Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD M thuộc CD a Chứng minh OA2 = AC.BD b Chứng minh tam giác AMB vuông c Gọi N là giao điểm của BC và AD... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI : TOÁN 8 Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phút .
Câu 1: (4 điểm).
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2: (4 điểm).
a) Chứng minh rằng A =
3( 2 7)2 36 7
với n Z
Câu 3: (4 điểm).
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = ab c 3
c b
c a
b a
c b a
Câu 4: (6 điểm)
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm
C (C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại
D Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 = AC.BD
b) Chứng minh tam giác AMB vuông
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD Chứng minh MN//AC
Câu 5: (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1 Chứng minh rằng:
2
b a
ab c a c
ca b c b
bc a
H v tên thí sinh: S báo danh: ọ à ố
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
KÌ THI NGÀY 12/4/2014 MÔN THI : TOÁN 8
Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng
Câu 1
a)
2 2 ( 1) 3 ( 1) 1
A
2 2(1 3 )
.
A
2 2.
A
b) Với x0;x1 Ta có
2
x A
Suy ra x 1 1; 2
Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và kết luận
0,5đ
Câu 2
a) Ta có: A =
3( 2 7)2 36
A
Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp => A 7 với n Z 0,5đ
Trang 3b) b) P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2
= (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n + 1) 2 + 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1) 2 + 1 2; Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải
có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Cõu 3:
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
TXĐ : x 4;x 5;x 6;x 7
0,5đ
Phương trỡnh trở thành :
18
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
1 7
1 4
1
x x
0,5đ
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
Từ đú tỡm được x=-13; x=2 (thỏa món)
b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Ta cú x, y, z >0
Từ đú suy ra a= 2 ; 2 ; 2
y x c z x b z
0,5đ
Thay vào ta được A= 2 2 2
0,5đ
1
2
Từ đú suy ra A 2(2 2 2)
1
hay A 3
Cõu 4 (6 điểm) Hỡnh vẽ
Trang 4A
B C
D
M
N
a) Xét ACO và BOD có
A B = 900 ;
=> BO
BD
AC
AO
b) Xét CMO và OMD có
CMO = OMD = 900
OCM DOM (cùng phụ với COM )
0,5đ
=>CMO đồng dạng với OMD => MD
OM OD
CO
Mà ACO đồng dạng với BOD => BD
AO OD
CO
=>
OD BD(2) (Do AO = OB)
0,5đ
Từ (1) và (2) ta có BD
OB MD
OM
=> tam giác OMD và tam giác OBD đồng dạng
=> MOD BOD => OMD OBD(cạnh huyền , góc nhọn)
=> OM = OB = OA suy ra tam giác AMB vuông tại M
0,5đ
0,5đ
Trang 5c) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB)
=> BD
AC NB
CN
mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) 0,5đ
CM BN
CN
Câu 5:
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b)
0,5đ
b c a c a
c
c b a b c
b
c a b a VT
( )( ) ( )( ) ( )( )
0,5đ
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
2( )
) )(
( ) )(
(
b a a
c
c b a b c
b
c a b a
2( )
) )(
( ) )(
(
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
c b b
a
b c a c c
a
c b a b
c a b
a
b c a c c
b
c a b a
Vậy 2 VT 4(abc)4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b =
c =3