Phức koszul và lý thuyết bội

Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặctrưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M và một dãy x trong R là một hệ bội của M.. multiplici-ties” đã giới th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Dương Quốc Việt

HÀ NỘI - 2013

Lời nói đầu

Lý thuyết Bội là một trong những lý thuyết quan trọng của cả Đại số giaohoán và Hình học đại số Nó phát triển từ khái niệm bội của nghiệm của một đathức và việc đếm số bội giao trong Hình học đại số Trong khoảng một thế kỷqua, nó đã được phát triển theo nhiều cách thức bởi các tên tuổi lớn của Toánhọc thế giới

Kết quả nổi bật nhất về Lý thuyết Bội được viết lên bởi Jean-Pierre Serrenăm 1965 trong “Algèbre locale Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặctrưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M

và một dãy x trong R là một hệ bội của M Gọi H•(x , M ) là đồng điều Koszulcủa x với hệ số trong M và I = (x ) là ideal của R Khi đó, đặt

χ(x , M ) = X

i

(−1)il(Hi(x , M ))thì theo định lý Serre ta có

Năm 1958, trong bài báo “Codimension and multiplicity”, M Auslander và

D A Buchsbaum đã chứng minh được một phiên bản của định lý Serre đối vớimọi vành Noether, đồng thời đưa ra mô tả rõ ràng cho khái niệm bội

D G Northcott năm 1968 trong “Lessons on rings, modules, and

multiplici-ties” đã giới thiệu khái niệm “bội hình thức (multiplicity symbol)”, và phát triểnmột cách hệ thống lý thuyết bội từ những tính chất hình thức của khái niệmnày.

Liên quan đến đặc trưng Euler-Pointcaré, với mọi j ≥ 0, đặt

Mục đích chính của luận văn là hệ thống lại một cách chi tiết một số kếtquả cơ bản của Lý thuyết bội, trong đó, nội dung chính là chứng minh định lýSerre Để làm được điều này, luận văn được tiến hành theo 2 chương:

Chương 1: Trình bày về phức Koszul, những tính chất của phức Koszul vàđồng điều Koszul, chuẩn bị các kiến thức cần thiết để định nghĩa đặc trưngEuler-Pointcaré của phức Koszul

Chương 2: Trình bày về hàm Hilbert, bội hình thức và những tính chất củabội hình thức Trong đó:

Mục 2.1 trình bày hàm Hilbert, đa thức Hilbert của một module phân bậccùng các tính chất liên quan

Mục 2.2 nói về bội của một module hữu hạn sinh, bội hình thức và một sốkết quả chính của Lý thuyết bội, trong đó có định lý Serre và các hệ quả của

nó Đây là nội dung chính của luận văn

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt

tình, sâu sắc của PGS TS Dương Quốc Việt Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thànhnhất, sâu sắc nhất đến người thầy của tôi Tôi cũng xin cảm ơn các thầy côtrong Hội đồng phản biện đã đọc và cho tôi những ý kiến quý báu Ngoài ra, tôicũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ môn Đại số, khoaToán Tin cùng các thầy cô khác đã giảng dạy, hướng dẫn, tạo điều kiện để tôihoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 09 năm 2013Người thực hiện

Phạm Văn Bản

2 Lý thuyết bội 212.1 Hàm Hilbert - Samuel 212.2 Lý thuyết bội 29Tài liệu tham khảo 44

Danh mục các ký hiệu

R Vành giao hoán, có đơn vị 1 6= 0

(R, m) Vành địa phương Noether với ideal cực đại là m

N M Lũy thừa tensor của R−module M

V M = (N M ) /= Đại số ngoài của M

x ∧ y Tích trong V M

Vi

M Lũy thừa ngoài thứ i của M

K•(f ) Phức Koszul của dạng tuyến tính f

K•(f, M ) = K•(f ) ⊗RM Phức Koszul của f với hệ số trong M

H•(f ) Đồng điều Koszul của f

H•(f, M ) Đồng điều Koszul của f với hệ số trong M

H•(f ) = H•(K•(f )) Đối đồng điều Koszul của f

H•(f, M ) = H•(K•(f, M )) Đối đồng điều Koszul của f với hệ số trong Mgrade(I, M ) Bậc của M trong I

H(M, n) Hàm Hilbert của module phân bậc M

HM(t) Chuỗi Hilbert của module phân bậc M

∆ Toán tử số gia

PM(X) Đa thức Hilbert của module phân bậc M

e(M ) Bội của module phân bậc M

grI(R) Vành phân bậc liên kết của R theo ideal I

grI(M ) Module phân bậc liên kết của M theo ideal I

χIM(n) Hàm Hilbert - Samuel của M theo ideal I

e(I, M ) Bội của M theo I

R+(I) =L∞

i=0Iiti Vành Rees

R+(I, M ) =L∞

i=0IiM tiλ(I, M ) Độ trải giải tích của I theo M

λ(I) = λ(I, R) Độ trải giải tích của I

e(x , M ) Bội hình thức

χ(x , M ) Đặc trưng Euler của đồng điều Koszul H•(x , M )

Kq(R) Phạm trù các R−module hữu hạn sinh, mà có số

chiều không quá q

χj(x , M ) Đặc trưng Euler từng phần của M theo x

Chương 1

Phức Koszul

Phức Koszul lần đầu xuất hiện trong " ¨Uber die Theorie der algebraischenFormen" (1890) của Hilbert: sau khi chứng minh định lý syzygy, Hilbert xácđịnh một phép giải tự do của k[X1, , Xn]−module k

Phức Koszul K•(x ) là một công cụ hữu hiệu để tìm hiểu tính chất của mộtdãy x = x1, , xn các phần tử trong vành R Ta có thể tính grade(I, M ) thôngqua đồng điều của K•(x ) ⊗ M trong đó I là ideal sinh bởi x

Hơn nữa, phức Koszul vừa có cấu trúc một phức, lại vừa có cấu trúc đại số

Để nhấn mạnh điều này, ta giới thiệu một cách tổng quát phức Koszul từ cácdạng tuyến tính Các kết quả chính về phức Koszul trong chương này được đưa

ra từ [4]

Để thuận tiện cho bạn đọc, xin bắt đầu từ lũy thừa ngoài và đại số ngoài

1.1 Lũy thừa ngoài và đại số ngoài

Cho R là một vành, M là một R−module Chúng ta xét R như một vànhphân bậc với một phân bậc tầm thường Đặt M⊗i là lũy thừa tensor thứ i của

M , nghĩa là tích tensor M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M của i nhân tử M , với i > 0, và R ứngvới i = 0 Lũy thừa tensor có dạng một R−module phân bậc

x ∧ y = (−1)(deg x)(deg y)y ∧ x với mọi phần tử thuần nhất x, y ∈^Mvà

x ∧ x = 0 với mọi phần tử thuần nhất x, deg x lẻ

Cho x1, , xn ∈ M và π là một hoán vị của {1, 2, , n} Khi đó

xπ(1)∧ · · · ∧ xπ(n) = σ(π)x1∧ · · · ∧ xn

trong đó σ(π) là dấu của π Hơn nữa, x1∧ · · · ∧ xn = 0 nếu xi = xj với i 6= jnào đó Cho một tập con I của {1, 2, , n}, ta đặt

xI = xi1 ∧ · · · ∧ xim ở đó I = {i1, , im} với i1 < · · · < im

Với các tập con J, K ⊂ {1, 2, , n} thỏa J ∩K = ∅, ta đặt σ(J, K) = (−1)i,

ở đó i là số các phần tử (j, k) ∈ J ×K với j > k Nếu J ∩K 6= ∅, đặt σ(J, K) = 0.Khi đó

xJ ∧ xK = σ(J, K)xJ ∪K

Ký hiệu xI có thể được mở rộng một cách tổng quát trong trường hợp (xg)g∈G

là một họ các phần tử của M được đánh số mởi một tập sắp thứ tự tuyến tính

G và I là một tập con hữu hạn của G

Thành phần bậc thứ i của V M được ký hiệu là ViM và được gọi là lũythừa ngoài của M Từ định nghĩa của V M , dễ dàng suy ra có các đẳng cấu tựnhiên V0

M ∼= R, V1M ∼= M , do đó, ta có thể đồng nhất R và V0M , M và

V1

M

Cho (xg)g∈G là một hệ sinh của M Khi đó, Vj

M được sinh bởi các tíchngoài xI với I ⊂ G và |I| = j Đặc biệt, nếu M được sinh bởi x1, , xn thì

Vi

M = 0 với mọi i > n

Đại số ngoài được đặc trưng bởi tính phổ dụng mà nó kế thừa từ thuộc tínhnày của đại số tensor: Cho một ánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → E từ M vàomột R−đại số E thỏa ϕ(x)2 = 0 với mọi x ∈ M , tồn tại duy nhất một đồngcấu R−đại số ψ :V M → E là mở rộng của ϕ Từ đây ta suy ra với mỗi ánh xạR−tuyến tính ϕ : M → N thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R−đại số ∧ϕ saocho biểu đồ

giao hoán (nat là đồng cấu nhúng tự nhiên), ∧ϕ là đồng cấu bậc 0 thỏa

∧ϕ(x1∧ · · · ∧ xn) = ϕ(x1) ∧ · · · ∧ ϕ(xn)với mọi x1, , xn ∈ M Nếu ϕ là một toàn cấu thì ∧ϕ cũng là một toàn cấu,

và Ker ∧ϕ là ideal được sinh bởi Ker ϕ Ánh xạ Vi

M →Vi

N cảm sinh từ ∧ϕđược ký hiệu là ∧iϕ Giả sử ϕ là một toàn cấu, khi đó ∧iϕ cũng là toàn cấu, và

từ mô tả của Ker ∧ϕ và tính chất thay phiên của V M ta dễ dàng suy ra dãy

Lũy thừa ngoài Vi

M cũng được đặc trưng bởi thuộc tính phổ dụng: Với mọiánh xạ i−tuyến tính thay phiên α : Mi → N (N là một R−module), tồn tạiduy nhất một ánh xạ R−tuyến tính λ : Vi

M → N sao choα(x1, , xi) = λ(x1∧ · · · ∧ xi)với mọi x1, , xi ∈ M

Một thuộc tính quan trọng của đại số ngoài là nó giao hoán với sự mở rộng

cơ sở: Nếu R → S là một đồng cấu của các vành giao hoán, thì có một đẳng cấu

tự nhiên

^

M⊗RS ∼= ^(M ⊗RS)giữa các S−đại số phân bậc

Cho M1, M2 là các R−module Trên (V M1) ⊗ (V M2) ta định nghĩa mộtphép nhân như sau

(x ⊗ y)(x0⊗ y0) = (−1)(deg y)(deg x0)(x ∧ x0)(y ∧ y0)với mọi phần tử thuần nhất x, x0 ∈ V M1, y, y0 ∈ V M2 Dễ kiểm tra rằng(V M1) ⊗ (V M2) với phép nhân trên là một R−đại số phân bậc thay phiên

Thành phần bậc 1 của nó là (M1⊗ R) ⊕ (R ⊗ M2) ∼= M1⊕ M2 Bởi thuộc tínhphổ dụng của đại số ngoài, ánh xạ tự nhiên M1⊕ M2 → (V M1) ⊗ (V M2) mởrộng thành một đồng cấu R−đại số φ : V (M1⊕ M2) → (V M1) ⊗ (V M2).

Ta có nghịch đảo ψ : (V M1) ⊗ (V M2) →V (M1⊕ M2) của φ xác định bởi

ψ(x ⊗ y) = ψ1(x) ∧ ψ2(y)trong đó ψi : V Mi → V (M1 ⊕ M2) là mở rộng của phép nhúng tự nhiên

Mi → M1⊕ M2 Tích hợp thành φ ◦ ψ và ψ ◦ φ là những ánh xạ đồng nhất trên(V M1) ⊗ (V M2) và V (M1⊕ M2) Từ đó ta có đẳng cấu

^

M1⊗^M2 ∼= ^

(M1⊕ M2)giữa các R−đại số phân bậc thay phiên

Ta xét một trường hợp quan trọng nhất của M : một R−module tự do hữuhạn sinh F Giả sử e1, , en là cơ sở của F Các phần tử có dạng

eI với I ⊂ {1, 2, , n} và |I| = i,

là một cơ sở của Vi

F Trong trường hợp đặc biệt, Vi

F là tự do có hạng là ni
,bảng nhân trong V F liên kết với cơ sở này được cho bởi

là một phức Tính chất thứ hai chứng tỏ rằng df là một vi phân ngoài.

Định nghĩa 1.1 Phức (1.1) được gọi là phức Koszul của f , ký hiệu là K•(f ).Tổng quát, nếu M là một R−module thì phức K•(f ) ⊗R M được gọi là phứcKoszul của f với hệ số trong M , ký hiệu là K•(f, M ); vi phân của nó được kýhiệu là df,M

Mệnh đề 1.2 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính

a Phức Koszul K•(f ) mang cấu trúc của một đại số thay phiên phân bậc kếthợp, cụ thể là V L.

b Vi phân df của nó là một vi phân ngoài bậc −1

c Với mọi R−module M , phức K•(f, M ) là một K•(f )−module một cách tựnhiên

d Ta có df,M(x.y) = df(x).y + (−1)deg xx.df,M(y) với mọi phần tử thuần nhất

x ∈ K•(f ) và y ∈ K•(f, M )

Chứng minh: a và b được suy ra từ phần mô tả trước mệnh đề

c là rõ ràng: nếu A là một R−đại số, thì A ⊗RM là một A−module với mọiR−module M

= df(x).y + (−1)deg xx.df,M(y) 

Cho tập con S của K•(f ) và tập con U của K•(f, M ), đặt S.U là R−modulecon của K•(f, M ) sinh bởi các tích s.u với s ∈ S, u ∈ U

Đặt

Z•(f ) = Ker df, Z•(f, M ) = Ker df,M

B•(f ) = Im df, B•(f, M ) = Im df,M

Định nghĩa 1.3 Đồng điều H•(f ) = Z•(f )/B•(f ) được gọi là đồng điều Koszulcủa f Với mọi R−module M , đồng điều H•(f, M ) = Z•(f, M )/B•(f, M ), đượcgọi là đồng điều Koszul của f với hệ số trong M

Theo Mệnh đề 1.2d ta dễ dàng nhận được các quan hệ sau

Z•(f ).Z•(f, M ) ⊂ Z•(f, M ), Z•(f ).B•(f, M ) ⊂ B•(f, M ),

B•(f ).Z•(f, M ) ⊂ B•(f, M )

Chúng ta có một đẳng cấu tự nhiên K•(f ) ∼= K•(f, R) Quan hệ đầu tiênkéo theo Z•(f ) là một R−đại số con phân bậc của K•(f ), quan hệ thứ hai vàthứ ba chỉ ra rằng B•(f ) là một ideal của Z•(f )

Mệnh đề 1.4 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính

a Đồng điều Koszul H•(f ) mang cấu trúc của một R−đại số thay phiên phânbậc kết hợp

b Với mọi R−module M , đồng điều H•(f, M ) là một H•(f )−module một cách

tự nhiên

Chứng minh: a H•(f ) là một R−đại số được suy ra từ phần mô tả trướcmệnh đề Những tính chất còn lại được kế thừa từ thương của R−đại số conphân bậc của K•(f ) trên các ideal phân bậc

b Quan hệ đầu tiên bên trên chứng tỏ rằng Z•(f, M ) là một Z•(f )−module,quan hệ thứ hai chứng tỏ rằng B•(f, M ) là một Z•(f )−module của Z•(f, M ),

và quan hệ thứ ba kéo theo Z•(f, M )/B•(f, M ) bị triệt tiêu bởi B•(f ) 

Mệnh đề 1.5 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính Đặt I = Im f

a Với mọi a ∈ I, phép nhân bởi a trên K•(f ), K•(f, M ), K•(f ), K•(f, M ) làđồng luân rỗng

b Đặc biệt, I làm triệt tiêu H•(f ), H•(f, M ), H•(f ), H•(f, M )

c Nếu I = R thì các phức K•(f ), K•(f, M ), K•(f ), K•(f, M ) là các đồng luânrỗng Đặc biệt, đồng điều và đối đồng điều của chúng biến mất

Chứng minh: a Ta chọn x ∈ L và a = f (x) Đặt ϑa là phép nhân bởi a trên

K•(f ), và λx là phép nhân trái bởi x trên K•(f ) Khi đó, dễ kiểm tra rằng

ϑa = df ◦ λx+ λx◦ df.Khi đó, phép nhân bởi a trên K•(f ) là một đồng luân rỗng Do ϑa ⊗ M vàHom(ϑa, M ) là các phép nhân bởi a trên K•(f, M ) và K•(f, M ) nên phầncòn lại của a được suy ra

b Ta có nếu ϕ là một đồng cấu phức đồng luân rỗng thì ánh xạ cảm sinh bởi

ϕ trên đồng điều là ánh xạ không Khi đó từ a ta suy được b

c Ta chọn a = 1, sau đó áp dụng a và b 

Cho L1, L2 là các R−module, f1 : L1 → R và f2 : L2 → R là các ánh xạR−tuyến tính Khi đó, f1 và f2 cảm sinh một dạng tuyến tính f : L1⊕ L2 → Rxác định bởi

f (x1⊕ x2) = f1(x1) + f2(x2)

Mệnh đề 1.6 Với f1, f2 và f như giới thiệu trên, ta có một đẳng cấu giữa cácphức

K•(f1) ⊗RK•(f2) ∼= K•(f )

Chứng minh: R−đại số phân bậc nằm dưới K•(f1) ⊗RK•(f2) và K•(f ), cụ thể

làV L1⊗V L2 và V L = V(L1⊕ L2) là đẳng cấu nhau, nên ta có thể đồng nhấtchúng Vi phân df là vi phân ngoài trên V L, khi thu hẹp trên thành phần bậcnhất L = L1⊕ L2 thì trùng với df1 ⊗ df2 Một vi phân ngoài trên đại số ngoài

V L xác định duy nhất bởi các giá trị của nó trên L Do vậy, ta chỉ cần chỉ rarằng df1 ⊗ df2 cũng là một vi phân ngoài Thật vậy, thành phần bậc thứ n của

L1⊗Vn−i

L2 Khi đó ta dễ dàng suy ra df1⊗ df2 cũng là một

Mệnh đề 1.7 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính Giả sử ϕ : R → S là một đồng cấu vành Khi đó,

a Ta có một đẳng cấu tự nhiên K•(f ) ⊗RS ∼= K•(f ⊗ S)

b Ngoài ra, nếu ϕ là phẳng thì H•(f, M ) ⊗ S ∼= H•(f ⊗ S, M ⊗ S) với mọiR−module M

Chứng minh: Có một đẳng cấu tự nhiên (V L) ⊗ S ∼=V(L ⊗ S), và df⊗ S và

df ⊗S đều là các vi phân ngoài trùng nhau ở thành phần bậc 1 Do đó, chúng ta

có thể lập luận như trong chứng minh của Mệnh đề 1.6 và điều này suy ra a

b lập tức được suy ra từ tính chất H•(C•⊗ S) = H•(C•) ⊗ S với mọi phức

C• trên R nếu S là một R−module phẳng 

Giả sử L, L0 là các R−module với các dạng tuyến tính f : L → R và f0 : L0→

R Mỗi R−đồng cấu ϕ : L → L0 mở rộng thành một đồng cấu ∧ϕ :V L → V L0

của các R−đại số Khi đó

Mệnh đề 1.8 Nếu f = f0◦ ϕ thì ∧ϕ : K•(f ) → K•(f0) là một đồng cấu giữacác phức

Cho L là một R−module tự do hữu hạn sinh với cơ sở e1, , en Khi đó,một dạng tuyến tính f trên L xác định duy nhất bởi các giá trị xi = f (ei),

i = 1, , n Ngược lại, cho một dãy x = x1, , xn thì tồn tại một dạng tuyếntính trên L thỏa f (ei) = xi Ta đặt

K•(x ) = K•(f )

và gọi là phức Koszul của dãy x Từ đây, chúng ta chỉ xem xét các phức Koszul

K•(x ) Từ f có thể xem là tổng trực tiếp của các dạng tuyến tính fi : R → R,

fi(1) = xi, từ Mệnh đề 1.6 ta suy ra đẳng cấu

K•(x ) ∼= K•(x0) ⊗ K•(xn) ∼= K•(x1) ⊗ · · · ⊗ K•(xn),trong đó x0 = x1, , xn−1 Khi đó, ta thấy rằng K•(x ) là một bất biến dướihoán vị của x

Đặt ideal I = (x ) Cho F•là một phép giải xạ ảnh của R/I Khi đó, H0(x ) =R/I, tồn tại một đồng cấu giữa các phức ϕ : K•(x ) → F• mà là đồng nhất trênR/I; chú ý rằng ϕ là đồng luân duy nhất

Mệnh đề 1.9 Cho R là một vành, x = x1, , xn là một dãy trong R và

I = (x) Với mọi i, tồn tại đồng cấu tự nhiên

Hi(x, M ) → TorRi (R/I, M ) và ExtiR(R/I, M ) → Hi(x, M )

Chứng minh: Đồng cấu ϕ ở trên sinh ra các đồng cấu giữa các phức ϕ ⊗ M :

(Cách xác định này không gây mơ hồ nếu ta đồng nhất R và R∗ thông qua đẳng

cấu tự nhiên.) Nó ngay lập tức kéo theo

(1.2)

Điều này chứng tỏ rằng ωi là một đẳng cấu Nếu chúng ta ký hiệu cơ sở liên

hợp của (eI) là (e∗I), thì (1.2) cho ta

ωi(eI) = σ(I, I)e∗Itrong đó I = {1, 2, , n}\I Ta xét biểu đồ sau

K•(x ) : 0

n

^L

!∗ n

^L

Mệnh đề 1.10 Cho x = x1, , xn là một dãy trong vành R.

a Với các ký hiệu như vừa giới thiệu trên, ta có

ωi−1◦ di = (−1)i−1d∗n−i+1◦ ωivới mọi i

b Các phức K•(x) và K•(x) = (K•(x))∗ là đẳng cấu nhau (ta nói K•(x) tự liênhợp)

c Tổng quát hơn, với mọi R−module M thì phức K•(x, M ) và K•(x, M ) làđẳng cấu, và

d Hi(x, M ) ∼= Hn−i(x, M ), với mọi i = 0, 1, , n

Chứng minh: a Với mọi i = 1, , n, xét eI với I ⊂ {1, , n}, |I| = i Khi

đó, ta có

ωi−1◦ di(eI) = (−1)i−1d∗n−i+1◦ ωi(eI), ∀I

Mà {eI} là cơ sở của Vn

L nên ta suy ra

ωi−1◦ di = (−1)i−1d∗n−i+1◦ ωi

b Từ ωi là đẳng cấu nên ta suy ra ánh xạ τ = (−1)i(i−1)2 ωi xác định một đẳngcấu K•(x ) ∼= K•(x ) = (K•(x ))∗

c Ta chú ý rằng: có một đồng cấu tự nhiên N∗ ⊗ M → HomR(N, M ) vớiR−module M, N Nếu N là R−module tự do hữu hạn sinh thì đồng cấu trên

là một đẳng cấu, và nó cảm sinh ra đẳng cấu K•(x )⊗M ∼= HomR(K•(x ), M )

Áp dụng b ta suy ra c

d là một kết quả tầm thường thu được từ c 

Mệnh đề 1.11 Cho R là một vành, x = x1, , xn là một dãy trong R, các

0 → U → M → N → 0 là một dãy khớp các R−module Khi đó dãy cảm sinh

a Với mọi phức C• các R−module ta có dãy khớp

0 → Ci −→ Cı i⊕ Ci−1 −→ Cπ i−1 → 0

trong đó ı và π là các phép nhúng và phép chiếu tự nhiên Nếu ∂ là vi phân của

C• thì vi phân d trên Ci⊕ Ci−1 được cho bởi ma trận

Đồng cấu nối trong dãy khớp cảm sinh được xác định bởi tương ứng sau: Với

z ∈ Ci−1 sao cho ∂(z) = 0

Các ánh xạ tự nhiên Ci ⊕ Ci−1 → Ci → Ci/xCi tạo ra đồng cấu phức

C• ⊗ K•(x) → C•/xC• Cho z ∈ Ci sao cho ∂(z) ∈ xCi−1, khi đó tồn tại

z0 ∈ Ci−1 sao cho ∂(z) = xz0, và d(z, (−1)iz0) = (0, (−1)i∂(z0)) Tiếp theo ta cóx∂(z0) = ∂(∂(z)) = 0, do đó ∂(z0) = 0 do phép nhân bởi x là một đơn cấu trong

C•: (z, (−1)iz0) là tạo ảnh của z ∈ Ci/xCi Khi đó ta được ánh xạ liên kết củađồng điều là một đẳng cấu, hay

Chứng minh: a là trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 1.12.b khi ta cho C• =

K•(x0, M ) và sử dụng đẳng cấu

K•(x0, M ) ⊗ K•(xn) ∼= K•(x0) ⊗ M ⊗ K•(xn) ∼= K•(x , M )

Với b., ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p = 1, trường hợp tổng quátđược suy ra bằng quy nạp Ta hoán vị dãy x thành x2, , xn, x1 và áp dụngMệnh đề 1.12.c 

Hệ quả 1.14 Cho R là một vành, x là một dãy trong R và M là một R−module

a Nếu x là một M −dãy thì K•(x, M ) là một cyclic

b Nếu x là một R−dãy thì K•(x) là một phép giải tự do của R/(x)

Nhận xét 1.15 Cho R là một vành phân bậc và x = x1, , xn là một dãycác phần tử thuần nhất Khi đó x cảm sinh một dạng tuyến tính bậc 0 trên

F = Ln

i=1R(− deg xi) Phức Koszul K•(x ) là một phức phân bậc với một viphân bậc 0 nếu ta xác định trên V F một sự phân bậc như phần mô tả trên.Đặc biệt, ta có Vn

F ∼= R(−Pn

i=1deg xi)

Sự quan trọng của phức Koszul xuất phát từ việc H•(x , M ) có độ dài làgrade(I, M ) nếu M là một module hữu hạn sinh trên một vành Noether R và

I = (x ) Giả sử sự hữu hạn trong phát biểu trên là cần thiết để làm rõ ràng

sự tồn tại của M −dãy trong I từ sự triệt tiêu của module đồng điều Hi(x , M ).Định lý sau được phát biểu mà không có giả sử này:

Định lý 1.16 Cho R là một vành, x = x1, , xn là một dãy trong R và M làmột R−module Nếu I = (x) chứa một M −dãy yếu y = y1, , ym thì

Hn+1−i(x, M ) = 0 với i = 1, , mvà

Hn−m(x, M ) ∼= HomR(R/I, yM ) ∼= ExtmR(R/I, M )

Chứng minh: Đẳng cấu cuối được chứng minh trong [2].

Ta chứng minh ý còn lại bằng quy nạp theo m Với m = 0 ta cần chỉ ra rằng

Hn(x , M ) ∼= HomR(R/I, M )

Từ Mệnh đề 1.10 ta có Hn(x , M ) ∼= H0(x , M ) và H0(x , M ) đẳng cấu vớiHomR(R/I, M ) một cách tự nhiên Một cách rõ ràng, nếu ta đồng nhấtVn

R⊗Mvới R ⊗ M ∼= M thông qua một định hướng ωn của Rn, thì Hn(x , M ) trở thànhR−module con {y ∈ M |Iy = 0} của M

Cho m ≥ 1, đặt M = M/y1M Dãy khớp ngắn

0 → M −y→ M → M → 01cảm sinh dãy khớp

a Tất cả các module Hi(x, M ), i = 1, , n triệt tiêu nếu và chỉ nếu M = IM

b Giả sử rằng Hi(x, M ) 6= 0 với i nào đó, và đặt

h = max{i : Hi(x, M ) 6= 0}

Thì mọi M −dãy cực đại trong I đều có độ dài là g = n−h, hay grade(I, M ) =

n − h

Chứng minh: a Chiều ⇒ là tầm thường: Nếu M = IM ⇔ H0(x , M ) ∼=M/IM = 0.

⇐: Ta chọn một ideal nguyên tố p Do Mệnh đề 1.7 và tính phẳng của địaphương hóa nên ta có (Hi(x , M ))p ∼= H

i(x , Mp) trong đó x được xem như mộtdãy trong Rp của vế phải

Nếu I 6⊂ p thì Hi(x , Mp) = 0 theo Mệnh đề 1.5

Nếu I ⊂ p thì Mp = 0 theo bổ đề Nakayama, và ta lại có Hi(x , Mp) = 0.Vậy, Hi(x , M ) = 0, với mọi i = 0, , n

b Do a nên ta suy ra M 6= IM Đặt y là M −dãy cực đại trong I, khi đó,

y có chiều dài là g = grade(I, M ) Khi đó, theo Định lý 1.16 thì Hi(x , M ) = 0với mọi i = n − g + 1, , n và Hn−g(x , M ) ∼= ExtgR(R/I, M ) 6= 0

Cho y là một M −dãy cực đại trong I, giả sử y có chiều dài là g Khi

đó Hi(x , M ) = 0 với mọi i = n − g + 1, , n do Định lý 1.16 và hơn nữa,

Hn−g(x , M ) ∼= HomR(R/I, M/y M ) Do I chứa ước của không của M/y M nênmodule này khác không 

Hệ quả 1.14 có thể đảo ngược cho vành địa phương Chúng ta cần bổ đề sau

Hi(x0, M ) −−→ H±xn i(x0, M ) −→ Hi(x , M )

Các module này là hữu hạn sinh Nếu Hi(x , M ) = 0 thì phép nhân bởi