khi x 1

x 1 khi x 1













 tại xo = 1

d) f(x) =

2

2

khi x 1

x khi x 1 2









e) f(x) =

2

4 x

khi x 2

x 2

1 2x khix 2

 









 tại xo = 2

f) f(x) = 3

3

2

x 1 1

khi x 0

1 x 1







 

g) f(x) =

3 2

khi x 0 sin x

1

khi x 0

6

 







h) f(x) =

khi x 2

2 x

1 khi x 2





3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0

a) f(x) =

¿

3 x2

+2 x − 1 khi x <1 2x+a khi x≥ 1

¿{

¿

tại x0 = 1

b) f(x) =

¿

x3+2 x −3

x2− 1 khi x ≠1

a khi x=1

¿{

¿

tại x0 = 1

c) f(x) =

khi x 0 x.sin 2x

x a

khi x 0

x 1

 











d) f(x) =

khi x 0 x

4 x

x 2









4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) =

¿

x2− 3 x −7 khi x <− 2

1− x khi x ≥− 2

¿{

¿

b) f(x) =

¿

x2+3 x − 10

x2− 4 khi x<2

2x+3

x +2 khi 2≤ x ≤ 5

3x − 4 khi x >5

¿{ {

¿

5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R

a) f(x) =

khi x 2

x 2 1

4











b) f(x) =

3 khi x

3





















5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R

a) f(x) =

¿

− 2 sin x khi x <− π

2

asinx +b khi − π

2≤ x ≤

π

2

cos x khi x > π

2

¿{ {

¿

b) f(x) =

¿

x2 khi x <1

ax+b khi 1 ≤ x ≤ 3

4 − x khi x >3

¿{ {

¿

6 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:

a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0

c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0

e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0

7 Chứng minh rằng phương trình

a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)

b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)

c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)

d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)

e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)

f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)

8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình

(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

Có 2 nghiệm phân biệt

9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]

9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0

a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)

b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu

c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)

10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0

a)Chứng minh rằng af() < 0 với a  0

b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0

c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)

11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x)  [a;b]  x  [a;b]

Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x  [a;b]

12 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

a) cosx + m.cos2x = 0

b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0

c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0

13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và  ,  là hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]

14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo  (1;2) và xo >