ỨNG DỤNG MÔ HÌNH VÀ LÝ THUYẾT MẠNG NHIỀU CỰC ĐỂ PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CÁC MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH

Từ khái niệm và mô hình mạng nhiều cực, có thể xem mạch điện bất kỳlà sự ghép nối giữa các phần tử hai cực R, L, C, nguồn điện áp e, nguồn dòng -  U là véc tơ ma trận cột ma trận ẩn s

MụC LụC

Lời nói đầu 1

chơng i: Lý thuyết chung về mạng nhiều cực và phân tích mạch điện trên mô hình mạng nhiều cực 1.1 Khái niệm về mạng nhiều cực 3

1.2 Phân tích mạch điện trên mô hình mạng nhiều cực 6

CHƯƠNG iI: Tính toán các tham số làm việc của mạch điện 2.1 Mạch có một đầu vào và một đầu ra 13

2.2 Mạch có hai đầu vào và một đầu ra 23

2.3 Mạch có một đầu vào và hai đầu ra 30

CHƯƠNG III: ứng dụng mô hình mạng nhiều cực để biến đổi mạch phức tạp về mạch tơng đơng đơn giản 3.1 Phơng pháp phân tích các mạch điện phức tạp 34

3.2 Phơng pháp xác định ma trận tham số riêng của mạng nhiều cực 36

3.3 Ma trận tham số riêng của một số mạng nhiều cực có dạng đặc biệt 41

3.4 Thí dụ phân tích mạch điện phức tạp 44

CHƯƠNG IV: tối u hóa đặc tính năng lợng của hệ thống truyền và xử lý tín hiệu 4.1 Mô hình tổng quát và các hệ tham số của hệ thống truyền và xử lý tín hiệu 51

4.2 Phân tích kết cấu của các mạng 4 cực không tổn hao 55

4.3 Phân tích điều kiện truyền tải công suất tác dụng cực đại của mạng bốn cực và kết cấu của mạng bốn cực tuyến tính bất kỳ 59

4.4 Tổng hợp hệ thống truyền và xử lý tín hiệu với đặc tính năng lợng tối u 69

kết luận 84

TàI LIệU THAM KHảO 85

phụ lục 1 86

Phụ lục 2 87

phụ lục 3 89

phụ lục 4 91

Lời nói đầu

Trong vài thập kỷ trở lại đây, khoa học kỹ thuật điện tử đã phát triển vớimột tốc độ vũ bão Nó thâm nhập vào tất cả các ngành từ khoa học kỹ thuậtcho đến kinh tế, văn hóa và đời sống hàng ngày Nó đã trở thành công cụ đắclực thúc đẩy sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật nói riêng và của xã hội nóichung

Hiện nay, với những tiến bộ nhảy vọt của kỹ thuật điện tử, chủ yếutrong lĩnh vực công nghệ chế tạo, các thiết bị điện tử hầu nh đã đợc bán dẫnhóa, mô-đun hóa, vi mạch hóa có thể là từng phần hoặc toàn bộ thiết bị tùythuộc vào cấu trúc, chức năng của sản phẩm và công nghệ chế tạo của nhà sảnxuất Khái niệm linh kiện điện tử không còn chỉ giới hạn ở các phần tử rời rạc,

đơn năng mà còn bao gồm cả các loại phần tử tổ hợp - vi mạch làm nhiệm vụcủa một hoặc một số mạch chức năng trong thiết bị điện tử Song về cơ bản,

kỹ thuật các mạch điện tử đều đợc xây dựng trên cơ sở nguyên lý của cácmạch kinh điển đợc xây dựng từ các phần tử đơn lẻ, đã đợc hình thành và dầnhoàn thiện từ khi ngành kỹ thuật điện tử ra đời Việc mô-đun hóa, vi mạch hóasản phẩm làm nâng cao tính lắp lẫn cho sản phẩm, tính chuyên môn hóa chocác nhà sản xuất, khả năng thay thế, sửa chữa sản phẩm đơn giản, nhanhchóng, thuận tiện Vì vậy các phần tử tổ hợp ngày càng chiếm u thế và thaydần các phần tử đơn lẻ R, L, C, transistor Tuy nhiên điều đó lại dẫn đến sựphức tạp của các sơ đồ mạch điện Việc đa vào sử dụng các phần tử tổ hợp,cũng nh tính phức tạp của sơ đồ đòi hỏi phải đa ra các mô hình và thuật toán t-

ơng ứng, tiện ích cho việc giải bài toán phân tích và tổng hợp mạch Hiện nay,trong các mô hình dùng để phân tích và tổng hợp mạch điện thì mô hình mạngnhiều cực là phù hợp hơn cả Việc sử dụng mô hình mạng nhiều cực trongphân tích và tổng hợp mạch điện không chỉ nhằm đơn giản thuật toán và quátrình tính toán mà còn phù hợp với sự phát triển của kỹ thuật, mà ở đây là việc

sử dụng các phần tử tổ hợp cao Nhằm mục đích hiểu sâu, nắm chắc hơn nữakiến thức về lý thuyết mạch - một môn học nhập môn, cơ sở hết sức quantrọng trong lĩnh vực điện tử, đồng thời nâng cao kỹ năng, kỹ xảo trong phântích và tổng hợp các mạch điện phức tạp trong thực tế - nhân tố hết sức bổ ích

để trở thành một ngời kỹ s điện tử vừa có thể khai thác giỏi, vừa có thể nghiên

cứu tốt, tôi quyết định lựa chọn đồ án: “ứng dụng mô hình và lý thuyết

mạng nhiều cực để phân tích và tổng hợp các mạch điện tuyến tính”

Toàn bộ nội dung của đồ án gồm 4 chơng:

- Chơng 1: Lý thuyết chung về mạng nhiều cực và phân tích mạch điệntrên mô hình mạng nhiều cực

- Chơng 2: Tính toán các tham số làm việc của mạch điện

- Chơng 3: ứng dụng mô hình mạng nhiều cực để biến đổi mạch phứctạp về mạch tơng đơng đơn giản

- Chơng 4: Tối u hóa đặc tính năng lợng của hệ thống truyền và xử lýtín hiệu

Qua quá trình nghiên cứu cho phép tôi đợc tỏ lòng biết ơn tới thầy giáohướng dẫn cùng các thầy cô giáo trong khoa Vô tuyến Điện tử đã tận tình h-ớng dẫn tôi hoàn thiện bản đồ án này Do trình độ và thời gian còn hạn chếnên nội dung đồ án không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mongnhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô cùng các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Chơng 1

Lý thuyết chung về mạng nhiều cực và phân tích

mạch điện trên mô hình mạng nhiều cực

1.1 Khái niệm về mạng nhiều cực

Nh ta đã biết, các thiết bị điện tử hiện nay đang đợc chế tạo theo xu ớng vi mạch hóa, mô-đun hóa Để đơn giản trong phân tích và tổng hợp cácmạch điện tử ta có thể xem các phần tử tổ hợp là các mạng nhiều cực, và thiết

h-bị điện tử bất kỳ là sự ghép nối giữa các mạng nhiều cực

Ta định nghĩa: Mạch điện hoặc phần mạch điện có kết cấu bất kỳ gồm n

điểm (cực) để đấu nối với mạch ngoài hoặc các phần khác của mạch đợc gọi

là mạng nhiều cực

Các cực của mạng nhiều cực đợc đánh số thứ tự từ 1 đến n Chiều dòng

điện trên các cực của mạng nhiều cực đợc quy ớc hớng vào phía trong mạngnhiều cực, còn điện áp trên các cực của mạng nhiều cực đợc tính từ cực xét

đến một điểm chung nào đó, điểm chung đó thờng chọn là một cực của mạngnhiều cực

Mạng nhiều cực đợc gọi là tuyến tính nếu nó chỉ gồm các phần tử tuyếntính Mạng nhiều cực có chứa phần tử phi tuyến là mạng nhiều cực phi tuyến.Các phần tử tích cực (transistor, IC, đèn điện tử, ) làm việc trong chế độtuyến tính là mạng nhiều cực tuyến tính

Mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên các cực của mạng nhiềucực đợc xác định bởi các biểu thức:

 

1 2

n

I I

n

U U

U = .

giá trị tức thời, hoặc các giá trị biên độ phức, hiệu dụng phức, hoặc các ảnhtoán tử tơng ứng của dòng điện, điện áp.

định bởi biểu thức:

( ) 0

j

k ks

I y

Dễ dàng chứng minh đợc tổng các phần tử trong một cột bất kỳ và tổngcác phần tử trong một hàng bất kỳ của ma trận tham số riêng đầy đủ y 0 củamạng nhiều cực bằng 0 Vì vậy ma trận y 0 là ma trận suy biến Khi phântích mạch, để thuận tiện tính toán ngời ta thờng chọn một cực nào đó củamạng nhiều cực (thí dụ cực n) làm điểm chung (nút gốc) để tính điện áp trêncác cực, do đó nếu trong ma trận (1-2) ta trừ bỏ đi dòng n, cột n, ta sẽ nhận đ -

ợc ma trận  y là ma trận vuông cấp N = n-1 có kết cấu:

Hệ phơng trình (1-5) gọi là hệ phơng trình truyền của mạng nhiều cực.

Ma trận (1-4) gọi là ma trận tham số riêng  y rút gọn, hay ma trận tham sốriêng  y của mạng nhiều cực Mỗi phần tử yij mang một ý nghĩa vật lý xác

định và có thể xác định chúng bằng thực nghiệm, hoặc bằng tính toán Đối vớimột số mạng nhiều cực thờng gặp nh transistor, biến áp, các tham số riêng

yij thờng đợc tính toán trớc từ nhà sản xuất, hoặc suy ra từ các tham số vật lýtơng đơng hoặc tham số hij, và thờng đợc lập thành bảng để tiện sử dụng Tínhchất của mạng nhiều cực hoàn toàn đợc xác định bởi tham số riêng của nó.Nếu mạng nhiều cực là tuyến tính thì các tham số riêng của nó cũng là tuyếntính Biết ma trận tham số riêng y rút gọn của mạng nhiều cực, dễ dàng suy ra

ma trận tham số riêng toàn phần y0 của nó, bằng cách thêm vào ma trận tham

số riêng y rút gọn một hàng và một cột tơng ứng, sao cho tổng các phần tửtrong một hàng và tổng các phần tử trong một cột bằng 0

Biểu diễn tính chất của mạng nhiều cực qua ma trận tham số riêng  yphù hợp với việc phân tích mạng nhiều cực bằng phơng pháp điện thế điểmnút Khi thực hiện phân tích mạch bằng phơng pháp dòng điện mạch vòng, tabiểu diễn mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên các cực của mạng nhiềucực dới dạng phơng trình truyền dạng tham số  z Biết một trong hai hệ tham

số riêng dễ dàng suy ra hệ tham số riêng kia Phơng pháp điện thế điểm nút vàphơng pháp dòng điện mạch vòng là hai phơng pháp cơ bản để phân tích mạch

điện tuyến tính Tuy nhiên trong thực tế, với các mạch điện không có hỗ cảm,

sử dụng phơng pháp điện thế điểm nút, việc thiết lập ma trận tổng dẫn  y củamạch trong nhiều trờng hợp đơn giản và thuận tiện hơn việc thiết lập ma trậntổng trở  z Do đó, trong phạm vi của đồ án không xem xét phơng pháp dòng

điện mạch vòng mà chỉ phân tích và tổng hợp các mạch điện dựa trên phơngpháp điện thế điểm nút

1.2 Phân tích mạch điện trên mô hình mạng nhiều cực

Từ khái niệm và mô hình mạng nhiều cực, có thể xem mạch điện bất kỳ

là sự ghép nối giữa các phần tử hai cực (R, L, C, nguồn điện áp e, nguồn dòng

-  U là véc tơ ma trận cột (ma trận ẩn số), mỗi phần tử của nó là

điện thế các nút của mạch (so với điện thế nút gốc bằng 0):

   1 2 

T N

Để tìm thuật toán thành lập ma trận tổng dẫn  Y của mạch điện cóchứa mạng nhiều cực, trớc hết ta xét cho một trờng hợp cụ thể: Trong mạchngoài các phần tử hai cực (các phần tử R, L, C và các nguồn tác động) trongmạch chỉ chứa một mạng 3 cực (n = 3) với các tham số riêng đã biết Các cực

1, 2, 3 của mạng 3 cực đợc nối vào các nút p, q, r tơng ứng (p, q, r là thứ tự các

nút của mạch khi phân tích mạch bằng phơng pháp điện thế điểm nút), xemhình 1.2.

p

q r

+) y33 = - y13 - y23 = y11 + y12 + y21 + y22

Trong trờng hợp xét, trong hệ phơng trình điện thế điểm nút (1-7) chỉ cócác phơng trình viết cho nút p, nút q và nút r bên vế trái đợc bổ sung thêm cácdòng điện trên các cực tơng ứng của mạng 3 cực, còn các phơng trình viết chocác nút khác là không thay đổi (giả thiết trong mạng 3 cực không chứa nguồn

độc lập) Nghĩa là đối với các nút p, q, r phơng trình sẽ có dạng:

N

s=1 N

s=1 N

s=1 N

s=1 N

J = Y U + Y U +…+ (Y + y ).U + (Y + y ).U + (Y + y ).U +…+ Y U ,

J = Y U + Y U +…+ (Y + y ).U + (Y + y ).U + (Y + y ).U +…+ Y U ,

J = Y U + Y U +…+ (Y + y11).U + (Y + y ).U + (Y + y ).U +…+ Y U p rq 12 q rr 13 r rN N

có thể suy ra cách thiết lập ma trận tổng dẫn  Y của mạch có chứa mạngnhiều cực nh sau:

- Thành lập ma trận tổng dẫn  Y của mạch khi cha tính đến các mạngnhiều cực có trong mạch

- Bổ sung vào ma trận tổng dẫn  Y vừa thiết lập các tham số riêng tơngứng của các mạng nhiều cực tơng ứng Nếu ta đặt số thứ tự các cực của mạngnhiều cực trùng với thứ tự các nút của sơ đồ thì các tham số riêng yij của cácmạng nhiều cực sẽ đợc bổ sung vào các ô cắt nhau của các hàng i và các cột jtơng ứng trong ma trận tổng dẫn  Y

Để minh họa, ta xét một thí dụ: thiết lập ma trận tổng dẫn  Y cho mạchkhuếch đại transistor có sơ đồ tơng đơng (đối với thành phần tín hiệu) vẽ trênhình 1.3 và transistor trong mạch có sơ đồ vật lý tơng đơng vẽ trên hình 1.4.

1 2

3

0

Q1 C1

C2

C3

Rt R2

R3 R1

ma trận tổng dẫn  Y rút gọn của mạch khi cha tính đến mạng 3 cực transistorQ1 nh sau:

Bổ sung các tham số riêng yij của transistor Q1 vào các ô cắt nhau củacác hàng i và các cột j tơng ứng trong ma trận tổng dẫn  Y của mạch khi chatính đến transistor Q1 ta đợc ma trận tổng dẫn  Y của mạch nh sau:

mà chỉ quan tâm đến các tham số làm việc của nó nh: hệ số khuếch đại điện

áp KU, hệ số khuếch đại dòng điện KI, hệ số khuếch đại công suất KP, tổng trở

đầu vào, tổng trở đầu ra Các tham số này có thể đợc xác định trực tiếp qua

định thức và giá trị các phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn  Y của mạch.Chúng ảnh hởng đến tính chất, chất lợng của mạch điện nói riêng, hay hệthống truyền và xử lý tín hiệu nói chung

Xét trên quan điểm truyền và xử lý tín hiệu, các mạch điện tử thờng làmviệc trong các chế độ sau đây:

- Mạch có một đầu vào và một đầu ra Đây thờng là các mạch khuếch

đại, các bộ suy giảm, quay pha, chọn lọc

- Mạch có hai đầu vào và một đầu ra Đây là các mạch khuếch đại trừ,khuếch đại vi sai, thờng đợc sự dụng rộng rãi trong kỹ thuật điều khiển tự

động, kỹ thuật đo lờng

- Mạch có một đầu vào và hai đầu ra Đây là các mạch thờng đợc dùng

để tạo ra hai điện áp đối xứng (có biên độ bằng nhau nhng ngợc pha)

Giữa đầu vào và đầu ra có thể có hoặc không có điểm chung

Chơng 2 Tính toán các tham số làm việc của mạch điện

2.1 Mạch có một đầu vào và một đầu ra

Ta có thể thay thế mạch bằng mô hình tổng quát nh hình vẽ trên hình2.1, trong đó hình 2.1a ứng với trờng hợp đầu vào và đầu ra có điểm chung,còn hình 2.1b ứng với trờng hợp đầu vào và đầu ra không có điểm chung

Để xác định các tham số công tác của mạch, trong cả hai trờng hợp taluôn giả thiết bên trong các mạng 4 cực không chứa nguồn điện, và khi phântích mạch bằng phơng pháp điện thế điểm nút ta luôn chọn một nút trên đầuvào làm nút gốc của sơ đồ (xem hình 2.1), còn nguồn tín hiệu vào đợc mắcgiữa nút a của sơ đồ và nút gốc Ta lần lợt tính toán các tham số của mạch ứngvới từng trờng hợp nh sau:

2.1.1 Trờng hợp giữa đầu vào và đầu ra của mạch điện có điểm chung

Từ hình 2.1a, ta có các mối quan hệ sau:

U1 = Ua; U2 = Ub; I1 = Ja; I2 = - Jb (2.1)

Trong đó: - Ua, Ub, Ja, Jb là điện áp và dòng điện trên nút a và nút b củamạch;

- U1, U2, I1, I2 là điện áp và dòng điện trên các cặp cực tơng ứngcủa mạng 4 cực

Nghiệm của hệ phơng trình điện thế điểm nút (1.7) có thể viết dới dạngtổng quát:

k k

- sk là phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn  Y , nó là định thức

của ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y sau khi bỏ đi hàng s, cột k vànhân với thừa số (- 1)s+k

Vì trong trờng hợp này, các phần tử của véc tơ - ma trận  J đều bằng

2 1

1 1

Từ đây ta xác định đợc trở kháng vào Zv của mạch là tỷ số giữa điện áp

và dòng điện trên đầu vào của mạch nh sau:

, 1

1

.

t aa aa bb v

t bb

Z U Z

  

   (2.7)Khi đầu ra của mạng 4 cực hở mạch (Zt = ∞) ta có:

Hệ số truyền dòng điện khi đầu ra ngắn mạch (Zt = 0):

bằng tỷ số giữa điện áp đầu ra U2 và dòng điện đầu vào I1 Từ biểu thức (2.5)

ta xác định đợc:

2 21 1

.

t ab

t bb

Z U

bằng tỷ số giữa dòng điện đầu ra I2 và điện áp đầu vào U1 Trong biểu thức

(2.10), thay U2 = I2Zt rồi biến đổi một chút ta sẽ nhận đợc:

điện trên đầu ra I2 khi điện áp của nguồn tác động bằng 0 Trong hệ phơng

trình (2.4) thực hiện thay 1 1

n

U I Z

 (với Zn là tổng trở trong của nguồn) ta sẽnhận đợc:

Từ phơng trình thứ nhất của (2.16) tính U1 theo I2, thay biểu thức U1 đã

tính đợc vào phơng trình thứ hai của (2.16) rồi thực hiện chia cả hai vế của

ph-ơng trình cho I2 ta nhận đợc:

, 2

2

.

n bb aa bb ra

n aa

Z U Z

  

   (2.17)Khi phân tích các mạch điện phức tạp, để đơn giản quá trình tính toán

ngời ta thờng áp dụng định lý Thevenin Norton (định lý máy phát đẳng trị) để

đa mạch đã cho về mạch tơng đơng đơn giản gồm nguồn điện áp có sức điện

động bằng điện áp đầu ra của mạch (mạng 2 cực) khi hở mạch (E0 = U2hở) mắc

nối tiếp với tổng trở bằng tổng trở đầu vào của mạng 2 cực khi cho các nguồn

tác động bằng 0 Tổng trở đầu vào của mạng 2 cực khi cho các nguồn tác

động bằng 0 chính là tổng trở đầu ra của mạng 4 cực Zra (2.17); còn E0 đợcxác định nh sau:

Khi hở mạch (Zt = ∞, I2 = 0), hệ phơng trình (2.3) trở thành:

,



   (2.18)

Để minh họa, ta xét thí dụ: xác định hệ số khuếch đại điện áp của mạchkhuếch đại transistor có sơ đồ tơng đơng (đối với thành phần tín hiệu) vẽ trênhình 2.2 và các tham số riêng của mạng 3 cực transistor cho trong phụ lục 1

Lu ý, để các biểu thức toán gọn hơn, từ nay ta ký hiệu Gi thay cho 1

i

R .

Đây là sơ đồ mạch điện có một đầu vào và một đầu ra, giữa đầu vào và

đầu ra có điểm chung Đánh số thứ tự các nút nh hình vẽ, chọn nút 0 làm nútgốc, ta thiết lập đợc ma trận tổng dẫn  Y của mạch nh sau:

U U





trong đó: +) Δ13 = -jωCghy21;

+) Δ11 = 22

Thay các giá trị Δ13 và Δ11 vào ta đợc giá trị hệ số khuếch đại điện ápcủa mạch:

= (b+c)b - (b+c)c = (b+c)(b+c).Trong đó: - (b+c)a là phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn  Y của mạch, là

định thức của ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y sau khi bỏ đi cột a,dòng b cộng vào dòng c rồi bỏ đi dòng b và nhân với thừa số (-1)a+b

- a(b+c) là phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn  Y của mạch, là

định thức của ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y sau khi bỏ đi dòng a,cột b cộng vào cột c rồi bỏ đi cột b và nhân với thừa số (-1)a+b

- (b+c)(b+c) là phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn  Y của mạch,

là định thức của ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y sau khi dòng bcộng vào dòng c rồi bỏ đi dòng b, cột b cộng vào cột c rồi bỏ đi cột b

điểm chung đợc suy ra trực tiếp từ các biểu thức tơng ứng đối với trờng hợp

đầu vào và đầu ra của mạch có điểm chung, chỉ cần thay chỉ số b ở các phầnphụ đại số bằng chỉ số (b + c) Ta có các công thức xác định các tham số côngtác của mạch đối với trờng hợp mạch chỉ có một đầu vào và một đầu ra, giữa

đầu vào và đầu ra không có điểm chung đợc ghi tóm tắt trong bảng 2.1

a b c

t b c b c Z

I K

  

  

6 Tổng trở đầu vào khi đầu ra hở

mạch (Zt = ∞)

1 h

1 t

v

Z

U Z

1 t 0

v

Z

U Z

ra

U Z

U Z I

I Y U

,( )( )

a b c

t aa aa b c b c Z





  Trong các biểu thức đó, aa, (b+c)(b+c) là phần phụ đại số của ma trận tổngdẫn  Y của mạch, là định thức của ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y

sau khi bỏ đi dòng a, cột a, dòng b cộng vào dòng c rồi bỏ đi dòng b, cột bcộng vào cột c rồi bỏ đi cột b

Để minh họa, ta xét thí dụ: xác định dòng điện phản hồi I2 trong mạchkhuếch đại transistor có phản hồi có sơ đồ tơng đơng đối với thành phần tínhiệu vẽ trên hình 2.3 và các tham số riêng của mạng 3 cực transistor cho trongphụ lục 1

Ta cã I2 = U32Y Theo c¸c c«ng thøc tÝnh cho m¹ch ®iÖn cã mét ®Çu vµo

vµ mét ®Çu ra, gi÷a ®Çu vµo vµ ®Çu ra kh«ng cã ®iÓm chung trong b¶ng 2.1,

coi U32 lµ ®iÖn ¸p ®Çu ra ta cã: K΄U = 32 1(3 2)

11

v

U U

2.2 Mạch có hai đầu vào và một đầu ra

Mô hình tổng quát của các mạch điện có hai đầu vào và một đầu ra vẽtrên hình 2.4, trong đó sơ đồ hình 2.4a ứng với trờng hợp đầu vào và đầu ra có

điểm chung, sơ đồ hình 2.4b ứng với trờng hợp đầu vào và đầu ra không có

điểm chung

Để xác định các tham số công tác của mạch, trong cả hai trờng hợp taluôn giả thiết bên trong các mạng nhiều cực không chứa nguồn điện, và khiphân tích mạch bằng phơng pháp điện thế điểm nút ta luôn chọn một nút trên

đầu vào làm nút gốc của sơ đồ (xem hình 2.4) Các nguồn điện áp vào: Uv1

mắc giữa nút a và nút gốc; Uv2 mắc giữa nút b và nút gốc Điện áp ra Ura là

điện áp giữa nút c với nút gốc (trong trờng hợp đầu vào và đầu ra có điểmchung), hoặc giữa nút c và nút d (trong trờng hợp đầu vào và đầu ra không có

điểm chung) Ta lần lợt tính toán các tham số của mạch ứng với từng trờnghợp nh sau:

2.2.1 Trờng hợp giữa đầu vào và đầu ra của mạch điện có điểm chung

bb v ba v a

aa bb ba ab

aa v ab v b

aa bb ba ab

U U J

U U J

aa bb ab ba

U            

    Có:

và nhân với thừa số (-1)s+k+2l+i, trong đó:

,

,

ac bb v bc aa v ra

aa bb

 (2.23)

với ac, b(b ± a) là phần phụ đại số kép của ma trận tổng dẫn  Y , là định thức của

ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y sau khi bỏ đi dòng a, cột c, dòng b,cột b cộng (trừ) vào cột a rồi bỏ đi cột b, và nhân với thừa số (-1)a+c+2b+i Giá trịcủa i đợc xác định:

Để mạch điện có hai đầu vào và một đầu ra, giữa đầu vào và đầu ra có

điểm chung, làm việc nh một bộ trừ, trong trờng hợp lý tởng đòi hỏi:

ac, b(b+a) = 0 (2.24)Khi đó bc,aa = -ac, bb và:

Re R

Rc

3 4

0

Coi hai transistor có tham số giống nhau và ma trận tham số riêng chotrong Đánh số thứ tự các nút nh hình vẽ, chọn nút 0 làm nút gốc, ta thiết lập

Vì đây là mạch điện có hai đầu vào và một đầu ra, giữa đầu vào và đầu

ra có điểm chung, nên điện áp đầu ra đợc xác định theo biểu thức (2.25):

+) Δ14, 2(2-1) = (-1)1 + 4 + 4 + 1 11 12 21 22

0 2( ) ( )

Trờng hợp mạch điện có hai đầu vào và một đầu ra, giữa đầu vào và đầu

ra không có điểm chung đợc mô tả trên sơ đồ hình 2.4b Lúc này Ura = Uc -Ud

Các điện áp Uc, Ud có thể đợc xác định qua Uv1, Uv2 tơng tự nh cách tìmbiểu thức Ura (2.23):

aa bb

ad bb v bd aa v d

với s(k+m),ll là phần phụ đại số kép của ma trận tổng dẫn  Y , là định thức của

ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn  Y sau khi bỏ đi dòng s, cột l, dòng l,cột k cộng vào cột m rồi bỏ đi cột k, và nhân với thừa số (-1)s+k+2l+i Giá trị của

i đợc xác định nh trên

Do đó: ( ), 1 ( ), 2

,

a c d bb v b c d aa v ra

So sánh (2.23) và (2.27) ta thấy về hình thức chúng hoàn toàn giốngnhau, chỉ khác đối với các phần phụ đại số, chỉ số c trong (2.23) đợc thay bằngchỉ số (c + d) trong (2.27) Từ đây dễ dàng suy ra rằng:

- Điều kiện để mạch điện có hai đầu vào và một đầu ra, giữa đầu vào và

đầu ra không có điểm chung, làm việc nh một bộ trừ trong trờng hợp lý tởnglà: a(c+d), b(b+a) = 0 (2.28)

- Biểu thức tính điện áp đầu ra trong trờng hợp lý tởng:

Vì đây là mạch điện có hai đầu vào và một đầu ra, giữa đầu vào và đầu

ra không có điểm chung, nên điện áp đầu ra đợc xác định theo biểu thức(2.29):

c c

c c

2.3 Mạch có một đầu vào và hai đầu ra

Mô hình tổng quát của mạch điện có một đầu vào và hai đầu ra đợc môtả trên hình 2.7 ở đây ta chỉ xét trờng hợp giữa đầu vào và đầu ra có điểmchung Giả thiết rằng bên trong mạng nhiều cực không chứa nguồn điện Tachọn nút gốc của sơ đồ là nút chung giữa đầu vào và đầu ra

Để tính toán các tham số công tác của mạch, ta phân sơ đồ hình 2.7thành hai sơ đồ tơng đơng vẽ trên hình 2.8

hai sơ đồ có một đầu vào và một đầu ra

Các sơ đồ vẽ trên hình 2.8 là các sơ đồ có một đầu vào và một đầu ra,giữa đầu vào và đầu ra có điểm chung Do vậy các tham số công tác đợc xác

định theo các công thức trong mục 2.1.1 Tuy nhiên trong thực tế, đối với cácmạch có một đầu vào và hai đầu ra, ngời ta chỉ quan tâm tới hệ số truyền điện

áp KU và điện trở ra Zra đối với mỗi đầu ra Ta có:

Z Z

,

n bb aa bb ra

Z Z

Z

²  ²

² 

² ² (2.34)trong đó: - Â là định thức của ma trận tổng dẫn  YÂ của mạch mà khi tổngtrở Z2 đợc coi nh tổng trở của một nhánh nối giữa nút c và nút gốc

- ² là định thức của ma trận tổng dẫn Y² của mạch mà khi tổng

trở Z1 đợc coi nh tổng trở của một nhánh nối giữa nút b và nút gốc

Vì tổng trở Z2 mắc giữa nút c và nút gốc của sơ đồ nên trong ma trận

tổng dẫn  YÂ của mạch, tổng dẫn Y2 =

2

1

Z chỉ đợc viết một lần duy nhất trong

ô cắt nhau của dòng c, cột c Do đó định thức Â có thể viết dới dạng:

2

1

cc Z

Â    (2.35) Tơng tự, định thức ² cũng có thể viết dới dạng:

1

1

bb Z

²    (2.36)Trong đó  là định thức của ma trận tổng dẫn của sơ đồ hình 2.3 khi cáctổng trở Z1, Z2, Zn đợc xem là nằm ngoài sơ đồ (khi thành lập ma trận tổng dẫn

Điều kiện để mạch điện có một đầu vào và hai đầu ra tạo ra hai điện áp

đối xứng (ứng dụng trong phân kênh, đảo pha phân tải ) có biên độ bằngnhau và ngợc pha nhau là KÂU = -K²U hay:

Z (Z  +  ) = -Z (Z  +  ) (2.41)

Chia cả hai vế cho Z1, Z2 rồi rút gọn với lu ý Y1 =

a b c Y ab b c c

   (2.43)Các biểu thức (2.41), (2.42) cho phép xác định trực tiếp tính đối xứngcủa điện áp thông qua các phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn  Y củamạch, mà không cần xác định các hệ số khuếch đại KÂU, K²U

Điều kiện để mạch điện có một đầu vào và hai đầu ra có các tổng trở ra

là đối xứng ZÂra = Z²ra khi Z1 = Z2 = Z là:

(AZ + B)(CZ + A) = (DZ + B)(CZ + D) (2.44)Trong đó: - A = Znbb + aa,bb;

CZ2 + (A + D)Z +B = 0 (2.46)Các biểu thức (2.44), (2.45) là các biểu thức sử dụng khi thiết kế, tínhtoán các mạch điện tử có một đầu vào và hai đầu ra đòi hỏi các tổng trở ra làbằng nhau

Chơng 3 ứng dụng mô hình mạng nhiều cực để biến đổi mạch

phức tạp về mạch tơng đơng đơn giản

3.1 Phơng pháp phân tích các mạch điện phức tạp

Nh đã nói ở chơng 1, trong khuôn khổ thời gian hạn chế và phạm vi của

đồ án, đồ án chỉ tiến hành phân tích và tổng hợp các mạch điện dựa trên phơngpháp điện thế điểm nút Trong thực tế, các mạch điện thờng rất phức tạp(nhiều nút) Vì vậy khi xác định các tham số công tác của mạch đòi hỏi phảitính toán các định thức cấp cao, làm cho quá trình tính toán trở nên phức tạp

Có thể giảm cấp của ma trận tổng dẫn [Y] của mạch một cách đáng kể nếuthực hiện biến đổi sơ đồ mạch đã cho về sơ đồ tơng đơng bằng cách thay mộthoặc một số phần của sơ đồ bằng các mạng nhiều cực Thí dụ, sơ đồ mạch vẽtrên hình 3.1a có thể biến đổi về sơ đồ tơng đơng vẽ trên hình 3.1b

R2

2C Q

b) Sơ đồ mạch điện sau khi biến đổi tơng đơng

Trong sơ đồ hình 3.1b, các mạng nhiều cực α, β có kết cấu tơng ứng vẽtrên hình 3.2

R1

Q Q'

4

6 7 5

Dễ dàng thấy rằng trong sơ đồ mạch hình 3.1b, các nút nằm bên trongcác mạng nhiều cực α, β sẽ không xuất hiện trong ma trận tổng dẫn [Y] củamạch Bởi vậy một cách tổng quát, nếu mạch điện gồm n nút (trừ nút gốc), khithực hiện phân chia mạch thành một số mạng nhiều cực sao cho có k nút củamạch nằm bên trong các mạng nhiều cực thì mạch tơng đơng chỉ còn n - knút, và ma trận tổng dẫn [Y] là ma trận cấp n - k Tất nhiên để thiết lập matrận tổng dẫn [Y] của mạch tơng đơng vẫn đòi hỏi phải xác định ma trận tham

số riêng [y0] của các mạng nhiều cực Để đơn giản trong tính toán, với mỗimột sơ đồ nên có một cách phân chia hợp lý để vừa có thể giảm cấp của matrận tổng dẫn [Y] của mạch, vừa dễ dàng xác định ma trận tham số riêng củacác mạng nhiều cực

3.2 Phơng pháp xác định ma trận tham số riêng của mạng nhiều cực

Khi tách một hoặc một số phần trong sơ đồ đã cho thành các mạngnhiều cực, có thể xảy ra hai trờng hợp:

- Mạng nhiều cực đợc tách ra có một cực đợc nối với nút chung (nútgốc) của sơ đồ

- Mạng nhiều cực đợc tách ra không có nút nào nối vào nút gốc của sơ

đồ

3.2.1 Mạng nhiều cực đợc tách ra có một cực đợc nối vào nút gốc của sơ đồ

Giả sử mạng nhiều cực đợc tách ra từ sơ đồ gồm n nút (trừ nút gốc),trong đó có s nút là các cực của mạng nhiều cực, còn (n - s) nút nằm bên trongmạng nhiều cực Ta giả thiết rằng các nút ứng với các cực của mạng nhiều cực

đợc đánh số thứ tự từ 1 đến s, từ nút thứ (s + 1) đến nút n nằm bên trong mạngnhiều cực (xem hình 3.3)

nối vào nút gốc của sơ đồ

Mạng nhiều cực (hình 3.3) có thể coi nh mạch điện theo nghĩa thông ờng gồm n nút (trừ nút gốc), khi đó phơng trình điện thế điểm nút của mạch sẽ

th-có dạng tổng quát:

[y][U] = [J]

Để phân biệt, ta gọi: ma trận [Y] là ma trận tổng dẫn của sơ đồ; ma trận[y] là ma trận tổng dẫn của mạng nhiều cực khi coi mạng nhiều cực nh mộtmạch điện thông thờng; ma trận [y'] là ma trận tham số riêng của mạng nhiềucực, biểu thị các tham số đối với các cực của mạng nhiều cực

Giả thiết rằng bên trong mạng nhiều cực không chứa nguồn điện, khi đótrong n phần tử của véc tơ - ma trận cột [J] chỉ có s phần tử tơng ứng với dòng

điện trên s cực của mạng nhiều cực khác 0, còn (n - s) phần tử còn lại bằng 0.Trong trờng hợp này, nghiệm của hệ phơng trình điện thế điểm nút có thể viếtdới dạng:

+) Δik là phần phụ đại số tơng ứng của ma trận tổng dẫn [y]

Vì ta chỉ quan tâm đến ma trận tham số riêng của mạng nhiều cực (cáctham số đối với các cực của mạng nhiều cực), do đó chỉ cần xác định giá trịcủa điện áp trên s cực của mạng nhiều cực (so với điện áp cực gốc bằng 0).Các điện áp trên các cực của mạng nhiều cực U1, U2, Us đợc xác định theobiểu thức (3.2) và có thể lập thành phơng trình dạng ma trận nh sau:

Ma trận [y'] trong (3.4) là ma trận vuông cấp s và chính là ma trận tham

số riêng của mạng nhiều cực

Nhân cả hai vế của (3.2) (vào phía trái) với định thức Δ của ma trậntổng dẫn [Y] của mạch và ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp s bên vếphải của biểu thức (3.2) rồi làm tơng đơng (3.2) và (3.3) ta đợc:

D = Δs-1Δ11,22, ,ss = Δs-1Δs, (3.6)trong đó: +) Δ là định thức của ma trận tổng dẫn [y];

+) Δs-1 là lũy thừa bậc (s-1) của định thức Δ;

+) Δs = Δ11,22, ,ss là phần phụ đại số bội của ma trận tổng dẫn [y], là

định thức của ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn [y], sau khi bỏ đi s hàng

tr

1(t+1)

Δ Δ Δ Δ

ma trận nhận đợc từ ma trận tổng dẫn [y] sau khi bỏ đi s hàng, s cột đầu tiêntrừ hàng r cột t

Từ các biểu thức (3.6) và (3.7) ta xác định đợc các phần tử của ma trậntham số riêng [y'] của mạng nhiều cực:

s s

Để minh họa, ta xét thí dụ: xác định ma trận tham số riêng [y'] củamạng 3 cực α vẽ trên hình 3.2a Ma trận tham số riêng [y0] của transistor chotrong phụ lục 1.

Để xác định ma trận tham số riêng [y'] của mạng 3 cực α, trớc hết phải

đánh số thứ tự các nút theo quy tắc s nút đầu tiên là các cực của mạng nhiềucực nh trong hình 3.4

R1

Q Q'

1

2 3 4

Hình 3.4: Mạng nhiều cực α sau khi đánh lại số thứ tự các nút

Chọn nút 0 làm nút gốc, cho điện thế nút gốc bằng 0, ta thiết lập đợc matrận tổng dẫn [y] của mạch (hình 3.4) nh sau:

+) 212

1

0 ' ' ' '

nối vào nút gốc của sơ đồ

Khi mạng nhiều cực đợc tách ra từ sơ đồ không có cực nào đợc nối vàonút gốc của sơ đồ (khi này điện áp trên các cực của mạng nhiều cực đợc tách

ra, đợc tính so với nút gốc của sơ đồ, nh minh họa trên hình 3.5), ma trận tham

số riêng đầy đủ [y'0] của nó đợc suy ra trực tiếp từ ma trận tham số riêng [y']của mạng nhiều cực có một cực nối với nút gốc của sơ đồ (3.9) bằng cách bổsung vào ma trận (3.9) một hàng và một cột tơng ứng, sao cho tổng các phần

tử trong một hàng và tổng các phần tử trong một cột của ma trận nhận đợc đềubằng 0 Nghĩa là ma trận tham số riêng đầy đủ [y'0] cấp s + 1 của nó có kếtcấu:

 

1

1 0

1 1

1 '

3.3 Ma trận tham số riêng của một số mạng nhiều cực có dạng đặc biệt

Nh đã nói ở phần trên, khi phân chia mạch thành một số mạng nhiềucực nên có một cách phân chia hợp lý để vừa giảm đợc cấp của ma trận tổngdẫn [Y] của mạch, vừa đơn giản trong việc xác định các ma trận tham số riêngcủa các mạng nhiều cực để từ đó xác định đợc ma trận tổng dẫn [Y] của mạchmột cách nhanh chóng Nếu các mạng nhiều cực đợc tách ra từ sơ đồ thuộcmột trong hai trờng hợp sau đây thì việc xác định tham số riêng [y'] của nó sẽtrở nên khá đơn giản

3.3.1 Trong mạng nhiều cực đợc tách ra từ sơ đồ chỉ chứa một nút

Khi này s = n - 1 và do đó:

Δs = Δ11,22, ,(n-1)(n-1) = ynn;

rt s

Δ Δ

rn nt rt

nn

y y y

y

  (3.12)

Để minh họa, ta xét thí dụ: xác định ma trận tham số riêng của mạngnhiều cực trên hình 3.6 Ma trận tham số riêng của transistor cho trong phụ lục1

Q1 R1

C

1

2 3

0

Coi mạng nhiều cực nh một mạch điện thông thờng, nút 0 là nút gốccủa mạch, các nút còn lại trong mạng nhiều cực đợc đánh số thứ tự nh hình vẽ

Ta thiết lập đợc ma trận tổng dẫn [y] của mạch nh sau:

3 ycb -jωC G2 + ycc + jωCTrong mạng nhiều cực chỉ có một nút là nút 3 Theo biểu thức (3.12) tacó: