De HSG Toan 7 1112 Thai Thuy

Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’.. Chứng minh tam giác AB’C cân.[r]

UBND HUYỆN THÁI THỤY

PHÒNG GD&ĐT KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán 7

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3 điểm )

1- Tìm x và y thoả mãn : 2x 2011 3y20122012 0

2- Có tìm được hai chữ số a và b để 2011ab là bình phương của một số tự nhiên không? Vì sao ?

Bài 2 (3 điểm )

1 Cho 3 4



và

y

5=

z

6 Tính M =

2 x +3 y+4 z

3 x +4 y+5 z

2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd

Chứng minh rằng:

3 3 3



Bài 3 (4 điểm )

1 Tính : P =

1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 2012)

2- Tìm x thoả mãn :

x



Bài 4 (2 điểm )

Cho đa thức f(x) thoả mãn : x f(x - 2011) = (x - 2012) f(x)

Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau

Bài 5 (8 điểm)

Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối của tia

BA lấy điểm E sao cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC tại D

1- Chứng minh: BEH ACB

2- So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA

3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’

Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ?

4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2

Họ và tên : ……… Số báo danh : ………

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN 7

NĂM HỌC 2011-2012

Bài 1

(3đ)

Nhận xét:  2012

2 2011 0

3 2012 0





 Đẳng thức xảy ra khi 2x – 2011 = 0 và 3y + 2012 = 0

Tìm được x =

2011

2 và y =

2012 3



nhiên không? Vì sao ?

Ta có: 0ab99  201100 2011 ab201199

4482  2011ab  4492

448 và 449 là hai số tự nhiên liên tiếp nên 2011ab không là bình phương của một

số tự nhiên

0.75đ 0.75đ

0.75đ

0.25đ 0.5đ

Bài 2

(3đ)

x y



và

y

5=

z

2 x +3 y+4 z

3 x +4 y+5 z

x3=y

4⇒ x

15=

y

20 ; 5y=z

6⇒ y

20=

z

24 ⇒ x

15=

y

20=

z

24

(1)

Từ (1) ⇒302 x=

3 y

60 =

4 z

96 =

2 x+3 y +4 z

30+60+96 và

45 80 120 45 80 120

 

 2 x +3 y+4 z

30+60+96 :

3 x +4 y +5 z

45+80+120 =

2 x

30 :

3 x

45 = 1  2 x +3 y+4 z

30+60+96 :

3 x +4 y +5 z

45+80+120 = 1



M

Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3 3

 



 

Từ b 2 = ac và c 2 = bd ta có :

b  c d 

3 3 3

3 3 3

b c d =

3 3 3

3 3 3

 

  (2)

Mà

3 3

.

.

b  b b b  b b b  b c d  d (3)

Từ (2) và (3) có điều cần chứng minh

0.5đ 0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ

0.75đ

0.5đ 0.25đ

Bài 3

(4đ)

1 Tính :

P =

1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 2012)

              

0.75đ

=

1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 2012.2013

2 2 3 2 4 2 2012 2

2 3 4 5 2013

     

1

2 3 2013 2

1

1 2 3 2013 1 2

     

1 2012.2013 2025077

1

2- Tìm x thoả mãn :

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

4 4 4 4 6 6 6 6 6 6

x



5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

4 4 4 4 6 6 6 6 6 6

.



5 5

5 5

4.4 6.6 3.3 2.2 =

6 6

6 6

4 6

3 2

=

6 6

12

6 4

3 2

   



   

    2x 212

   x = 12

0.5đ 0.75đ

1.0đ 1.0đ

Bài 4

(2đ)

Cho đa thức f(x) thoả mãn : x f(x - 2011) = (x - 2012) f(x) Chứng minh

rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau.

* Với x = 0 ta có - 2012 f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức

có 1 nghiệm x = 0

* Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011)

Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0

Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011

Từ đây suy ra điều cần chứng minh

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ

Bài 5

(8đ) Cho tam giác ABC có B < 90

0 và B = 2 C Kẻ đường cao AH Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC tại D.

1- Chứng minh: BEH ACB

Tam giác BEH cân tại B nên E H  1

Mà 2C ABC E H   1  2E Vậy BEH ACB

2-.So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA.

Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC = DH (1)

0.5đ 1.0đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ

A

B

C H

E

D

B’

1

Chứng minh được

0 0 2

90 90

 

  Suy ra DAH AHD  DAH cân tại D nên DA = DH (2)

Từ (1) và (2) ta có : DC = DH = DA

3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’

Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ?

ABB’ cân tại A nên AB B' ABB' 2C , mà AB B' A C1 

Vậy 2C A C1   A1 C Kết luận : Tam giác AB’C cân tại B’

4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE 2 = BC 2 – AB 2

Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông tại A thì

ABC600 ; ACB300

Chứng minh được: Tam giác AHD đều nên DA= AH

Chứng minh được :AHCDAE suy ra : DE = AC

Do AC2 = BC2 – AB2 từ đó DE2 = BC2 – AB2

0.5đ 0.5đ

1.0đ 1.0đ

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

Lưu ý:

- Trên đậy là hướng dẫn chấm, đề nghị trước khi chấm tổ nghiên cứu kỹ và thống nhất

- Điểm bài thi tính đến 0,25 điểm

- Không cho điểm hình vẽ, song nếu không có hình thì không chấm phần chứng minh hình

- Học sinh có các cách giải khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

Bài 1: (2,0 điểm)

 x

4=

y

7=

x+ y

 x

4=

y

7=

22

x

3=

y

4⇒ x

15=

y

20 ; y

5=

z

6⇒ y

20=

z

24 ⇒ x

15=

y

20=

z

24 (1) 0,25

(1) ⇒ 2 x

30 =

3 y

60 =

4 z

96 =

2 x+3 y +4 z

(1) ⇒ 3 x

45 =

4 y

80 =

5 z

120=

3 x+4 y +5 z

 2 x +3 y+4 z

30+60+96 :

3 x +4 y +5 z

45+80+120 =

2 x

30 :

3 x

 2 x +3 y+4 z

245

3 x +4 y+5 z=1⇒ M= 2 x +3 y +4 z

3 x+4 y +5 z=

186

Bài 2: ( 2,0 điểm)

Thực hiện tính:

2S = 2 2011− 22010−22009 −22− 2 0,25 2S-S = 2 2011− 22010−22010.− 22009

+ 2 2009 .− 22

S = 2 2011− 2 22010

P = 1+1

2.

2 3

2 +

1

3.

3 4

2 +

1 4

4 5

2 + .+

1 16

16 17

¿ 2

2+

3

2.+

4

2+

5

2+ .+

17

¿ 1

¿ 1

Bài 3: ( 2,0 điểm)

1

2 2.

2

2 3.

3

2 4.

4

2 5.

5

2 6

30

2 31.

31

1 2 3 4 30 31

1 2 3 4 30 31 2 30 2 6 =2x 0,25

1

236=2

x

0,25

4 4 5

3 35.

6 6 5

2 25=2

x

0,25

46

3 6 6

6

Bài 5: Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối của

tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC tại D

a Chứng minh BEH = ACB

b Chứng minh DH = DC = DA

c Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân

d Chứng minh AE = HC

BEH cân tại B nên E = H1 0,25

Câu b: 1,25 điểm

Chứng tỏ được DHC cân tại D nên

DC = DH

DAH có:

DAH = 900 – C

DHA = 900 - H2 =900 – C

 DAH cân tại D nên DA = DH

0,50

DAH có:

DAH = 900 - C 0,25

DHA = 900 - H2 =900 - C 0,25

 DAH cân tại D nên DA = DH 0,25

Câu c: 1,0 điểm

ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C

B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C

 C = A1 AB’C cân tại B’

0,25

A

B

C H

E

D

B’

1

B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,50

 C = A1 AB’C cân tại B’ 0,25

Câu d: 1,0 điểm

AB = AB’ = CB’

BE = BH = B’H

Có: AE = AB + BE

HC = CB’ + B’H

 AE = HC

0,25

Có: AE = AB + BE

HC = CB’ + B’H

 AE = HC

0,50

Bài 4 (2,5 điểm) Cho đa thức f(x) thoả mãn : x f(x - 2011) = (x - 2012) f(x)

Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau.

* Với x = 0 ta có - 2012 f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0

* Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011)

Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0

Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011

Từ đây suy ra điều cần chứng minh