Chuyen de phuong trinh chua can thuc

- Học kỳ I lớp 10: học sinh chưa học xét dấu tam thức bậc hai, chưa giải bất phương trình bậc hai; chưa học cách giải hệ phương trình bậc hai thì ta chỉ đưa những biểu thức bậc nhất đơn [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TÔNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Nghĩa Hưng, ngày 02 tháng 12 năm 2013

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ CHỌN LỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

CÓ CHỨA CĂN THỨC”

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán THPT có dạy các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa căn thức Các bài tập phần này xuất hiện trong các

đề kiểm tra của khối 10 ( cuối học kỳ I, cuối năm học), trong đề kiểm tra khối 11 phần đạo hàm, khối 12 phần tìm GTLN, GTNN và đặc biệt là trong đề thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh ĐH, CĐ

Việc soạn bài, lựa chọn các bài tập ta cần chú ý sắp xếp, phân loại sao cho phù hợp với năng lực, kiến thức học sinh trong từng thời điểm:

- Học kỳ I lớp 10: học sinh chưa học xét dấu tam thức bậc hai, chưa giải bất phương trình bậc hai; chưa học cách giải hệ phương trình bậc hai thì ta chỉ đưa những biểu thức bậc nhất đơn giản hoặc phương pháp đặt ẩn phụ đơn giản

- Học kỳ II lớp 10: ta có thể cho học sinh giải bằng cách áp dụng nhiều phương pháp khác trong đó có phương pháp đánh giá theo bất đẳng thức

- Lớp 11 khi học xong phương trình lượng giác ta có thể hướng dẫn cho học sinh giải theo phương pháp lượng giác hóa hoặc giải các phương trình, bất phương trình chứa căn thức sau khi đã đạo hàm

- Lớp 12 khi học sự biến thiên của hàm số ta có phương pháp giải bằng cách áp dụng đạo hàm

- Khi ôn thi ĐH, CĐ ta dạy cho học sinh tất cả các phương pháp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

Áp dụng được cho học sinh lớp 10

Phương trình: √f (x )=g(x ) , trong đó f (x)=ax2+bx+c , g(x )=mx+ n

Để biến đổi tương đương phương trình ta phải có điều kiện hai vế không âm

√f (x )=g(x )⇔

g (x)≥0

f (x)=g2(x)

¿ {

Học sinh hay quên điều kiện g(x)≥ 0 , khi đó phép bình phương hai vế là phép biến đổi hệ quả, sẽ xuất hiện những nghiệm ngoại lai

Thường gặp dạng: √ax 2

+bx+c=mx+n;√ax +b=mx+n

√ax+b+√mx+n=c ;√ax +b −√mx+n=c ;√ax+b+√cx +d=√mx+n

Ví dụ: Giải các phương trình:

1, √4 x2− 12 x +9=x+1 , đặt ĐK hai vế không âm rồi bình phương hai vế

2, √x+1+√4 − x=√2 x +3 đặt ĐK để căn có nghĩa rồi bình phương hai vế

3, 2 x2  x2 8 4 (nghiệm x 1) Đặt ĐK để căn có nghĩa, rồi bình phương hai vế

4, 6 x  x 4

Phương trình tương đương 2

5

2 or 5

x



5, x2 2x x2 5x  x23x (nghiệm x = 0, x = 6) Đặt điều kiện để căn thức có

nghĩa rồi bình phương hai vế

6,

2

x

x     nghiệm x=1

7, x 8 2 x7  x 1 x7 4 ( Biến đổi trong căn thành hằng đẳng thức)

8, Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm:

6

m x 9 x 6 x 9

x

6

9, √5

4− x

2

+√1 − x2

+√5

4− x

2−√1− x2

=x+1 (nghiệm x=3

5 )

10, x+ x

√x2−1=

35

12 Đặt t=√x2−1 hoặc bình phương rồi đặt, nghiệm x=5

4,

5 3

Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn hoặc đưa về phương trình coi một ẩn là tham số, có khi đặt hai ẩn phụ để đưa về hệ phương trình

Dạng 1: m f (x)+n √f (x )+ p=0 trong đó m ,n ≠ 0 , f (x )=ax2+bx+c

Đặt t=√f (x ),t ≥ 0 đưa về phương trình bậc hai đối với t

Áp dụng được cho học sinh lớp 10

Ví dụ: Giải phương trình:

1, 11 x2+14 x =4√11 x2+14 x+5

2,  x  5 x 2 1   x2  7x 10 3

nghiệm x = -1

3, x23x10 x x( 3)

4, Tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm: (4x)(6 x) x2  2x m

Đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện ẩn phụ 0    t 5 24 m 6

5,

1

3

x

x





Bài này học sinh hay xét thiếu trường hợp khi đưa (x - 3) vào trong căn, nên đặt

t=(x −3)√x +1

x − 3 ⇒t2

=(x −3)(x +1)⇒ PT:t2

+4 t −5=0⇔t=1 or t=− 5

6,

7

x x

Trong đó k ≠ 0 , a , b , c , k , m là hằng số, a+b ≥ 0

Đặt t=√a+cx +√b −cx , điều kiện: √a+b ≤ t ≤√2(a+b)

Tìm điều kiện của t bằng cách bình phương rồi đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy

t2=a+b+2√(a+cx )(b −cx )⇒√(a+cx )(b −cx )= t

2

−a − b

2

Ví dụ: Giải phương trình

1, 3(√x+√1 − x )=3+2√x − x2

Điều kiện: 0 ≤ x ≤1 , Nghiệm x = 0, x = 1

2, √2 x +3+√x+ 1=3 x+ 2√2 x2 +5 x+3− 16 Nghiệm x = 3

3, Cho phương trình: √x+1+√3 − x −√(x +1)(3− x)=m

a Giải phương trình với m = 2 ( nghiệm x = - 1, x = 3)

b Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm

kết quả: 2√2 −2 ≤ m≤ 2

4, 2 3x 2 x2 3 (3 4 x 2)(x2)

5, Cho phương trình: 3x  6 x  (3x).(6 x) m

a Giải phương trình với m = 3.

b Xác định các giá trị m để phương trình có nghiệm.

Dạng 3: x n+b=a√n ax −b ; a≠ 0 , n=2, 3 , 4

Cách giải: đặt y= n

√ax − b ⇔ y n=ax − b đưa về hệ phương trình:

¿

x n+b=ay

y n

+b=ax

¿ {

¿

Là dạng hệ phương trình đối xứng loại 2

Áp dụng được cho học sinh khối 10 ở học kỳ 2

Ví dụ: Giải phương trình

1, x3+1=2√32 x − 1 có nghiệm x = 1; x= −1 ±√5

2

2, x − 3¿3+ 6=√3 x − 9

¿ nghiệm x = 1

3, x2 x 5 5 nghiệm

,

dx+e¿2+mx+n

√ax+b=c¿

4, x23 x6 8 Điều kiện: x 6

Đặt

2

2

6





Xét phương trình ẩn x, coi y là tham số,  (2y 3)2  x y 2 or x y1

KL nghiệm:

;

5, x2−2√2 x −1+1=0 nghiệm x = 1

Dạng 4: f (x)+√a − f2(x)+kf(x)√a − f2(x)=b , a>0 , k ≠ 0

Cách giải: Đặt t=f (x)+√a − f2

(x) rồi tính t2 hoặc đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương

trình

¿

v=√a − f2(x)

u=f (x )

⇒

¿u+v+kuv=b

u2+v2=a

¿ {

¿

giải hệ hai ẩn đối xứng với u, v; v ≥ 0

Ví dụ: Giải phương trình:

1 , x +√17 − x2+x√17 − x2=9 nghiệm x = 1, x = 4

2 , x +√10 − x2

+x√10− x2 =7 nghiệm x = 1, x = 3

3 , x +√4 − x2 =2+3 x√4 − x2 nghiệm x = 0, x = 2, x= −2 −√14

3

Dạng 5: p.√n a − f (x )+ q m√b+ f (x )=c , m, n=2, 3

Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

¿

u=√n a− f ( x)

v = m√b +f (x)

⇒

¿p u+q v=c

u n+v m=a+b

¿ {

¿

Với u, v là ẩn Nếu căn bậc chẵn thì điều kiện u ≥0 , v ≥ 0

√1

2+x+√1

2− x=1 có 3 nghiệm x=1

2, −

1

2, −

17 2

2, √x −1+3

√2 − x=1 có 3 nghiệm x = 1; 2; 10

3, 2 33 x 2 3 6 5  x 8 0 ( đề thi ĐH năm 2009) nghiệm x = -2

Dạng 6: ax2+bx +c=(a1x+b1)√mx2+nx + p , a1≠ 0 , a , m≠ 0

Đặt ẩn phụ t=√mx2+nx + p , biểu thị phần ax2+bx +c theo t và x, đưa về phương trình bậc 2 ẩn t, coi x là tham số

Ví dụ:

1, x2+3 x +1=(x+3)√x2+ 1

Đặt t=√x2

+1 , t ≥1 ta được phương trình: t2−(x+ 3)t+3 x=0

Tính Δ=(x+ 3)2− 12 x=(x −3)2⇒t=x ort=3 ( có thể nhóm phân tích thành nhân tử) Kết luận nghiệm: x=± 2√2

2, x2−2 x − 1=2(1 − x )√x2+2 x − 1

3, 2x2 3x 2 x 3x 2 Nghiệm x = 1, x = 2

4, (4x1) x2 1 2x22x1 nghiệm

4 3

x 

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ THEO BẤT ĐẲNG THỨC, THEO SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Xét phương trình: f x( )g x( ) trong đó f x g x( ), ( ) có chứa căn thức, khi không áp dụng được các phương pháp nêu trên, ta có thể xem xét đánh giá các vế

Sử dụng các Bất đẳng thức đã biết: u2n( ) 0,x  u2nv2mw2k 0, (u v )2k 0

Bất đẳng thức Cauchy;

Đánh giá:

( ) ( )





 với x thuộc tập xác định, khi đó

( ) ( ) ( )

( )









Đối với học sinh lớp 12 khi đã học xét sự biến thiên của hàm số theo đạo hàm thì có thể giải được những bài toán đánh giá theo sự biến thiên của hàm số

Phương trình F x( )k , trong đó F(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến

trên từng khoảng, tùy vào tập xác định có thể chia thành 2, 3 khoảng để xét

Ví dụ: Dành cho học sinh lớp 10:

1, 1 x 1 x x4x22

Đánh giá vế phải: VP x 4x2  2 2 xảy ra dấu bằng khi x = 0

Vế trái: T2  2 2 (1x)(1 x) 2 (1    x 1 x) T2  4 T 2 xảy ra dấu bằng khi x = 0 KL: phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

2, 2x 3 5 2 x 3x212x14

Đánh giá VT 2, VP2 kết quả nghiệm x = 2

3, √4 x − x2+√4 x − x2−3 −√2 x − x2=3 nghiệm x = 2

Dành cho học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi ĐH-CĐ

1, 3x2  x 3 (nghiệm x = 1)

2, x215 x2 8 3x3 2 nghiệm x = 1

3, x274x10 x2 5 nghiệm x = 3

4, x5+x3−√1− 3 x+4=0 Nghiệm x = -1

5, √2 x +1+√3− 2 x =1

2(2 x − 1)

2

nghiệm x=−1

2; x=

3 2

IV PHƯƠNG PHÁP KHÁC

1, Nhân hai vế với biểu thức liên hợp  u v  u  v u v

Nhân hai vế với tổng u v 0, nếu nhân với hiệu thì phải xét trường hợp khác 0

2, Phương pháp lượng giác hóa: đối với các biểu thức trong phương trình có chứa

2 2 , 0

a  x a ta có thể đặt x a.sin ,t t 2 2;

 

Nếu chứa a2x2 ta có thể đặt

2 2

1, 3(√4 x+1 −√3 x − 2)=x +3 điều kiện: x ≥2

3

Nhân hai vế với √4 x +1+√3 x −2>0 ta được

3 (√4 x+1−√3 x − 2) (√4 x +1+√3 x −2) =(x +3)(√4 x+1+√3 x − 2)

⇔3( x+3)=(x +3)(√4 x+1+√3 x − 2)⇔3=√4 x+1+√3 x − 2 do x +3>0

Nghiệm x = 2

2, 3(2+√x −2)=2 x +√x+6 điều kiện: x ≥ 2

Viết lại phương trình dưới dạng:

6 −2 x=√x+6− 3√x −2 ⇔(6 −2 x)(√x +6+3√x −2)=(√x +6 −3√x − 2)(√x +6+3√x − 2)

⇔(6 −2 x)(√x +6+3√x −2)=4 (6 −2 x)

Kết quả: x=3 , x= 11 −√15

2

3, √8 x +1+√3 x −5=√7 x+4+√2 x − 2

Cách 1: Bạn đọc có nhận xét gì các biểu thức trong căn ( về tổng, hiệu của chúng)

√8 x +1−√7 x +4=√2 x − 2−√3 x −5

⇔(x−3)(√2 x −2+√3 x −5)=(3− x)(√8 x +1+√7 x+4)

⇔(x− 3)(√2 x −2+√3 x − 5+√8 x +1+√7 x+4)=0

Cách 2: đặt ẩn phụ theo thứ tự ta được hệ:

u+v=z+t

u2− v2=z2− t2

u , v , z >0 ;t ≥ 0

⇔

¿u+v=z +t

u − v=z− t

⇔

¿u=z

v =t

¿ { {

¿

nghiệm x = 3

4, √2 x2− 1+√x2−3 x+ 2=√2 x2 +2 x −3+√x2− x nghiệm x =1

5, Giải các phương trình:

) x 1 ( x 2

1 x x

2

1 x 1 x ) b x

1 2 1 x x 1 1

)

a

2

2 2 2

2 2

2





























c¿√1 − x=2 x2−1+2 x√1 − x2

Sử dụng cách đặt theo hàm số lượng giác

Dành cho học sinh lớp 12:

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG LỜI GIẢI CÓ BƯỚC PHẢI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1, Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau trên tập xác định:

a f x( ) x 4 x2 b

2 3

4

f x  x  x x

2, Chứng minh bất đẳng thức:

√17≤√cos 2a+4 cos a+6+√cos 2a − 2cos a+3 ≤√2+√11

Xét hàm số f (t)=√t2

+4 t +6+√t2−2 t+3 ,t ∈[−1 ;1]

Đạo hàm f '(t )= t+2

√t2+4 t +6+

t − 1

√t2− 2t +3

Vì t   1;1 nên

⇔t +2=1 −t ⇔t=−1

2

Tính giá trị: f (−1)=√3+√6 ;f (1)=√2+√11;f(−1

2)=√1

4+4+√1

4+4=√17

Từ đó kết luận đpcm

Một số hệ phương trình:

nghiệm của hệ (1) là (4; 9); Nghiệm của hệ (2) là (x; y)=(1; 2)

2

1

y

x

x

y

x y







Các hệ phương trình (3), (4), (5) đều có nghiệm (x; y)=(1; 1)

6,

































































































12 x

y x

y 12 x

y x ) 4 6

y 1 x

1

2 y 1 x

1

)

3

4 y x y

x

2 y x y x )

2 x

y y tan x

tan

8 y x 1 1

y

)

1

2 2

2 2

2 2 2

2

C KẾT LUẬN

Trên đây là một số bài toán về giải phương trình, hệ phương trình có chứa căn thức mà tôi đã sưu tầm, lựa chọn để giảng dạy cho học sinh Hệ thống dạng bài tập này rất phong phú, đa dạng, trong bài viết này chắc chắn việc thống kê sắp xếp chưa được đầy đủ, tác giả rất mong nhận được những góp ý, bổ sung của các thầy cô và đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Nghĩa Hưng, tháng 12 năm 2013

Người báo cáo

Lại Tiến Đẩu