GIAI PHUONG TRINH VO TI TREN MTCT

Mở đầu.Hiện nay việc sử dụng máy tính bỏ túi cho phép học sinh có thể tính nhanh giá trị đúng hoặc gần đúng nghiệm của phơng trình ,giúp cho học sinh tránh đợc những sai sót trong lời gi

Mở đầu.

Hiện nay việc sử dụng máy tính bỏ túi cho phép học sinh có thể tính nhanh giá trị

đúng (hoặc gần đúng) nghiệm của phơng trình ,giúp cho học sinh tránh đợc những sai sót trong lời giải,kiểm tra nhanh kết quả tìm đợc

Phơng trình vô tỉ là một trong những dạng bài toán khó đối với học sinh cấp THCS, trong phần phơng trình nói chung,cả trong chơng trình và trong các bài toán của đề thi.Đặc biêt là các kì thi HSG và thi vào lớp 10 PTTH.Giải phơng trình vô tỉ nói chung có nhiều phơng pháp và rất đa dạng.Tuy nhiên đa số các bài toán giải phơng trình vô tỉ thờng gặp ,học sinh có thể giải đợc bằng cách áp dụng một trong những phơng pháp sau

Một vài phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

dạng đơn giản.

I.Phơng pháp nâng lên lũy thừa

1 Ví dụ 1.

Giải phơng trình

X + x− 1 = 7

Lời giải:

X + x− 1 =7 (1)

ĐK: x ≥ 1 (*)

(1)⇔ x− 1 =7 – x (2)

ĐK:x ≤ 7 (**)

Bình phơng hai vế

(2) ⇔(7-x)2 = x- 7

⇔x2 - 15x + 50 = 0

⇔x1=5; hoặc x2=10 (loại)

Tập nghiệm của phơng trình là:

S ={ }5

Dùng máy tính kiểm tra kết quả:

(Ta thực hiện lần lợt các bớc từ trên xuống dới với máy CASIO fx-570MS)

*Bớc 1.

Viết phơng trình vào máy :

ALPHA X √ ( ALPHA X - 1 ) ALPHA = 7

*Bớc2.Lệnh cho máy giải nh sau :

√ (

SHIFT SOLVE = SHIFT SOLVE

Tiếp tục:

lặp lại lệnh trên vơí các nghiêm ± thứ nhất và thứ 2,………,thứ n,để máy tính giải…

*Bớc3.Chờ cho máy giải xong và lấy kết quả,so sánh với đáp số của lời giải.

Máy tính cho kết quả phơng trình chỉ có một nghiệm duy nhất X = 5

Ghi nhớ là : Phơng trình bậc n nếu có nghiệm ,thì sẽ có không quá n nghiệm.

II Phơng pháp đặt ẩn phụ:

1.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:

Ví dụ1.

Giải phơng trình

1

2 −

− x

x + x+ x2 − 1 = 2 (1)

Lời giải:

1

2 −

− x

x + x+ x2 − 1 = 2 (1)

Đặt x− x2 − 1 = t

ĐK: t > 0;

⇒ x+ x2 − 1 =

t

1

(1) có dạng:

t +

t

1

= 2 (2)

(2) ⇔t2- 2t +1 = 0

⇔t =1

⇔ x− x2 − 1=1

⇔x - 1 = x2 − 1

⇔1- 2x + x2 = x2- 1

⇔2x – 2 = 0

=

⇔ x = 1

S = { }1

*Sử dụng máy tính làm tơng tự ta cũng có kết quả phơng trình chỉ có một

nghiệm duy nhất X= 1

3.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích

a.Dùng một ẩn phụ

Ví dụ1:

Giải phơng trình:

x2 + x+ 1 = 1 (1)

Lời giải:

x2 + x+ 1 = 1 (1)

ĐK : x ≥ -1 (*)

⇔x2-1+ x+ 1 =0

⇔ (x+1)(x-1) + x+ 1 =0

⇔ (x+1)(x+1-2) + x+ 1 =0

Đặt x+ 1 = t

ĐK: t ≥ 0

(1)⇔t2(t2-2)+t=0

⇔t [ t3-2t+1]=o

(1) ⇔ t(t-1)(t2+t-1) = 0

⇔ hoặc t1 = 0

hoặc t2 = 1

hoặc t3 =

2

5

1 +

−

hoặc t4 =

2

5

1 −

− (loại)

S ={ 0 ; -1 ;1−2 5 }.

Kết quả của máy tính là :

Một nghiệm X1 = 0 và hai nghiệm âm

X2=-1 ;

x3≈- 0,618033908 ≈ (giá trị gần đúng của }

2

5

1 −

b.Sử dụng 2 ẩn phụ đa về phơng trình tích

Ví dụ 1.

Giải phơng trình

2(x2 + 2) = 5 x3 + 1 (1)

Lời giải:

2(x2 + 2) = 5 x3 + 1 (1)

ĐK: x ≥ -1(*)

Đặt : x+ 1 = u

1

2 −x+

x = v

ĐK: U ≥ 0 và V ≥ 0 (**)⇒

(1)⇔

U2 = x + 1

V2 = x2 – x + 1

⇔(2u-v)(u-2v) = 0

⇔hoặc u = 2v ,hoặc v = 2u

• với u = 2v ⇔ x+ 1 = 2 x2 −x+ 1

Phơng trình(2) vô nghiệm

• Với v = 2u ⇔ x2 −x+ 1 = 2 x+ 1 ; (3) ( 3) ⇔x2 - 5x - 3 = 0

x1 =

2

37

5 +

x2 =

2

37

5 −

S =





2

37 5

; 2

37 5

Kết quả Máy tính cho hai nghiệm là :

X1 = 5,541381265 ≈

2

37

5 +

X2 = - 0,541381265 ≈

2

37

5 −

4.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình đẳng cấp

Ví dụ 1

Giải phơng trình

2x2 - 3x + 2 = x 3x− 2 (1)

Lời giải:

2x2 - 3x + 2 = x 3x− 2 (1)

ĐK : x ≥ 32

(1) ⇔2x2- (3x-2) = x 3x− 2

Đặt :y = 3x− 2

ĐK : y ≥ 0 (*)

(1) ⇔2x2-y2 = xy (2), Có hai cách giải phơng trình (2)

*Cách 1 :Đặt y = tx.

(2) ⇔2x2-t2x2 = tx2

⇔x2(2-t2-t) = 0

⇔t1=1

t2 =- 2

*Với t1= 1⇔ 3x− 2 = x

⇔x2-3x+2 = 0

x1 = 1 hoặc

x2 = 2

*với : t2 = - 2 ⇔ y = -2x ⇔y < 0 (loại)

Vậy S = { }1 ; 2

*Cách 2 : (T ơng tự phần 5 sau đây).

Giải phơng trình bậc 2 đối với ẩn y ;

(2) ⇔ y2 + xy -2x2 = 0 (3)

⇔hoặc y1 = x hoặc y2 =- 2x (loại)

+ Với y1 ta có x1= 1 ; x2 = 2

Vậy S = { }1 ; 2

Kết quả Máy tính cũng cho hai nghiệm là :

X1 = 1

X2 =2

5.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc 2 đối với ẩn phụ

Ví dụ1 :

Giải phơng trình dạng :

x2+ x+a=a (1)

Lời giải:

x2+ x+a=a (1)

ĐK : x≥ - a (*)

(1) ⇔ x+a= a-x2

ĐK: a- x2 ≥ 0 (**)

Bình phơng hai vế ta đợc :

x+ a = a2 - 2.a.x2 + x4 (2)

(2) ⇔a2 – (2x2 + 1).a + x4 – x = 0 (3)

Giải phơng trình bậc hai với ẩn a ta đợc hai nghiệm:

Hoặc a1 = x2 + x + 1

*ĐK : (*) và (**) ; ta có : x2 + x + 1 – a = 0 (I)

Hoặc a2 = x2 – x

ĐK : (*) và (**) ; ta có : x2 – x – a = 0 (II)

Tiếp tục giải phơng trình bậc hai (I) và (II) hoặc dùng dồ thị ta có thể biện luận số nghiệm của phơng trình (1) dễ dàng.

( Có phụ bản đồ thị minh họa trang sau).

2.Ví dụ 2:

Giải phơng trình

6x2 - 10x + 5 - (4x – 1) 6x2 − 6x+ 5 = 0 (1)

Lời giải:

6x2 - 10x + 5 - (4x – 1) 6x2 − 6x+ 5 = 0 (1)

Đặt 6x2 − 6x+ 5 = t

ĐK : t ≥ 0 (*)

(1) ⇔ t2 – (4x-1)t – 4x = 0

Giải phơng trình bậc hai đối ẩn t ta đợc :

*Hoặc t1 = -1 .(loại)

* Hoặc t2= 4x , (2)

Với x ≥ 0 (**)

(2)⇔ 6x2 − 6x+ 5 = 4x

⇔6x2 – 6x + 5 = 16x2

⇔x =

10

59

3 ±

− Kết hợp (*) và (**) ta có :

S =











− +

10

59 3

Máy tính cho kết qủa X ≈ 0,468114574…≈

10

59

3 +

−

6.Sử dụng hai ẩn phụ đa về hệ phơng trình hai ẩn

a.Ví dụ 1

Giải phơng trình

x + 8 −x = 4

Lời giải:

x + 8 −x = 4 (1)

ĐK: 0 ≤ x ≤ 8 (*)

Đặt: U = x

V = 8 −x ĐK: U ≥ 0 và V≥ 0 (**).Phơng trình (1)

⇔

U + V = 4

U2 + V2 = 8

⇔U = V = 2

Hay x = 8 −x = 2

⇔x = 4

S = { }4 .

Phơng trình này máy tính không giải đợc.

(Ta có thể cho máy tìm nghiệm phơng trình x = 4 - 8 −x sẽ đợc nghiệm

x ≈ 4 )

b.Ví dụ 2.

Giải phơng trình :

4 97 −x + 4 x = 5

Lời giải:

4 97 −x + 4 x = 5 , (1)

ĐK: 0 ≤ x ≤ 97 (*)

Đặt:

4 97 −x = U

4 x = V

ĐK: U ≥ 0 và V≥ 0 (**) Từ (1)

Ta có hệ:

U + V = 5

U4 + V4 = 97

⇔ U1 = 3 hoặc U2 = 2

V1 = 2

V2 = 3

⇔ hoặc x1 = 81 hoặc x2 = 16.Kết hợp với (*) ta đợc :

S = {81 ; 16}

Máy tính cũng cho kết quả hai nghiệm là :16 và 81

***HếT***

Vĩnh Hùng,ngày 8 tháng 3 năm 2009.

GV viết sáng kiến.

Trịnh Văn Dũng

Tài liệu tham khảo:

1.Hớng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx-570 MS và tơng đơng

2.Đề thi HSG THCS và thi vào lớp 10 THPT các năm trớc 2009

3.Toán sơ cấp

4.Toán học& tuổi trẻ.

*****& *****