MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:1-Phương pháp bình phương hai vế của PT: Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT.
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT
Ví du 1ï:Giải PT:2+ 2x− 1 =x(1)
Giải:ĐK:x ≥21(2)
PT(1) ⇔ 2x− 1 =x− 2 ( 3 );ĐK: x≥ 2(3)⇔ 2x− 1 = (x− 2 ) 2 ( 5 ) ⇔x2 − 6x+ 5 = 0
Ví dụ 2:Giải PT: x+ 1 − x− 2 = 1 ( 1 )
Giải:ĐK:x ≥ 2(2) PT(1) ⇔ x+ = + 1 1 x− 2 (3).Hai vế của (3) không âm bình
ĐK (2) Vậy PT có nghiệm x = 3
2-Phương pháp:Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ: Giải PT: x2 − 4x+ 4 +x= 8(1)
2
=
Thuộc khoảng đang xét.
Nếu x 2thì -x 2 x 8,PT vo ânghiệm
Kết luận x 5
3-Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ:Giải pT:x2 - x2 − 2 = 4
Giải:ĐK: x2 ≥ 2;PT đã cho có dạng: x2 − 2 − x2 − 2 − 2 = 0
Đặt : x2 − 2 =t ≥ 0 PT có dạng t 2 −t− 2 = 0 Giải t 1 = 2 ;t2 = − 1 ( loại)
Kết luận:x = ± 6
4-Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ:
Giải PT: 3 x− 2 + x+ 1 = 3;
Ta có HPT sau:
≥
=
−
= +
) 4 ( 0
) 3 ( 3
) 2 ( 3 3 2
z
y z
z y
;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;Giải tìm x = 3(Thoã
mãn)
Kết luận:x= 3
5-Phương pháp BĐT:
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:
Trang 2ĐK:x ≥ 1;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Do đó
nghiệm vô
PT vậy âm không phải
vế âm số một (1)là trái Vế
⇒
−
<
− 1 5x 1
x
b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế:
Ví dụ: Giải PT: 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 − 2x−x2
Giải:Vế trái của PT: 3 (x+ 1 ) 2 + 4 + 5 (x+ 1 ) 2 + 9 ≥ 4 + 9 = 5
KL:x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 Thì 3 x− 2 > 1 , x+ 1 > 2.Nên vế trái của (1) >3
Với -1 ≤x< 3 Thì 3 x - 2 < 1 ; x+ 1 < 2.Nên vế trái của (1)<3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng :
1
x x
x
a
b b
a
Với a>0,b>0 Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b
4
1 (
0 1 4 1
4 1
=
6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
5
3 2
3 1
4 + − − = x+
x x
2
≥
x
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
) 2 3 1 4 ( 5
3
+
( + 3)( 4 + 1 + 3 − 2 − 5)= 0 ⇔ 4 + 1 + 3 − 2 = 5 + 3 > 0
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT
III- LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải PT: x2 − 4 =x− 2 ( 1 );HD:ĐK:x ≥ 2Bình phương hai vế giải x = 2
4
1 2
+
4
1 ≥ ⇒ = 2 −
x
2
1 2
=
+
2 1
2 − ⇔x= −
Trang 3Bài 3:GiảiPT: 1 1 ( 1 )
x x
3 1
1
=
⇔
=
≤
Bài 4:Giải PT:
3 4
1
)
1 2
1
)
1 1
)
= + +
−
= +
−
−
−
=
+
x x
c
x x
b
x
x
a
; HD:Dùng Phương pháp bình phương hai vế
x
x x
+
=
−
−
1
3 2 2
0 ) 3 )(
1 (
1
x x
x x
nghiệm
Bài 6:Giải các PT sau:
3 5 3
14 5
)
; 1 2
1
− +
−
−
−
−
=
−
x
x x
b x
x
Bài 7:Giải PT:a) 3 −x = 3x− 5;b) 5 +x − 2x= 7
Câu: a) Biến đổi Tương đương
= +
−
≥
0 22 29
5
2 x x x
Câu: b)Tương tự
Bài 8 :Giải PT:3x2 +2x = 2 x2 +x+ 1 −x(1);HD:Biến đổi (1)3x2 + 3x− 2 x2 +x− 1 = 0
Thay giải tìm x
Bài 9:Giải :a) x2 − 2x+ 1 + x2 − 4x+ 4 = 3 ; b) x+ 3 + 4 x− 1 + x+ 8 − 6 x− 1 = 5
HD:Biến đổi về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 10:Giải PT:x2 +4x +5 = 2 2x+ 3 (1);HD ĐK: x ≥−32;Biến đổi (1)
=
− +
= +
⇔
=
− + +
+
⇔
0 1 3 2
0 1 0
1 3 2
2 2
2
x
x x
x
Bài 11:Giải các PT:
1 2 2 )
; 2 3 4
4
)
1 2 5
2 )
4 4 ) 4
2
)
2 2
2 2
−
= +
− +
= +
−
−
−
= +
−
−
=
−
−
=
−
x x x e x x
x
d
x x x x c x
x b x
x
a
Câu a,b,,d,e;Dùng phép biến đổi
=
≥
⇔
B A
B B A
Câu c:Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Trang 4Bài 12:GiảiPT:
) 1 ( 11 6 4
2
)
) 1 ( 2 4 14 10 5 7 6
3
)
2
2 2
2
+
−
=
− +
−
−
−
= + + +
+
+
x x x x
b
x x x
x x
x
a
Dùng BĐT:
“=” xẩy ra khi và chỉ khi ….x=3
Vậy PT có nghiêm là x= 3
Bài 13:Giải PT: x+ 1 + 3 −x− (x+ 1 )( 3 −x) = 2