GIAO AN BD HSG TOAN 8

Kẻ phân giác của góc BAM cắt BC tại P.. Phân giác của góc DAM cắt DC tại Q.. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.. a Chứng minh rằng G

Trường THCS Hải Thái Giáo án bồi Dưỡng

Tiết 13+14+15

Bài17: Chứng minh rằng:

(9n + 63)  8 Với nN

Giải

Ta có: 9n + 63 = 9n -1+ 64

Do 648 Vậy ta cần chứng minh: (9n -1)  8

Ta có: 9n -1 = (9-1)M = 8M (MN)

Mà 8M8 Vậy (9n -1)  8

Do vậy (9n + 63)  8 (đpcm)

Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

x2-4xy+5y2=16

Giải: Ta có: x2-4xy+5y2=16 x2-4xy+4y2+y2 = 16

 (x-2y)2+y2 = 16

Vì x, yZ nên (x-2y)Z Tổng hai bình phương của hai số nguyên bằng 16 thì chỉ có 2 khả năng xảy ra a)

(x-2y)2=0  x=8; y=4

y2=16 x=-8; y=-4

b) y2=0 x=4; y=0

(x-2y)2=16  x=-4; y=0

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên:

(4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)

Bài 19: Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy một điểm M bất kì, nối A với M Kẻ phân giác của góc BAM cắt BC tại P Phân giác của góc DAM cắt DC tại Q Chứng minh PQ  AM

Giải

Kẻ QK  AM, PK'  AM

Xét hai tam giác vuông: ADQ và AKQ có

AQ - cạnh chung

QD=QK (Do Q nằm trên phân giác DAM)

Do đóADQ=AKQ

Suy ra AD=AK (1)

Tương tự ta có AB=AK' (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=AK'

Hay KK'

P K

Bài 20: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt

nhau tại G

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC

b) ABC ~ AEF

c) BDF = CDE

d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF

Giải

a)BG AB, CH AB, nên BG // CH

Tương tự BH AC, CG AC

nên BH//CG

Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song

song nên nó là hình bình hành

Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung

điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm

M của BC

b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC

nên các tam giác ABE và ACF vuông

Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng

Suy ra AC AB AFAE 

AF

AC AE

AB

 (1) Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABC ~ AEF

c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy ra

BDF ~ EDC  BDF = CDE

d) Ta cóBDF = CDE  900 - BDF = 900 -CDE  900 - BDF =

900- CDE   ADB - BDF =  ADC -CDE  ADF = ADE

Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF

Bài 21: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=

1

) 1 ( 3 2 3









x x x x

Giải

Ta có: A=

1

) 1 ( 3 2 3









x x x

x

= 2( 3(1) 1() 1)









x x

x

x

=( 23(1)(1) 1)







x x

x

= 23 1



x

Mà x2 +1 1 Với mọi x suy ra: 23 1



Dấu ''='' xảy ra x = 0

H A

G D

E F

Trường THCS Hải Thái Giáo án bồi Dưỡng

Vậy giá trị lớn nhất của A là 3 khi x = 0

Bài 22: Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng d//AB, AH  d , BE  d Chứng minh SABEH = SABCD

Giải

Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường

thẳng d với BC, AD ta có:

IJC





IKD (c.g.c) SIKD=SCJI

 SABCD = SABJK (1)

Và EBJ   HAK  SEBJ = SHAK

SABEH = SABEK +SHAK

Mà SABJK = SABEK +SEBJ

Suy ra SABEH = SABJK (2)

Từ (1) và (2) ta có SABEH = SABCD

Tiết 16+17+18

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

A.Mục tiêu:

Học sinh hiểu được khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị)

Học sinh tìm hiểu khái niệm cực trị thông qua cực trị của hàm một biến

Hệ thống hoá các phương pháp tìm cực trị đã học đồng thời giới thiệu một số phương pháp mới

B Bài mới:

a) Phương pháp tam thức bậc hai:

b)Phương pháp xét khoảng:

c)Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ:

Bài 23:Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A=3-(2x -1)2 b) B = 4x -x2 +2

c) C 2 42 9







x

x d) D

3

21 5

2 2







x x

Giải:

a) Do (2x2-1) 0 với mọi x, nên 3-(2x -1)2 3

K

G

F

I

H E J

Dấu = xảy ra  (2x -1)2=0 x12

Vậy GTLN của A là 3  x12

b) Ta có B = 4x - x2 +2 = -(x2-4x +4) + 6 = 6 - (x-2)2

Do (x-2)2  0 với mọi x, nên B  6

Dấu = xảy ra  (x -2)2=0 x=2

Vậy GTLN của B là 6  x = 2

c) Ta có: 2 4 9



 x

x =(x -2)2+55 với mọi x

Hay

9 4

1

2



 x

1

với mọi x

Do đó ta có: C

9 4

2

2







x

2

Dấu ''='' xảy ra (x -2)2=0 x=2

Vậy GTLN của C là 52  x = 2

Bài 24: Tìm GTNN của biểu thức:

M = x 5 + x 2

Giải

*Nếu x<-2, ta có:

M =-x+5-x-2 ==2x+3>4+3=7

*Nếu -2x 5,ta có:

M =-x+5 +x +2 =7

*Nếu x> 5,ta có:

M =x-5 +x +2 =2x -3> 10-3 =7

Vậy trong mọi trường hợp ta có minM =7, đạt được khi -2x 5

Đối với bài trên ta có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức:

xy  x + y

Bài 25 :Cho a, b, c là các số thực dương , chứng minh rằng :

b a c

 + c b a

 + b c a

 > 2

Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có

Trường THCS Hải Thái Giáo án bồi Dưỡng

a+(b+c)  2 a(bc) 

2

c b

a 

 a(bc) 

c b

a 

2

 a(b1c) 

c

b

a

a





2

 a(b ac) = b a c

 Hay b a c

 

c b a

a



 2

Tương tự ta có :

c a

b

 

c b a

b





2

;

a b

c

 

c b a

c



 2

Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xãy ra, vì khi đó có a = b+c ,b =c+a c=a+b nên a+b+c =0( trái với giả thiết là a, b, c đều dương )

Từ đó ta suy ra

c b

a

 +

a c

b

 +

a b

c

 > 2 Bài 26 : Giải phương trình

x3 - 3x2 + 2 3

) 2 ( x - 6x = 0 (1)

Giải: Điều kiện: x-2

(1)  x3 -3x(x+2) + 2 3

) 2 ( x = 0 (2) Đặt y = x 2 0 Khi đó (2) trở thành:

x3 - 3xy2 +2y3 = 0  (x- y )2 (x+2y) = 0

Do đó x = y hoặc x = -2y

Với x = y ta có

x = x 2  x2 = x +2  x2 - x -2 = 0

x0 x0

x0  x = 2 (thoả mãn)

 (x+1) (x-2) = 0

Với x = -2y ta có : x 0

x 0  x2 - 4x - 8 = 0  x = 2 -2 3 ( thoả mãn)

x =-2 x 2  x2 = 4(x+2)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 2 -2 3

Bài 27: Cho tam giác ABC.Các tia phân giác trong BM và CN (M thuộc AC, N thuộc AB) cắt nhau tại D Chứng minh rằng Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 2BD.CD =BM.CN

Giải:

Đặt BC =a , CA = b , AB = c Theo tính chất đường phân giác ta có:

BC

BA

MC

MA

 Suy ra MC MA MA a cc



Hay MA = a bc c



Mặt khác từ AD là phân giác của góc BAM

ta có DM DB MA BA Suy ra DB DB DM BA BA MA







Hay

c a

bc c

c BM

BD







= a c c c a a b c c a a b c c

bc c ac

c





















) ( ) (

2

Vậy BM BD a a b c c







 Suy ra 2BD = 2BM a a b c c







(1) Tương tự ta có:

c b a

a b CN

CD







 Suy ra CD = CN

c b a

a b







(2) Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có

2BD CD = 2BM a a b c c







CN.a b b a c







= 2BM.CN ( ) 2

) )(

(

c b a

a b c a









Suy ra 2BM BD..CN CD = ( ) 2

) )(

(

c b a

a b c a









.2 = 1 (vì 2BD.CD =BM.CN) Hay 2(a+c).(b+a) =(a+b+c)2  2a2+2ab+2ac+2bc =a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc

 a2 =b2 +c2 Tam giác ABC vuông tại A

Vậy tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 2BD.CD =BM.CN

Tiết 19+20+21

Bài 28 : Cho hình vuông ABCD Hai điểm I,J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ =450 Đường chéo BD cắt AI và AJ tương ứng tại H và K Tính tỉ số HK I J

D A

M N

Trường THCS Hải Thái Giáo án bồi Dưỡng

Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =450, suy ra tứ giác AHJD nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H

Suy ra

2

2



AJ

AH (1)

Xét tương tự ta có

2

2



AI

Từ (1) và (2) suy ra AHK ~ A JI Do đó

J

I

HK

=

2

2



AJ

Bài 29:

Cho phương trình 4x2 +2(3 -2m)x+m2 -3m +2 = 0 (1)

a) Chứng tỏ (1) luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để tích hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

Ta có ' = (3-2m)2 - 4(m2 -3m +2) = 1> 0

nên PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m

b)Theo hệ thức Vi- ét ta có:

x1x2 =

16

1 16

1 ) 2

3 ( 4

1 4

2

2















m m

m

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi m =23 Vậy GTNN của x1x2 là -161 đạt được khi

m = 23

Bài 30: Giải các phương trình và hệ phương trình :

a) x2+y2 = 2(xy +2) b) x2 + 2

2

) 5 (

25



x

x

= 11 (1)

x +y = 6

Giải:

Hệ đã cho tương đương với

(x +y)2 =4xy +4 x +y = 6

x +y = 6  xy = 8

Giải hệ này ta được hai nghiệm là (4;2) và (2;4)

b) ĐK x -5.Khi đó (1) x2

-5

10 2



x

x

2

) 5 (

25



x

x

+

5

10 2



x

x

= 11 (x - 5 5



x

x

)2 +10(

5

2



x

x ) = 11  (

5

2



x

x )2 +10(

5

2



x

x ) = 11 (2)

H K

A

D

B

C J

I

Đặt y =

5

2



x

x

PT (2) trở thành y2 +10y =11 suy ra y1 =1 , y2 =-11 Với y = -11 PT vô nghiệm

Với y = 1 từ (2) ta có x2 -x +5 = 0  x1 =

2

21 1 , x2 =

2

21

1  Vậy PT có hai nghiệm là: x1 =

2

21 1 , x2 =

2

21

1 

Bài 31: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O,R),góc C =450

Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N

a) Chứng minh MN vuong góc với OC

b) Chứng minh MN = AB2

Giải:

Dựng tia tiếp tuyến Cx với đường tròn (O)

khi đó góc BAC = góc BCx

( cùng chắn cung nhỏ BC)

Mặt khác : góc BAC = góc MNC

(cùng bù với góc BNM)

Suy ra góc MNC =góc BCx

từ đó MN //Cx

Mặt khác CxOC nên MNOC

b)Ta thấy CMN ~ CBA

Suy ra

2

1





CA

CN AB

MN

( vì ANC vuông cân tại N)

MN = AB2

Bài 32: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O,R).Điểm M di động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB,AC

a)Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau

b)Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất

Giải:

a) Tứ giác AHMK nội tiếp được

(góc H = góc K =1v)

Nên góc MKH = góc MAH

Mà góc MAH =gócMCB

Suy ra : góc MKH = góc MCB (1)

N

O

B

A

C M

c1

K O

M H

B

C A

H

Trường THCS Hải Thái Giáo án bồi Dưỡng

Lại có góc MBC =góc MAC

Mà góc MHK = góc MAC

Suy ra : góc MBC =góc MHK (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau(g-g)

b) Từ câu a) suy ra MH MB HK BC , mà MB MH dẫn đến HK BC 1 hay HKBC

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H trùng B, lúc đó góc ABM= 1v  AM là đường kính của đường tròn (O) Do đó khi M là điểm đối xứng của A qua O thì độ dài KH lớn nhất

Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn tâm B ,bán kính BA Trên đường thẳng BC lấy các điểm E và F sao cho B là trung điểm của EF Vẽ đường kính

AD Các đường thẳng DE và DF cắt đường tròn (B) lần nữa theo thứ tự tại các điểm

M và N Chứng minh ba điểm M,N,C thẳng hàng

Giải:

Gọi K là giao điểm của đường thẳng

CD và đường tròn tâm B,bán kính

BA

Xét trường hợp E,F nằm trong

đường tròn ta có:

 CMD =1800 -MCD -MDC

hay sđ  CMD =1800- 21 sđ(DN -MK)

-2

1

sđMK = 1800-

2

1

sđDN (1) Mặt khác  NMD = 12 sđDN (2)

Từ (1) và (2) suy ra  CMD +  NMD = 1800 Hay ba điểm M,N,C thẳng hàng Trường hợp E,F nằm ngoài đường tròn ta c/m tương tự

ĐỀ THI HSG LỚP 8 Năm học 2007 - 2008 Bài 1: Cho biểu thức M = n n

a a

a a

3

2

1 2



























a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

(nN*) a) Rút gọn M

E K

M B

D

C

A N

F

b) Với a>2 Chứng minh rằng 0 < M < 1

Bài 2:

Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:

a) (m3+3m2 - 3m -3) 48

b) ( 7.52n +12.6n ) 19; Với n là số nguyên dương

Bài 3:

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn

0







z

c

y

b

x

a

và    1

c

z b

y a

x

2 2

2 2

2







c

z b

y a x

Bài 4:

Cho hình vuông ABCD, cạnh a Một đường thẳng d đi qua đỉnh C cắt tia AB ở E và tia AD ở F

a) Chứng minh: BE.DF = a2

b) Chứng minh đẳng thức 22

AF

AE DF

BE



c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích không đổi tổng của chúng nhỏ nhất khi hai

số đó bằng nhau"

Bài 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =( x 2008 ) 2

x

Giải

Bài 1: Cho biểu thức M = n n

a a

a a

3

2

1 2



























a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

(nN*) a) Rút gọn M

Ta có: M = n n

a a

a a

3

2

1 2



























a a a

a a

2 2

2

4 4

) 2 (

M=(a an(2a)(a3)1)



























) 1 )(

1 ( 4

) 1 ( 12 4

) 1

)(

1

(

)

1

(

4

a a a

a a

a

a

a

a

= (a an(2a)(a3)1) 44a((a a31)) = 1

2





n a a

b) Với a>2 Chứng minh rằng 0 < M < 1

Với a>2  a + 2 > 0 và an+1> 0

Do đó 1

2





n

a

a

> 0 (1) Với a>2  a + 2 < 2a và an+1 a2

Do đó 1

2





n

a

a

< 1 (2)

Trường THCS Hải Thái Giáo án bồi Dưỡng

Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1

Bài 2:

Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:

a) (m3+3m2 - 3m -3) 48

Ta có: m3+3m2 - 3m -3 = m2(m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1)

Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn

Tích 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48

Vậy (m3+3m2 - 3m -3) 48 +

b) Chứng minh ( 7.52n +12.6n ) 19; Với n là số nguyên dương

7.52n +12.6n = 7.52n +12.6n +7.6n - 7.6n =( 7.25n - 7.6n) + 19.6n = 7(25n - 6n)+19.6n

Do 7(25n - 6n)19 và 19.6n

19 Nên ( 7.52n +12.6n ) 19

Bài 3:

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn

0







z

c

y

b

x

a

và    1

c

z b

y a

x

2 2

2 2

2







c

z b

y a x

Từ    0

z

c

y

b

x

a

xyz

cxy bxz ayz

 ayz + bxz + cxy = 0

Từ    1

c

z

b

y

a

x

2 2

2 2

2

c

z b

y a

x



ab

xy

2

+

bc

yz

2

+

ac

xz

2

2 2

2 2

2

c

z b

y a

x



abc

xyc

2

+

abc

yza

2

+

acb

xzb

2

=1

Mà ayz + bxz + cxy = 0  2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc 0)

2 2

2

2

2







c

z b

y

a

x

(đpcm)

Bài 4:

a) Chứng minh: BE.DF = a2

Xét 2vuông: BEC và DCF có: BEC = DCF( cùng phụ với BCE)

Do đó BEC ~ DCF 

DF

BC DC

BE

 Hay BE.DF = BC.DC = a2

b) Chứng minh đẳng thức 22

AF

AE DF

BE



Xét 2vuông: BEC và AEF có: BEC = AEF

Do đó BEC ~ AEF 

F

A

AE BC

BE

 (1) Xét 2vuông: DCF và AEF có: DFC = AFE

Do đó DCF ~ AEF 

F

A

AE DF

DC

 (2)

A

C

B

D

E

Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

. 22

AF

AE DF

DC

BC

BE

AF

AE DF

BE



c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất

Ta có: SFAE =

2

F

.A AE

Mặt khác BE.DF = a2(không đổi)  BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF  BE+a = DF+a

Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là điểm đối xứng của A qua B

ĐỀ THI HSG LỚP 8 Năm học 2008 - 2009



















1 3 6

6 4

3 2

x x x

x

x



















2

10 2

2

x

x x

a) Rút gọn M

b)Tính giá trị của M khi x = 21

Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0

Bài 3:

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :

B =

1

) 1 ( 3 2 3









x x x

x

Bài 4:

Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G

a) Chứng minh: AE2 =EF.EG

b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi

Bài 5:

Chứng minh rằng nếu x x(12 yz yz) y y(12 xz xz)











Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1

Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)