Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 3 2 số còn lại.. Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau..[r]
Trang 1UBND HUYỆN THÁI THỤY
PHÒNG GD&ĐT
KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm)
1- Cho ababab là số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab là bội của 3.
2- Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55+ 56+…+ 52012
Chứng minh S chia hết cho 65 nhưng không chia hết cho 126
Bài 2 (3 điểm)
Không dùng máy tính hãy so sánh:
1- A =
2010 2011
2011 1
2011 1
với B =
2011 2012
2011 1
2011 1
2- M = 2011 2012
7 15
10 10
với N = 2011 2012
Bài 3 (4 điểm)
1- Tính: P =
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2- Cho Q =
2 3
n n
(với n là số nguyên) Tìm các giá trị của n để :
a - Q là một phân số
b - Q là một số nguyên
Bài 4 (4 điểm)
Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 37 số còn lại Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 32 số còn lại Tính số học sinh của lớp 6A
Bài 5 (6 điểm)
Cho xAy = 900 Trên tia Ax lấy điểm C khác A, trên tia Ay lấy các điểm O ; I ; B đôi một khác nhau và khác A sao cho O nằm giữa A và I; I là trung điểm của AB
Nối CO, CI , CB
1- Hãy kể tên các tam giác có trong hình vẽ và kể tên những tam giác có một góc vuông 2- Cho AI = 6cm , OI = 2cm O có là trung điểm của AI không? Vì sao?
3- Cho AIC = 370 Tính CIB.
4- Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A1 , A2 , A3 , … , An đôi một khác nhau và khác A Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; … ;CAn Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm phân biệt khác A?
Họ và tên : ……… Số báo danh : ………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN 6
NĂM HỌC 2011-2012
Bài 1
(3đ)
1- Cho ababab là số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab là bội của 3
ababab = ab.10000 + ab.100 + ab= 10101ab
Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3
hay ababab là bội của 3
2- Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 +…+ 5 2012
Chứng minh S chia hết cho 65 nhưng không chia hết cho 126.
* Có: 5 + 52 + 53 + 54 = (5+ 53) + 5(5 + 53) = 130 + 5 130= 130 6 = 65.12
5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 65
S = (5 + 52 + 53 + 54) + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52008(5 + 52 + 53 + 54 )
Do 2012 : 4 = 503 nên S có 503 số hạng và mỗi số hạng chia hết cho 65
Vậy S chia hết cho 65
* Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5 (1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5.126 + 52.126+ 53.126
= 126 (5 + 52 + 53 ) chia hết cho 126
Vậy (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) chia hết cho 126 Mặt khác :S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + +52010 ) + 52011 + 5 2012
= (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + …+
+ 52004(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 52011 + 5 2012 = P + 52011 + 5 2012
2010: 6 = 335 nên P có 335 số hạng chia hết cho 126, vậy P chia hết cho 126
Còn 52011 + 52012 = 52011(1+5) = 6 52011 không chia hết cho 126
Vậy P không chia hết cho 126
Kết luận chung
0.75đ 0.75đ
0.5đ 0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Bài 2
(3đ) Không dùng máy tính hãy so sánh:
1- A =
2010 2011
với B =
2011 2012
A =
2010 2011
=
=
(1)
B =
2011 2012
=
=
(2)
Từ 20112010 + 20112012 = 20112010 ( 1+ 20112 )
20112011 + 20112011 = 20112010 ( 2+ 2011)
và 1+ 20112 > 2+ 2011 (3)
Nên kết hợp giữa (1 ) ; (2 ) ; (3) ta có A > B
2- So sánh M = 2011 2012
với N = 2011 2012
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Trang 3M = 2011 2012
= 2011 2012 2012
(4)
N = 2011 2012
= 2011 2011 2012
(5)
Do 2012
7
10 < 2011
7
10 < 2011
8
10 nên 2012
7 10
> 2011
8 10
(6 )
Từ (4) ; (5) và (6) ta có M >N
0.5đ
0.5đ
Bài 3
(4đ)
1- Tính: P =
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
P =
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 =
2.77.11 11.14 14.15 15.28 = 7 (
2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 ) = 7(
2 28 ) =
3
2- Cho Q =
2 3
n n
(với n là số nguyên) Tìm các giá trị của n để :
a - Q là một phân số
Q là một phân số khi n +3 0 hay n -3 Kết luận
b - Q là một số nguyên
Q =
2 3
n n
=
1
n
Q là một số nguyên khi
5 3
n
là số nguyên
5 3
n
là số nguyên khi (-5) chia hết cho (n+3) Tính ra, thử lại và kết luận: n 8; 4; 2; 2
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
Bài 4
(4đ)
Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 37 số còn lại Cuối năm
có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 32 số còn lại Tính số học sinh của lớp 6A.
Tính được:Số học sinh giỏi kỳ I bằng 103 số học sinh cả lớp Tính được: Số học sinh giỏi cuối năm bằng 52 số học sinh cả lớp Tính được: 4 học sinh bằng (
2
5 -
3
10 ) =
1
10 số học sinh cả lớp Tính được số học sinh cả lớp là 40 học sinh
1.0đ 1.0đ
1.0đ 1.0đ
Bài 5
(6đ) Cho xAy = 900 Trên tia Ax lấy điểm C khác A, trên tia Ay lấy các
điểm O ; I ; B đôi một khác nhau và khác A sao cho O nằm giữa A và I;
I là trung điểm của AB
Trang 4Nối CO, CI , CB.
1- Hãy kể tên các tam giác có trong hình vẽ, kể tên những tam giác có một
góc vuông
- Kể đủ tên 6 tam giác có trong hình
- Kể đủ tên 3 tam giác có một góc vuông trên hình trong hình
2- Cho AI = 6cm , OI = 2cm O có là trung điểm của AI không? Vì sao?
Chứng minh được O không là trung điểm của AI 3- Cho AIC = 370 Tính CIB
Tính được CIB = 1430
4- Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A 1 , A 2 , A 3 , … , A n đôi một khác nhau và khác A Nối CA 1 , CA 2 , CA 3 , … , CA n Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm
phân biệt khác A
Tính được: Có n điểm khác nhau trên Ax thì có
( 1) 2
n n
tam giác khác nhau Tính được n = 19
Kết luận trên Ay có 18 điểm phân biệt khác A
1.5đ 1.5đ 1.0đ 1.0đ
0.5đ 0.5đ
Lưu ý:
- Trên đậy là hướng dẫn chấm, đề nghị trước khi chấm tổ nghiên cứu kỹ và thống nhất
- Điểm bài thi tính đến 0,25 điểm
- Không cho điểm hình vẽ, song nếu không có hình thì không chấm phần chứng minh hình
- Học sinh có các cách giải khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
x
C
y